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多面体与球的“切接”问题


第六天

多面体与球的“切接”问题

圆锥的切接问题: 棱锥的切接问题( 棱柱的切接问题(注意,正方体、长方体、双垂四面体、相对棱相等的三棱锥、 底面为钝角、锐角、直角三角形的三棱柱)

一、正方体与球的“切接”
设正方体的棱长为 a ,求(1)内切球半径;(2)外接球半径;(3)与棱相切的球半径。 (1)截面

图为正方形 EFGH 的内切圆,得 R ?

a ; 2

(2)与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,如图 4 作截面图, 圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆,易得 R ?

2 a。 2

(3)正方体的外接球: 正方体的八个顶点都在球面上, 如图 5, 以对角面 AA 圆O 1 作截面图得, 为矩形 AA1C1C 的外接圆,易得 R ? A1O ?

3 a。 2

图3

图4 图5

变式:在球面上有四个点 P 、 A 、 B 、 C .如果 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直,且

PA ? PB ? PC ? a ,求这个球的表面积是______.
二、球与长方体的外接,(长方体的体对角线即球的直径) 注:利用: ?2r ? ? a 2 ? b 2 ? c 2
2

变式: 三、正(直)棱柱与球的组合问题

正棱柱的外接球,其球心定在上下底面中心连线的中点处,由球心、底面中 心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径
例:已知底面边长为 a 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的六个顶点在球 O1 上,又知球 O2 与此正三棱 柱的 5 个面都相切,求球 O1 与球 O2 的体积之比与表面积之比。

分析:先画出过球心的截面图,再来探求半径之间的关系。 解:如图 6,由题意得两球心 O1 、 O2 是重合的, 过正三棱柱的一条侧棱 AA 1 和它们的球心作截面,设正 三棱柱底面边长为 a ,则 R2 ?

3 a ,正三棱柱的高为 6

图6

h ? 2 R2 ?
2

3 a ,由 Rt?A1 D1O 中,得 3
2 2 2

? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? 5 5 ? ? R2 2 ? ? ? ?? ? ? a 2 ,? R1 ? R1 ? ? a a a a ? 3 ? ? 3 ? ? 6 ? 12 12 ? ? ? ? ? ?

? S1 : S 2 ? R1 : R2 ? 5 : 1 , V1 : V2 ? 5 5 : 1
四、 棱锥的内切、外接球问题
例 1:正四面体的外接球和内切球的半径是多少? 分析:运用正四面体的二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。 解:如图 1 所示,设点 O 是内切球的球心,正四面体棱长为 a .由图形的 对称性知,点 O 也是外接球的球心.设内切球半径为 r ,外接球半径为 R .

2

2

? 3 ? 6 ? ? r 2 ,得 R ? 在 Rt ?BEO 中, BO ? BE ? EO ,即 R ? ? a a, ? 3 ? 4 ? ? 得 R ? 3r
2 2 2

2

2

【点评】由于正四面体本身的对称性可知,内切球和外接球的两个球心是重合 的,为正四面体高的四等分点,即内切球的半径为 且外接球的半径

h ( h 为正四面体的高), 4

图1

3h ,从而可以通过截面图中 Rt ?OBE 建立棱长与半径之间的关系。 4

例 2、正三棱锥 S ? ABC ,底面边长为 3,侧棱长为 2,则其外接球和内切球的半径是多少 底面是非规则三角形的棱锥 例 3:球面上有三点 A、B、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点 ,其中 AB=18,BC=24,AC=30,且球心到这个截面的距离为球半径的一半, 则球的表面积为 .

例 4. 正四棱锥 S ? ABCD ,底面边长为 2,侧棱长为 3,则其外接球和内切球的半径是多少

五、特殊棱锥的的外接 (1)双垂四面体

(2)相对棱相等的四面体 例 1:如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? BD ? 0, 2 AB 2 ? BD 2 ? 4 ,若将其沿 BD 所成直 二面角 A—BD—C,则三棱锥 A—BCD 的外接球的体积为 。

例 2. 三棱锥 A ? BCD 的两条棱 AB ? CD ? 6 ,其余各棱长均为 5 ,求三棱锥的内切球半径.

