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2016年重庆市高考数学三模试卷(理科)(解析版)


2016 年重庆市高考数学三模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U=R,集合 M={x|y= ( ) },N={y|y=3﹣2x},则图中阴影部分表示的集合是

A.{x| <x≤3} B.{x| <x<3} C.{x| ≤x<2} D.

{x| <x<2} 2.已知复数 z=1+ ,则 1+z+z2+…+z2016 为( )

A.1+i B.1﹣i C.i D.1 3. (1﹣3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=( A.1024 B.243 C.32 D.24 4.若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是( )



A.43 B.44 C.45 D.46 5.给出下列四个结论: ①“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题是真命题; ②若 x,y∈R,则“x≥2 或 y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件; ③函数 y=loga(x+1)+1(a>0 且 a≠0)的图象必过点(0,1) ; ④已知 ξ 服从正态分布 N(0,?2) ,且 P(﹣2≤ξ≤0)=0.4,则 P(ξ>2)=0.2. 其中正确的结论是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 6.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为
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1 的半圆,则其侧视图的面积是(



A.

B.

C.1

D.

7.已知实数 x,y 满足:

,z=|2x﹣2y﹣1|,则 z 的取值范围是(



A.[ ,5] B.[0,5]

C.[0,5) D.[ ,5)

8.某中学学生社团活动迅猛发展,高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科技 社”、“十年国学社”、“围棋苑”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加,每名同学至少 参加一个社团且只能参加一个社团,且同学甲不参加“围棋苑”,则不同的参加方法的种数为 ( ) A.72 B.108 C.180 D.216 9. 若 sin2α= A. B. sin = , (β﹣α) C. 或 , 且 α ∈[ D. 或 π], β∈[π, , ], 则 α+β 的值是 ( )

10.设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M,N,则当|MN|达到最 小时 t 的值为( ) A.1 B. C. D.

11.已知双曲线

的左右焦点分别为 F1,F2,点 O 为坐标原点,

点 P 在双曲线右支上,△PF1F2 内切圆的圆心为 Q,圆 Q 与 x 轴相切于点 A,过 F2 作直线 PQ 的垂线,垂足为 B,则|OA|与|OB|的长度依次为( ) A.a,a B.a, C. D.

12.设 D 是函数 y=f(x)定义域内的一个区间,若存在 x0∈D,使 f(x0)=﹣x0,则称 x0 是 f(x)的一个“次不动点”,也称 f(x)在区间 D 上存在次不动点.若函数 f(x)=ax2﹣ 3x﹣a+ 在区间[1,4]上存在次不动点,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,0) B. (0, ) C.[ ,+∞) D. (﹣∞, ] )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题线上.
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13.已知向量



,|

|=3,则

?

=

. , 则 = .

14. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若

15.从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得 =80, yi=20, xiyi=184, =720.家

庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程为 y=bx+a, 若该居民区某家庭的月储蓄为 2 千元, 预测该家庭的月收入为 千元.

(附:线性回归方程 y=bx+a 中,b=

,a= ﹣b )

16.已知 P 点为圆 O1 与圆 O2 公共点,圆 O1: (x﹣a)2+(y﹣b)2=b2+1,圆 O2: (x﹣c)
2

+(y﹣d)2=d2+1,若 ac=8,

= ,则点 P 与直线 l:3x﹣4y﹣25=0 上任意一点 M 之间 .

的距离的最小值为

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 = ,A+3C=B,

(1)求 cosC 的值; (2)若 b=3 ,求△ABC 的面积. 18.市积极倡导学生参与绿色环保活动,其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动 小组对 2014 年 1 月﹣2014 年 12 月(一月)内空气质量指数 API 进行监测,如表是在这一 年随机抽取的 100 天的统计结果: 指数 [0, (50, (100, (150, (200, (250, >300 50 100 150 200 250 300] API ] ] ] ] ] 空气质 中重度污 重度污 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 量 染 染 4 13 18 30 9 11 15 天数 (Ⅰ)若市某企业每天由空气污染造成的经济损失 P(单位:元)与空气质量指数 API(记

为 t)的关系为:

,在这一年内随机抽取一天,估计该天经

济损失 P∈若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季节,其中有 8 天为重度污染,完成 2 ×2 列联表,并判断是否有 95%的把握认为 A 市本年度空气重度污染与供暖有关? 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 100 合计
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下面临界值表功参考. P(K2≥k) 0.15 0.10 k 2.072 2.706 参考公式:

0.05 3.841

0.010 6.635 .

