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绵阳市高中2013级第一次诊断性考试数学(文科)及答案


2013 级诊断性考试数学(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一 项是符合题目要求的. 1. 设集合 2,3, 4},B={0, 1, 2},则 A. {0} C. {1,2} 2. 命题 P:“ A. C. 3. 已知数列 A. 为等差数列,且 B. ”,则

7. 设 A. c<a<b 8. 设函数

, B. c<b<a

,则 C. b<a<c D. a<b<c

的部分圈象如下图所示,则/(X)的表达式为

等于
B. {0, 1, 2, 3, 4}

A. B.

D. 是 B. D. ,则 C. 的边 AB,BC, CA 的中点,则 10. 某化肥厂生产甲、乙两种化肥.已知生产每吨甲种化肥要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨;生 产每吨乙种化肥要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨.销售每吨甲种产品可获得利润 5 千元、每吨乙种产 品可获得利润 3 千元。该化肥厂在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨、B 原料不超过 18 吨, 那么该化肥厂可获得最大利润是 的值为 件,则实数 t 的取值范围是 D. A. B. t>-1 C. D. t>3 C. D. 9. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)是 上的增函数,且 f(1)=2,f(-2)=-4,设 .若 是 的充分不必要条

4. 如图,D,E, F 分别是 A. B. C.

A. 1.2 万元 D. 5. 己知 A. O 6. 函数. A. (1,0) ,则 B. -1 的零点所在的区间为 B. (1,2) C. (0, 1) D. (2, 3) = C. D.

B. 2.0 万元 上满足

C. 2.5 万元 ,则满足

D. 2.7 万元 的X的

11. 已知偶函数 f(X)在区间 取值范 围是 A. (1, 3) C. (-3,3) 12. 已知定义在 R 上的函数 f(X)满足.

B. D. (-3, 1) ,且当

第1页

时, A. B.

,则

等于 C. D.

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 已知向量 a=(2, 1),b=(x,-2),若 a//b,则 X=_______. 14. 已知偶函数 ( )在(0, )上是增函数,则______

15. 已知{an}是递增数列,且对任意的 范围是______.

都有,

恒成立,则实数,的收值

16. 设所有可表示为两整数的平方差的整数组成集合 M.给出下列命题: ①所有奇数都属于 M. ②若偶数 2k 属于 M,则 ③若 ,则 . . 其中正确命 18. (本题满分 12 分)已知数列{an}是等比数列且 (I )求数列{bn}的通项公式; (II )若数列{an}满足 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文说明、证明过程或演算步骤. 小值,并求出该最小值. 17. ( 本题满分 1 2 分)设向量 . (I )求函数 f(x)的最小正周期及对称轴方程; (II)当 ]时,求函数 的值域. ,函数 ,且数列{bn}的前“项和为 Tn,问当 n 为何值时,Tn 取最 .

④把所有不属于 M 的正整数从小到大依次排成一个数列,则它的前 N 项和 题的序号是________.(写出所有正确命题的序号)

第2页

20. (本题满分 12 分)已知二次函数 y=f(x)的图象过点(1, -4),且不等式 (0, 5). (I )求函数 f(x)的解析式; (II)设 ,若函数

的解集是

在[-4,-2]上单

调递增,在[-2, 0]上单调递减,求 y=h(x)在[-3, 1]上的最大值和最小值. 19. (本题满分 12 分)在 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b,c 若 . (I )求角 C 的值; (II)若 的面积为 ,求 a,b 的值.

第3页

21. (本题满分 12 分)设数列{an}的前 N 项和为 SN,且 数,t>0, 且 ).

(其中 T 为常

22. ( 本题满分 14 分)已知函数. (I )求实数 A 的值及函数 f(x)的单调区间; (II) 设 取值范围; , 对

在 x=2 处的切线斜率为

.

(I )求证:数列{an}为等比数列;

恒成立, 求实数 k 的

(II) 若数列{an}的公比 q=f(t),数列{bn}满足

,求数列

的 (III) 设 ,证明: .

通项公式; (III) 设 ,对(I I ) 中的数列协,},在数列{an}的任意相邻两项 与 之间插 入

k个

后,得到一个新的数列:



,记此数列为{cn}.求数列{cn}的前 50 项之和.

