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高中物理竞赛教程:2.2《热力学第一定律对理想气体的应用》


§2.2 热力学第一定律对理想气体的应用
2.2.1、等容过程

P ? 气体等容变化时,有 T 恒量,而且外界对气体做功 W ? ? p?V ? 0 。根据

热力学第一定律有△E=Q。在等容过程中,气体吸收的热量全部用于增加内能, 温度升高;反之,气体放出的热量是以减小内能为代价的,温度降低。
Q ? ?E ? n

? CV ?T ? CV ? ( i ? V ? ?p 2

式中

Q ?E i )v ? ? ?R ?T ?T 2 。

2.2.1、等压过程

V ? 气体在等压过程中, 有 T 恒量,如容器中的活塞在大气环境中无摩擦地自

由移动。 根据热力学第一定律可知:气体等压膨胀时,从外界吸收的热量 Q,一部分 用来增加内能,温度升高,另一部分用于对外作功;气体等压压缩时,外界对气 体做的功和气体温度降低所减少的内能,都转化为向外放出的热量。且有
W ? ? p?V ? ?nR?T

Q ? nCp ?T
?E ? nC v ?T ? i ? p?V 2

定压摩尔热容量 C p 与定容摩尔热容量 CV 的关系有 C p ? Cv ? R 。该式表明: 1mol 理想气体等压升高 1K 比等容升高 1k 要多吸热 8.31J,这是因为 1mol 理想 气体等压膨胀温度升高 1K 时要对外做功 8.31J 的缘故。
2.2.3、等温过程

气体在等温过程中,有 pV=恒量。例如,气体在恒温装置内或者与大热源想

接触时所发生的变化。 理想气体的内能只与温度有关,所以理想气体在等温过程中内能不变,即△

E=0,因此有 Q=-W。即气体作等温膨胀,压强减小,吸收的热量完全用来对外界
做功;气体作等温压缩,压强增大,外界的对气体所做的功全部转化为对外放出 的热量。
2.2.4、绝热过程

气体始终不与外界交换热量的过程称之为绝热过程,即 Q=0。例如用隔热良 好的材料把容器包起来, 或者由于过程进行得很快来不及和外界发生热交换,这 些都可视作绝热过程。
pV ? 理想气体发生绝热变化时,p、V、T 三量会同时发生变化,仍遵循 T 恒

量。根据热力学第一定律,因 Q=0,有
W ? ?E ? nC v ?T ? i ( p 2V2 ? p1V1 ) 2

这表明气体被绝热压缩时, 外界所作的功全部用来增加气体内能, 体积变小、 温度升高、压强增大;气体绝热膨胀时,气体对外做功是以减小内能为代价的, 此时体积变大、温度降低、压强减小。气体绝热膨胀降温是液化气体获得低温的 重要方法。 例:0.020kg 的氦气温度由 17℃升高到 27℃。若在升温过程中,①体积保 持不变,②压强保持不变;③不与外界交换热量。试分别求出气体内能的增量, 吸收的热量,外界对气体做的功。 气体的内能是个状态量, 且仅是温度的函数。在上述三个过程中气体内能的 增量是相同的且均为:

?E ? nCv ?T ? 5 ?1.5 ? 8.31?10 ? 623J

① 等容过程中 ② 在等压过程中

W ? 0 , Q ? ?E ? 623J

Q ? nCP ?T ? n(CV ? R)?T
? 5 ? 2.5 ? 8.31? 10 ? 1.039? 103 J W ? ?E ? Q ? ?416J

③ 在绝热过程中

Q ? 0 , W ? ?E ? 623 J
?1

1mol 温度为 27℃的氦气,以 100m ? s 的定向速度注入体积为 15L 的真空容 器中,容器四周绝热。求平衡后的气体压强。 平衡后的气体压强包括两部分:其一是温度 27℃,体积 15L 的 2mol 氦气的 压强 p0 ; 其二是定向运动转向为热运动使气体温度升高△T 所导致的附加压强△

p。即有
p ? p 0 ? ?p ? n ? R R?T T0 ? n ? V V

氦气定向运动的动能完全转化为气体内能的增量:
1 3 mv 2 ? n ? R?T 2 2

RT0 v2 p ? n? ?M 5 3 5 V 3V ? (3.3 ?10 ? 1.7 ?10 ) Pa ? 3.3 ?10 Pa ∴
2.2.5、其他过程

理想气体的其他过程,可以灵活地运用下列关系处理问题。 气态方程:
pV ? nRT

热力学第一定律:

