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11.3 二项式定理


-2- 考纲要求: 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. -3- 1.二项式定理 二项式定理 二项展开式 的通项公式 二项式系数 0 1 r (a+b)n=n + n ? 1 + ? + n ? + n n ? + n b (n∈N*) n-r r Tr+ 1=C a b ,它表示第 r+1 项 0 1 二项展开式中各项的系数C , C ,…,C -4- 2.二项式系数的性质 性质 性质描述 m 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 n = 对称性 n -m n 二项式 当k < 2 增减性 -1 系数C 当k > 2 +1 (n∈N*)时,是递增的 (n∈N*)时,是递减的 n 2 n -1 2 +1 2 最大值 当 n 为偶数时,中间的一项n 取得最大值 当 n 为奇数时,中间的两项n 和C 取得最大值 0 2 n 3.各二项式系数和:C + C1 + C +…+C =2 0 2 4 3 5 n-1 C + C + C +…=C1 . + C + C +…=2 , -5- 1 2 3 4 5 1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. n-r r (1)C a b 是(a+b)n 的展开式中的第 r 项. ( × ) (2)在二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项. ( × ) (3)在(a+b)n的展开式中,每一项的二项式系数与a,b无关.( √ ) (4)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值为128. (× ) (5)(a+b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同. ( × ) -6- 1 2 3 4 5 2.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15, 则n=( ) A.7 B.6 C.5 D.4 关闭 n-r (x+1)n 的展开式通项为 Tr+1=C x . 令 n-r=2,即 r=n-2. 2 则 x2 的系数为C = C =15, B 解得 n=6,故选 B. -2 关闭 解析 答案 -7- 1 2 3 4 5 3.(2015湖北,理3)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式 系数相等,则奇数项的二项式系数和为 ( ) A.212 B.211 C.210 D.29 关闭 3 7 由条件知C = C , ∴n=10. ∴(1+x)10 中二项式系数和为 210,其中奇数项的二项式系数和为 10- 1 D 2 =29.\ 关闭 解析 答案 -8- 1 2 3 4 5 4.(2015广东,理9)在( √ -1)4的展开式中,x的系数为 . 关闭 该二项展开式的通项为 Tr+1=C4 (√)4-r(-1) r,当 x 的指数为 1 时 ,4-r=2, 解得 r=2. 2 关闭 故 T3=C4 (√)2(-1)2=6x,即 x 的系数为 6. 6 解析 答案 -9- 1 2 3 4 5 5.(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是 . 关闭 k t 4 ∵(1+x)8 的通项为C x ,(1 +y ) 的通项为 C 8 4y , k t 2 2 ∴(1+x)8(1+y)4 的通项为C 8 C4 x y ,令 k=2,t=2,得 x y 的系数为 2 2 C8 C4 =168. 关闭 168 解析 答案 -10- 1 2 3 4 5 自测点评


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