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2016届原创§35 导数的应用--导数不等式(二)


§35 导数的应用--导数不等式(二)
一、常见的题型: 二、辅助函数的构造: 辅助函数要巧设
1.直接法 2.间接法 作差法 切线法 换元法 参量分类法 ??法

有利求导定单调

三、常见的技巧:
1.先猜后证 2.二导法 3.放缩法 4.变换主元法

先猜后证二导法 变换主元放缩法

导 数 概 述
导 数 数

①求切线斜率 ②判定单调性 ③求极值 ④求最值
⑤堪根 ⑥解证不等式 ⑦证等式??










学 其 他 学 科 积 分

⑧曲边梯形面积 ⑨数列求和

几个常见的二重复合函数的求导公式
①[ ( f ?x ?) ] ? [ n( f ?x ?) ] ? f ?x ?
n / n ?1 /

②[ a

f ?x? /

] ?[ a
/

f ?x?

ln a] ? f ?x ?
/

?x ? ? nx ?a ? ? a ln a
n ' n ?1
x ' x

③ [ log a f ?x ?] ?
/

[

1 ]? f ?x ? ln a

f ?x ?
/

?log a x? ?
'

1 x ln a

④[sin f ?x ?] ? [cos f ?x ?] ? f ?x ?
/

⑤[cos f ?x ?]/ ? [-sin f ?x ?] ? f / ?x ?

?sin x ? ? cos x ' ?cos x ? ? ? sin x
'

常见的不定积分公式
① ③

? 0dx ? C
? x dx ?
n
x


n ?1

? dx ? x ? C

x n ?1
x

? C (n ? ?1)

1 ④ ? dx ? ln | x | ?C x
x a ⑥ ? a x dx ? ?C ln a

⑤ ? e dx ? e ? C ⑦ ? sin xdx ? ? cos x ? C



? cos xdx ? sin x ? C

⑨ [af ( x) ? bg ( x)]dx ? a f ( x)dx ? b g ( x)dx ⑩ [ f ( x)dx]/ ? f ( x) ,

?

?

?

?

?

f / ( x)dx ? f ( x) ? C

导数的几何意义
1.一导:切线的斜率

割线极限是切线 必须切点横坐标 知一有二基本功
y0 ? y1 k ? f ( x0 ) ? ?? x0 ? x1 y0 ? kx0 ? b
/

一导本身是斜率 切点坐标及斜率 在即切点过待定

P0 ( x0 , y0 )

P 1 ( x1 , y1 )

y0 ? f ( x0 )

导数的几何意义
2.二导:曲线的曲率: 二导意义是曲率 大凹小凸○拐点
如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b ) 内具有 二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ??( x ) ? 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的 ; ( 2) f ??( x ) ? 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .
y

y ? f ( x)
A

B

y

y ? f ( x)

B

A
o

o

x a b f ?( x ) 递增 y?? ? 0 f ?( x ) 递增 y?? ? 0

a b x f ?( x ) 递减 y?? ? 0 f ?( x ) 递减 y?? ? 0

定积分的几何意义
一重积分是面积 前上为正下相反 有上有下代数和 同理可得右为前 常见结论要熟知 化繁为简巧割补

?

b

a

f ( x)dx ? ?a [ f ( x) ? 0]dx

b

? ? [ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx
a

b

? ? [ f 前 ( x) ? f 后 ( x)]dx
a

b

定积分的几何意义
一重积分是面积 有上有下代数和 常见结论要熟知 前上为正下相反 同理可得右为前 化繁为简巧割补

y ? f 前 ( x)

y ? f 后 ( x)
x?a
x?b
b 前

? [f
a

( x) ? f 后 ( x)]dx ? S

定积分的几何意义
一重积分是面积 有上有下代数和 常见结论要熟知 前上为正下相反 同理可得右为前 化繁为简巧割补

y ? f 后 ( x)

y ? f 前 ( x)
x?a
x?b

? [f
a

b



( x) ? f 后 ( x)]dx ? ?S

定积分的几何意义
一重积分是面积 前上为正下相反 有上有下代数和 同理可得右为前 常见结论要熟知 化繁为简巧割补

y ? f 前 ( x)

x?a

y ? f 后 ( x)
x?b

? [f
a

b



( x) ? f 后 ( x)]dx ? S1 ? S2 ? S3

定积分的几何意义
一重积分是面积 有上有下代数和 常见结论要熟知 前上为正下相反 同理可得右为前 化繁为简巧割补
y ?b

x ? f 后 ( y)

x ? f 前 ( y)
y?a

? [f
a

b



( y) ? f 后 ( y)]dy ? S

导数的应用——单调性
形法数化是关键 二次三次是基础

三次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d 的图像
3 2

⊿>0

⊿≤0

x1

a>0
x2 x2 x1
/ f (其中:⊿是方程 ( x) ? 0 的判别式)

a<0

4 3 2 f x ? ax ? bx ? cx ? dx ? e 的图像 四次函数 ? ?

