tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第03讲 二次函数的应用


第 3 讲 二次函数的应用
本讲内容包括 一元二次方程根的分布问题及二次函数的综合运用。 若二次函数 程 ax
2

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 ) 的图象与 x 轴有交点,则相应的二次方

? bx ? c ? 0 ( a ? 0) 有根,而且方程的根就是二 f ( x) ? ax 2

? bx ? c 的图象在 x 轴上的截距。应用

次函数

二次函数图象是解二次方程根的分布问题的重要方法。如由二 次函数的图象可以直观的得到:对于二次函数

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c

, , 则 二 次 方

若 程

f (m) ? f (n) ? 0 (m ? n)
ax 2 ? bx ? c ? 0

在 [m, n] 上有一个根。

A 类例题
例 1 若方程 x
2

? (m ? 2) x ? 5 ? m ? 0 的根满足下列条件,分别求出实数 m 的

取值范围。 (1) 方程两实根均为正数; (2) 方程有一正根一负根。 分析 讨论二次方程根的分布, 应在二次方程存在实根的条件下进行。代数方法与图象 法是研究二次方程根的分布问题的主要方法。 解 1 (1)由题意,得

?? ? 0 ? ? x1 ? x2 ? 0 ?x x ? 0 ? 1 2 ?m ? ?4或m ? 4 ? ? ?m ? 2 ?m ? 5 ?
所以,当 m ?

?(m ? 2) 2 ? 4(5 ? m) ? 0 ? ? ?? (m ? 2) ? 0 ?5 ? m ? 0 ? ? m ? ?4 .

?4 时,原方程两实根均为正数;

(2) 由题意,得

?? ? 0 ? 5?m ? 0 ? m ? 5. ? x1 x2 ? 0 ?
所以,当 m ? 5 时,原方程有一正根一负根。

解 2

二次函数

y ? x 2 ? (m ? 2) x ? 5 ? m 的图象是

开口向上的抛物线。 (1)如图,由题意,得

? ? ?5 ? m ? 0 ? f (0) ? 0 ? ? ? b ? m?2 ?0 ? ?? ?0 ? m ? ?4 ?? 2a 2 ? ? b ? ? (m ? 2) 2 (m ? 2) 2 ? ?5?m ? 0 ? f ( ? 2a ) ? 0 ? ? ? 4 2
。 所以,当 m ?

?4 时,原方程两实根均为正数;

(2)如图,由题意,得

f (0) ? 0 ? 5 ? m ? 0 ? m ? 5 。
所以,当 m ? 5 时,原方程有一正根一负根。 评注 解 2(1)中,条件 ? 次函数的图象与原图象关于 例 2 若方程 k 的 取值范围。 (1) 方程两实根均大于 1; (2) 方程有一根比 1 大,一根比 1 小。 分析 本题的要求虽然与例 1 仅一字 之差,由于“两实根均大于 3”与 “?

b b ? 0 是必要的。若将此条件改为 ? ? 0 ,得到的二 2a 2a

y 轴对称,此时得到的 m 的值是两根均为负数的解。

x 2 ? ( 2k ? 3) x ? 4k ? 2 ? 0 的根满足下列条件,分别求出实数 k

? 0 , x1 ? x2 ? 6 , 且 x1 x2 ? 9 ”不等价,因而解法有所变化。思路一,将原问题

化归为例 1 求解;思路二,运用图象法求解。 解1 设x

? t ? 1,原方程 可化为
k t 2 ? 3 t ? 3k ? 1 ? 0 。

(1) 由题意,关于 t 的方程的两根均为正数,得

? ?32 ? 4k (3k ? 1) ? 0 ?? ? 0 ? 3 1? 2 7 ? ? ?0 ? k? ?t1 ? t 2 ? 0 ? ? k 6 ?t t ? 0 ? ?12 ? 3k ? 1 ? k ?0 ?
所以,当 k



1? 2 7 时,原方程两实根均大于 1; 6 (2) 由题意,关于 t 的方程的两根为一正根和一负根,得 ?? ? 0 3k ? 1 1 ? ?0 ? 0?k ? . ? k 3 ?t1t2 ? 0 ?
所以,当 0 解2

?k?