0.005 7.879

0.001 10.828

19.在四棱锥 P﹣ABCD 中,AD⊥平面 PDC,PD⊥DC,底面 ABCD 是梯形,AB∥DC, AB=AD=PD=1,CD=2 (1)求证:平面 PBC⊥平面 PBD; =λ ,试确定 λ 的值使得二面角 Q﹣BD﹣P 为 60°. (2)设 Q 为棱 PC 上一点,

20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率 e= ,直线

l:x﹣my﹣1=0(m∈R)过椭圆 C 的右焦点 F,且交椭圆 C 于 A,B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过点 A 作垂直于 y 轴的直线 l1,设直线 l1 与定直线 l2:x=4 交于点 P,试探索当 m 变 化时,直线 BP 是否过定点? 21.已知函数 f(x)=ex,g(x)=mx+n. (1)设 h(x)=f(x)﹣g(x) . ①若函数 h(x)在 x=0 处的切线过点(1,0) ,求 m+n 的值; ②当 n=0 时,若函数 h(x)在(﹣1,+∞)上没有零点,求 m 的取值范围; (2)设函数 r(x)= + ,且 n=4m(m>0) ,求证:当 x≥0 时,r(x)≥1.

[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 为⊙O 上的点,CA 是∠BAF 的角平分线,过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于 D 点,CM⊥AB,垂足为点 M. (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)求证:AM?MB=DF?DA.

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[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .在极坐标系(与

直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C 的方程为 ρsin2θ=4cosθ. (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(1,1) ,求|PA|+|PB|的值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣4|+|x+5|. (Ⅰ)试求使等式 f(x)=|2x+1|成立的 x 的取值范围; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)<a 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围.

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2016 年重庆市高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U=R,集合 M={x|y= ( ) },N={y|y=3﹣2x},则图中阴影部分表示的集合是

A.{x| <x≤3} B.{x| <x<3} C.{x| ≤x<2} D.{x| <x<2} 【考点】Venn 图表达集合的关系及运算. 【分析】首先化简集合 A 和 B,然后根据 Venn 图求出结果. 【解答】解:∵M={x|y= }={x|x≤ }

N={y|y=3﹣2x}={y|y<3} 图中的阴影部分表示集合 N 去掉集合 M ∴图中阴影部分表示的集合{x| <x<3} 故选:B. ,则 1+z+z2+…+z2016 为(

2.已知复数 z=1+



A.1+i B.1﹣i C.i D.1 【考点】复数代数形式的混合运算. 【分析】化简复数,然后利用复数单位的幂运算求解即可. 【解答】解:复数 z=1+ =1+ =i.

1+z+z2+…+z2016=1+i+i2+…+i2016=1. 故选:D. 3. (1﹣3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=( A.1024 B.243 C.32 D.24 )

【考点】二项式系数的性质. 5 【分析】由于|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于(1+3x) 的各项系数和,故在 (1+3x) 5 的展开式中,令 x=1,即可求得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值. 【解答】解:由题意(1﹣3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 可得, |a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|正好等于(1+3x)5 的各项系数和,
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故在(1+3x)5 的展开式中,令 x=1 可得|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=45=1024, 故选:A. 4.若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是( )

A.43

B.44

C.45

D.46

【考点】程序框图. p=p+2n 【分析】 框图首先给循环变量 n 赋值 1, 给累加变量 p 赋值 1, 然后执行运算 n=n+1, ﹣1,然后判断 p>2016 是否成立,不成立循环执行 n=n+1,p=p+2n﹣1,成立时算法结束, 输出 n 的值.且由框图可知,程序执行的是求等差数列的前 n 项和问题.当前 n 项和大于 2016 时,输出 n 的值. 【解答】解:框图首先给循环变量 n 赋值 1,给累加变量 p 赋值 1, 执行 n=1+1=2,p=1+(2×2﹣1)=1+3=4; 判断 4>2016 不成立, 执行 n=2+1=3,p=1+3+(2×3﹣1)=1+3+5=9; 判断 9>2016 不成立, 执行 n=3+1=4,p=1+3+5+(2×4﹣1)=1+3+5+7=16; … 由上可知,程序运行的是求首项为 1,公差为 2 的等差数列的前 n 项和, 由 p= 故选:C. 5.给出下列四个结论: ①“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题是真命题; ②若 x,y∈R,则“x≥2 或 y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件; ③函数 y=loga(x+1)+1(a>0 且 a≠0)的图象必过点(0,1) ; ④已知 ξ 服从正态分布 N(0,?2) ,且 P(﹣2≤ξ≤0)=0.4,则 P(ξ>2)=0.2. 其中正确的结论是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 【考点】命题的真假判断与应用.
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>2016,且 n∈N*,得 n=45.

