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高一数学必修二课件2.1.3空间中直线与平面.平面与平面之间的位置关系


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学习目标

?1.了解空间中直线与平面的位置关系。 ?2.了解空间中平面与平面的位置关系。

教学重难点
重点 ?1.空间直线与平面之间的位置关系 ?。 ?2.空间中平面与平面的位置关系。 难点 ?用图形表达直线与平面,平面与平面的位 置关系。

一。空间中直线与平面之间的

位 置关系

思 考 (1)一支笔所在的直线与一个作业本所在 的平面,可能有哪几种位置关系?

(2)在长方体ABCD-A'B'C'D'中,直线AB与 面AB',与面AD',与面A'C'各是什么位置关系?
D?

C?
B?

A?
D

C

A

B

(3)空间中直线与平面的位置关系有哪些? 靠什么来划分呢? 直线与平面的位置关系只有三种: ①直线在平面内---有无数个公共点;

②直线与平面相交---有且只有一个公共点;
③直线与平面平行---没有公共点。

直线和平面相交或平行的情况统称为直线 在平面外。
(1)直线在平面内 (2)直线与平面相交 (3)直线与平面平行

直线在平面外

判断直线与平面的位置关系关键在于—判断 直线与平面的交点个数。

图形表示 a a α α a

α

符号表示

a??

a∩?=A

a∥ ?

下面画法是错误的: a α a a α α

直线画应在面内

直线与位置平面的关系 位置 关系 a在 α 内 有无数个公 共点 a?? a与α 相交 有且仅一个 公共点 a∩?=A a与α 平行

公共点
符号表示 图形 表示

没有公共点
a∥ ?

例五
给出下列四个命题: (1)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α。 (2)若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条 直线都平行。

(3)若直线l与平面α平行,则l与平面α 内的任意一
条直线都没有公共点。

(4)若直线l在平面α 内,且l与平面β平行,则平面
α与平面β平行。 其中正确命题的个数共有 1 __个。

直线与平面的位置关系

下列说法: ①若直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则 l∥α; ②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α; ③若直线 a∥b,直线 b?α,则 a∥α; ④若直线 a∥b,b?α,那么直线 a 就平行于平面 α 内的 无数条直线. 其中正确的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4

【思路探究】 结合直线与平面的位置关系的定义求解.
【自主解答】 对于①,∵直线 l 虽与平面 α 内无数条 直线平行,但 l 有可能在平面 α 内,∴l 不一定平行于 α.故① 是错误的. 对于②,∵直线 a 在平面 α 外包括两种情况:a∥α 和 a 与 α 相交,∴a 和 α 不一定平行.故②是错误的. 对于③,∵直线 a∥b,b?α,则只能说明 a 和 b 无公共 点,但 a 可能在平面 α 内,∴a 不一定平行于 α.故③是错误 的.

对于④,∵a∥b,b?α,那么 a?α 或 a∥α,∴a 可以与 平面 α 内的无数条直线平行.故④是正确的. 综上所述,正确的个数为 1.
【答案】 A

若直线 a 不平行于平面 α,则下列结论成立的是( A.α 内的所有直线均与 a 异面 B.α 内不存在与 a 平行的直线 C.α 内直线均与 a 相交 D.直线 a 与平面 α 有公共点

)

【解析】 由于直线 a 不平行于平面 α,则 a 在 α 内或 a 与 α 相交,故 A 错;当 a?α 时,在平面 α 内存在与 a 平行 的直线,故 B 错;因为 α 内的直线也可能与 a 平行或异面, 故 C 错;由线面平行的定义知 D 正确.
【答案】 D

二。 平面与平面之间的位置关系

思 考

(1)拿出两本书,看作两个平面,上下、左右 移动和翻转,它们之间的位置关系有几种变化?

(2)如图,围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六 个面,两两之间的位置关系有几种?
D?

C?
B?