1 时,原方程有一根比 1 大,一根比 1 小。 3 2k ? 3 4k ? 2 x? ? 0. k k 2k ? 3 4k ? 2 x? k k


原方程可化为

x2 ?
(1) 由 函 数 图象,得

f ( x) ? x 2 ?

? 3k ? 1 ? ?0 ? ? f (1) ? 0 k ? ? ? b ? 2k ? 3 ?0 ?? ?0 ?? 2a 2k ? ? b ? ? (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 4k ? 2 ? ? ?0 ? f ( ? 2a ) ? 0 ? ? k 2k 2 ? 4k 2
?k? 1? 2 7 . 6 ? 1? 2 7 时,原方程两实根均大于 1; 6

所以,当 k

(2) 由函数

f ( x) ? x 2 ?

2k ? 3 4k ? 2 x? 的图 k k

象,得

f (1) ? 0 ? 1 ?
所以,当 0

2k ? 3 4k ? 2 1 ? ?0 ? 0?k ? . k k 3

?k?

1 时,原方程有一根比 1 大,一根比 1 小。 3
2

例3

求实数 k 为何值时,方程 x

? kx ? k ?

1 ? 0 的两个实根 4

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

(1)分别在区间(1,2)和(3,4)内; (2)绝对值小于 1。 分析 本题运用图象法求解比较简捷。其中,两个实根的绝对值小于 1,即两个实根均 在区间 ( ? 1 , 1 ) 内。





f ( x) ? x 2 ? kx ? k ?

1 4



(1)由题意,得

1 ? 1? k ? k ? ? 0 ? 4 ? ? f (1) ? 0 ? 4 ? 2k ? k ? 1 ? 0 ? f ( 2) ? 0 37 65 ? ? 4 ? ? ? ?k? . ? f (3) ? 0 1 8 12 ? ? 9 ? 3k ? k ? ? 0 ? f ( 4) ? 0 ? 4 ? ? 1 ?16 ? 4k ? k ? ? 0 ? 4
所以,当

37 65 ? k ? 时,原方程两实根分别在区间(1,2)和(3,4)内; 8 12

(2)由题意,两个实根的绝对值小于 1,即两个实根均在区间 ( ? 1 , 1 ) 内。因而有

1 ? 1? k ? k ? ? 0 ? ? f (?1) ? 0 4 ? ? f ( 1) ? 0 ?1 ? k ? k ? 1 ? 0 ? ? 5 4 ? b ? ? ? ? ? k ? 2? 5. ?? 1 ? ? ?1 8 2a ? ?? 1 ? k ? 1 2 ? ? b ? f (? ) ? 0 ?k 2 k 2 1 2a ? ? ? ?k? ?0 ?4 2 4
所以,当 ?

5 ? k ? 2 ? 5 时,原方程的两个实根的绝对值小于 1。 8

情景再现
1.关于 x 的方程 x
2

? (a 2 ? 1) x ? a ? 2 ? 0 的一个根比 1 大,另一个根比 1 小,则( )

A ?1 ? a ? 1

B | a |? 1
2

C

? 2 ? a ? 1 D a ? ?2 或 a ? 1

2.实数 k 为何值时,方程 x

? kx ? k ? 2 ? 0 的两根都大于

1 2



3. 关于 x 的方程 7 x

2

? (a ? 13) x ? a 2 ? a ? 2 ? 0 有两个实根分别在区间 1) (0,

和(1,2)上,求实数 a 的值。

B 类例题
例 4 已知方程 mx
4

? ( m ? 3 ) x 2 ? 3m ? 0 有一个根小于 ? 1,其余三个根都大于

? 1,求 m 的取值范围。
分析 设x
2

? y ,原方程可化为 my 2 ? ( m ? 3 ) y ? 3m ? 0 ,因而原方程的四 ? y ,原方程可化为 my 2 ? ( m ? 3 ) y ? 3m ? 0 。由题意,此方程