【分析】逐一分析四个结论的真假,综合讨论结果,可得答案. 【解答】解:①“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题是“若 a<b,则 am2<bm2”,当 m=0 时不 成立,故为假命题,故错误; ②若 x,y∈R,当“x≥2 或 y≥2”时,“x2+y2≥4”成立,当“x2+y2≥4”时,“x≥2 或 y≥2”不 一定成立,故“x≥2 或 y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件,故正确; ③当 x=0 时,y=loga(x+1)+1=1 恒成立,故函数 y=loga(x+1)+1(a>0 且 a≠0)的图象 必过点(0,1) ,故正确; ④已知 ξ 服从正态分布 N(0,?2) ,且 P(﹣2≤ξ≤0)=0.4,则 P(ξ>2)=0.1,故错误; 故选:C 6.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则其侧视图的面积是( )

A.

B.

C.1

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】 由三视图知几何体的直观图是半个圆锥, 再根据其中正视图是腰长为 2 的等腰三角 形,我们易得圆锥的底面直径为 2,母线为为 2,故圆锥的底面半径为 1,高为 ,进而可 得其侧视图的面积. 【解答】解:由三视图知几何体的直观图是半个圆锥, 又∵正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆, ∴半圆锥的底面半径为 1,高为 , 即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为 1 和 的直角三角形, 故侧视图的面积是 故选:B. ,

7.已知实数 x,y 满足:

,z=|2x﹣2y﹣1|,则 z 的取值范围是(



A.[ ,5] B.[0,5]

C.[0,5) D.[ ,5)

【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域如图,令 u=2x﹣2y﹣1,由线性规划知识求出 u 的最值,取 绝对值求得 z=|u|的取值范围.

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【解答】解:由约束条件

作可行域如图,

联立 ∴A(2,﹣1) ,

,解得



联立

,解得







令 u=2x﹣2y﹣1, 则 由图可知,当 , 经过点 A(2,﹣1)时,直线 在 y 轴上的截距最

小, u 最大,最大值为 u=2×2﹣2×(﹣1)﹣1=5; 当 经过点 时,直线 . 在 y 轴上的截距最大,

u 最小,最小值为 u= ∴ ,

∴z=|u|∈[0,5) . 故选:C. 8.某中学学生社团活动迅猛发展,高一新生中的五名同学打算参加“清净了文学社”、“科技 社”、“十年国学社”、“围棋苑”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加,每名同学至少 参加一个社团且只能参加一个社团,且同学甲不参加“围棋苑”,则不同的参加方法的种数为 ( ) A.72 B.108 C.180 D.216
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【考点】计数原理的应用. 【分析】根据题意,分析可得,必有 2 人参加同一个社团,分 2 步讨论,首先分析甲,因为 甲不参加“围棋苑”,则其有 3 种情况,再分析其他 4 人,此时分甲单独参加一个社团与甲与 另外 1 人参加同一个社团,2 种情况讨论,由加法原理,可得第二步的情况数目,进而由乘 法原理,计算可得答案. 【解答】解:根据题意,分析可得,必有 2 人参加同一个社团, 首先分析甲,甲不参加“围棋苑”,则其有 3 种情况, 再分析其他 4 人,若甲与另外 1 人参加同一个社团,则有 A44=24 种情况, 若甲是 1 个人参加一个社团,则有 C42?A33=36 种情况, 则除甲外的 4 人有 24+36=60 种情况; 故不同的参加方法的种数为 3×60=180 种; 故选 C.

