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盐城中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学(理)试题


江苏省盐城中学 2013—2014 学年度第一学期期中考试 高二年级数学(理科)试题(2013.11)
命题人:蔡广军 盛维清 审题人:徐瑢

试卷说明:本场考试时间 120 分钟,总分 150 分. 一、 填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上) 1.命题“ ?x ? R

, x ? 0 ”的否定是
2

▲ .

.

2.抛物线 x2 ? 4 y 的焦点坐标是



3.已知点 A(3, ?2,1) , B(?2, 4, 0) ,则向量 AB 的坐标为 4.双曲线 x ?
2

??? ?



.

y2 ? 1的渐近线方程为 4



. ▲ 条 件. (填 “充分不必要”、“必要不充

5. “两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的 分”、“充要”、“既不必要又不充分”中的一个)

6. 已知直线 l1,l2 的方向向量分别为 a ? (1, 2, ?2), b ? (?2,3, k ) ,若 l1 ? l2 ,则实数 k =

?

?





?x ? 1 ? 7.设 x , y ? R 且 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值是 ?y ? x ?
8.设集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x 2 ? 1 ,则 A ? B ?
2 x





?

?

?

?



. ▲ .

9. 已知动点 M 到点 A(2, 0) 的距离等于它到直线 x ? ?1 的距离,则点 M 的轨迹方程是 10. 已知正数 x , y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则

2 1 ? 的最小值为 x y



.

11. P 为椭圆 是 ▲

x2 y2 ? ? 1 上的点, F1 , F2 是其两个焦点,若 ?F1 PF2 ? 30? ,则 ?F1 PF2 的面积 5 4


12.已知 O 为坐标原点, OA ? (1, 2,3), OB ? (2,1,2) , OC ? (1,1, 2) ,若点 M 在直线 OC 上运动,则

??? ?

??? ?

??? ?

???? ? ???? ? AM ? BM 的最小值为



.

x2 y 2 13. 过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 且斜率 为 k 的直线交椭圆 C 于另一点 B , 且点 B 在 x 轴 a b
上的射影恰为右焦点 F ,若

1 1 ? k ? ,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 3 2



.

b2 14.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c(b, c ? R) , 若 b 、c 满足 c ? 且 f (c) ? f (b) ? M (c2 ? b2 ) 恒成立, ?1 , 4
2

则 M 的最小值为



.

二、解答题: (本大题共 6 小题,计 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请 把答案 写在答题纸的指定区域内)
2 15. (本小题 12 分)已知命题 p :任意 x ? R , x ? 1 ? a ,命题 q :函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1 在 (??, ?1]

上单调递减. (1)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范 围; (2)若 p 和 q 均为真命题,求实数 a 的取值范围.

[来源:学,科,网]

16. (本小题 12 分)已知顶点在原点 O ,焦点在 x 轴上的抛物线过点 (3, 6) . (1)求抛物线的标准方程; (2)若抛物线与直线 y ? x ? 2 交于 A 、 B 两点,求证: kOA ? kOB ? ?1 .

17. (本小题 13 分)如图,四棱锥 S﹣ABCD 的底面为正方形,SD⊥平面 ABCD,SD=AD=2,请建立空间 直角坐标系解决下列问题. (1)求证: AC ? SB ; (2)求直线 SB 与平面 ADS 所成角的正弦值.

S

D

C

A

B

18. (本小题 13 分)某工厂拟建一座平面图为矩形,面积为 200m 的三段式污水处理池,池高为 1 m ,如

2

果池的四周墙壁的建造费单价为 400 元 / m ,池中的每道隔墙厚度不计,面积只计一面,隔墙的建造费单 价为 248 元 / m ,池底的建造费单价为 80 元 / m2 ,则水池的长、宽分别为多少米时,污水池的造价最低? 最低造价为多少元?
2

2

[来源:Z&xx&k.Com]

CD 中点. 19. (本小题 15 分)在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? AD ? 1, E 为线段
(1) 求直线 B1E 与直线 AD1 所成的角的余弦值; (2)若 AB ? 2 ,求二面角 A ? B1E ? A 1 的大小; (3) 在棱 AA1 上是否存在一点 P ,使得 DP / / 平面 B1 AE ?若存在,求 AP 的长;若不存在,说明理由.
A1 C1 D1

B1

A E B C
2

D

20. (本小题 15 分)已知抛物线 y ? 8x 与椭圆 (1)求椭圆方程;

x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点 F ,且椭圆过点 D (? 2, 3) . a 2 b2

(2)点 A 、 B 是椭圆的上下顶点,点 C 为右顶点,记过点 A 、 B 、C 的圆为⊙ M ,过点 D 作⊙ M 的 切线 l ,求直线 l 的方程; (3)过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点 P 、 Q ,试问直线 PQ 是否经过定 点,若 是,求出定点坐标;若不是,说明理由.

[来源:Z_xx_k.Com]

盐城中学 2013-2014 高二年级期中考试 数学( 理科)答题纸 2013、11 高考资源网
一、填空题(14×5=70 分) 1、 ?x ? R, 使x 2 ? 0 3、 (-5,6,-1) 5、必要不充分 7、 3 9、 6 x ? y 2 ? 3 ? 0 11、 8 ? 4 3 13、 ( , ) 2、 (0,1) 4、 y ? ?2 x 6、2 8、 (0,3) 10、8 12、 ? 14、

2 3

1 2 2 3

3 2

二、解答题(共 90 分)
[来源:学_科_网]

15、 (12 分)
2 解: (1)当 p 为真命题时有 x ? a ? 1 ,

所以 a ? 1 ? 0 , 即实数 a 的取值范围 (??,1] . (2)当 q 为真命题时有 a ? ?1 , 结合(1)取交集有实数 a 的取值范围 [ ?1,1] .