个根是互为相反数的两对根。 解 设x
2

的两个根都是正根,且一根大于 1,另一根小于 1。



f ( y) ? y 2 ?

m?3 y?3 m

,则

?3 ? 0 ? f (0) ? 0 ? ? ? m?3 ? ?1 ? m ? 0 。 ? f (1) ? 0 1? ?3?0 ? ? m ?
所以,当 ? 1 ?

m ? 0 时,原方程的四个根中,有一个根小于 ? 1,其余三个根都大于

? 1。
例 5 已知 a

? b ? c ,证明关于 x 的方程

3 x 2 ? 2(a ? b ? c) x ? ab ? bc ? ca ? 0
有两个不等的实根,且这两个根分别在区间 (a, b) 和 (b, c) 内。 分析 且 设

f ( x) ? 3 x 2 ? 2(a ? b ? c) x ? ab ? bc ? ca ,本题即要证 ? ? 0

f (a) ? f (b) ? 0 , f (b) ? f (c) ? 0 。


? ? 4(a ? b ? c) 2 ? 4 ? 3(ab ? bc ? ca )

? 4(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca) ? 2[( a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a) ]
2 2 2

有两个不等的实根,且这两个根分别

在区间 (a, b) 和 (b, c) 内。

例 6 若函数 求 [ a , b] 。

1 13 f ( x) ? ? x 2 ? 在区间 [a , b] 上的最小值为 2a ,最大值为 2b , 2 2

分析 欲求 a , b 的值, 需按题设条件列出关于 a , b 的两个方程。 注意到求二次函数最 值时,要判断二次函数的顶点是否在给定区间内,可以通过分类讨论的方法予以解决。 解 (1)当 a

? b ? 0 时,



? 1 2 13 ?? 2 a ? 2 ? 2 a ? f ( a ) ? 2a ? ? ? ? ? f (b) ? 2b ?? 1 b 2 ? 13 ? 2b ? 2 ? 2





a, b







x 2 ? 4 x ? 13 ? 0 的两根。但此方程两根异号,故此时无解;
(2)当 a

? 0 ? b 时 , f ( x) |最大值 ? 2b ?

13 13 ? b ? 。 f (x ) |最小值 2 4



1 13 f (x ) |最小值 = f (a ) ? 2a ? ? a 2 ? ? 2a ? a ? ?2 ? 17 ; 2 2 1 13 13 f (x ) |最小值 = f (b) ? 2a ? ? ( ) 2 ? ? 2a ? a ? 0 (不合题意) 。 2 4 2 17 , 13 ]; 4



因此,所求区间为 [ ?2 ? (3)当 0 ?

a ? b 时,

? 1 2 13 ?? 2 b ? 2 ? 2 a ? f (b) ? 2a ?a ? 1 , ? 由? ? ? ? ? ? f (a) ? 2b ?b ? 3 . ?? 1 a 2 ? 13 ? 2b ? 2 ? 2
因此,所求区间为 [1 , 3] 。 综上,所求区间为 [ ?2 ?

17 ,

13 ] 或 [1, 3] 。 4

情景再现
4.函数

f ( x) ? x 2 ? 3ax ? 2a ?
2

1 4

在区间 [0 , 1] 上的最小值为 0,求 a 的值。

5.已知 a

? ab ? ac ? 0 ,求证:方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 必有两个不等的实根,且一个大

于 1,一个小于 1。 6.已知 a ? b ? c ,求证方程 个小于 b .

1 1 1 ? ? ? 0 有两个实根,且一个大于 b ,一 x?a x?b x?c

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

C 类例题
例 7 设函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ) ,方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根 x1 、x2 满

足0 ?

x1 ? x2 ?

1 , a

(1)当 0 ?

x ? x1 时,证明 x ? f ( x) ? x1 ;
? f (x) 的图象关于直线 x ? x0 对称,证明 x0 ?
x1 . 2

(2)设函数 y

分析 本题涉及字母较多,其中 x 是变量, a , b , 映出对 b , 用 a , x1 ,

c , x1 , x2 是常量。从题设条件中反

c

知之甚少 ,对 a , x1 ,

x2 了解较多。为比较 x , f ( x) , x1 的大小,可以将它们

x2 表示。
f ( x) ? x ? 0 的两个根,得

证明 (1) x1 、x2 是方程

f ( x) ? x ? a( x ? x1 )( x ? x2 )

? 0 ? x ? x1 ? x2 ?