9. 若 sin2α= A. B.

sin = , (β﹣α) C. 或

, 且 α ∈[ D. 或

π], β∈[π, ,

], 则 α+β 的值是 (



【考点】两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦. 【分析】依题意,可求得 α∈[ , ],2α∈[ ,π],进一步可知 β﹣α∈[ ,π],

于是可求得 cos(β﹣α)与 cos2α 的值,再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得 答案. 【解答】解:∵α∈[ ∴2α∈[ 又 sin2α= ∴2α∈[ ,2π], >0, ,π],cos2α=﹣ ,β﹣α∈[ ,π], =﹣ , × (﹣ ) =﹣ ; ,π],β∈[π, ],

又 sin(β﹣α)= ∴cos(β﹣α)=﹣

=cos[2α+ =﹣ ∴cos (α+β) (β﹣α) ]=cos2αcos (β﹣α) ﹣sin2αsin (β﹣α) ﹣ × , = . ],β∈[π, ,2π], ],

又 α∈[

∴(α+β)∈[ ∴α+β= ,

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故选:A. 10.设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M,N,则当|MN|达到最 小时 t 的值为( ) A.1 B. C. D.

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】将两个函数作差,得到函数 y=f(x)﹣g(x) ,再求此函数的最小值对应的自变量 x 的值. 【解答】解:设函数 y=f(x)﹣g(x)=x2﹣lnx,求导数得 =

当 当 所以当 所求 t 的值为 故选 D

时,y′<0,函数在 时,y′>0,函数在 时,所设函数的最小值为

上为单调减函数, 上为单调增函数

11.已知双曲线

的左右焦点分别为 F1,F2,点 O 为坐标原点,

点 P 在双曲线右支上,△PF1F2 内切圆的圆心为 Q,圆 Q 与 x 轴相切于点 A,过 F2 作直线 PQ 的垂线,垂足为 B,则|OA|与|OB|的长度依次为( ) A.a,a B.a, C. D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】利用切线长定理,结合双曲线的定义,把|PF1|﹣|PF2|=2a,转化为|AF1|﹣ |AF2|=2a, 从而求得点 A 的横坐标. 再在三角形 PCF2 中, 由题意得, 它是一个等腰三角形, 从而在△F1CF2 中,利用中位线定理得出 OB,从而解决问题. 【解答】解:根据题意得 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , 设△PF1F2 的内切圆分别与 PF1,PF2 切于点 A1,B1,与 F1F2 切于点 A, 则|PA1|=|PB1|,|F1A1|=|F1A|, |F2B1|=|F2A|, 又点 P 在双曲线右支上, ∴|PF1|﹣|PF2|=2a, ∴|F1A|﹣|F2A|=2a, 而|F1A|+|F2A|=2c, 设 A 点坐标为(x,0) , 则由|F1A|﹣|F2A|=2a,
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得(x+c)﹣(c﹣x)=2a, 解得 x=a, ∵|OA|=a,∴在△F1CF2 中, OB= CF1= (PF1﹣PC) = (PF1﹣PF2)= =a,

∴|OA|与|OB|的长度依次为 a,a. 故选:A.

12.设 D 是函数 y=f(x)定义域内的一个区间,若存在 x0∈D,使 f(x0)=﹣x0,则称 x0 是 f(x)的一个“次不动点”,也称 f(x)在区间 D 上存在次不动点.若函数 f(x)=ax2﹣ 3x﹣a+ 在区间[1,4]上存在次不动点,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,0) B. (0, ) C.[ ,+∞) D. (﹣∞, ] )

【考点】二次函数的性质. 【分析】根据“f(x)在区间 D 上有次不动点”当且仅当“F(x)=f(x)+x 在区间 D 上有零 点”,依题意,存在 x∈[1,4],使 F(x)=f(x)+x=ax2﹣2x﹣a+ =0,讨论将 a 分离出来, 利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出 a 的范围. 【解答】解:依题意,存在 x∈[1,4], 使 F(x)=f(x)+x=ax2﹣2x﹣a+ =0, 当 x=1 时,使 F(1)= ≠0;

当 x≠1 时,解得 a=


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∴a′=

=0,

得 x=2 或 x= , ( <1,舍去) , x a′ a (1,2) + ↗ 2 0 最大值 (2,4) ﹣ ↘ = ,

∴当 x=2 时,a 最大=

所以常数 a 的取值范围是(﹣∞, ], 故选:D. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题线上. 13.已知向量 ⊥ ,| |=3,则 ? = 9 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案. 【解答】解:由 ∵| ∴ 故答案为:9. |=3, . ⊥ ,得 ? =0,即 ?( )=0,

14.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 【考点】等差数列的性质;定积分的简单应用. 【分析】先利用定积分求得

,则

=

9 .