16、 (12 分) 解:设抛物线的标准方程为: y ? 2 px ,
2

因为抛物线过点 (3, 6 ) , 所以 6 ? 2 p ? 3 , 解得 p ? 1 , 所以抛物线的标准方程为: y ? 2 x .
2

17、 (13 分)

解:建立以 D 为坐标原点, DA,DC,DS 分别为 x,y,z 轴的空间直角坐标系, 则 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2),

AC ? (?2,2,0) , SB ? (2,2,?2) , ? AC ? SB ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 ? (?2) ? 0 ,
? AC ? SB .
(2)取平面 ADS 的一个法向量为 DC ? (0,2,0) ,则

cos ? SB , DC ??

SB ? DC | SB | | DC |

?

4 2 3?2

?

3 , 3

所以直线 SB 与平面 ADS 所成角的正弦值为

3 . 3

18、 (13 分) 解:设污水池的宽为 xm ,则长为

座位号

200 m ,水池的造价为 y 元,则 x

由题意知:定义域为 x ? (0,??) ,

y ? 80 ? 200 ? x ? 400? 2 ? 160000

200 ? 400? 2 ? x ? 248? 2 x

19、 (15 分) 解: (1)则 A(0, 0, 0), D(0,1, 0), D1 (0,1,1), E ( ,1, 0), B1 (a, 0,1) ,

???? ? ???? ???? ??? ? a a ? AD1 ? (0,1,1), B1 E ? (? ,1, ?1), AB1 ? (a, 0,1), AE ? ( ,1, 0) 2 2 ???? ? ???? a AD1 ? B1 E ? ? ? 0 ? 1? 1 ? (?1) ? 1 ? 0 , 2
故 B1E ? AD1 即 B1E 与 AD1 所成角的余弦值为 0 . (2) 连接 A1 D, B1C ,由长方体 AA 1 ? AD ? 1 ,得 A 1 D ? AD 1 ,

a 2

? B1C / / A1D , ? AD1 ? B1C , 由 (1) 知 B1E ? AD1 , 故 AD1 ? 平
面 DCB1 A 1 . 所以 AD 1EA 1 的法向量,而 AD 1 是平面 B 1 ? (0,1,1) , 又 AB ? 2 , 设 平 面 B1 AE 的 法 向 量 为 n ? ( x, y, z) , 则 有

???? ?

???? ?

?

? ???? ? n ? AB1 ? 0 ? 2 x ? z ? 0 ? ? ? ? ? 2x ,取 x ? 1 ,可得 n ? (1, ?1, ?2) ? ? ??? ? ? ? ?y?0 ? n ? AE ? 0 ?2

???? ? ? ???? ? ? AD1 ? n 3 ? ? ?? 则 cos ? AD1 , n ?? ???? , 2 | AD1 || n |
所以二面角是 30 ? . (3) 假设在棱上存在一点 P(0, 0, t ) , 使得 DP / / 平面 B1 AE , 则

??? ? ? DP ? (0, ?1, t ) ,设 AB ? a ,平面 B1 AE 的法向量为 n ? ( x, y, z)
? ???? ? n ? AB1 ? 0 ? ax ? z ? 0 ? a ? ? ? x ? 1 n ? (1, ? , ?a) 则有 ? ? ??? , 取 , 可得 ? ax ? 2 ? ? ?y?0 ? n ? AE ? 0 ?2 ??? ? ? 要使 DP / / 平面 B1 AE ,只要 DP ? n ,
a 1 ? ? a t ? 0 ? t ? ,又 DP ? 平面 B1 AE , 2 2

? 存在点 P 使 DP / / 平面 B1 AE ,此时 AP ?

1 . 2

20、 (15 分) 解: (1) F (2, 0) , 则 c=2, 又

2 3 ? 2 ? 1, 得 a2 ? 8, b2 ? 4 2 a a ?4

x2 y 2 ? ?1 . ∴所求椭圆方程为 8 4
(2)M (

2 2 2 9 , 0) ,⊙M: ( x ? ) ? y2 ? 2 2 2



直线 l 斜率不存在时, x ? ? 2 , 直线 l 斜率存在时,设为 y ? 3 ? k ( x ? 2) ,

∴d ?

|

2 k ? 2k ? 3 | 6 3 2 ,解得 k ? ? ? 12 , 2 k2 ?1

∴直线 l 为 x ? ? 2 或 6x ? 12 y ? 10 3 ? 0 . (3)显然,两直线斜率存在, 设 AP: y ? kx ? 2 , 代 入 椭 圆 方 程 , 得 (1 ? 2k ) x ? 8kx ? 0 , 解 得 点
2 2

?8k 2 ? 4k 2 P( , ) 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ,
同理得 Q(

8k 2k 2 ? 4 , ) k2 ? 2 k2 ? 2 ,

2 ? 4k 2 k 2 ? 1 ?8k ? (x ? ) 直线 PQ: y ? 2 3k 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ,
令 x=0,得 y ? ?

2 2 ,∴直线 PQ 过定点 (0, ? ) . 3 3


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