1 a

? f ( x) ? x x1 ? f ( x) ? x1 ? x ? a( x ? x1 )( x ? x2 )

? ( x1 ? x)(1 ? a x2 ? a x) ? 0
所以, x

? f ( x) ? x1



(2)由题意, x1 、x2 是方程

f ( x) ? x ? 0 的两个根,所以,

x1 ? x2 ? ?
又 函数 y

b ?1 ? b ? 1 ? a ( x1 ? x2 ) a

? f (x) 的图象关于直线 x ? x0 对称,因而

x0 ? ?

b a ( x1 ? x2 ) ? 1 x1 ax2 ? 1 ? ? ? 2a 2a 2 2a 1 , a ? x0 ? x1 . 2

? 0 ? x ? x1 ? x2 ?
例 8 设函数

f ( x) ? ax 2 ? 8 x ? 3 (a ? 0) ,

对于给定的负数 a ,有一个最大的正

数 l (a ) ,使得在整个区间 [0 , l ( a )] 上,不等式 |

f ( x) |? 5 都成立。

(1)求 l (a ) 的表达式。 (2)当 a 为何值时, l (a ) 最大?并求出这个最大值 l (a ) 。 分析(1)由 a 为负数, 函数 函数

f (x) 的图象是开口向下的抛物线。 ? 由

b 4 ? ? ? 0, 2a a

f (x) 的图象的顶点位于 y 轴的右方。由此应用图象可求出 l (a ) 。
解 (1)

4 3a ? 16 f ( x) ? ax 2 ? 8 x ? 3 ? a( x ? ) 2 ? a a

,

[来源:学科网 ZXXK]

f (0) ? 3 , ?
f (x) 的最大值为

4 ? 0 (? a ? 0) ,即函数 f (x) 的图象的顶点位于 y 轴的右方, a

3a ? 16 。 a

10
方 程



3a ? 16 ? 5 , a ? ?8 时, l (a ) 是 即 则 a
的 较 大 的 根 。 由

f ( x) ? ?5

ax 2 ? 8 x ? 3 ? ?5 ,解得

l (a) ?

? 4 ? 2 4 ? 2a ; a

20 l (a )



3a ? 16 ? 5 ,即 ? 8 ? a ? 0 时,则 a
f ( x) ? 5
的 较 小 的 根 。 由

是 方 程

ax 2 ? 8 x ? 3 ? 5 ,解得

l (a) ?

? 4 ? 16 ? 2a a



? ? 4 ? 2 4 ? 2a ? ? a 所以, l ( a ) ? ? ? ? 4 ? 16 ? 2a ? a ?

a ? ?8 ,
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

?8 ? a ? 0.

分析

(2)函数 l (a ) 的表达式中,自变量 a 比较分散,可以通过分子有理化将自变

量 a 集中,以便于分析函数 l (a ) 值的增减变化。 解 (2)当 a

? ?8 时,

l (a) ? ?

? 4 ? 2 4 ? 2a (?4 ? 2 4 ? 2a )( ?4 ? 2 4 ? 2a ) ? a a (?4 ? 2 4 ? 2a ) 16 ? 4(4 ? 2a) 4 2 5 ?1 ? ? ? . 2 a (?4 ? 2 4 ? 2a ) 4 ? 2a ? 2 5 ?1
a ? 0 时,

当?8 ?

l (a) ? ?

? 4 ? 16 ? 2a (?4 ? 16 ? 2a )( ?4 ? 16 ? 2a ) ? a a (?4 ? 16 ? 2a ) 2 2 1 ? ? . 4 ? 16 ? 2a 4 ? 4 2

综上,当 a

? ?8 时, l (a ) 的最大值为

5 ?1 . 2

情景再现
7.若二次函数

f ( x) ? ax 2 ? bx 有 f (m) ? f (n) ,求 f ( m ? n) .的值。

8.设 值范围。

f ( x) ? x 2 ? 2ax ? a 2 ?