,再根据等差数列的等差中项的性质可知

S9=9a5,S5=5a3,根据 a5=5a3,进而可得则 【解答】解:∵

的值.

=(x2+ x)|02=5,

∵{an}为等差数列, S9=a1+a2+…+a9=9a5,S5=a1+a2+…+a5=5a3, ∴ 故答案为 9.

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15.从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得 =80, yi=20, xiyi=184, =720.家

庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程为 y=bx+a, 若该居民区某家庭的月储蓄为 2 千元, 预测该家庭的月收入为 8 千元.

(附:线性回归方程 y=bx+a 中,b=

,a= ﹣b )

【考点】线性回归方程. 【分析】利用已知条件求出,样本中心坐标,利用参考公式求出 b,a,然后求出线性回归 方程 y=bx+a,通过 x=2,利用回归直线方程,推测该家庭的月储蓄. 【解答】解: (1)由题意知,n=10, = =8, = yi=2,

b=

=

=0.3,

a= ﹣b =2﹣0.3×8=﹣0.4, ∴线性回归方程为 y=0.3x﹣0.4, 当 y=2 时,x=8, 故答案为:8. 16.已知 P 点为圆 O1 与圆 O2 公共点,圆 O1: (x﹣a)2+(y﹣b)2=b2+1,圆 O2: (x﹣c)
2

+(y﹣d)2=d2+1,若 ac=8,

= ,则点 P 与直线 l:3x﹣4y﹣25=0 上任意一点 M 之间

的距离的最小值为 2 . 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】把两个圆的方程相减与圆 O1 联立可得 x2+y2=9,令 4y﹣3x=t,则 y= ,代入

可得 25x2+6tx+t2﹣144=0,由△≥0,可得﹣15≤t≤15,再利用 P 到直线 l 的距离为 = 【解答】解:∵ac=8, O 三点共线, 不妨设 = =k,则 c= ,b=ka,d=kc= . ,即可求出点 P 与直线 l 上任意一点 M 之间的距离的最小值. = ,∴ = ,故两圆的圆心 O1(a,b) 、圆心 O2(c,d) 、原点

把圆 O1: (x﹣a)2+(y﹣b)2=b2+1,圆 O2: (x﹣c)2+(y﹣d)2=d2+1 相减, 可得公共弦的方程为 (2c﹣2a)x+(2d﹣2b)y=c2﹣a2,
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即( a) ,

﹣2a)x+(

﹣2?ka)y=

﹣a2,即 2( ﹣a)x+2k( ﹣a)y=( +a) ( ﹣

当 a≠±2

时, ﹣a≠0,公共弦的方程为:2x+2ky= +a,即:2ax+2kay=a2+8,

即:2ax+2by=a2+8. O1: (x﹣a)2+(y﹣b)2=b2+1,即 x2+y2=2ax+2by﹣a2+1, 再把公共弦的方程代入圆 O1 的方程可得 x2+y2=9 ①. 令 4y﹣3x=t,代入①可得 25x2+6tx+t2﹣144=0. 再根据此方程的判别式△=36t2﹣100( t2﹣144)≥0,求得﹣15≤t≤15. 点 P 到直线 l:3x﹣4y﹣25=0 的距离为 = = ,

故当 4y﹣3x=t=﹣15 时,点 P 到直线 l:3x﹣4y﹣25=0 的距离取得最小值为 2. 当 a=±2 时,由条件可得 a=c,b=d,此时,两圆重合,不合题意. 故答案为:2. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 = (1)求 cosC 的值; (2)若 b=3 ,求△ABC 的面积. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (1)把 A+3C=B 代入 A+B+C=π 得 B= +C,可得 sinB=cosC>0,由条件和正弦 ,A+3C=B,

定理化简后,利用平方关系求出 cosC 的值; (2)由条件求出边 c 的值,由(1)和平方关系求出 cosB 和 sinC 的值,利用两角和的正弦 公式求出 sinA 的值,代入三角形的面积公式求解即可. 【解答】解: (1)由题意得 A+3C=B,则 A=B﹣3C, 代入 A+B+C=π 得,B= ∵ +C,所以 sinB=cosC>0, ,则 ,①

