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陕西省洛南中学2013-2014学年高二数学下学期期中试题 理 新人教版


陕西省洛南中学 2013-2014 学年高二数学下学期期中试题 理 新 人教版
试卷说明:试卷共 21 小题,满分 150 分,时间 120 分钟.请把答案写在答题卡上. 一、选择题(10×5 分=50 分,每小题只有一个正确选项) 1.函数 A.3 2.
2 1 C5 ? C5 ?

f ( x) ? 3 ? 2 x 在 x ? 1 处的导数为
B.-3 C.2 D.-2

A.30

B.15

C.10

D.25

3.用数字 1,2,3,4,5 可以组成没有重复的数字,并且比 20000 大的五位偶数有 A.48 个 B.36 个 C.24 个 D.18 个

4.甲、乙两人独立地破解一个密码,他们能破译出的概率分别为 , , 则密码破译出的概 率为 A.

1 1 5 4

1 20

B.

3 5

C.

9 20

D.

2 5

5.已知随机变量 ? 的概率分布如下表,则 P(?

? 10) 等于
6 7 8 9 10

? ?k
P (? ? k )
A.

1

2

3

4

5

2 3

2 32
B.

2 33

2 34

2 35
C.

2 36

2 37

2 38

2 39
D.

m
1 310

2 39

2 310

1 39

x2 1 6.已知曲线 y ? ? 3 ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为 2 4
A.3 7.已知 a ? 4 x
3

B.3 或-2

C.-2

D.

1 2

? 4 x 2 ? 1 对 x ?[?1,1] 恒成立,则 a 的取值范围为
B.[-1,2] C.(-∞,1]
2 x

A.[-1,1] 8 . 若

D.(-∞,2]

(1 ? 2 x )2
a1 ) ? (a0 ?

0 ? a0 1? a 4x ? 1 a x ? ??? 2 ?a

( x2? R 0)

1



2 4



0

1

4

(a0 ?
A.4004

a2 ) ?
y D.2014 -1 O 1 x

(a0 ? a3 ) ? ??? ? (a0 ? a2014 ) ?
B.4028 C.2015 9.已知函数 f ( x ) 的大致图像是下列四个图像之一, 且其导函数的图像如右图所示,则该函数图像是

1

y x O 1

y x O 1 -1

y x 1

y x O 1

-1

-1

-1 O

-1

A 10.若 (3 x ?

B

C

D

1 x

) n 的展开式中各项系数之和为 64,则展开式中的常数项为
B.-162 C.162 D.540

A.-540

二、填空题(5×5 分=25 分,请把答案填在答题卡中对应题号的横线上) 11.从进入决赛的 6 名选手中决出一等奖 1 名,二等奖 2 名,三等奖 3 名,则可能的决赛结 果共有 12.若函数 13.已知 (用数字作答).

f ( x ) ? x3 ? bx 2 ? cx ? d 的单调减区间为[-1,2],则 bc ?
.

.

f ( x) ? (1+x)2 ? x 2 f ?(1) ,则 f ?(1) ?

14. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx 在 x ? 1 处有极值-1,则 f ( 2) 等于_____ . 15.已知函数 f ( x) ? e ? 2x ? a 有两个不同的零点,则 a 的取值范围为_____.
x

三、解答题(75 分,要写出必要的文字说明、推理、计算过程及必须的图表) 16.(12 分)解方程: 17.
2 2 . An ?1 ? A n ? 10
3

(12 分)过点 P(2,0)作曲线 x

? 3 y ? 0 的切线,求切线方程.

18.(12 分)已知 ( 2 ? (1) a3 ; (2) a0

x )5 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 ,求

? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 .

19.(12 分)从装有 2 个白球、3 个红球的袋子中随机地取出 2 个球,摸出 1 个白球记 1 分, 摸出一个红球记 2 分,摸球者所得分数为 X . (1) 求 X 的分布列 (2) 求摸球者所得分数不低于 3 分的概率.

2

20. (13 分) 设函数 F ( x )

? ? t (t ? 4)dt ,x∈(0,+∞)
0

x

(1)求函数 F(x)的单调区间. (2)求函数 F(x)在区间[1,5]的极值. 21.(14 分) 已知函数

f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x
?1 ? ? ?

(1) 若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)在 x∈[1,a]上的最大值和最小值; (2) 若 f(x)在 x∈ ? , 3? 上是增加的,求实数 a 的取值范围. 2

高二期中数学(理)试题—答案 一、选择题(10×5 分=50 分)D B B D C A C D B A

二、填空题(5×5 分=25 分)11.60; 12.9; 13.-4; 14.2; 15. 三、解答题(75 分) 16.(12 分)解方程: An?1 ?
2 2 An ? 10 .

(??, 2 ln 2 ? 2) .

解:方程可化为: (n ? 1)n ? n(n ? 1) ? 10 …………………………6′ 化简得 2n ? 10 ∴ n ? 5 ………………………………………10′ 经检验 n ? 5 是已知方程的根. …………………………………12′ 17.(12 分)过点 P(2,0)作曲线 x -3y=0 的切线,求切线方程. 解:由 x —3y=0 得 y
3 3

1 3 x ,? y? ? x 2 ,…………………………2′ 3 1 3 2 1 3 2 设切点为 ( x0 , x0 ) ,则切线斜率为 x0 ,∴切线方程为 y ? x0 ? x0 ( x ? x0 ) …6′ 3 3 1 3 2 由切线过点 P(2,0)得 ? x0 ? x0 (2 ? x0 ) ,……………………8′ 3 ?
∴ x0 =0 或 3.……………………………………………………10′ 当 x0 =0 时,切线方程为 y=0;当 x0 =3 时,切线方程为 y=9x-18; 因此所求切线方程为 y=0 和 y=9x-18. ……………………12′

18.(12 分)已知 ( 2 ? (1) a3 ; (2) a0

x )5 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 ,求

? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 .
3

r 5? r x )5 展开式的通项公式为 Tr ?1 ? C5 2 xr 3 5?3 ∴ a3 ? C5 2 ? 40 …………………………………………………6′

解:(1) ( 2 ?