第4页

高 2013 级第一次诊断性考试 数学(文)参考解答及评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. CCBAD BAADD AB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.-4 14.2 15.k>-3 16.①③ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解: (Ⅰ)f (x)=a·b=(cos2x,1)·(1, 3 sin2x) = 3 sin2x+ cos2x =2sin(2x+ ∴ 最小正周期 T ? 令 2x+

即 a 2 ? b2 ? c 2 ? ab .① 由余弦定理得 cos C ?

a 2 ? b2 ? c2 1 ? , 2ab 2

结合 0 ? C ? ? ,得 C ?

?
3



???????????????????6 分

1 2 2 2 又 c=2,由(Ⅰ)知, a ? b ? 4 ? ab , ∴ (a ? b)2 ? 3ab ? 4 ? 16 ,得 a+b=4,②

(Ⅱ)∵ △ABC 的面积为 3 ,即 ab sin C ? 3 ,化简得 ab=4,①

?
6

),???????????????6 分

2? ?? . 2 k? ? ? ,k∈Z, 2 6

?
6

= k? ?

?
2

,k∈Z,解得 x=

k? ? ? ,k∈Z.?????????????8 分 2 6 7? ? ? ? ? (Ⅱ)当 x∈[0, ]时,即 0≤x≤ ,可得 ≤2x+ ≤ , 6 2 2 6 6
即 f (x)的对称轴方程为 x= ∴ 当 2x+

由①②得 a=b=2. ???????????????????????12 分 20.解: (Ⅰ)由已知 y= f (x)是二次函数,且 f (x)<0 的解集是(0,5), 可得 f (x)=0 的两根为 0,5, 于是设二次函数 f (x)=ax(x-5), 代入点(1,-4),得-4=a×1×(1-5),解得 a=1, ∴ f (x)=x(x-5). ????????????????????????4 分 3 3 2 (Ⅱ)h(x)=2f (x)+g(x)=2x(x-5)+x -(4k-10)x+5=x +2x -4kx+5, 于是 h?( x) ? 3x2 ? 4 x ? 4k , ∵ h(x)在[-4,-2]上单调递增,在[-2,0]上单调递减, ∴ x=-2 是 h(x)的极大值点, ∴ h?(?2) ? 3 ? (?2)2 ? 4 ? (?2) ? 4k ? 0 ,解得 k=1. ??????????6 分 ∴ h(x)=x +2x -4x+5,进而得 h?( x) ? 3x2 ? 4x ? 4 .
3 2

?
6

2 6 6 ? 7? ? ? 当 2x+ = ,即 x= 时,f (x)取得最小值 f ( )=-1. 6 6 2 2

=

?

,即 x=

?

时,f (x)取得最大值 f (

?

)=2;

即 f (x) 的值域为[-1,2].????????????????????12 分

令 h?( x) ? 3x2 ? 4 x ? 4 ? 3( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,得 x1 ? ?2,x2 ? 由下表: x (-3,-2) + ↗
3 2

2 3

2 . 3 2 3
0 (

1 1 18.解: (Ⅰ)设公比为 q,由已知 a6=2,a3= ,得 a1q5 ? 2,a1q 2 ? , 4 4 1 3 两式相除得 q =8,解得 q=2,a1= , 16 1 ∴ an= ? 2n?1 ? 2n?5 .??????????????????????6 分 16 (Ⅱ)bn=3log2an= 3log 2 2n?5 =3n-15,
3 27 3? 9 ? 243 ? ? n2 ? n ? ?n ? ? ? ∴ Tn ? , 2 2 2 2 2? 2? 8 当 n=4 或 5 时,Tn 取得最小值,最小值为-30.???????????12 分 19.解: (Ⅰ)∵ asinA=(a-b)sinB+csinC, a b c 由正弦定理 ,得 a 2 ? (a ? b)b ? c 2 , ? ? sin A sin B sin C n ? b1 ? bn ? n ? ?12 ? 3n ? 15 ?
2

-2 0 极大

(-2, ↘

2 ) 3

2 ,1) 3
+ ↗

h?( x)
h(x)

极小
3 2

可知:h(-2)=(-2) +2×(-2) -4×(-2)+5=13,h(1)=1 +2×1 -4×1+5=4, h(-3)=(-3) +2×(-3) -4×(-3)+5=8,h( ∴ h(x)的最大值为 13,最小值为
3 2

2 2 3 2 2 2 95 )=( ) +2×( ) -4× +5= , 3 3 3 3 27

95 .??????????????12 分 27

21.解: (Ⅰ)由题设知(t-1)S1=2ta1-t-1,解得 a1=1, 由(t-1)Sn=2tan-t-1,得(t-1)Sn+1=2tan+1-t-1, 两式相减得(t-1)an+1=2tan+1-2tan,

第5页



an ?1 2t ? (常数) . an t ?1

= ?7

1 . 256 1 .???????????????12 分 256

2t 为公比的等比数列.?????????4 分 t ?1 1 bn 2t (Ⅱ)∵ q= f (t)= ,b1=a1=1,bn+1= f (bn)= , bn ? 1 2 t ?1
∴ 数列{an}是以 1 为首项,

即数列{cn}的前 50 项之和为 ?7 22.解: (Ⅰ)由已知: f ?( x) ? ∴由题知 f ?(2) ?

