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高中数学竞赛平面几何讲座第1讲 注意添加平行线证题


第一讲

注意添加平行线证题

在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常 重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使 证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况.

1

为了改变角的位置

家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利 用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例 1 设 P、Q 为线段 BC 上两点,且 BP=CQ, A D A 为 BC 外一动点(如图 1).当点 A 运动到使 ∠BAP=∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形?试 证明你的结论. B P Q C 答: 当点 A 运动到使∠BAP=∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 图1 证明:如图 1,分别过点 P、B 作 AC、AQ 的平行线得交点 D.连结 DA. 在△DBP=∠AQC 中,显然 ∠DBP=∠AQC,∠DPB=∠C. 由 BP=CQ,可知 △DBP≌△AQC. 有 DP=AC,∠BDP=∠QAC. 于是,DA∥BP,∠BAP=∠BDP. 则 A、D、B、P 四点共圆,且四边形 ADBP 为等腰梯形.故 AB=DP. 所以 AB=AC. 这里,通过作平行线,将∠QAC“平推”到∠BDP 的位置.由于 A、D、B、P 四点共圆, 使证明很顺畅. 例 2 如图 2,四边形 ABCD 为平行四边形, E P ∠BAF=∠BCE.求证:∠EBA=∠ADE. G D A 证明: 证明:如图 2,分别过点 A、B 作 ED、EC 的平行线,得交点 P,连 PE. B F C 由 AB ∥ CD,易知△PBA≌△ECD.有 = 图2 PA=ED,PB=EC. 显然,四边形 PBCE、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE=∠BPE,∠APE=∠ADE. 由∠BAF=∠BCE,可知 ∠BAF=∠BPE. 有 P、B、A、E 四点共圆. 于是,∠EBA=∠APE. 所以,∠EBA=∠ADE. 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过 P、B、A、E 四点共圆,紧密联系 起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙.

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2

欲“送”线段到当处

利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加 平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题. 例 3 在△ABC 中,BD、CE 为角平分线,P 为 ED 上任意一点.过 P 分别作 AC、AB、BC 的 垂线,M、N、Q 为垂足.求证: PM+PN=PQ. A 证明: 证明:如图 3,过点 P 作 AB 的平行线交 BD N M 于 F,过点 F 作 BC 的平行线分别交 PQ、AC P E D 于 K、G,连 PG. F G K 由 BD 平行∠ABC,可知点 F 到 AB、BC C B Q 两边距离相等.有 KQ=PN. 图3 显然,

EP EF CG = = ,可知 PG∥EC. PD FD GD

由 CE 平分∠BCA,知 GP 平分∠FGA.有 PK=PM.于是, PM+PN=PK+KQ=PQ. 这里,通过添加平行线,将 PQ“掐开”成两段,证得 PM=PK,就有 PM+PN=PQ.证法 非常简捷.

3

为了线段比的转化

由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可 以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. 例 4 设 M1、M2 是△ABC 的 BC 边上的点,且 BM1=CM2.任作一直线分别交 AB、AC、AM1、 AM2 于 P、Q、N1、N2.试证:

AM 1 AM 2 AC AB + = + . AP AQ AN1 AN 2
证明: 证明:如图 4,若 PQ∥BC,易证结论成立. 若 PQ 与 BC 不平行,设 PQ 交直线 BC 于 D.过点 A 作 PQ 的平行线交直线 BC 于 E. 由 BM1=CM2,可知 BE+CE=M1E+ M2E,易知
A P Q N2 M1 M2 C D 图4 N1 E

B

AB BE AC CE = , = , AP DE AQ DE

AM 1 M 1 E AM 2 M 2 E = , = . AN1 DE AN 2 DE



AM 1 AM 2 AB AC BE + CE M 1 E + M 2 E + = = = + . AP AQ DE DE AN1 AN 2

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所以,

AM 1 AM 2 AB AC + = + . AP AQ AN1 AN 2

这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为 DE,于是 问题迎刃而解. 例 5 AD 是△ABC 的高线,K 为 AD 上一点,BK 交 AC 于 E,CK 交 AB 于 F.求证:∠FDA= Q M P A N ∠EDA. 证明: 证明:如图 5,过点 A 作 BC 的平行线,分 F K E 别交直线 DE、DF、BE、CF 于 Q、P、 N、M. 显然,

BD KD DC = = . AN KA AM

B

D 图5

C

有 BD·AM=DC·AN.

