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2002年上海市高中数学竞赛试题


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帝 

+ 

; 赛 窗} 竞之  
牛1 r r 1 r r 十  中1 竹 中 中竹 中 1

20 年上海市高中数学竞赛试题  02

[ 说明] 解答本试卷不得使用计算器 


二 _  

j ∈[4, 该函 值域 , 2]   , 则 数的  

填空题 ( 本题 1 小题, O 每小题 7 共  是 — — . 分,   7 分) O   9 如 图,   C 中, . zA xB  

. .

2  





2  

1 一个正三角形 A C内接于椭圆 + . B    


B= C 点 P Q分别在    , 、

1顶点A , 的坐标为(,)过顶点 A 02, 的高在y  

A 和A c B上, 使得A P=尸   Q


轴上, 则此正三角形的边长为— — .  
2 已知 , .  、 为正数, ? 且 
s  i2 n0
十 +

Q  =B , A C则  的大小 

是 

:  

,   积的最大值是— — .   二、本题 1分) ( 6  
.  



一  主 , 的值为 则羔 , 一3 +,) , ,   (   ,      — — ‘   3 袋里装有 3个球, . 5 每个球上都记有从 1  
: 
— —

已 知数列{ }{ } a ,b 都是等差数列, :     S  
a +o +… + , l 2     = b +b +… +6, l 2  且 

?  


2  

到3的 个 码, 号 为n 球 ( 5 5 一 号 设 码 的 重 等一 n  
+ 3 克, 2) 这些球以同等的机会( 不受其重量的  

影响) 从袋里取出. 若同时从袋内任意取出两  
球, 则它们重量相等的概率为— — ( 用分数  作答) .  
4 已知正四棱台的上底 、 . 下底及侧面(   四

对切 数,  . 一正 n :   整爱
() 1 求  的值;  
a2  8

() 2 求使  为整数的 所有正整数n .  
三、本题 1分) ( 6  

个等腰梯形) 的面积之比为2: : , 5 8则侧面与  
底面所成角的大小为— — .  

设F 是所有有序, l 元组(l 2…,  构 A, , A)   A ’  
.  

5 若对 I I 的一切 ,+1 t一 成的集合, .   ≤1 t >(     其中A( ≤i 1都是集合{,, ,1 ≤, ) 1  2 4 )  恒成立, t 则 的取值范围是— — .   3…, 0} , 2 2 的子集, I 表示集合 A 0 设 l A 的元素 
6 设实数 0 bcd . ,,, 满足a +b+c+         d


的数目, F中的所有元素(l 2…,,, 对 A , ,  。 求    )
I l  2       A … AU
( r^  一 )   ^ 2   ∈,

5贝( ,Ua—b + a— )+( —d  b   ) ( c     a )+( —

I 的总和,   即 I .  

c ) (  + b— d + ( ) c— d 的 最 大 值 是 )  

I l  2       A  A U U… 四、本题 1分) ( 8  

7 函数, . 定义在正整数集上, 且满足 1   )  


2 2 ( + .) …+ . )  () 0 和厂1 /2 + /n =n n 0 ) ( ( 2   - 厂
8 已 知 i 数  . g i
?

纸上写有 1 , / 1 , …, 这, 2 " 个正整数, 1 t 第 步  划去前面4 个数 :,,,, , 1234在 l 的后面写上划去 

( >1, ( 0) / )则f2 2 的值是— — 一 . " t 0  
)=   ( 一 1   +  

的4 个数的和 1; 步再划去前面的4 0第2 个数:  
5678在最后写上划去的4 ,,,, 个数的和2; 6如  c  

4 ? 8  

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此下去( 即每步划去前面4 个数, 在最后面写 卜 _  
划去的4个数的和) .  

三 、  1 , , 0 有 2o个子集 ,?I i    {, … 2 2 . 2 0 22 0 .  :
(2 “:2o ” 20 ) 0 2  o
. 

() 1若最后只剩下一个数, n应满足的 则  
充要条件是什么?   () n=2 2 到最后只剩 下一个数为 2取 0 , 0   止, 所有写出的数 ( 包括原来的 1 , 20 ) , …, 2 2 0  
的总和是多少?  