A?
D

C

A

B

(3)由上面的观察和分析可知,两个平面的位 置关系只有两种,即两个平面平行,两个平面相交。 这两种位置关系的基本特征是什么?

①两个平面平行—没有公共点; ②两个平面相交—有一条公共直线。

图形表示
?

α β
两个平面平行 符号表示

?

l

两个平面相交

α//β

α∩β=l

画两个平行平面的要点是: 表示平面的平行四边形的对应边相互平行。

?
?

?

?

? // ?

? // ?

在长方体ABCD-A′B′C′D′中,每个面与其 对面平行,与其他面相交。
D?

C?
B?

A?
D

C

A

B

探 究 已知平面α,β和直线a,b,且α∥β,a?α,b?β, 则直线a与平面β的位置关系如何?直线a与直线b的 位置关系如何?

a α β b

a与β平行,a与b平行不相交。

平面与平面间的位置关系

已知下列说法: ①若两个平面 α∥β,a?α,b?β,则 a∥b; ②若两个平面 α∥β,a?α,b?β, 则 a 与 b 是异面直线; ③若两个平面 α∥β,a?α,b?β, 则 a 与 b 一定不相交; ④若两个平面 α∥β,a?α,b?β, 则 a 与 b 平行或异面; ⑤若两个平面 α∩β=b,a?α,则 a 与 β 一定相交. 其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上).
【思路探究】 由平面间的位置关系逐一判断.

【自主解答】 ①错,a 与 b 也可能异面; ②错,a 与 b 也可能平行; ③对,∵α∥β,∴α 与 β 无公共点.又∵a?α,b?β, ∴a 与 b 无公共点; ④对,由已知及③知:a 与 b 无公共点, 那么 a∥b 或 a 与 b 异面; ⑤错,a 与 β 也可能平行.

【答案】 ③④

如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平 行,那么两个平面的位置关系一定是( A.平行 C.平行或相交 )

B.相交 D.不能确定

【解析】 如图所示,由图可知 C 正确.

【答案】

C

小结
(1)空间中点与线、点与面的位置关系
图形 A 文字语言(读法) 符号语言

a a

点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外

A?a A?a
A ??

A

? A A ?

A ??

(2)空间中线与线的位置关系 图形 b a 文字语言(读法) 两直线共面且无公 共点两直线平行 两直线共面且有一个 公共点两直线相交 符号语言 a∥ b

A b a
b a

aIb=A

两直线不共面且无 公共点两直线异面

a、b异面

(3)空间中线与面的位置关系
图形 a a 文字语言(读法) 符号语言 a∥?

?

直线与平面无公共 点直线与平面平行
直线与平面有一个公 共点直线与平面相交 直线上所有的点都在 平面内直线在平面内

?

A

aI? =A

a

?

a? ?

(4)空间中面与面的位置关系 图形 文字语言(读法) 符号语言

?
?
β

两个平面无公共点 两个平面平行

α∥β

α

两个平面有一公共直线 两个平面相交

? ? ?l

1.圆台的母线与圆台的底面的位置关系是( A.相交 C.母线在底面内
【解析】

)

B.平行 D.相交或母线在底面内

圆台的母线与圆台的上下底面都有且只有一

个公共点,故二者是相交关系.

【答案】 A

2. 直线 a 与平面 α 相交, 则 a 与 α 的公共点的个数为( A.0 B.1 C.2 D.无数

)

【解析】 由直线与平面相交的定义可知,直线 a 与平 面 α 相交,a 与 α 的公共点有且只有一个.

【答案】 B

3.若 M∈平面 α,M∈平面 β,则 α 与 β 的位置关系是 ( A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 )

【解析】 ∵M∈平面 α,M∈平面 β, ∴α 与 β 相交于过点 M 的一条直线.

【答案】 B

4.由已知条件作图:a∥α,b∩α=A,c?α,b∩c=A.

【解】 如图.


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