,∴由正弦定理得,

又 sin2C+cos2C=1,② 由①②得,cos2C= ,则 cosC= (2)∵ ,b=3 ,∴c= , ,且 B= =﹣ +C , , ;

由(1)知 sinB=cosC= ∴cosB=﹣

,同理可得 sinC=

则 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC = × +(﹣ )× =
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∴△ABC 的面积 S=

=

=



18.市积极倡导学生参与绿色环保活动,其中代号为“环保卫士﹣﹣12369”的绿色环保活动 小组对 2014 年 1 月﹣2014 年 12 月(一月)内空气质量指数 API 进行监测,如表是在这一 年随机抽取的 100 天的统计结果: 指数 [0, (50, (100, (150, (200, (250, >300 50] 100] 150] 200] 250] 300] API 空气质 中重度污 重度污 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 量 染 染 4 13 18 30 9 11 15 天数 (Ⅰ)若市某企业每天由空气污染造成的经济损失 P(单位:元)与空气质量指数 API(记

为 t)的关系为:

,在这一年内随机抽取一天,估计该天经

济损失 P∈若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季节,其中有 8 天为重度污染,完成 2 ×2 列联表,并判断是否有 95%的把握认为 A 市本年度空气重度污染与供暖有关? 非重度污染 重度污染 合计 22 8 30 供暖季 63 7 70 非供暖季 85 15 100 合计 下面临界值表功参考. P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式: .

【考点】独立性检验. 【分析】 (Ⅰ)由 200<4t﹣400≤600,得 150<t≤250,频数为 39,即可求出概率; (Ⅱ)根据所给的数据,列出列联表,根据所给的观测值的公式,代入数据做出观测值,同 临界值进行比较,即可得出结论. 【解答】解: (Ⅰ)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失 P∈= (Ⅱ)根据以上数据得到如表: 非重度污染 重度污染 22 8 供暖季 7 非供暖季 63 85 15 合计 …. K2 的观测值 K2= ….

合计 30 70 100

≈4.575>3.841…

所以有 95%的把握认为 A 市本年度空气重度污染与供暖有关.…
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19.在四棱锥 P﹣ABCD 中,AD⊥平面 PDC,PD⊥DC,底面 ABCD 是梯形,AB∥DC, AB=AD=PD=1,CD=2 (1)求证:平面 PBC⊥平面 PBD; =λ ,试确定 λ 的值使得二面角 Q﹣BD﹣P 为 60°. (2)设 Q 为棱 PC 上一点,

【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (1)在梯形 ABCD 中,过点作 B 作 BH⊥CD 于 H,通过面面垂直的判定定理即得 结论; (2)过点 Q 作 QM∥BC 交 PB 于点 M,过点 M 作 MN⊥BD 于点 N,连 QN.则∠QNM 是二面角 Q﹣BD﹣P 的平面角,在 Rt 三角形 MNQ 中利用 tan∠MNQ= 计算即可.

【解答】 (1)证明:∵AD⊥平面 PDC,PD? 平面 PCD,DC? 平面 PDC,图 1 所示. ∴AD⊥PD,AD⊥DC, 在梯形 ABCD 中,过点作 B 作 BH⊥CD 于 H, 在△BCH 中,BH=CH=1,∴∠BCH=45°, 又在△DAB 中,AD=AB=1,∴∠ADB=45°, ∴∠BDC=45°,∴∠DBC=90°,∴BC⊥BD. ∵PD⊥AD,PD⊥DC,AD∩DC=D. AD? 平面 ABCD,DC? 平面 ABCD, ∴PD⊥平面 ABCD, ∵BC? 平面 ABCD,∴PD⊥BC, ∵BD∩PD=D,BD? 平面 PBD,PD? 平面 PBD. ∴BC⊥平面 PBD, ∵BC? 平面 PBC,∴平面 PBC⊥平面 PBD; (2)解:过点 Q 作 QM∥BC 交 PB 于点 M,过点 M 作 MN⊥BD 于点 N,连 QN. 由(1)可知 BC⊥平面 PDB,∴QM⊥平面 PDB,∴QM⊥BD, ∵QM∩MN=M,∴BD⊥平面 MNQ,∴BD⊥QN,图 2 所示. ∴∠QNM 是二面角 Q﹣BD﹣P 的平面角,∴∠QNM=60°, ∵ ,∴ , ,∴QM=λBC, ,∴ , ,

∵QM∥BC,∴ 由(1)知

又∵PD=1,MN∥PD,∴

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∴MN= ∵tan∠MNQ= ∴ .

