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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第4章 第4节 平面向量的应用举例课后限时自测 理 苏教版


【高考讲坛】 2016 届高考数学一轮复习 第 4 章 第 4 节 平面向量的 应用举例课后限时自测 理 苏教版
[A 级 基础达标练] 一、填空题 → → 1.(2013·课标全国卷Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE·BD= ________. [解析] 如图,以 A 为坐标原点,AB 所在的直线为 x 轴,AD 所在的直线为 y 轴

,建立 平面直角坐标系,则 A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2),

→ → ∴AE=(1,2),BD=(-2,2), → → ∴AE·BD=1×(-2)+2×2=2. [答案] 2 → → → → → 2.已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(m,m+1),若AB∥OC,则实数 m 的值 为________. → [解析] 依题意得,AB=(3,1), → → 由AB∥OC, 3 得 3(m+1)-m=0,∴m=- . 2 3 [答案] - 2 3.(2014·徐州调研)已知 a=(1,2),2a-b=(3,1),则 a·b=________. [解析] ∵a=(1,2),2a-b=(3,1), ∴b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3). ∴a·b=(1,2)·(-1,3)=-1+2×3=5. [答案] 5
1

4.(2013·常州市高三教学期末调研测试)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C:x +y =4 → → 分别交 x 轴正半轴及 y 轴正半轴于 M,N 两点,点 P 为圆 C 上任意一点,则PM·PN的最大值 为________. [解析] 根据题意得:M(2,0),N(0,2).设 P(2cos θ ,2sin θ ), → → 则PM=(2-2cos θ ,-2sin θ ),PN=(-2cos θ ,2-2sin θ ), → → 2 2 所以PM·PN=-4cos θ +4cos θ -4sin θ +4sin θ π? ? =4-4(sin θ +cos θ )=4-4 2sin?θ + ?, 4? ? → → π? ? 因为-1≤sin?θ + ?≤1,所以 4-4 2≤PM·PN≤4+4 2, 4? ? → → 所以PM·PN的最大值为 4+4 2. [答案] 4+4 2 → → 2 5.(2014·宿迁调研)已知点 A(-2,0),B(0,0),动点 P(x,y)满足PA·PB=x ,则点 P 的轨迹方程是________. → → [解析] PA=(-2-x,-y),PB=(-x,-y),则 →
2

2

2



PA·PB=(-2-x)(-x)+(-y)2=x2,
∴y =-2x. [答案] y =-2x → → 2 2 6.(2014·常州质检)已知直线 x+y=a 与圆 x +y =4 交于 A、B 两点,且|OA+OB|= → → |OA-OB|,其中 O 为原点,则正实数 a 的值为________. → → → → → → [解析] 由|OA+OB|=|OA-OB|,知OA⊥OB, ∴|AB|=2 2,则得点 O 到 AB 的距离 d= 2, ∴ |0×1+1×0-a| = 2, 2
2

解得 a=2(a>0). [答案] 2 → → → 2π → 1→ 1→ 7.(2014·南京、盐城二模)已知|OA|=1,|OB|=2,∠AOB= ,OC= OA+ OB,则OA 3 2 4

2

→ 与OC的夹角大小为________. → → → → → 1→ 1→ → 1→ → [解析] 令 OA=OA1, OB=OB1, 因为|OA|=1,|OB|=2,所以|OA1|=|OB1|, 由OC= OA 2 4 2 1→ → → + OB=OA1+OB1,得四边形 OA1CB1 为菱形.因为菱形对角线平分所对角,因此∠AOC=60°. 4 [答案] 60° → → → 1→ → → → → 1 8. 如图 4?4?3, 在△ABC 中, AB=AC, BC=2, AD=DC, AE= EB.若BD·AC=- , 则CE·AB 2 2 =________.

图 4?4?3
2 → → 3 a 3 a 1 ? ? [解析] 建立如图所示的直角坐标系,则BD·AC=? , ?·(1,-a)= - =- ,解 2 2 2 ?2 2?

→ → → → 4 ? 4 4? 得 a=2,所以CE=?- , ?,AB=(-1,-2),所以CE·AB=- . 3 ? 3 3?

