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2009-2016年北京高考数学理科圆锥曲线试题汇编


13. (2016 北京理)双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA, a 2 b2

OC 所在的直线, 点 B 为该双曲线的焦点. 若正方形 OABC 的边长为 2, 则 a= . 【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边,得到双曲线的渐近线互相垂直,即双曲线是 等轴双曲线,结合等轴双曲线的性质进行求解即可. 【解答】解:∵双曲线的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所在的直线, ∴渐近线互相垂直,则双曲线为等轴双曲线,即渐近线方程为 y=±x, 即 a=b, ∵正方形 OABC 的边长为 2, ∴OB=2 ,即 c=2 , 2 2 2 则 a +b =c =8, 2 即 2a =8, 2 则 a =4,a=2, 故答案为:2

【点评】 本题主要考查双曲线的性质的应用, 根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴 双曲线是解决本题的关键.

x2 y2 3 19. (2016 北京理)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的离心率为 ,A(a,0) , a b 2
B(0,b) ,O(0,0) ,△ OAB 的面积为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆 C 上一点,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证: |AN|?|BM|为定值. 【分析】 (Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式,结合 a,b,c 的关系,解方程 可得 a=2,b=1,进而得到椭圆方程; 2 2 (Ⅱ)方法一、设椭圆上点 P(x0,y0) ,可得 x0 +4y0 =4,求出直线 PA 的方程,令 x=0, 求得 y,|BM|;求出直线 PB 的方程,令 y=0,可得 x,|AN|,化简整理,即可得到|AN|?|BM| 为定值 4.

方法二、设 P(2cosθ,sinθ) , (0≤θ<2π) ,求出直线 PA 的方程,令 x=0,求得 y,|BM|; 求出直线 PB 的方程,令 y=0,可得 x,|AN|,运用同角的平方关系,化简整理,即可得到 |AN|?|BM|为定值 4. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可得 e= = 又△ OAB 的面积为 1,可得 ab=1, 且 a ﹣b =c , 解得 a=2,b=1,c= 可得椭圆 C 的方程为
2 2 2



, +y =1;
2

(Ⅱ)证法一:设椭圆上点 P(x0,y0) , 2 2 可得 x0 +4y0 =4, 直线 PA:y= (x﹣2) ,令 x=0,可得 y=﹣ ,

则|BM|=|1+

|;

直线 PB:y=

x+1,令 y=0,可得 x=﹣



则|AN|=|2+

|.

可得|AN|?|BM|=|2+

|?|1+

|

=|

|=|

|

=|

|=4,

即有|AN|?|BM|为定值 4. 证法二:设 P(2cosθ,sinθ) , (0≤θ<2π) , 直线 PA:y= 则|BM|=| 直线 PB:y= 则|AN|=| (x﹣2) ,令 x=0,可得 y=﹣ |; x+1,令 y=0,可得 x=﹣ |. , ,

即有|AN|?|BM|=|

|?|

|

=2| =2| |=4.

|

则|AN|?|BM|为定值 4. 【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率和基本量的关系,考查线段积 的定值的求法,注意运用直线方程和点满足椭圆方程,考查化解在合理的运算能力,属于中 档题.

10. (2015 北京理)已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 的一条渐近线为 3x ? y ? 0 ,则 a2

a ? __________.
【解析】令

x2 x 1 3 ? y 2 ? 0 ? ? y ? 0 ,所以 ? 3 ? a ? . 2 a a a 3

19. (2015 北京理)

x2 y 2 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,点 P ? 0,1? ,和点 A(m, n)(m ? 0) 都 2 a 2 b2 在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M M.
已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m , n 表示) ; (Ⅱ)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N .问: y 轴上是否存 在点 Q Q,使得若存在,求点 Q 的坐标;若不不存在,说明理由.

解: (Ⅰ)由题意知 b ? 1 ,

c 2 2 2 2 ,又 a ? b ? c ,解得 a ? 2, b ? c ? 1, ? a 2

所以 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2
n ?1 n ?1 x ?1, ,所以 PA 方程 y ? m m m ? m ? ,所以 M ? ,0? 1? n ? 1? n ?

