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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第九章 第6讲 几何概型


第 6 讲 几何概型

1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.几何概型的概率公式 构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) [做一做] 1.(2014· 高考湖南卷)在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1 的概率为( 4 A. 5 2 C. 5 3 . 5 2.(2014· 高考辽宁卷) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB= 2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( ) 3 B. 5 1 D. 5 )

解析:选 B.在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1,即-2≤X≤1 的概率为 P=

π A. 2 π C. 6

π B. 4 π D. 8

1 π·12 2 阴影面积 解析: 选 B.设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A, 则 P(A)= = 长方形面积 1×2 π = . 4 辨明两个易误点 (1)几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果. (2)易混淆几何概型与古典概型,两者共同点是基本事件的发生是等可能的,不同之处 是几何概型的基本事件的个数是无限的,古典概型中基本事件的个数是有限的. [做一做]

3. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,△EBC 为正三角形.若向正方形 ABCD 内随机投 掷一个质点,则它落在△EBC 内的概率为( )

A.

3 2

B.

3 4

1 C. 2

1 D. 4

1 解析:选 B.正方形的面积为 4,S△EBC= ×2×2×sin 60°= 3,所以质点落在△EBC 2 内的概率为 3 . 4

4.(2015· 湖南省五市十校联合检测)一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行,若 蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1.称其为“安全飞行”, 则蜜蜂 “安全飞行”的概率为( ) 4π A. 81 1 C. 27 81-4π B. 81 8 D. 27

解析:选 C.由已知条件可知,蜜蜂只能在一个棱长为 1 的小正方体内飞行,结合几何 13 1 概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为 P= 3= . 3 27

考点一__与长度有关的几何概型(高频考点)______ 与长度有关的几何概型是高考命题的热点, 多以选择题或填空题的形式呈现, 试题难度 不大,多为容易题或中档题. 高考对与长度有关的几何概型的考查主要有以下四个命题角度: (1)与线段长度有关的几何概型; (2)与时间有关的几何概型; (3)与不等式有关的几何概型; (4)与距离有关的几何概型. (1)一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间 为 40 秒,则某人到达路口时看见的是红灯的概率是( ) 1 A. 5 3 C. 5 2 B. 5 4 D. 5

p 1 (2)设 p 在[0,5]上随机地取值,则方程 x2+px+ + =0 有实数根的概率为________. 4 2 (3)(2015· 河北省衡水中学调研)在面积为 S 的矩形 ABCD 内随机取一点 P,则△PAB 的 S 面积不大于 的概率是________. 4 扫一扫 进入 91 导学网(www.91daoxue.com) 几何概型的概率 30 2 [解析] (1)以时间的长短进行度量,故 P= = . 75 5 p 1 (2)一元二次方程有实数根即Δ=p2-4( + )=(p+1)(p-2)≥0,解得 p≤-1 或 p≥2, 4 2 5-2 3 故所求概率为 = . 5 5 1 S ab (3) 如图,作 PE⊥AB,设矩形的边长 AB=a,BC=b,PE=h,由题意得, ah≤ = , 2 4 4 1 2 1 b ∴h≤ ,由几何概型的概率计算公式得所求概率 P= = . 2 1 2

3 [答案] (1)B (2) 5

1 (3) 2

[规律方法] 解答关于长度的几何概型问题, 只要将所有基本事件及事件 A 包含的基本 事件转化为相应长度, 即可利用几何概型的概率计算公式求解. 此处的“长度”可以是线段 的长短,也可以表示时间的长短等. π π 1 1 1. (1)在区间[- , ]上随机取一个 x, sin x 的值介于- 与 之间的概 2 2 2 2 率为( 1 A. 3 1 C. 2 ) 2 B. π 2 D. 3

(2) 在区间 [ - 5 , 5] 内随机地取出一个数 a ,使得 1∈{x|2x2 + ax - a2 > 0} 的概率为 ________. a-2 (3)(2015· 昆明三中、玉溪一中统考)设 a∈[0,10],则函数 g(x)= 在区间(0,+∞) x 内为增函数的概率为________.