方程 f ( x) ? 0有
/

三个互异的实根时

方程 f / ( x) ? 0有 一个实根或三个 实根且有二个为 重根时

a>0

a<0

导数的应用——单调性
形法数化是关键
以直代曲是本质 能解则解不能证 含参反用必须等 最值子集灵活选

二次三次是基础
增大减小○驻点 讨论放缩二导法 等号验证常值舍 变换主元分离参

正 用
反 用

极值的概念
① 形法: 顶点即是极值点 谷底极小峰极大
注1: 极值点是顶点的横坐标 极大(小)值是顶点的纵坐标 可导顶点 注2: ①顶点 不可导顶点 ②驻点 极值点 极值点

③可导函数 驻点

②.数法:
(1)举例描述:参选修2-2课本 P:27 (2)标准定义:
(3)弱化定义:

1.一导法求极值:形法数化是关键
一求驻点二单调 书写格式要简明 三写极值靠图象 含参反用须验根

2.二导法求极值
适当结合二导法 大小小大○为非

/ f 一般地,若 ( x0 ) ? 0 则 ① f // ( x0 ) ? 0 f(x0)是极小值

② f // ( x0 ) ? 0

f(x0)是极大值
f(x0)是非极值

③ f // ( x0 ) ? 0

1.极值的概念: ①.形法:顶点即是极值点 ②.数法: 2.最值的概念:

谷底极小峰极大

(1) 文字:?? (2) 图象:?? (3) 符号: ①等式: ymax ? ?

f ( x) min ? ?
(有常能等)

②不等式: 若 f ( x) ? C 且存在 f ( x0 ) ? C
则 f(x) 有最小值C

注:极值局部最整体

导数法求最值
形法数化是关键 必有最值闭且连 最值来源顶端点 一论单调算顶端 三写最值是格式 能代则代罗比达 是则名为筛选法

导数的应用 —— 堪根
一、堪根的内容:
形法 公式法 根的个数 零点存在定理 导数法 隔根区间 二分法 求近似解 牛顿切线法

二、导数法堪根:
辅助函数是关键 交点坐标方程解 形法数化是技巧 书写格式要简明

导数的应用--导数不等式
一、常见的题型:
1.按问法分类: ①解不等式 ②证不等式 ③求最值 2.按参量分类: ①不含参型 单参型 ②含参型 双参型 多参型 3.按知识分类: 数列不等式?? 常见题型解证最 含参不等四成立 引申双参及多参 数列不等积放缩

二、辅助函数的构造: 三、常见的技巧:

含参不等式——四成立:
形法

(1)
数法 含参不等式恒成立
?
?

含参不等式能成立 含参不等式恰成立
?
? 含参不等式常成立

(2)

最值法 通法 子集法 分离参量法 特法 变换主元法 先猜后证法

分类讨论 引申变式多样 恒成立是重点 技巧性极强

注1.描述方式繁多 注2.常成立是基础 注3.解法灵活多样

§35 导数的应用--导数不等式(二)
一、常见的题型: 二、辅助函数的构造: 辅助函数要巧设
1.直接法 2.间接法 作差法 切线法 换元法 参量分类法 ??法

有利求导定单调

三、常见的技巧:
1.先猜后证 2.二导法 3.放缩法 4.变换主元法

先猜后证二导法 变换主元放缩法

练习1.构造辅助函数——直接法:
(1)(2011年陕西简化)设 f ( x) ? ln x ,g ( x) ? f ( x) ? f ?( x)
求 g(x)的单调区间和最小值

1 解:由题设知 g ( x) ? ln x ? x
/ 当x∈(0,1)时, g ( x) ? 0

,故 g ?( x) ?

x ?1 x2

,故 g(x)在(0,1)上↘

当x∈(1,+∞)时,g / ( x) ? 0 ,故 g (x)在(1,+∞)上↗

因此, g(x)min= g(1)=1

练习2.构造辅助函数——间接法: (2).(2006年全国Ⅱ)设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1) ,若对 所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.
作差法1:由题意得:当 x≥0时, h(x)=f(x) -ax≥0恒成立

而 h /(x) =ln(x+1) +1-a
ⅰ:当1-a≥0,即a≤1时 , h /(x) ≥0在[0,+∞)上恒成立 即 h(x) 在[0,+∞)上↗,而 h (0) =0 故 h(x) ≥0在[0,+∞)上恒成立 ⅱ:当1-a<0,即a>1时 a ?1 / 解 h (x)>0得h(x) 在 e ? 1, ? ? 上↗ a ?1 / 0 , e ? 1 上↘,而 h (0) =0 解 h (x)<0得h(x) 在

?