PA 的斜率 k PA ?

令 y ? 0 ,解得 x ?

(Ⅱ) B ? m, ?n ? ,同(I)可得 N ?

? m ? ,0? , ? 1? n ?

tan ?OQM ?

1 kQM

, tan ?ONQ ? kQN ,

因为 ?OQM ? ?ONQ 所以 kQN ? kQM ? 1, 设 Q ? t ,0 ? 则

m2 t t , ? ?1 即 t2 ? m m 1 ? n2 ?1 ? n ?1 ? n

又 A 在椭圆 C 上,所以

m2 m2 ? n2 ? 1 ,即 ? 2, 2 1 ? n2

所以 t ? ? 2 ,故存在 Q ? 2, 0 使得 ?OQM ? ?ONQ

?

?

11. (2014 北京理)设双曲线 C 经过点 ? 2, 2 ? ,且与 程为______; 渐近线方程为__________。 解答:

y2 ? x 2 ? 1 具有相同渐近线,则 C 的方 4

x2 y 2 ? ? 1 , y ? ?2 x ; 3 12

19. (2014 北京理)已知椭圆 C : x 若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y 位置关系,并证明你的结论。

2

? 2 y 2 ? 4 ,⑴求椭圆 C 的离心率;⑵设 O 为原点,

? 2 上,且 OA ? OB ,求直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 的

解答:⑴由题意,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ,所以 a 2 ? 4 , b2 ? 2 ,从而 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2 。 4 2

因此 a ? 2 , c ?

2 。故椭圆 C 的离心率 e ?

c 2 ; ? a 2

⑵直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切。证明如下:设点 A? x0 , y0 ? , B ? t , 2 ? ,其中 x0 ? 0 。 因 OA ? OB ,故 OA ? OB ? 0 ,即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ?

??? ? ??? ?

2 y0 t2 。当 x0 ? t 时, y0 ? , 2 x0

代入椭圆 C 的方程, 得t ? ? 2 。 故直线 AB : 圆心 O 到直线 AB 的距离 d ? 2 。 x?? 2, 此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切;当 x0 ? t 时,直线 AB : y ? 2 ?

y0 ? 2 ? x ? t ? ,即 x0 ? t

? y0 ? 2? x ? ? x0 ? t ? y ? 2x0 ? ty0 ? 0 ,圆心 O 到 AB 的距离
d ?| 2 x0 ? ty0 |
d ?| 2 x0 ?
证。

? y0 ? 2? ? ? x0 ? t ?
2

2

。又 x02 ? 2 y02 ? 4 , t ? ? 2 y0 x0 ,故

2 y0 2 | x0

x0 2 ? y0 2 ?

4 y0 2 ? 4 ? 2 ,此时 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切。综上得 x0 2

6. (2013 北京理)若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 a 2 b2
C. y ? ?





A. y ? ?2 x 答案:B

B. y ? ? 2 x

1 x 2

D. y ? ?

2 x 2

7. (2013 北京理)直线 l 过抛物线 C : x 2 ? 4 y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图 形的面积等于 A. ( ) C.

4 3

B.2

8 3

D.

16 2 3

解答: (7)C 19. (2013 北京理) (本小题共 14 分) 已知 A 、 B 、 C 是椭圆 W:

x2 ? y 2 ? 1上的三个点, O 是坐标原点. 4

(1)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积. (2)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 解: (Ⅰ)椭圆 W :

x2 . ? y 2 ? 1 的右顶点 B 的坐标为(2,0) 4

因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分.
3 1 . 所以可设 A(1,m) ,代入椭圆方程得 ? m2 ? 1 ,即 m ? ? 2 4 1 1 所以菱形 OABC 的面积是 OB ? AC ? ? 2 ? 2 m ? 3. 2 2

(Ⅱ)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点,所以可设 AC 的方程为
y ? kx ? m ? k ? 0, m ? 0? .
? x2 ? 4 y 2 ? 4, 由? 消去 y 并整理得 ? y ? kx ? m.