变式: .三棱锥 S ? ABC 的顶点都在同一球面上,且 SA ? AC ? SB ? BC ? 2 2, SC ? 4 , 则该球的体积为 A.

256 ? 3

B.

32 ? 3

C. 16?

D. 64?

六、圆锥及圆台的切接 例:已知两个圆锥有公 共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,若圆锥底 面面积是这个球面面积的 值为 。

3 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比 16

变式: (新课程 2013 文 15)已知 H 是球 ? 的直径 AB 上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面 ? H 为垂足 , ? 截球 ? 所得截面的面积为 ? ,求球 ? 的表面积是多少

(新课程 2012 文 8)已知平面 ? 截球 ? 球面所得圆的半径为 1,球心到 ? 的距离为 2 ,则 球的体积是 A. 6? B. 4 3? C. 4 6? D. 6 3?

练习:
1.在棱锥 P ? ABC 中,侧棱 PA、PB、PC 两两垂直,Q 为底面 ?ABC 内一点,若点 Q 到三 个侧面的距离分别为 3、4、5,则以线段 PQ 为直径的球的表面积为( ) A.100 ? B.50 ? C. 25? D. 5 2?

2.已知四面体 P ? ABC 的外接 球的球心 O 在 AB 上,且 PO ? 平面 ABC , 2 AC ? 3 AB , 若四面体 P ? ABC 的体积 为 (A) 3? (B) 2?

3 ,则该球的体积为 2
(C) 2 2? (D) 4 3?

3. 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=3,BC=2,则棱锥 O-ABCD 的体积为 A.

51

B. 3 51

C.

2 51

D. 6 51

4.在三棱锥 S—ABC 中,AB⊥BC,AB=BC= 2 ,SA=SC=2,,二面角 S—AC—B 的余弦值是 3 ,若 S、A、B、C 都在同一球面上,则该球的表面积是( ) ? 3 A. 8 6? B. 6? C.24 ? D.6 ?

5.已知一个三棱柱,其底面是正三角形,且侧棱与底面垂直,一个体积为 的所有面均相切,那么这个三棱柱的表面积是 (A) 6 3 (B) 12 3 (C) 18 3

4? 的球体与棱柱 3

(D) 24 3

6.一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为 3 的球,则该 棱柱体积的最大值为( A.
2 3 3


3 3 2

B.

C. 3 3

D. 6 3

7.已知三棱柱 为 ,

的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积 ,则此球的表面积等于________.

8.正三棱锥 S-ABC 中,M、N 分别是 SC.BC 中点,且 MN⊥AM,若 SA=2 3 .则正三棱锥 S - ABC 的外接球的体积为 。 9.已知 AB 是表面积为 4π 的球的直径,C、D 是该球球面上的两点,且 BC=CD=DB=1, 则 三棱锥 A-BCD 的体积为______________.

高考链接
1、棱柱 2010 新课标(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在一个球 面上,则该球的表面积为 (A) ? a
2

(B)

7 2 ?a 3

(C)

11 2 ?a 3

(D) 5? a

2

2、 (2011 新课标 15) 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, 且 AB=6, BC= 2 3 则棱锥 O-ABCD 的体积为_____________. 3、 .已知一几何体的三视图如下,则该几何体外接球的表面积 为 . 6? 4、 (2012 理 11)已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点 都在球 O 的求面 上,?ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径, 且 SC ? 2 ; 则此棱锥的体积为( )

( A)

2 6

(B)

3 6

(C )

2 3

( D)

2 2

5、 (2010 全国 12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为 (A)

2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

6.把一个皮球放入如图所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的 表面与 8 根铁丝都有接触点,则皮球的半径为 A.l0 3 cm C.10 2 cm B.10 cm D.30cm

参考答案 BDA DCC 9. 8? 11.

36?

12.

2 6


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