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3.1.1 随机事件的概率


第三章 概率
3.1 随机事件的概率 3.1.1 随机事件的概率

1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念.(重点)
2.正确理解事件A出现的频率的意义. 3.正确理解概率的概念,明确事件A发生的频率fn(A)与事 件A发生的概率P(A)的区别与联系.(难点)

探究点1 随机事件 观察下列现象:
水 中 捞 月

不可能 发生
(1)实心铁块丢入 水中,铁块浮起

(2)水中捞到月亮

在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对于条
件S的不可能事件.

(4)人会死亡
(3)明天,地球 还会转动 在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S的 必然事件.

确定事件:必然事件与不可能事件统称为

相对于条件S的确定事件.

(5)今天购买的体育彩 票能中奖吗? 随机事件

(6)科比能投中三分吗?

在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫 做相对于条件S的随机事件. 确定事件和随机事件统称为事件. 一般用大写字母A,B,C??表示.

【概念提升】

随机事件的注意点:

要搞清楚什么是随机事件的条件和结果.

事件的结果是相对于“一定条件”而言的.

因此,要弄清某一随机事件,必须明确何为事件 发生的条件,何为在此条件下产生的结果.

例1 指出下列事件是必然事件,不可能事件, 还是随机事件: (1)“某电话机在一分钟之内,收到三次呼叫”; 随机事件 (2)“当 x 是实数时,x2 ≥ 0”; 必然事件 (3)“没有水分,种子发芽”; 不可能事件 (4)“打开中央电视台,正在播放新闻” . 随机事件

探究点2 随机事件的概率及频率

物体的大小常用质量、体积等来度量,学习水平的高
低常用考试分数来衡量.对于随机事件,它发生的可能性

的大小,我们也希望能用一个数量来反映.

在数学中,用概率来度量随机事件发生的可能性大小.

1.频数与频率 在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是 否出现, 称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现

的频数,
nA 称事件A出现的比例 f n (A)= 为事件A出现的频率. n

2.频率的取值范围是什么?

0 ? f n (A) ? 1

3. 概率的定义 在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率 n A
n

总是接近于某个常数,这时就把这个常数叫做事件A
的概率.

历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验,结
果如下表所示:
抛掷次数(n) 正面朝上次数 (m) 频率(m/n) 2 048 1 061 0.518 1 4 040 2 048 0.506 9 12 000 6 019 0.501 6 24 000 12 012 0.500 5 30 000 14 984 0.499 6 72 088 36 124 0.501 1

频率m/n

1
0.5

抛掷次数n
2048 4040 12000 24000 30000 72088

【提升总结】 随着试验次数的增加,正面向上的频率逐渐

地接近于0.5.
用频率来估计“掷一枚硬币,正面向上”的

概率是0.5.

注意以下几点: (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的 重复试验; (2)只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常 数才叫做事件A的概率; (3)概率是频率的稳定值,而频率是概率的近似值; (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小; (5)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0. 因此 0 ? P ? A ? ? 1 .

例2(2012·北京高考)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理 ,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设

置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽
取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据统计如下(单位 :吨): 厨余垃圾 厨余垃圾箱 400 可回收物箱 100 其他垃圾箱 100

可回收物 30 240 其他垃圾 20 20 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率. (2)试估计生活垃圾投放错误的概率.

30 60



?1? 厨余垃圾投放正确的概率约为

“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 400 2 = = . 厨余垃圾总量 400 +100 +100 3

? 2 ? 设生活垃圾投放错误为事件A,则事件A
表示生活垃圾投放正确.事件 A 的概率约为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收 物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里 其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量, 400 + 240 + 60 即P(A)约为 = 0.7. 1 000 所以P ? A ? 约为1 - 0.7 = 0.3.

【提升总结】 概率可看成频率在理论上的稳定值,它从数量 上反映了随机事件发生的可能性的大小,它是频率 的科学抽象,当试验次数越来越多时频率向概率靠 近,只要次数足够多,所得频率就近似地当作随机 事件的概率.

【变式练习】 某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如下表:
投篮次数 进球次数 进球频率 8 6 10 8 15 12 20 17 30 25 40 32 50 39

(1)计算表中进球的频率;
0.75 0.80 0.80 0.85 0.83 0.80 0.78

(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少?
0.80

事件A发生的频率 f n (A) 是不是不变的? 频率是变化的,
事件A发生的概率 P ? A ? 是不是不变的? 概率是不变的.

它们之间有什么区别和联系? (1)联系:随着试验次数的增加, 频率会在概率
的附近摆动,并趋于稳定. 在实际问题中,若事件

的概率未知,常用频率作为它的估计值.
(2)区别:频率本身是随机的,在试验前不能确定, 做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率 都可能不同. 而概率是一个确定数,是客观存在的, 与每次试验无关.

1.抛掷100枚质地均匀的硬币,有下列一些说法:

①全部出现正面向上是不可能事件;
②至少有1枚出现正面向上是必然事件; ③出现50枚正面向上50枚正面向下是随机事件; 以上说法中正确的个数为( B ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

2.一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频
数如表:

则样本数据落在(10,40]上的频率为( C )
A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64

解:选C.由题意可知样本数据落在(10,40]上的频
数为:13+24+15=52.由频率=频数÷总数,可得

52 ? 0.52. 100

3.随机事件:在n次试验中发生了m次,则( C ) A.0<m<n C.0≤m≤n B.0<n<m D.0≤n≤m

4.下列说法正确的是 ( C )

A.任何事件的概率总等于频率
B.频率是客观存在的,与试验次数无关

C.随着试验次数的增加,频率一般会非常接近概率
D.概率是随机的,在试验前不能确定

5. 某射击手在同一条件下进行射击,结果如表所示:
射击次数n 击中靶心次数m 击中靶心的频率 10 20 50 100 200 500

8

19

44

92

178

455

(1)填写表中击中靶心的频率. (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么? 解:(1) 0.80 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91 (2)由于频率稳定在常数0.90,所以这个射手射击一次, 击中靶心的概率约是0.90. 小结:概率实际上是频率的科学抽象,某事件的概率 可以通过该事件的频率来估计.

6.(2013·湖南高考)某人在如图所示的直角边长为4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以 及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据

历年的种植经验,一株该种作物的年收货量Y(单位:
kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示: X Y 1 51 2 48 3 45 4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直 线距离不超过1米. 红皮书P58 典例1(2)

(1)完成下表,并求所种作物的平均

年收获量;
Y
频数

51

48
4

45

42

(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少 为48kg的概率. 【解题指南】本题关键是弄懂“相近”即直线距离 不超过1米的含义.

解:(1)由图可知所种作物总株数为15.其中“相近” 作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的 作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株, “相近”作物株数为4的作物有3株,列表如下
Y 51 48 45 42

频数

2

4

6

3

所种作物的平均年收获量为

(2)由(1)知年收获量至少为48kg的有6株,故从15

51 ? 2 ? 48 ? 4 ? 45 ? 6 ? 42 ? 3 ? 46. 15

株中随机选取一株,它的年收获量至少为48kg的概
6 2 率为 ? . 15 5

随机的

随机的
大量的 重复

确定的

随机事件

频 率
稳定于 某常数

概 率

试验

估计

追赶时间的人,生活就会宠爱他; 放弃时间的人,生活就会冷落他.


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