= ,∴

=1﹣λ, ,

20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率 e= ,直线

l:x﹣my﹣1=0(m∈R)过椭圆 C 的右焦点 F,且交椭圆 C 于 A,B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过点 A 作垂直于 y 轴的直线 l1,设直线 l1 与定直线 l2:x=4 交于点 P,试探索当 m 变 化时,直线 BP 是否过定点? 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)由椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率 e= ,直线 l:x﹣my﹣1=0(m

∈R)过椭圆 C 的右焦点 F,列出方程组,求出 a,b,由此能求出椭圆 C 的标准方程. (Ⅱ)令 m=0,则 A(1, ) ,B(1,﹣ )或 A(1,﹣ ) ,B(1, ) ,从而得到满足 题意的定点只能是( ,0) ,设为 D 点,再证明 P、B、D 三点共线.由此得到 BP 恒过定 点( ,0) .

【解答】解: (Ⅰ)∵椭圆 C: (m∈R)过椭圆 C 的右焦点 F, ∴由题设,得 ,

+

=1(a>b>0)的离心率 e= ,直线 l:x﹣my﹣1=0

解得 a=2,c=1,∴b2=a2﹣c2=3, ∴椭圆 C 的标准方程为 =1.

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(Ⅱ)令 m=0,则 A(1, ) ,B(1,﹣ )或 A(1,﹣ ) ,B(1, ) , 当 A(1, ) ,B(1,﹣ )时,P(4, ) ,直线 BP:y=x﹣ , 当 A(1,﹣ ) ,B(1, )时,P(4,﹣ ) ,直线 BP:y=﹣x+ , ∴满足题意的定点只能是( ,0) ,设为 D 点,下面证明 P、B、D 三点共线. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , PA y P ∵ 垂直于 轴,∴点 的纵坐标为 y1,从而只要证明 P(4,y1)在直线 BD 上, 由 ,得(4+3m2)y2+6my﹣9=0,

∵△=144(1+m2)>0,∴



,①

∵kDB﹣kDP=



=



=

=



①式代入上式,得 kDB﹣kDP=0,∴kDB=kDP, ∴点 P(4,y1)恒在直线 BD 上,从而 P、B、D 三点共线,即 BP 恒过定点( ,0) . 21.已知函数 f(x)=ex,g(x)=mx+n. (1)设 h(x)=f(x)﹣g(x) . ①若函数 h(x)在 x=0 处的切线过点(1,0) ,求 m+n 的值; ②当 n=0 时,若函数 h(x)在(﹣1,+∞)上没有零点,求 m 的取值范围; (2)设函数 r(x)= + ,且 n=4m(m>0) ,求证:当 x≥0 时,r(x)≥1.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)求出函数的导数,利用导数的几何意义即可得到结论. (2)求出 r(x)的表达式,求函数的导数,利用导数研究函数的单调性即可. 【解答】解: (1)①h(x)=f(x)﹣g(x)=ex﹣mx﹣n. 则 h(0)=1﹣n,函数的导数 f′(x)=ex﹣m, 则 f′(0)=1﹣m,则函数在 x=0 处的切线方程为 y﹣(1﹣n)=(1﹣m)x, ∵切线过点(1,0) ,∴﹣(1﹣n)=1﹣m,即 m+n=2. ②当 n=0 时,h(x)=f(x)﹣g(x)=ex﹣mx. 若函数 h(x)在(﹣1,+∞)上没有零点,
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即 ex﹣mx=0 在(﹣1,+∞)上无解, 若 x=0,则方程无解,满足条件, 若 x≠0,则方程等价为 m= 设 g(x)= , ,

则函数的导数 g′(x)=



若﹣1<x<0,则 g′(x)<0,此时函数单调递减,则 g(x)<g(﹣1)=﹣e﹣1, 若 x>0,由 g′(x)>0 得 x>1, 由 g′(x)<0,得 0<x<1,即当 x=1 时,函数取得极小值,同时也是最小值,此时 g(x) ≥g(1)=e, 综上 g(x)≥e 或 g(x)<﹣e﹣1, 若方程 m= 无解,则﹣e﹣1≤m<e.