?E ? W ? Q ? nCV ? ?T

功:W=±( ? -V 图中过程曲线下面积) 过程方程:由过程曲线的几何关系找出过程的 P~V 关系式。若某理想气体 经历 V-T 图中的双曲线过程,其过程方程为:

VT=C

或者

pV 2 ? C

2.2.6、绝热过程的方程

绝热过程的状态方程是
u u P 1V1 ? P V2

其中

u ? C p / Cv

2.2.7、循环过程

系统由某一状态出发, 经历一系列过程又回到原来状态的过程,称为循环过 程。热机循环过程在 P-V 图上是一根顺时针绕向的闭合曲线(如图 2-2-1)。系统 经过循环过程回到原来状态,因此△E=0。 由图可见,在 ABC 过程中,系统对外界作正 功,在 CDA 过程中,外界对系统作正功。在热 机循环中,系统对外界所作的总功:
W ? ? (P-V 图中循环曲线所包围的面积)而
O P B A D M N V C

且由热力学第一定律可知:在整个循环中系统

图 2-2-1

绕从外界吸收的热量总和 Q1 ,必然大于放出的热量总和 Q2 ,而且

Q1 ? Q2 ? W ?
热机效率表示吸收来的热量有多少转化为有用的功, 是热机性能的重要标志 之一,效率的定义为

??

Q W? ? 1? 2 Q1 Q1 <1

例 1 一台四冲程内燃机的压缩比 r=9.5,热机抽出的空气和气体燃料的温度 为
3 27℃,在 larm= 10 KPa 压强下的体积为 V0 ,如图 2-2-2 所示,从 1→2 是绝热压

缩过程;2→3 混合气体燃爆,压强加倍;从 3→4 活塞外推,气体绝热膨胀至体 积 9.5V0 ; 这是排气阀门打开, 压强回到初始值 larm(压缩比是气缸最大与最小体

积比,γ 是比热容比)。(1)确定状态 1、2、3、4 的压强和温度;(2)求此循环的 热效率。 分析: 本题为实际热机的等容加热循环——奥托循环。其热效率取决于压缩 比。 解:对于绝热过程,有 pV ? ? 恒量,结合状态方程,有 TV (1)状态 1, p1 ? 1atm , T1 ? 300K
r ?1

恒量。

T2V0


? ?1

? T1 (rV0 )? ?1

T2 ? 300? 2.461? 738.3K , p2 ? 23.38atm

.6K 在状态 3, p3 ? 2 p2 ? 46.76atm , T3 ? 2T2 ? 1476
用绝热过程计算状态 4,由 得

T4 (?V0 ) ? ?1 ? T3V0

? ?1

T4 ? 600K , p4 ? 2atm 。
(2)热效率公式中商的分母是 2→3 过程中的吸热, 这热量是在这一过程中燃

烧燃料所获得的。因为在这一过程中体积不变,不做功,所以吸收的热量等于气 体内能的增加,即 CV m(T3 ? T2 ) ,转化为功的有用能量是 2→3 过程吸热与 4→1 过程放热之差:

CV m(T3 ? T1 ) ? CV m(T4 ? T1 )
热效率为:

??

CV m(T1 ? T3 ? T2 ? T4 ) T ?T ? 1? 4 1 CV m(T3 ? T2 ) T3 ? T2

50

3

绝热过程有:

2
? ?1

T4V4
因为

? ?1

? T3V3

, T1V1

? ?1

? T2V2

? ?1

4 1

V4 ? V1 , V2 ? V3

0

V0
0

图 2-2-2

rV 0 V

故 因此

T4 T3 T ? ? ? 1? 1 T1 T2 , T2 ,



T1 V 1 ? ( 2 ) ? ?1 ? ( ) ? ?1 ? r 1?? T2 V1 r

? ? 1 ? r 1?? 。

热效率只依赖于压缩比,η =59.34%,实际效率只是上述结果的一半稍大些,因 为大量的热量耗散了,没有参与循环。


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