(1)

AP AF AM = = ,有 BD FB BC BD·AM AP= . BC AQ AE AN = = ,有 由 DC EC BC DC · AN AQ= . BC


(2)

(3)

对比(1)、(2)、(3)有 AP=AQ. 显然 AD 为 PQ 的中垂线,故 AD 平分∠PDQ. 所以,∠FDA=∠EDA. 这里,原题并未涉及线段比,添加 BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这 些比例式,就使 AP 与 AQ 的相等关系显现出来.

4

为了线段相等的传递

当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段 相等的关系传递开去. 例 6 在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,点 M 在 AB 边上,点 N 在 AC 边上,并且∠MDN= 90°.如果 BM2+CN2=DM2+DN2,求证:AD2=

1 (AB2+AC2). 4

证明: 证明:如图 6,过点 B 作 AC 的平行线交 ND A 延长线于 E.连 ME. M 由 BD=DC,可知 ED=DN.有 N △BED≌△CND. C B D 于是,BE=NC. E 显然,MD 为 EN 的中垂线.有 图6 EM=MN. 由 BM2+BE2=BM2+NC2=MD2+DN2=MN2=EM2,可知△BEM 为直角三角形,∠MBE =90°.有

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∠ABC+∠ACB =∠ABC+∠EBC=90°. 于是,∠BAC=90°. 所以,AD2= ?

1 ?1 ? BC ? = (AB2+AC2). 4 ?2 ?

2

这里,添加 AC 的平行线,将 BC 的以 D 为中点的性质传递给 EN,使解题找到出路. 例 7 如图 7,AB 为半圆直径,D 为 AB 上一点, C F 分别在半圆上取点 E、F,使 EA=DA,FB=DB. E 过 D 作 AB 的垂线,交半圆于 C.求证:CD 平 分 EF. A B 证明: 证明:如图 7,分别过点 E、F 作 AB 的垂线,G、H 为垂足,连 FA、EB.易知 G D O H 2 2 DB =FB =AB·HB, 图7 AD2=AE2=AG·AB. 二式相减,得 DB2-AD2=AB·(HB-AG), 或 (DB-AD)·AB=AB·(HB-AG). 于是,DB-AD=HB-AG, 或 DB-HB=AD-AG. 就是 DH=GD. 显然,EG∥CD∥FH. 故 CD 平分 EF. 这里,为证明 CD 平分 EF,想到可先证 CD 平分 GH.为此添加 CD 的两条平行线 EG、 FH, 从而得到 G、H 两点.证明很精彩. 经过一点的若干直线称为一组直线束. 一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等. 如图 8,三直线 AB、AN、AC 构成一组直线束,DE 是与 BC 平行的直线.于是,有



DM AM = BN AN ME = , NC ME DM BN DM = 或 = . BN NC ME NC

A D M B N 图8 C E

此式表明,DM=ME 的充要条件是 BN=NC. 利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例 8 如图 9,ABCD 为四边形,两组对边延长 A 后得交点 E、F,对角线 BD∥EF,AC 的延长 线交 EF 于 G.求证:EG=GF. B M 证明: 证明:如图 9,过 C 作 EF 的平行线分别交 AE、 C E AF 于 M、N.由 BD∥EF,可知 MN∥BD.易知 G 图9 S△BEF=S△DEF. 有 S△BEC=S△ⅡKG- *5ⅡDFC. 可得 MC=CN.
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D N F