1 ?a, x

b ?1 1 1 ? n ? ?1, ∴ bn ?1 bn bn
∴ 数列 ? ∴

?1? ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列, ? bn ?

1 ? n .???????????????????????????8 分 bn

1 1 ? a ? ? ,解得 a=1. 2 2 1 1? x 于是 f ?( x) ? ? 1 ? , x x 当 x∈(0,1)时, f ?( x) ? 0 ,f (x)为增函数, 当 x∈(1,+∞)时, f ?( x) ? 0 ,f (x)为减函数,
即 f (x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). ??5 分 (Ⅱ) ? x∈(0,+∞),f (x)≤g(x),即 lnx-(k+1)x≤0 恒成立,

1 1 时,由(I)知 an= ( ) n?1 ,. 3 2 1 1 1 于是数列{cn}为:1,-1, ,2,2, ( )2 ,-3,-3,-3, ( )3 ,? 2 2 2 设数列{an}的第 k 项是数列{cn}的第 mk 项,即 ak= cmk ,
(III)当 t=

1 1 ? (k ? 1) x . ? (k ? 1) ? x x ①当 k+1≤0,即 k≤-1 时, h?( x) ? 0 ,
设 h( x) ? ln x ? (k ? 1) x ,有 h?( x) ? 此时 h(1) ? ln1 ? (k ? 1) ≥0 与 h( x) ≤0 矛盾. ②当 k+1>0,即 k>-1 时,令 h?( x) =0,解得 x ?

k (k ? 1) 当 k≥2 时,mk=k+[1+2+3+?+(k-1)]= , 2 9 ?10 ∴ m9= ? 45 . 2
设 Sn 表示数列{cn}的前 n 项和,

1 , k ?1

1 ? ? x ? ? 0, ? , h?( x) >0,h(x)为增函数, ? k ?1?

1 1 2 1 2 3 8 + ( ) +?+ ( )8 ]+[-1+(-1) ×2×2+(-1) ×3×3+?+(-1) ×8×8]. 2 2 2 1 1 ? ( )9 1 1 2 18 2 ?2? 1 , 显然 1+ + ( ) +?+ ( ) = 1 28 2 2 2 1? 2
则 S45=[1+ ∵ -1+(-1) ×2×2+(-1) ×3×3+?+(-1) ×8×8 2 2 2 2 2 2 2 =-1+2 -3 +4 -5 +6 -7 +8 =(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+(8+7)(8-7) =3+7+11+15 =36. ∴ S45= 2 ?
2 3 8

1 1 +36=38- 8 . 8 2 2 1 9 +5×(-1) ×9 8 2

∴ S50=S45+(c46+c47+c48+c49+c50) =38-

? 1 ? x ?? , ? ? , h?( x) <0,h(x)为减函数, ? ? k ?1 ? 1 1 ∴ h( x)max ? h( ) ? ln ? 1 ≤0, k ?1 k ?1 1 即 ln ? k ? 1? ≥-1,解得 k≥ ? 1 . e 1 综合 k>-1,知 k≥ ? 1 . e ?1 ? ? ∴ 综上所述,k 的取值范围为 ? ? 1, ? ? .????????????10 分 ?e ? (Ⅲ)由(Ⅰ)知 f (x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数, ∴ f (x)≤f (1)=0, ∴ lnx≤x-1. 当 n=1 时,b1=ln(1+1)=ln2, 当 n≥2 时,有 ln(n+1)<n,

第6页

∵ bn ?

ln ? n ? 1? n
3

?

n 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? , 3 n n n(n ? 1) n ? 1 n

1? ? 1 1? 1? ? 1 ? 1 ? ??? ? ? ??? ? ? ? ∴ b1 ? b2 ? ? ? bn ? b1 ? ? ? 2 ?1 2 ? ? 3 ?1 3 ? ? n ?1 n ?

1 ? ln 2 ? (1 ? ) n
<1+ln2.????????????????????14 分

第7页



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