3 ,若对于 0 ? x ? 1,均有 | f ( x) |? 1 ,求实数 a 的取 4

习题 3
1.关于 x 的方程 3 x 取值范围。 2.二次函数 y ? 5 x ? 2(m ? 1) x ? m ? 6 的图像与
2 2

2

? 5 x ? a ? 0 的两根分别在区间 (?2 , 0) 和 (1, 3) 内,求 a 的

x 轴的两个交点位于区间[-1,1]

上,且分居

y 轴的两侧,求实数 m 的取值范围。

3.已知关于 x 的方程 x (1) 实数 m 的值; (2)关于 x 的方程 x
2

2

? (m 2 ? 2m ? 3) x ? 2(m ? 1) ? 0 的两个实数根互为相反数

[来源:学科网 ZXXK]

? (k ? m) x ? 3m ? k ? 5 ? 0 的根均为整数,求出所有满足条件的

实数 k 。 4.在如图所示的直角坐标系中, 一运动物体经过点

A(0 , 9) ,其轨迹方程为 y ? ax 2 ? c ( a ? 0 )
(1)为使物体落在 x 轴上给定的区间(6,7)内,求 实数 a 的取值范围; (2)若物体又经过 P( 2 , 8.1 ) ,问它能否落在 x 轴上给 定的区间(6,7)内?说明理由。 5.设二次函数

y A P

O

6 7

x

f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ? a

,若 ? 2 ?

x ? 2 时, f ( x) ? 0 恒成立。

求实数 a 的取值范围。 6.已知

a , b , c 为 实 数 , ac ? 0 且 2a ? 3b ? 5c ? 0 , 证 明 一 元 二 次 方 程
3 小于 1 的根。 5

ax 2 ? bx ? c ? 0 有大于
7.对于二次函数 次函数

f (x) ,若存在实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 成立,则称点 ( x0 , x0 ) 为二

f (x) 的不动点。
f ( x) ? ax 2 ? bx ? b 有不动点(1,1)和(-3,-3)求 a , b 的值;

(1)二次函数

(2) 对于任意实数 b , 二次函数 取值范围。 8.设二次函数

f ( x) ? ax 2 ? bx ? b 总有两个相异的不动点, 求实数 a 的

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0) 满足条件:

(1) 当 x 为任意实数时, (2) 当 0 ? (3)

f ( x ? 4) ? f (2 ? x) ,且 f ( x) ? x ;

x ? 2 时, f ( x) ? (

x ?1 2 ) ; 2

f (x) 的最小值为 0。



f (x) 的解析式。

9.设二次函数

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c (a, b, c ? Z ) ,

已知方程

f ( x) ? 0 在区间

(?2,0) 内有两个不等的实根,且对任意实数 x 恒有 4 x ? 2 ? f ( x) ? 8 x 2 ? 12 x ? 4 ,
求a, b,

c。
2

10.已知关于 x 的方程 x

? 2 x ? a 2 ? a ? 0 (a ? 0) .

(1)证明:这个方程的一个根比 2 大,另一个根比 2 小; (2)若对于 a

? 1,2, ?,2006 ,相应的方程的两根分别为

?1 , ?1 , ? 2 , ? 2 , ?? 2006 , ? 2006 ,


1

?1

?

1

?1

?

1

?2

?

1

?2

???

1

? 2006

?

1

? 2006

的值。

答案
情景再现
1. 设

f ( x ) ? x 2 ? ( a 2 ? 1) x ? a ? 2 。 由 f (1) ? 0 ? a 2 ? a ? 2 ? 0 ,解 得

? 2 ? a ? 1 。所以,应选 C 。
2. 设

f ( x) ? x 2 ? kx ? k ? 2 。由题意,得

? 1 k 7 ?f( )? ? ?0 2 4 ? 2 ? b k 1 ? ? ? ?? 2a 2 2 ? ? b k2 ?k ?2?0 ? f (? ) ? ? 2a 4 ?
所以,当 k

7 ? k? ? 2 ? 7 ?k ? 1 ? k ? 2 ?k ? R ? ?