设a 1 , 22 是{, …, 0 中某个固定的元季 2 0  
为了在 A UA       2 U… U A 中不含有a则每     , 个 A ( ≤2≤ n 都不含有 a 因为÷,, :1 ) , 12  




20} 02 的不含 n的子集有 2 个,   故使 

4  2 l U A U … U { 不含有a l     ,   的有序n 元组  参考解答 
( l_ , A ) 2。) A ,2…,, 有( 。 ”:2o 个, 4 ,    2’ o  从而 



、 ;  3 ;a。 ; 1 2 或 ; 4rs 5 . .   。 . .c .   c寺  
(   j 、 , ’   ,    
,  

有 2o 一2 ” 22   个白序 n元组( 1   一  o” ., 4^ , A) ,, , 使得 a∈ . U 4 U - U 4 4  2 ?    l     ?

, )6 2,. 1 ._ , ,  一 I  m  8   .. 0  u u7 ’。 u  

于 ,计 数 ∑ 是当 算     I U      2  1 4   U
4- 一 1 ,   ∈  

: ,   

: .0; . I 2。1 1 9 0
.  

U _ 时, 4  I 元素 “ 被计算了(o”     2o 一20 ) 22 o
次.  

± 2=   ,  J
Ⅱf ,   2  
一   一

S,1 2一   
T,I — 2      

既然{,, 20 1 …, 2 2 2 2 0  有 0 个元素,   0 故

b , 一 6 + b  1 。   1   2  
一  ’

∑ 
f 1 ? -  ∈, { {   41  

I lU  U ?   ,I       4 4 2 -   -U 。 =

2±  
2   苎二



 

翌 ±  

bs 2  
Ⅱ2  8

20 (22 一2 0 . 022 o o ” 2 ) o  

  一 4’ 1 1 3 ( 1一1 12 l )+3 一 3l, l    


四、1每经一步, 卜 () 纸 的数减少3 若 n   个, 个数
经P 步只剩下 1、 则 n 3   数, 一 p:1即 n: 1 ,  
3 +1 D .  
? . .



 

: 二    



 

3? 8+ l — 3 ? 2 4 2+ l 一 7  

另解: S 。     都是 n的二次式  . .   按题 
设知 S =k (n+3) : (1   , n3 , 1,  n 3n+    



满足的充要条件是n 除以 3 1 余 .  

3, )于是当 n≥ 2 a =S 一S : 时,, 。 ,  l   。
(n+2) J = 。   。   (2   6 8 ,f   一 一 , 。 1= 6 n一 2) . = 3n  2 8 ,’ .   1
3 …


() 2 假定原先有 4 个数, ‘ 其和 5 当这 4   ,  个 数划完,  ’ , 需4 步 纸上剩下4一个数 ,     且这 

1 4
_

bl
? . 




4 个数的和等 f  ’   原来4 个数的和s故当   .   最后剩下 1 数时, 个 所写出的数的总和为(  
+1S  ).
2 0 = 12 + 9 8 = 4 02 04 7 5+ 9 8 7


。 4



=  

?  ,

前式对  : 1 也成立.b 一8 2




:  

.  

n2  8

/  

原来 

() . 3 + 1,) : 1 . ! : 2    n ( 43 , ? .    
a, I  

20 个数经 8 02 9 7



36 2 步后, 剩下4 个数,   被 

筹l 整 甘 1 数  4 4 为


:1 3  一

划去的数是 1 , 1 4注意 1 4:4   ,3 3 ( 2 …, o 3 0 × 36 , 2)而纸上剩下的4 个数的和就是 1 2     + + … + 02因此最后只剩下 1 20 . 个数时, 所写  出的数的总和为( + +… +1 4 + ( + 12 3 ) 6 1  0
2+3+… +20 )= 1807 . 02 2888 

1 为整数 甘(n+1) 7  — 4 3 4 I 6 4


46= 2 7  ×7× 1 , n + 1 7 3 4≥ 1 , 7  3 + 1 = 1 , 2 ,4 6 , 19  n 4 7 8 3 ,8 1,

。 .



( 李大元、 刘鸿坤 、 、 熊斌 叶声扬命题 , 李大 
元供稿)  

28 46 3 , 7 
? . 



为整数  . n=11, , 4 , 3 1. 8 5 5 

l  


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