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3.3.1利用导数判断函数的单调性


高二数学导学案
教学课题:3.3.1 利用导数判断函数的单调性 课标要求:结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研
究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

本节主要问题: 1、利用导数判断函数单调性的法则:
如果在 ( a, b) 内, f ' ( x) ? 0 ,则 f (

x ) 在此区间内是增函数, ( a, b) 为 f ( x ) 的单调增区间; 如果在 ( a, b) 内, f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 在此区间内是减函数, ( a, b) 为 f ( x ) 的单调减区间;

2、如何利用导数判断函数单调性(求单调区间) : ①先求定义域; ②求导—分解因式 ; ③解不等式; 间的写法,不能写集合,也不能用并集) 。 3、如何利用导数证明不等式 f ( x) ? g ( x) ?
构造函数 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,利用 ? ( x) 的单调性证明 ? ( x) ? 0 即可。

④下结论(注意单调区

4、已知函数的单调性求参数范围

一、典例剖析: 例 1、试确定函数 y ? x2 ? 2x ? 4 的单调区间。

例 2、找出函数 y ? x ? 4 x ? x ? 1 的单调区间。
3 2

1

例 3、当 x ? 1 时,证明不等式 x ? ln( x ? 1) 。

例 4、若函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? x ? 5 在 (??, ??) 上单调递增,求 a 的取值范围。

二、课本巩固练习: 1、试确定下列函数的单调区间。 (1) y ? x2 ? 5x ? 6

(2) y ?

1 x ?1

(3) y ? x ? 8x ? 13x ? 6
3 2

(4) y ? ( x ?1)

3

2

(5) y ? x 2 ( x ? 1)

2、讨论函数 y ? sin x 在区间 (0, 2? ) 的单调性。

3、证明函数 y ? 2 x ? sin x 在实数范围内是增函数。

4、求证:当 x ? 2 时, x ? 6 x ? 12 x ? 1 ? 7 。
3 2

3 5、已知函数 f ( x) ? x ? ax ?1 ,若 f ( x ) 在实数集 R 上单调递增,求 a 的取值范围。

3


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