(2)∵n=4m(m>0) , ∴函数 r(x)= + = + = + ,

则函数的导数 r′(x)=﹣

+

=



设 h(x)=16ex﹣(x+4)2, 则 h′(x)=16ex﹣2(x+4)=16ex﹣2x﹣8, [h′(x)]′=16ex﹣2, 当 x≥0 时,[h′(x)]′=16ex﹣2>0,则 h′(x)为增函数,即 h′(x)>h′(0)=16﹣8=8> 0, 即 h(x)为增函数,∴h(x)≥h(0)=16﹣16=0, 即 r′(x)≥0,即函数 r(x)在[0,+∞)上单调递增, 故 r(x)≥r(0)= ,

故当 x≥0 时,r(x)≥1 成立.

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[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 为⊙O 上的点,CA 是∠BAF 的角平分线,过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于 D 点,CM⊥AB,垂足为点 M. (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)求证:AM?MB=DF?DA.

【考点】与圆有关的比例线段;圆的切线的判定定理的证明;圆的切线的性质定理的证明. 【分析】 (1)证明 DC 是⊙O 的切线,就是要证明 CD⊥OC,根据 CD⊥AF,我们只要证明 OC∥AD; (2) 首先, 我们可以利用射影定理得到 CM2=AM?MB, 再利用切割线定理得到 DC2=DF?DA, 根据证明的结论,只要证明 DC=CM. 【解答】证明: (1)连接 OC,∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA, ∵CA 是∠BAF 的角平分线, ∴∠OAC=∠FAC ∴∠FAC=∠OCA, ∴OC∥AD.… ∵CD⊥AF, ∴CD⊥OC,即 DC 是⊙O 的切线.… (2)连接 BC,在 Rt△ACB 中,CM⊥AB,∴CM2=AM?MB. 又∵DC 是⊙O 的切线,∴DC2=DF?DA. ∵∠MAC=∠DAC,∠D=∠AMC,AC=AC ∴△AMC≌△ADC,∴DC=CM, ∴AM?MB=DF?DA…

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .在极坐标系(与

直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C 的方程为 ρsin2θ=4cosθ. (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程;
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(Ⅱ)设曲线 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(1,1) ,求|PA|+|PB|的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)曲线 C 的方程为 ρsin2θ=4cosθ,即 ρ2sin2θ=4ρcosθ.把 代入上

述方程即可化为直角坐标方程. (Ⅱ)直线 l 经过点 P(1,1) (t=0 时) ,把直线 l 的参数方程代入抛物线方程可得:t2+6 t﹣6=0,利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|= 即可得出.

【解答】解: (Ⅰ)曲线 C 的方程为 ρsin2θ=4cosθ,即 ρ2sin2θ=4ρcosθ.化为直角坐标方程: y2=4x. (Ⅱ)直线 l 经过点 P(1,1) (t=0 时) , (t 为参数) ,代入抛物线方程可得:t2+6

把直线 l 的参数方程

t﹣6=0,

∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=

=4



[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣4|+|x+5|. (Ⅰ)试求使等式 f(x)=|2x+1|成立的 x 的取值范围; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)<a 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (Ⅰ)f(x)=|x﹣4|+|x+5|和 f(x)=|2x+1|,根据绝对值不等式,对|x﹣4|+|x+5| 放缩,注意等号成立的条件, (Ⅱ)把关于 x 的不等式 f(x)<a 的解集不是空集,转化为关于 x 的不等式 f(x)<a 的 解集非空,求函数 f(x)的最小值. 【解答】解: (Ⅰ)因为 f(x)=|x﹣4|+|x+5|≥|(x﹣4)+(x+5)|=|2x+1|, 当且仅当(x﹣4) (x+5)≥0,即 x≤﹣5 或 x≥4 时取等号. f x = 2x 所以若 ( ) | +1|成立,则 x 的取值范围是(﹣∞,﹣5]∪[4,+∞) . (Ⅱ)因为 f(x)=|x﹣4|+|x+5|≥|(x﹣4)﹣(x+5)|=9, 所以若关于 x 的不等式 f(x)<a 的解集非空,则 a>f(x)min=9, 即 a 的取值范围是(9,+∞) .

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2016 年 7 月 29 日

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