?1 ? 4k ? x
2

2

? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0.

设 A ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,则

x1 ? x2 x ?x 4km y1 ? y2 m ?? , ?k? 1 2 ?m? . 2 2 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2
所以 AC 的中点为 M ? ?

m ? ? 4km , . 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4 k ?
1 . 4k

因为 M 为 AC 和 OB 的交点,所以直线 OB 的斜率为 ?

因为 k ? ? ?

? 1 ? ? ? ?1 ,所以 AC 与 OB 不垂直. ? 4k ?

所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 不可能是菱形. 12. (2012 北京理)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F ,且与该抛物线相
2
? 交于 A 、 B 两点,其中, A 点在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60 ,则 ?OAF 的面积




2

【解析】由 y ? 4 x 可求得焦点坐标 F(1,0) ,因为倾斜角为 60 ? ,所以直线的斜率为

k ? tan60? ? 3 , 利 用 点 斜 式 , 直 线 方 程 为 y ? 3x ? 3 , 将 直 线 和 曲 线 联 立

? A(3,2 3 ) ? 1 1 ? y ? 3x ? 3 ? ? ? 1 2 3 ,因此 S?OAF ? ? OF ? y A ? ? 1 ? 2 3 ? 3 . ? 2 2 2 ? ) ? B ( ,? ? y ? 4x 3 ? 3
【答案】 3

19. (2012 北京理) (本小题共 14 分) 已知曲线 C : (5 ? m) x2 ? (m ? 2) y 2 ? 8 (m ? R) . (1)若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m ? 4 ,曲线 C 与 y 轴的交点为 A 、B (点 A 位于点 B 的上方) ,直线 y ? kx ? 4 与曲线 C 交于不同的两点 M 、N ,直线 y ? 1 与直线 BM 交于点 G . 求证: A, G, N 三点共线. 解: (1)原曲线方程可化简得:
x2 y2 ? ?1 8 8 5?m m?2

8 ? 8 ?5 ? m ? m ? 2 ? ? 8 7 ?0 由题意可得: ? ,解得: ? m ? 5 5 ? m 2 ? ? 8 ?m ? 2 ? 0 ?
(2)由已知直线代入椭圆方程化简得: (2k 2 ? 1) x2 ? 16kx ? 24 ? 0 ,
?=32(2k 2 ? 3) ,解得: k 2 ?

3 2

由韦达定理得: xM ? xN ?

16k 24 ①, xM xN ? 2 ,② 2 2k ? 1 2k ? 1

设 N ( xN , k xN ? 4) , M ( xM , kxM ? 4) , G( xG , 1)

MB 方程为: y ?

? 3xM ? kxM ? 6 x ? 2 ,则 G ? , 1? , xM ? kxM ? 6 ?

? AG ? ?

???? ? 3xM ? ???? ,? 1? , AN ? ? xN ,xN k ? 2 ? , ? xM k ? 6 ?

???? ???? 欲证 A , G ,N 三点共线,只需证 AG , AN 共线



3 xM ( xN k ? 2) ? ? xN 成立,化简得: (3k ? k ) xM xN ? ?6( xM ? xN ) xM k ? 6

G ,N 三点共线得证。 将①②代入易知等式成立,则 A , (lby lfx)

19. (2011 北京理) (本小题共 14 分) 已知椭圆 G :

x2 ? y 2 ? 1 ,过点 (m,0) 作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 l 交椭圆 G 于 A, B 两点, 4

(1)求椭圆 G 的焦点坐标及离心率; (2)将 | AB | 表示为 m 的函数,并求 | AB | 的最大值; 解: (I) 由题意得 a=2, b=1, 所以 c= 离心率 e= . ∴椭圆 G 的焦点坐标

