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27-空间向量运算的坐标表示


3.1.5 空间向量运算的坐标表示

教材分析
本节内容是数学选修 2-1 第三章 空间向量与立体几何第五节 空间向量运算的坐标表示, 本小节是在 介绍了空间向量的正交分解的基础上,通过类比平面向量的运算,从二维平面拓展到三维空间.完成了从 几何运算到代数运算的转换.

课时分配
本节内容用 1 课时的时间完成,主要讲解

用空间向量的坐标表示平行,垂直,模与夹角的问题,为下一 步解决空间几何问题打下基础.

教学目标
重点:空间直角坐标系,空间向量的坐标表示. 难点:空间向量的坐标的确定及运算 知识点:掌握空间向量坐标运算的规律 能力点:用空间向量解决简单的立体几何问题. 教育点:用类比的方法研究空间向量问题. 自主探究点:用空间向量基本定理研究空间几何问题. 考试点:证明平行与垂直,求角和距离. 易错易混点:基底和坐标系的选取与使用. 拓展点:求平面的法向量.
王新敞
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教具准备 课堂模式

多媒体课件和三角板 学案导学

一、 引入新课
(1)复习平面向量的坐标运算 1 平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i,j 作为基底 任作一个向量 a ,由平面向量基本定理知,
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有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a = x i + y j 把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 特别地,

i ? (1, 0) , j ? (0,1) , 0 ? (0, 0)
2.平面向量的坐标运算 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 (1) a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,

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1

(2) a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , (3) ? a ? (? x, ? y )
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(4) a ? b ? a1b1 ? a2b2 (5)a∥b (b?0)的充要条件是 x1y2-x2y1=0 (6) a ? b

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
2 2

(7) | a |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) (8)cos< a , b >=

a1b1 ? a2b2
2 2 a ? a2 b12 ? b2 2 1

(2)复习空间向量坐标的定义 【师生活动】师:请同学们回顾一下空间向量坐标的定义? 生: 设 i , j , k 是空间中三个两两垂直的向量,且有公共起点. 对于空间任一向量 p ,根据空间向量基本定理, 存在唯一的一个有序实数组 ?x, y, z? 使得

p ? xi ? yj ? zk ,记作 p ? ( x, y, z )
师:设 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 ) ,请同学们根据坐标定义计算:

a?b ? a?b ? ?a ? a ?b ?
【设计意图】 通过回顾空间向量的坐标的定义,引出本课题. 【设计说明】既空间向量坐标的定义,又自然地引出坐标运算的话题,类比平面向量,由二维空间推广到三 维空间.

二、探究新知
师: a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 ) ,表达了什么信息? 生: .如图给定空间直角坐标系和向量 a ,设 i , j , k 为坐标向量, 则存在唯一的有序实数组 (a1 , a2 , a3 ),(b1, b2 , b3 ) ,使
z

a ? a1i ? a2 j ? a3k , b ? b1i ? b2 j ? b3k
则 a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,
k i O j

A(x,y,z)

y

a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,
x

2

? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R) ,
a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 , a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) , a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 .

三、理解新知
与平面向量相比,只是多了一个竖坐标而已即由 ( x, y) 变成了 ( x, y, z ) . [设计意图]为准确地运用新知,作必要的铺垫.

四、运用新知
例 1 已知 a ? (2, ?3,5) , b ? (?3,1, ?4) ,求 a ? b , a ? b , | a | , 8 a , a ? b .
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解: a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? (?1, ?2,1) ,

a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? (5, ?4,9) ,

| a | ? 22 ? (?3) 2 ? 52 ? 38 ,
8 a ? 8(2, ?3,5) ? (16, ?24, 40) ,
a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? ?29 .
[设计意图]让学生练习运用向量的坐标进行运算. 例 2.已知向量 a ? (1, 2, ?2), b ? (?2, ?4, 4) , c ? (2, x, ?4) . (1) 判断 a 与 b 的位置关系; (2) 若 a // c ,求 | c |; (3) 若 b ? c ,求 c 在 a 方向上的投影. 解:(1) b ? (?2, ?4, 4) ? ?2(1, 2, ?2) ? ?2a ,所以, a // b ; (2) (3)

2 x ?4 2 2 2 a // c,? ? ? ,得 x ? 4, ? c ? (2, 4, ?4),?| c |? 2 ? 4 ? ( ?4) ? 6; 1 2 ?2

b ? c,? b ? c ? 0 ,得 x ? ?5 ,? c ? (2, ?5, ?4) ,所以 c 在 a 方向上的投影为

| c | cos ? a, c ??| c | ?

a ?c 2 ? 10 ? 8 ? ?0. | a |?| c | 3

[设计意图]让学生练习两个向量平行与垂直的的向量坐标表示.
3

例 3.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E , F 分别是 BB 1 , CD 的中点,求证 D1 F ? 平面 ADE . 证明:不妨设已知正方体的棱长为 1 个单位长度,如图建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 AD ? (?1, 0, 0) , D1F ? (0, , ?1) ,

1 2

1 AD ? D1F ? (?1, 0, 0) ? (0, , ?1) ? 0 , 2
∴ AD ? D1F , 又 AE ? (0,1, ) , AE ? D1F ? (0,1, ) ? (0, , ?1) ? 0 , ∴ D1F ? AE , AD

1 2

1 2

1 2

AE ? A ,

所以, D1 F ? 平面 ADE . [设计意图]运用坐标法解决空间几何中的线面垂直问题,让学生体会空间向量是解决立体几何问题的有效工 具.

五、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法?学生作答: 1.知识:空间向量的坐标运算. 2.思想:类比思想、数形结合的思想. 教师总结: 本节课,我们从平面向量的坐标定义及坐标运算,运用类比的方法,结合上节课学习的平面向量基 本定理和空间向量坐标的运算,完成了由二维平面到三维空间的拓展,与平面向量相比,只是多了一个竖坐标而 已. [设计意图] 让学生充分认识到知识的发展过程,从整体上把握住本节的知识体系.

六、布置作业
1.阅读教材 P95—96; 2.书面作业 必做题:P97 练习 2,3. P98 习题 7,8,9,10 选做题:如图,直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面 ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,M、N 分 别是 A1B1、A1A 的中点. → (1)求BN的模; (2)求异面直线 BA1 与 CB1 所成角的余弦值; (3)求证:A1B⊥C1M.

七、教后反思
1.先复习平面向量的坐标定义及其运算,用类比的方法由二维平面直接到三维空间;
4

2.教会学生准确的选择基底,用空间向量基本定理解决空间几何的线面关系; 3. 教会学生准确的建立坐标系,用空间向量坐标解决空间几何的线面关系;

八、板书设计
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 复习 例1 例2 例3

拓展 作业

5


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