所以,EG=GF. 例 9 如图 10,⊙O 是△ABC 的边 BC 外的旁 A 切圆,D、E、F 分别为⊙O 与 BC、CA、AB C 的切点.若 OD 与 EF 相交于 K,求证:AK 平 B F P Q 分 BC. K E 证明: 证明:如图 10,过点 K 作 BC 的行平线分别 交直线 AB、AC 于 Q、P 两点,连 OP、OQ、 O OE、OF. 图10 由 OD⊥BC,可知 OK⊥PQ. 由 OF⊥AB,可知 O、K、F、Q 四点共圆,有 ∠FOQ=∠FKQ. 由 OE⊥AC,可知 O、K、P、E 四点共圆.有 ∠EOP=∠EKP. 显然,∠FKQ=∠EKP,可知 ∠FOQ=∠EOP. 由 OF=OE,可知 Rt△OFQ≌Rt△OEP. 则 OQ=OP. 于是,OK 为 PQ 的中垂线,故 QK=KP. 所以,AK 平分 BC. 综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平 行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.

练 习 题
1. 四边形 ABCD 中,AB=CD,M、N 分别为 AD、BC 的中点,延长 BA 交直线 NM 于 E,延长 CD 交直线 NM 于 F.求证:∠BEN=∠CFN. (提示:设 P 为 AC 的中点,易证 PM=PN.) 2. 设 P 为△ABC 边 BC 上一点,且 PC=2PB.已知∠ABC=45°,∠APC=60°.求∠ACB. (提示:过点 C 作 PA 的平行线交 BA 延长线于点 D.易证△ACD∽△PBA.答:75°) 3. 六边开 ABCDEF 的各角相等,FA=AB=BC,∠EBD=60°,S △ EBD =60cm2.求六边形 ABCDEF 的面积. (提示:设 EF、DC 分别交直线 AB 于 P、Q,过点 E 作 DC 的平行线交 AB 于点 M.所求面积 与 EMQD 面积相等.答:120cm2) 4. AD 为 Rt△ABC 的斜边 BC 上的高,P 是 AD 的中点,连 BP 并延长交 AC 于 E.已知 AC:AB =k.求 AE:EC. (提示: 过点 A 作 BC 的平行线交 BE 延长线于点 F.设 BC=1,有 AD=k,DC=k2.答:

1 ) 1+ k 2

5. AB 为半圆直径,C 为半圆上一点,CD⊥AB 于 D,E 为 DB 上一点,过 D 作 CE 的垂线交 CB 于 F.求证:

AD CF = . DE FB 1 a 1 b

(提示:过点 F 作 AB 的平行线交 CE 于点 H.H 为△CDF 的垂心.) 6. 在△ABC 中,∠A:∠B:∠C=4:2:1,∠A、 ∠B、 ∠C 的对边分别为 a、 c.求证: + b、

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1 . c

(提示:在 BC 上取一点 D,使 AD=AB.分别过点 B、C 作 AD 的平行线交直线 CA、BA 于点 E、F.) 7. 分别以△ABC 的边 AC 和 BC 为一边在△ABC 外作正方形 ACDE 和 CBFG,点 P 是 EF 的 中点.求证:P 点到边 AB 的距离是 AB 的一半. 8. △ABC 的内切圆分别切 BC、CA、AB 于点 D、E、F,过点 F 作 BC 的平行线分别交直线 DA、DE 于点 H、G.求证:FH=HG. (提示:过点 A 作 BC 的平行线分别交直线 DE、DF 于点 M、N.) 9. AD 为⊙O 的直径,PD 为⊙O 的切线,PCB 为⊙O 的割线,PO 分别交 AB、AC 于点 M、 N.求证:OM=ON. (提示:过点 C 作 PM 的平行线分别交 AB、AD 于点 E、F.过 O 作 BP 的垂线,G 为垂足.AB ∥GF.)

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