?

7 1 时,原方程的两根都大于 。 2 2

3.



f ( x) ? 7 x 2 ? (a ? 13) x ? a 2 ? a ? 2 。由题意,得

? f (0) ? a 2 ? a ? 2 ? 0 ?a ? ?1 或 a ? 2 ? ? ? 2 ? f (1) ? a ? 2a ? 8 ? 0 ? ?? 2 ? a ? 4 ? ?a ? 0 或 a ? 3 f (2) ? a 2 ? 3a ? 0 ? ? ?
所以,当 ? 2

? a ? ?1 或 3 ? a ? 4 时,原方程的两个实根分别在区间(0,1)

和(1,2)上。

4.

1 3 2 9 a 2 ? 8a ? 1 f ( x) ? x ? 3ax ? 2a ? ? ( x ? a ) ? 。 4 2 4
2

(1)当 ?

3 1 1 a ? 0 即 a ? 0 时, f min ( x) ? f (0) ? ? 2a ? 0 ? a ? ; 2 4 8 3 2 ? ? a ? 1 即 ? ? a ? 0 时, 2 3

(2) 当 0

3 9 a 2 ? 8a ? 1 1 f min ( x) ? f (? a ) ? ? ? 0 ? a ? ?1或a ? (均舍去) . 2 4 9
(3) 当 ?

3 2 a ? 1 即 a ? ? 时, 2 3 5 5 ?0?a ?? . 4 4

f min ( x) ? f (1) ? a ?
综上,所求 a 的值为 a

1 5 ? 或? 。 8 4

5. 设

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ,由 a 2 ? ab ? ac ? 0 ,得 a(a ? b ? c) ? 0 。

(1)若 a

? 0 ,则抛物线的开口向上,且 a ? b ? c ? 0 即 f (1) ? 0 。由此得方程

ax 2 ? bx ? c ? 0 有两实根,且一根比 1 大,一根比 1 小;
(2)若 a

? 0 ,则抛物线的开口向下,且 a ? b ? c ? 0 即 f (1) ? 0 。由此得方程

ax 2 ? bx ? c ? 0 有两实根,且一根比 1 大,一根比 1 小。
综上,原命题得证。 6. 原方程可化为

f ( x) ? 3 x 2 ? 2(a ? b ? c) x ? ab ? bc ? ca ? 0 。

由a

? b ? c ,得

f (a ) ? 3a 2 ? 2a (a ? b ? c) ? ab ? bc ? ca ? (a ? b)( a ? c) ? 0 ,

f (b) ? (b ? a)(b ? c) ? 0 , f (c) ? (c ? a)(c ? b) ? 0 。
所以,原方程的两根分别在区间(c,b)和(b,a)上,即一根比 b 大,一根比 b 小。 7. 由题意,得 ?

b m?n b ? ? m?n?? 。 2a 2 a

所以,

b b f ( m ? n) ? a ( ? ) 2 ? b( ? ) ? 0 。 a a 3 3 ? ( x ? a ) 2 ? 2a 2 ? 。 4 4

8.

f ( x ) ? x 2 ? 2a x ? a 2 ?

1 ? f max ( x) ? f (1) ? ? 2a ? a 2 ? 1 ? 1 ? 4 10 当 a ? 0 时, ? ? ? ? a ?0; 2 ? f ( x) ? f (0) ? ?a 2 ? 3 ? ?1 min ? ? 4


f (1) ? f (0) ? 1 ? 2a ,

20

当0

?a?