π π -(- ) 6 6 1 解析:(1)所求概率为 = ,故选 A. 3 π π -(- ) 2 2 2-(-1) (2)由 1∈{x|2x2+ax-a2>0}, 得 a2-a-2<0?-1<a<2, 所以所求概率为 5-(-5) 3 = . 10 a-2 (3)∵函数 g(x)= 在区间(0,+∞)内为增函数,∴a-2<0,解得 a<2,∴函数 g(x) x a-2 2 1 = 在区间(0,+∞)内为增函数的概率为 = . x 10 5 3 答案:(1)A (2) 10 1 (3) 5

考点二__与体积有关的几何概型______________ (2015· 长春市第二次调研)如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,H 分别是棱 A1B1,D1C1 上的点(点 E 与 B1 不重合),且 EH∥A1D1,过 EH 的平面与棱 BB1,CC1 相交, 交点分别为 F,G.设 AB=2AA1=2a,EF=a,B1E=2B1F.在长方体 ABCDA1B1C1D1 内随机 选取一点,则该点取自于几何体 A1ABFE?D1DCGH 内的概率为________.

[解析] 因为 EH∥A1D1,所以 EH∥B1C1,所以 EH∥平面 BCC1B1.过 EH 的平面与平面 BCC1B1 交于 FG,则 EH∥FG,所以易证明几何体 A1ABFE?D1DCGH 和 EB1F?HC1G 分别是 V三棱柱 S△EB1F 等高的五棱柱和三棱柱,由几何概型可知,所求概率为:P=1- =1- =1 V长方体 S矩形ABB1A1 1 5 2 5 × a× a 2 5 5 9 - = . 2 2a 10 [答案] 9 10

[规律方法] 对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及 事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求. 2.在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中, 点 O 为底面 ABCD 的中心, 在正方体 ABCDA1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( ) π A. 12 π C. 6 π B.1- 12 π D.1- 6

解析:选 B.点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心,以 1 为半径的半球外.记

1 4π 23- × ×13 2 3 π “点 P 到点 O 的距离大于 1”为事件 A,则 P(A)= =1- . 3 2 12 考点三__与面积有关的几何概型______________ (1)(2013· 高考陕西卷)如图,在矩形区域 ABCD 的 A,C 两点处各有一个通信 基站, 假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信 号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是( )

π A.1- 4 π C.2- 2

π B. -1 2 π D. 4

x≤0, ? ? (2)(2014· 高考湖北卷 ) 由不等式组 ?y≥0, 确定的平面区域记为 Ω1 ,不等式组 ? ?y-x-2≤0
?x+y≤1, ? ? 确定的平面区域记为 Ω2, 在 Ω1 中随机取一点, 则该点恰好在 Ω2 内的概率为( ? ?x+y≥-2

)

1 A. 8 3 C. 4

1 B. 4 7 D. 8

π 1 2×1-π×12× ×2 2- 4 2 S图形DEBF [解析] (1)取面积为测度, 则所求概率为 P= = = =1 2 S矩形ABCD 2×1 π - . 4 (2)如图,平面区域 Ω1 就是三角形区域 OAB,平面区域 Ω2 与平面区域 Ω1 的重叠部分就 是区域 OACD,

1 2- 4 7 S四边形OACD 1 3 易知 C(- , ),故由几何概型的概率公式,得所求概率 P= = = . 2 2 2 8 S△OAB [答案] (1)A (2)D [规律方法] 求解与面积有关的几何概型的注意点: 求解与面积有关的几何概型时, 关键是弄清某事件对应的面积以求面积, 必要时可根据 题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到试验全部结果构成的平面图形,以便求解. 3.(1)(2015· 大连市第一次模拟)在区间[-1,1]内随机取两个实数 x,y, 则满足 y≥x-1 的概率是( ) 1 A. 8 8 C. 9 1 B. 9 7 D. 8