(II)由题意知:|m|≥1, 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A(1, 当 m=﹣1 时,同理可得|AB|= ;
2 2 2 2 2

) 点 B(1,﹣

) 此时|AB|=



当 m≠±1 时, 设切线 l 的方程为: y=k (x﹣m) , 由

? (1+4k ) x ﹣8k mx+4k m

﹣4=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)则 x1+x2=

又由 l 与圆圆 x +y =1 相切∴圆心到直线 l 的距离等于圆的半径即 所以 |AB|=

2

2

=1? m=



=

=

, 由于当 m=±1 时, |AB|=



当 m≠±1 时,|AB|=

,此时 m∈(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)

又|AB|= 所以,|AB|的最大值为 2. 故|AB|的最大值为 2.

≤2(当且仅当 m=±

时,|AB|=2) ,

13. (2010 北京理)已知双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的焦点 ? ? 1 的离心率为 2 ,焦点与椭圆 25 9 a 2 b2
;渐近线方程为 .

相同,那么双曲线的焦点坐标为

? ?4,0? , y ? ?

3x

19. (2010 北京理) (本小题共 14 分)

www.@ks@5u. com

在平面直角坐标系 xOy 中, 点 B 与点 A( ?1,1) 关于原点 O 对称,P 是动点, 且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ?

1 .(1)求动点 P 的轨迹方程; 3

(2) 设直线 AP 与 BP 分别与直线 x ? 3 交于点 M 、 N ,问:是否存在点 P 使得 ?PAB 与

?PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.
19,解: (1)因点 B 与(-1,1)关于原点对称,得 B 点坐标为(1,-1) 。

y ?1 y ?1 y ?1 y ?1 1 设 P 点坐标为 ? x, y ? ,则 k AP ? x ? 1 , kBP ? x ? 1 ,由题意得 x ? 1 ? x ? 1 ? ? 3 ,
2 2 2 2 化简得: x ? 3 y ? 4,( x ? ?1) 。即 P 点轨迹为: x ? 3 y ? 4,( x ? ?1)

(2)因 ?APB ? ?MPN ,可得 sin ?APB ? sin ?MPN ,

1 1 又 S?APB ? 2 PA PB sin ?APB, S?MPN ? 2 PM PN sin ?MPN ,
PA PN 若 S?APB ? S?MPN ,则有 PA PB ? PM PN , 即 PM ? PB x0 ? 1 3 ? x0 5 2 2 设 P 点坐标为 ? x0 , y0 ? ,则有: 3 ? x ? x ? 1 解得: x0 ? 3 ,又因 x0 ? 3 y0 ? 4 ,解得 0 0
y0 ? ? 33 9 。

? 5 33 ? ? 5 33 ? , ,? 故存在点 P 使得 ?PAB 与 ?PMN 的面积相等,此时 P 点坐标为 ? ? ?3 9 ? ? 或? ?3 9 ? ? ? ? ?

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 13. (2009 北京理)椭圆 9 2

| PF2 |? _________; ?F1PF2 的小大为____________.

2, 120?
19. (2009 北京理) (本小题共 14 分) 已知双曲线 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 2 a b 3

(1)求双曲线 C 的方程; (2)设直线 l 是圆 O : x2 ? y 2 ? 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 处的切线, l 与双曲线 C 交于 不同的两点 A, B ,证明 ?AOB 的大小为定值。

? a2 3 ? ? ? 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 , 解答(Ⅰ)由题意,得 ? c ?c ? 3 ? ?a
∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2 2 2

2

y2 ? 1. 2

(Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,

?x ? y ? m ? 0 ? 2 2 由 ? 2 y2 得 x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 (判别式 ? ? 0 ), ?1 ?x ? ? 2
∴ x0 ?

x1 ? x2 ? m, y0 ? x0 ? m ? 2m , 2
2 2

∵点 M ? x0 , y0 ? 在圆 x ? y ? 5 上,
2 ∴ m ? ? 2m ? ? 5 ,∴ m ? ?1 . 2



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