1 时, 2

1 ? f max ( x) ? f (1) ? ? 2a ? a 2 ? 1 ? 2 ? 4 ?0?a? ; ? 3 4 ? f ( x) ? f (a) ? ?2a 2 ? ? ?1 ? min ? 4 3 ? f max ( x) ? f (0) ? ?a 2 ? ? 1 ? 1 ? 4 30 当 ? a ? 1时, ? 2 ? f ( x) ? f (a) ? ?2a 2 ? 3 ? ?1 ? min ? 4

,此时无解;

3 ? f max ( x) ? f (0) ? ?a 2 ? ? 1 ? ? 4 40 当 a ? 1 时, ? ? f ( x) ? f (1) ? 1 ? 2a ? a 2 ? ?1 ? min ? 4
综上,所求 a 的取值范围是 ?

,此时无解。

1 2 ?a? 。 2 4

习题 3
1. 设

f ( x) ? 3 x 2 ? 5 x ? a ,由题意,得

? f ( ?2) ? 22 ? a ? 0 , ?f(0) ?a ?0, ? ? ? 12 ? a ? 0 . ? f ( 1 ) ? ?2 ? a ? 0 , ? ? f ( 3 ) ? 12 ? a ? 0 . ?
所以,所求 a 的取值范围是 ? 12 ? 2. 设

a ? 0。

f ( x) ? 5 x 2 ? 2(m ? 1) x ? m 2 ? 6 ,由题意,得

? f (?1) ? m 2 ? 2m ? 1 ? 0 , ? ? 2 ? ? 6 ? m ? ?1 。 ? f (0) ? m ? 6 ? 0 , ? 2 ? f (1) ? m ? 2m ? 3 ? 0 ?
所以,所求 m 的取值范围是

? 6 ? m ? ?1。

3。

? x1 ? x2 ? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 , (1)由题意,得 ? ? m ? ?3 ; x1 x2 ? 2(m ? 1) ? 0 . ?
(2)由 m

? ?3 ,得方程 x 2 ? ( k ? 3) x ? 4 ? k ? 0 。由题意,得

? x1 ? x2 ? k ? 3 , ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 2 。 ? x1 x2 ? 4 ? k . ?
因为 x1 , x2 为整数,所以

? x1 ? 1 ? ?1 , 1 , ? x1 ? ?2 , 0 , ? ? ? ? x2 ? 1 ? ?2 , 2 . ? x2 ? ?3 , 1 .
所求 k 的值为 ? 2 或 4 。 4. 将(0,9)代入方程,得 c (1) 由 ?

? 9 。设 f ( x) ? ax 2 ? 9 。


? f (6) ? 36a ? 9 ? 0 , ? f (7) ? 49a ? 9 ? 0 .

?

1 9 ?a?? 4 49



(2) 将 (2,8.1)代入方程,得 a

??

9 1 9 ? (? , ? ) ,所以物体能落在 x 40 4 49

轴上给定的区间(6,7)内。

5.

a 2 a2 f ( x) ? x ? ax ? 3 ? a ? ( x ? ) ? 3 ? a ? 2 4
2



10

当?

a ? ?2 即 a ? 4 时, 2 7 3
(舍去) ;

f min ( x) ? f (?2) ? 7 ? 3a ? 0 ? a ?
20
当? 2

??

a ? 2 即 ? 4 ? a ? 4 时, 2

a a2 f min ( x) ? f ( ? ) ? 3 ? a ? ? 0 ? ?6 ? a ? 2 , ? ? 4 ? a ? 2 ; 2 4
30
当?

a ? 2 即 a ? ?4 时, 2

f min ( x) ? f (2) ? 7 ? a ? 0 ? a ? ?7 , ? ? 7 ? a ? ?4 .
综上,所求 a 的取值范围是 ? 7

? a ? 2。

6. 设

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ,又 b ? ?

2a ? 5c , 3

所以,

f(

3 3 3 ) ? f (1) ? ( a ? b ? c)( a ? b ? c) 5 5 5 ? 3 ? 10 ( 3 ? 2 )a ? ( 5 ? 3 )c a? 5 3 10 ? 3 [( 3 ? 2 )a 2 ? ( 5 ? 3 )ac] . 5 3


??
由 ac

? 0 , a2 ? 0 ,
2

f(

3 ) ? f (1) ? 0 。 5
3 小于 1 的根。 5

所以,方程 ax

? bx ? c ? 0 有大于

7. (1) ?