(2)(2015· 昆明市第一次摸底 )设区域 Ω={(x,y)|10≤x≤2,0≤y≤2},区域 A={(x, y)|xy≤1, (x, y)∈Ω}, 在区域 Ω 中随机取一个点, 则该点恰好在区域 A 中的概率为________. 解析:(1)点(x,y)分布在正方形区域,画出区域 x-y-1≤0,可知所 7 求的概率为 . 8 (2)在平面直角坐标系中画出区域 Ω 和 A,则区域 Ω 的面积为 4,区域 A 1 1 的面积分成两小块:一是小长方形的面积,二是曲线 y= (x>0)与 x= , x 2 1 1 x=2,y=0 所形成的曲边梯形的面积,则区域 A 的面积 SA= ×2+∫21 2 x 2 A的面积 dx=1+2ln 2.根据几何概型的概率计算公式可知该点恰好落在区域 A 中的概率 P= Ω的面积 1+2ln 2 = . 4 1+2ln 2 答案:(1)D (2) 4

方法思想——转化与化归思想在几何概型中的应用 2014· 高考重庆卷)某校早上 8∶00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7∶30~7∶50 之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至 少早 5 分钟到校的概率为________.(用数字作答) [解析] 设小王到校时间为 x,小张到校时间为 y,则小张比小王至少早到 5 分钟时满足 x- y≥5.如图,原点 O 表示 7∶30,在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平 面区域(图中正方形区域),该正方形区域的面积为 400,小张比小王至少早到 5 分钟对应的 225 2 1 225 9 图形(图中阴影部分)的面积为 ×15×15= ,故所求概率为 P= = . 2 2 400 32

[答案]

9 32

[名师点评] 本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量 x,y,将已知转化为 x,y 所满足的不等式,进而转化为坐标平面内的点(x,y)的相关约束条件,从而把时间这个 长度问题转化为平面图形的二维面积问题, 进而转化为面积型的几何概型问题求解. 若题中 涉及到三个相互独立的变量,则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解. (2013· 高考四川卷)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这 两串彩灯的第一次闪亮相互独立, 且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩 灯以 4 秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( ) 1 A. 4 3 C. 4 1 B. 2 7 D. 8

解析:选 C. 设两串彩灯同时通电后,第一次闪亮的时刻分别为 x,y,则 0≤x≤4,0 ≤y≤4,而事件 A“它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒”,即|x-y|≤2,可行域如图阴 影部分所示. 由几何概型概率公式得 1 ? 42-2×? ?2×2×2? 3 P(A)= = . 42 4

1 1. (2015· 洛阳市统考)利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a, 则事件“?a x2dx> ” 81 ?
0

发生的概率为( 8 A. 9

) 1 B. 9

2 C. 3

1 D. 3

1 1 3 1 1 解析:选 C.∵?a x2dx= x3|a ,∴a> , 0= a > 3 3 81 3 ?
0

1 1- 3 2 1 ∴P(a> )= = . 3 1 3 2.(2015· 沈阳市教学质量监测)

一次试验:向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子,经查数,落在正方形中的豆子的 总数为 N, 其中有 m(m<N)粒豆子落在该正方形的内切圆内, 以此估计圆周率π 的值为( ) m A. N 3m C. N 2m B. N 4m D. N

πr2 m 4m 解析:选 D.根据几何概型可知 = ,π= . N (2r)2 N 3.若 k∈[-3,3],则 k 的值使得过 A(1,1)可以作两条直线与圆(x-k)2+y2=2 相切的 概率等于( ) 1 A. 2 2 C. 3 1 B. 3 3 D. 4

解析:选 C.点在圆外,过该点可做两条直线与圆相切.故使圆心与点 A 的距离大于半 径即可,即(1-k)2+1>2,解得 k<0 或 k>2,所以所求 k∈[-3,0)∪(2,3],所求概率 P 4 2 = = . 6 3 4.(2015· 山西省第三次四校联考)向边长分别为 5,6, 13的三角形区域内随机投一点 M,则该点 M 与三角形三个顶点距离都大于 1 的概率为( ) π A.1- 18 π C.1- 9 π B.1- 12 π D.1- 4