4 [答案] - 3 二、解答题 9.(2014·苏北四市质检)已知向量 a=(cos θ ,sin θ ),b=(2,-1). sin θ -cos θ (1)若 a⊥b,求 的值; sin θ +cos θ π? ? π? ? (2)若|a-b|=2,θ ∈?0, ?,求 sin?θ + ?的值. 2? 4? ? ? [解] (1)由 a⊥b 可知,a·b=2cos θ -sin θ =0,所以 sin θ =2cos θ , sin θ -cos θ 2cos θ -cos θ 1 所以 = = . sin θ +cos θ 2cos θ +cos θ 3

3

(2)由 a-b=(cos θ -2, sin θ +1), 可得|a-b|= ?cos θ -2? +?sin θ +1? = 6-4cos θ +2sin θ =2, 即 1-2cos θ +sin θ =0, ① ②

2

2

? π? 2 2 又 cos θ +sin θ =1,且 θ ∈?0, ?, 2? ?
3 sin θ = , ? ? 5 由①②可解得? 4 cos θ = , ? ? 5 π? 2 ? 所以 sin?θ + ?= (sin θ +cos θ ) 4? 2 ? = 2?3 4? 7 2 . ? + ?= 2 ?5 5? 10

10.已知向量 a=(cos x,sin x),b=(sin 2x,1-cos 2x),c=(0,1),x∈(0,π ). (1)向量 a,b 是否共线?并说明理由; (2)求函数 f(x)=|b|-(a+b)·c 的最大值. [解] (1)b=(sin 2x,1-cos 2x)=(2sin xcos x,2sin x) =2sin x(cos x,sin x)=2sin x·a,且|a|=1,即 a≠0. ∴a 与 b 共线. (2)f(x)=|b|-(a+b)·c =2sin x-(cos x+sin 2x,1-cos 2x+sin x)·(0,1) =2sin x-1+cos 2x-sin x=sin x-1+1-2sin x 1?2 1 ? 2 =-2sin x+sin x=-2?sin x- ? + . 4? 8 ? 1 1 ∴当 sin x= 时,f(x)有最大值 . 4 8
2 2

[B 级 能力提升练] 一、填空题 1. (2014·南京、 盐城二模)在△ABC 中, 点 D 在边 BC 上, 且 DC=2BD, AB∶AD∶AC=3∶

k∶1,则实数 k 的取值范围为________.
→ 2→ 1→ → 4→ 1→ 4 → → [解析] 因为 DC=2BD, 所以AD= AB+ AC.平方得: AD2= AB2+ AC2+ |AB|·|AC|cos 3 3 9 9 9 4 2 1 4 37 4 ?25 49? 2 2 θ ,θ ∈(0,π ),即 k = ×3 + ×1 + ×3×1×cos θ = + cos θ ∈? , ?,因为 9 9 9 9 3 ?9 9?
4

?5 7? k>0,所以 k∈? , ?. ?3 3? ?5 7? [答案] ? , ? ?3 3?
→ → → → → → → 2. 设 O 是△ABC 外接圆的圆心, AO=xAB+yAC, 且|AB|=6, |AC|=8,4x+y=2, 则AB·AC =________. → → → → → → AB → → ?→? y ? ? [解析] 依题意AO=xAB+yAC=2x· AB + ·(2AC),设AE= ,AF=2AC,则 E 是 AB ?2? 2 2 ? ? → → y → y 中点,C 是 AF 中点,AO=2x·AE+ ·AF.又因为 4x+y=2,所以 2x+ =1,由三点共线的 2 2 充要条件知 E、O、F 三点共线.由题意不难发现 OE⊥AB,即 EF⊥AB,那么在 Rt△AEF 中 cos ∠BAC= = → → AE 3 ,∴AB·AC=6×8×cos∠BAC=9. AF 16

[答案] 9 二、解答题 3 .(2014·南京质检 ) 设 a = (cos α , (λ - 1)sin α ) , b = (cos β , sin β ) ,

?λ >0,0<α <β <π ?是平面上的两个向量,若向量 a+b 与 a-b 互相垂直. ? ? 2? ?
(1)求实数 λ 的值; 4 4 (2)若 a·b= ,且 tan β = ,求 tan α 的值. 5 3 [解]
2

(1)由(a+b)·(a-b)=0,得|a| -|b| =0,
2 2 2 2

2

2

∴cos α +(λ -1) sin α -cos β -sin β =0. ∴(λ -1) sin α -sin α =0, π 2 ∵0<α < ,∴sin α ≠0,∴λ -2λ =0,∴λ =2(λ >0). 2 4 (2)由(1)知,a·b=cos α cos β +sin α sin β =cos(α -β )= , 5 π π ∵0<α <β < ,∴- <α -β <0, 2 2 3 3 ∴sin(α -β )=- ,tan(α -β )=- . 5 4 ∴tan α =tan[(α -β )+β ] = tan?α -β ?+tan β 1-tan?α -β ?·tan β
2 2 2

5

3 4 - + 4 3 7 = = . ? 3? 4 24 1-?- ?× ? 4? 3

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