?a ? b ? b ? 1 , ?a ? 1 , ?? ?9a ? 3b ? b ? ?3 . ?b ? 3 .
2

(2)由题意, b 为任意实数时,二次方程 ax 则

? bx ? b ? x 总有两个相异的实根,

? ? (b ? 1) 2 ? 4ab ? b 2 ? 2(1 ? 2a )b ? 1 ? 0 恒成立。
由 ?1

? 4(1 ? 2a ) 2 ? 4 ? 0 ? ? 1 ? a ? 0 .

因而,所求实数 a 的取值范围是 ? 1 ? 8. 于

a ? 0。

f ( x ? 4) ? f (2 ? x) 中,令 t ? x ? 3 ,则 f (?1 ? t ) ? f ?? 1 ? t ? 。所

以, x

? ?1 是原二次函数 f (x) 图象的对称轴。又 f (x) 的最小值为 0。 可设

f ( x ) ? a ( x ? 1) 2 。
由题意,当 0 ?

x ? 2 时, x ? a( x ? 1) 2 ? (
1 , ? 4

x ?1 2 ) 。 2 f ( x) ? 1 ( x ? 1) 2 。 4

令x

? 1 ,得1 ? 4a ? 1 ? a ?
1 , 2
由 4x

9. 令 x

??

? 2 ? f ( x) ? 8 x 2 ? 12 x ? 4 ,得

1 1 2b ? a a? b?c ?0?c ? 4 2 4

由 4x

? 2 ? f ( x) ? 8 x 2 ? 12 x ? 4 ,得不等式组

a ? 2b ? 16 ? (8 ? a) x 2 ? (12 ? b) x ? ?0 ? ? 4 ? ?ax 2 ? (b ? 4) x ? a ? 2b ? 8 ? 0 ? ? 4

对任意实数 x 恒成立。

?8 ? a ? 0 , ? 2 2 ??1 ? (12 ? b) ? (8 ? a)( a ? 2b ? 16) ? (a ? b ? 4) ? 0 , 因而, ? ?a ? 0 , ?? ? (b ? 4) 2 ? a(a ? 2b ? 8) ? (a ? b ? 4) 2 ? 0 . ? 2
化简得 ? 由a

?0 ? a ? 8 , ?a ? b ? 4 ? 0 .

, b , c ? R ,得

?a ? ? ?b ? ?c ? ?

1, 2 , 3 , 4 , 5 , ? 3,

6, ?

7,

8, 4.

5 , 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11 , 12 ,

因此, f1 ( x )

? 4x 2 ? 8x ? 3 ,

解 f1 ( x )

? 0 得两根为 ?

1 3 和? , 符合题意; 2 2

f 2 ( x ) ? 8 x 2 ? 12 x ? 4 ,解 f 2 ( x) ? 0 得两根为 ?
所以, a 10.

1 和 ? 1,也符合题意。 2

? 4,b ?8,c ?3

或a

? 8 , b ? 12 , c ? 4 。

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? a 2 ? a
(1)因为

f ( 2) ? ? a 2 ? a ? 0 ,所以原方程的根一个比 2 大,一个比 2 小;

(2)设? k

, ? k 是方程 x 2 ? 2 x ? k 2 ? k ? 0 的两根,则
1

1

?k

?

?k

?

?k ? ?k 2 1 1 ? ? ?2( ? )。 ?k ?k k k ?1 ? k2 ? k

所以,

1

?1

?

1

?1

?

1

?2

?

1

?2

???

1

? 2006

?

1

? 2006

1 1 1 1 1 ? ?2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 2 3 2006 2007 1 4012 ? ?2(1 ? )?? . 2007 2007

学科网

w。w-w*k&s%5¥u 学科网 w。w-w*k&s%5¥u


推荐相关:

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第03讲 二次函数的应用

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第03讲 二次函数的应用_学科竞赛_高中教育_教育专区。第 3 讲 二次函数的应用本讲内容包括 一元二次方程根的分布问题及二...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com