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首届全国中学生数理化学科能力竞赛高一数学学科能力解题技能初赛试题


首届全国中学生数理化学科能力竞赛
高一数学学科能力解题技能初赛试题
试卷说明:1、本试卷共计 15 题,满分为 120 分 2、考试时间为 120 分钟

总分
本题得分 评卷人

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)
1.已知 A ? x ? N x ? 2 , B ? x x ? A , C

? x x ? B ,则集合 C 的元素 个数为( (A) 28 2.已知 A ? ) (B) 4 (C) 8 (D) 16

?

?

?

?

?

?

?x

f ( x) ? x 2 ? 1? , B ? ? f ( x) f ( x) ? x 2 ? 1? ,


C ? ? f [ f ( x)] f ( x) ? x 2 ? 1? ,则下列结论中不正确的是(
(A) A ? R (B) B ? [?1, ??) (C)C ? [0, ??) )

(D)C ? [?1, ??)

3.若 a ? b ? 0 ,则下列结论中正确的是(

?1? ?1? (A)? ? ? ? ? ?2? ?2?

a

b

(B)a

lg b

? blg a (C)alg b ? blg a
2

(D)a

lg b

? blg a

4.如果关于 x 的方程 4 ? a ? 2 ? a ? 3 ? 0 至少有一个实根,则实数 a 的取
x x

值范围是( (A) [?2, 2] 5.若 N ?

) (B) (? 3, 2] (C) ( 3, 2] (D) [? 3, 2]

5?2? 5 ?1
(B)2

5 ?2

,则 log 2 N ? ( (C) 1

)

(A)

1 2

(D)

1 4

第 1 页(共 4 页)

6.已知函数 f (x) 对于任意的 x、y ? R ,都有 f ( x) f ( y) ? f ( xy) ? 3x ? 3 y ? 6 ,则 f (2008) ? ( ) (A)2008

(B)2009 (C)2010

(D)2011

本题得分

评卷人

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)
7.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 3) ? 0 ,则 f (2008) ? 8.已知 a, b 均为质数,且满足 a ? b ? 13 ,则 a ? b ?
2 a b 2
2 2



. .

9.已知函数 y ? x lg( x ? 4 ? 4 ? x ? a) 是奇函数,但不是偶函数,则 a?

10.函数 f ( x) 在 R 是减函数,且不等式 f (a ? 2b) ? f (2a ? b) ? f (a) ? f (b) 恒成立,则 a 与

?b 的大小关系是



11.已知函数 f ( x) 同时满足以下三个条件: (1)存在反函数 f
?1

( x) ;

(2)点 (1,1005) 在函数 f ( x) 的图象上; (3)函数 f ( x ? 1) 的反函数为 f 则 f (1004) ?
?1

( x ? 1) .


12.高斯记号 ?x ? 表示不超过 实数 x 的最大整数,如 ? ?1.23? ? ?2 , ?1.23? ? 1 , 则方程 [log 2 (lg x)] ? 0 的解集为 .

第 2 页(共 4 页)

三、解答题
13. (本小题满分 20 分) 设y?

本题得分

评卷人

f ( x) 在R ? 单调递减,证明:对任意的 x1 , x2 ? R ? , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) . x

14. (本小题满分 20 分) 定义在 (??, ??) 上的减函数 f ( x) 也是奇函数,且对满足 t ? s ? 1 的一切 t , s ,不等式
2 2

f [(m ? 2)t ? 2(2s 2 ? 1)] ? f [t (1 ? 2s 2 ) ? t 2 ? 2m] ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

第 3 页(共 4 页)

15. (本小题满分 20 分) 据统计,某个商场开业后的第 1、2、3 个月销售某种商品的数量依次 为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件.据预测,开业后 3 年内的第 x 个月的销售 量 y 万件近似地符合函数关系 f ( x) ? a ? x 2 ? b ? x ? c 或 g ( x) ? p ? q x ? r , 其中 apq ? 0 .统计开业后第 4 个月的销售量为 1.328 万件,问开业后 3 年内应选择哪种函数?为什么?并预计第 5 个月的销售量.

第 4 页(共 4 页)


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