(2)在 ( 2 ?

x )5 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ? a4 x 4 ? a5 x5 中令 x ? ?1 得

a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? (2 ? 1)5 ? 1…………………………12′
19.(12 分)从装有 2 个白球、3 个红球的袋子中随机地取出 2 个球,摸出 1 个白球记 1 分, 摸出一个红球记 2 分,摸球者所得分数为 X . (1) 求 X 的分布列 (2) 求摸球者所得分数不低于 3 分的概率.

C22 1 解:(1) X 的可能取值为 2,3,4. P ( X ? 2) ? 2 ? , C5 10
1 1 C3 C2 6 3 C32 3 P ( X ? 3) ? 2 ? ? , P ( X ? 4) ? 2 ? C5 10 5 C5 10

因此 X 的分布列如表所示……………8′ (2) P ( X

? 3) ? P ( X ? 3) ? P ( X ? 4) ?

6 3 9 ? ? 10 10 10

即摸球者所得分数不低于 3 分的概率为

9 …………………4′ 10

20. (13 分) 设函数 F ( x )

? ? t (t ? 4)dt ,x∈(0,+∞).
0
x

x

(1)求函数 F(x)的单调区间.(2)求函数 F(x)在区间[1,5]的极值.

1 3 1 3 x x 2 2 2 解 : F( x ) ? 0 t (t ? 4)dt = 0 (t ? 4t )dt ? ( t ? 2t ) ? x ? 2 x ( x ? 0) … … ? ? 3 3 0
3′

F?( x ) ? x 2 ? 4 x =x( x ? 4) ………………………………………4′ (1) 由 F?( x) ? 0,即x( x ? 4) ? 0及x ? 0得x ? 4 . 由 F?( x) ? 0 ,即x( x ? 4) ? 0得 0 ? x ? 4. ∴ F?( x) 的递减区间为 ? 0, 4 ? ,递增区间为 (4, ??) . …………………8′
(2)令 ?

? F?( x ) ? x( x ? 4)=0 得x ? 4 . x ? [1,5] ?

当 x 变化时时, F?( x) 、 F( x) 变化情况列表如下:
4

F?( x)
F( x)

x

[1,4) - 递减

4 0 极小值 ?

(4,5] +

32 3

递增

由上表可知 F ( x )极小值

? F (4) ? ?
3 2

32 . 3

……………………………………13′

21.(14 分) 已知函数 f(x)=x -ax +3x (1) 若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)在 x∈[1,a]上的最大值和最小值; (2) 若 f(x)在 x∈ ? , 3? 上是增加的,求实数 a 的取值范围. 2 解:(1)∵ x=3 是 f(x)的极值点,∴ ∴f(x)=x -5x +3x,
3 2

?1 ?

? ?

∴a=5.………2′ f ?(3) ? 30 ? 6a=0,

f ?( x) ? 3 x2 ? 10 x ? 3=(3 x ? 1)( x ? 3) ? f ?( x ) ? (3 x ? 1)( x ? 3)=0 令? 得x ? 3 ………………………………4′ ? x ? [1,5]
当 x 在区间 [1,5] 上变化时,

f ?( x) 、 f ( x ) 变化情况列表如下:
3 0 极小值-9 (3,5) + 递增 15 5

x

1

(1,3) -

f ?( x) f ( x)
-1

递减

由上表可得,在 x∈[1,a]上, (2) 方法:1: 需 ∴

f ( x)min =f (3) ? ?9,f ( x)max =f (5)=15 ……7′

f ?( x) ? 3 x2 ? 2ax ? 3 ,要使 f(x)在 x∈[1,+∞)上是增函数, f ?( x) ? 3 x2 ? 2ax ? 3 ? 0 在 x∈[1,+∞)上恒成立,…………………9′
f ?( x )min ? 0
2 2

a? a2 ? ?1 ? f ?( x ) ? 3 x ? 2ax ? 3 ? 3 ? x ? ? ? 3 ? (x ? ? , 3? ) 3? 3 ? ?2 ?
而当 x∈ ? , 3? 时, g(x )= ( x ? 2 2 当且仅当 x =

………………11′

?1 ?

? ?

3

1 3 1 ) ? ? 2 x ? =3 x 2 x
………………………13′

1 ?1 ? 即 x=1∈ ? , 3? 时得 g(x )min =3 . ?2 ? x

∴a≤3. 即 a ? (??,3] ……………………………………………………14′
5

方法 2: 需

f ?( x) ? 3 x2 ? 2ax ? 3 ,要使 f(x)在 x∈[1,+∞)上是增函数, f ?( x) ? 3 x2 ? 2ax ? 3 ? 0 在 x∈[1,+∞)上恒成立,…………………9′

3 1 ( x ? )=g(x) 在 x∈[1,+∞)时恒成立, 2 x ?1 ? ? a ? g(x ) min (x ? ? , 3? ) ………………………………………………11′ ?2 ? 3 1 3 1 ?1 ? 而当 x∈ ? , 3? 时, g(x )= ( x ? ) ? ? 2 x ? =3 2 x 2 x ?2 ?
也即 a ? 当且仅当 x =

1 ?1 ? 即 x=1∈ ? , 3? 时得 g(x )min =3 . ?2 ? x

………………………13′

∴a≤3. 即 a ? (??,3] ……………………………………………………14′ 注:其他正确解答酌情给分.

6



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