52+62-( 13)2 解析:选 A.在△ABC 中,设 AB=5,BC=6,AC= 13,则 cos B= = 2×5×6 4 3 1 3 ,则 sin B= ,S△ABC= ×5×6× =9,分别以 A,B,C 为圆心,以 1 为半径作圆,则三 5 5 2 5 1 S△ABC- ×π×12 2 π 个扇形面积之和为以 1 为半径的半圆,故所求概率 P= =1- . 18 S△ABC 5.在可行域内任取一点,规则如流程图所示,则能输出数对(x,y)的概率为( )

1 A. 4 π C. 4

1 B. 2 π D. 8

?- 2≤x+y≤ 2 1 解析:选 C. 程序中不等式组? 表示的平面区域如图所示,面积为 4× 2 ?- 2≤x-y≤ 2
× 2× 2=4.满足不等式 x2+y2≤1 的点表示的区域如图中阴影部分所示,所占面积为π, π 所以能输出数对(x,y)的概率为 .故选 C. 4

6.已知函数 f(x)=x2-x-2,x∈[-5,5],若从区间[-5,5]内随机抽取一个实数 x0, 则所取的 x0 满足 f(x0)≤0 的概率为________. 2-(-1) 解析:令 x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2,由几何概型的概率计算公式得 P= 5-(-5) 3 = =0.3. 10 答案:0.3 7.正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,在正方体内随机取点 M,则使四棱锥 MABCD 1 的体积小于 的概率为________. 6 1 1 解析:正方体 ABCDA1B1C1D1 中,设 MABCD 的高为 h,则 ×S 四边形 ABCD×h= . 3 6 1 又 S 四边形 ABCD=1,∴h= . 2 1 1 若体积小于 ,则 h< , 6 2

即点 M 在正方体的下半部分, 1 V 2 正方体 1 ∴P= = . V正方体 2 1 答案: 2 8.(2015· 安徽合肥高三质检)如图,四边形 ABCD 为矩形,AB= 3,BC=1,以 A 为圆 心,1 为半径作四分之一个圆弧 DE,在∠DAB 内任作射线 AP,则射线 AP 与线段 BC 有公 共点的概率为________.

解析:(用几何概型,化概率为角度之比)当点 P 在 BC 上时,AP 与 BC 有公共点,此时 ∠BAC 30° 1 AP 扫过△ABC,所以所求概率 P= = = . ∠BAD 90° 3 1 答案: 3 9.已知集合 A=[-2,2],B=[-1,1],设 M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集合 M 内随 机取出一个元素(x,y). (1)求以(x,y)为坐标的点落在圆 x2+y2=1 内的概率; (2)求以(x,y)为坐标的点到直线 x+y=0 的距离不大于 解:(1)集合 M 内的点形成的区域面积 S=8. 因 x2+y2=1 的面积 S1=π, S1 π 故所求概率为 P1= = . S 8 2 的概率. 2

|x+y| 2 (2)由题意 ≤ ,即-1≤x+y≤1,形成的区域如图中阴影部分所示,面积 S2=4, 2 2 S2 1 所求概率为 P2= = . S 2 10.城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客需求,为此,某 市公交公司在某站台 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间作为样本分成 5 组,如下表所示(单位:min): 组别 一 二 候车时间 [0,5) [5,10) 人数 2 6

三 四 五

[10,15) [15,20) [20,25]

4 2 1

(1)求这 15 名乘客的平均候车时间; (2)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 min 的人数; (3)若从上表第三、四组的 6 人中选 2 人作进一步问卷调查,求抽到的 2 人恰好来自不 同组的概率. 1 1 解:(1) ×(2.5×2+7.5×6+12.5×4+17.5×2+22.5×1)= ×157.5=10.5, 15 15 故这 15 名乘客的平均候车时间为 10.5 min. 2+6 8 (2)由几何概型的概率计算公式可得,候车时间少于 10 分钟的概率为 = ,所以候 15 15 8 车时间少于 10 min 的人数为 60× =32. 15 (3)将第三组乘客编号为 a1,a2,a3,a4,第四组乘客编号为 b1,b2.从 6 人中任选 2 人的 所有可能情况为(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2, b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2),共 15 种,其中 2 人恰好来自不同组包含 8 种可能情况,故所求概率为 8 . 15


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