?

?

?

故h(x)≥0不恒成立,舍去.

综上,a≤1

(2).(2006年全国Ⅱ)设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1) ,若对 所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围. 参量分离法 + 先猜后证法 2:
ⅰ:当x=0时, 易得对任意的a有 f(x)≥ax成立
( x ? 1) ln( x ? 1) ⅱ:当x>0时,即 a ≤ 恒成立 x ( x ? 1) ln( x ? 1) 而x→0时, →1 , 故 a≤1 x

故所求a的取值范围一定是(-∞,1]的子集 下证当 a≤1时, h(x)=f(x) -ax≥0恒成立 因 h /(x) =ln(x+1) +1-a >0在(0,+∞)上恒成立 即 h(x) 在[0,+∞)上↗ ,而 h (0) =0 故 h(x) ≥h (0)=0在[0,+∞)上恒成立 . 综上,a≤1

2 (3)(2014年福建简化)证明:当x>0时, x
x 2

二导法: 设 g ( x) ? e ? x x ? ? 而 g ( x) ? e ? 2 当x>0时,解 g ??( x) ? 0 得g/(x)在(ln2,+∞) 上↗ 当x>0时,解 g ??( x) ? 0得g/(x)在(0,ln2) 上↘ 故 g ??( x) ? g ??(ln 2) ? 0 在(0 ,+∞)上恒成立 所以g/(x)在(0,+∞) 上↗ 故 g ?( x) ? g ?(0) ? 1 ? 0 在(0 ,+∞)上恒成立 即g(x)在(0,+∞) 上↗ 故 g ( x) ? g (0) ? 1 ? 0 所以当x>0时, x
2

x ? g ( x ) ? e ? 2x ,则

?e

x

?e

变形增效法: 即证: 当x>0时,2lnx - x<0
x

(4)(2007年山东简化) 1 1 1 证明:对任意的正整数n有 ln( ? 1) ? 2 ? 3 n n n 换元法+放缩法: 令 1 ? x 则原命题等价于: n

ln( x ? 1) ? x 2 ? x 3 在(0,1]上恒成立
令 h( x) ? ln( x ? 1) ? x 2 ? x 3
3 2 1 3 x ? ( x ? 1) ? 而 h?( x) ? 3x 2 ? 2 x ? >0在(0,1]上恒成立 x ?1 x ?1

故 h(x)在 (0,1]上↗ 即h(x)>h(0)= 0在(0,1]上恒成立 所以原命题成立

(5)(2013年新课标Ⅱ简化)已知

证明:当m≤2时, f(x)>0 隔线(切线)法: 即证:e
x

? x ? 1 ? ln( x ? m)
y ? ex

y ? ln( x ? m)

(5)(2013年新课标Ⅱ简化)已知

证明:当m≤2时, f(x)>0

隔线(切线)法

? x ? 1 ? ln( x ? m) x 设 h( x) ? e ? x ? 1
先证:e x

易得 h?( x) ? e x ? 1 在R上↗ ,而 h?(0) ? 0
故在(0,+∞)上 h?( x) ? 0 ,即h(x)在(0,+∞)上↗

故在(-∞,0)上 h?( x) ? 0 ,即h(x)在(-∞,0)上↘ 所以在R上恒有

h( x) ? h(0) ? 0



e ? x ?1
x

可类似处理??

x ? 1 ? ln( x ? m)

(6)(2014年新课标Ⅰ简化) 证明:

2e f ( x) ? e ln x ? x
x

x ?1

?1

变形增效法: 等价于证: x ln

x ? xe ?

?x

2 e

下证:

x ln x

最小值

?

xe ?

?x

2 e

最大值

特法也??

(6)(2014年新课标Ⅰ简化)证明: x ln 证明:令

x ? xe ?

?x

1 当x>0时,解 f ?( x) ? 0 得f(x)在 ( ,??) 上↗ e 1 当x>0时,解 f ?( x) ? 0 得f(x)在 (0, ) 上↘ e

f ( x) ? x ln x

,则 f ?( x) ? ln x ? 1

2 e

1 1 故 f ( x) ? f ( ) ? ? e e
?x

2 ,则 g ?( x) ? e ? x (1 ? x) 令 g ( x) ? xe ? e 当x>0时,解 g ?( x) ? 0 得g(x)在(0,1)上↗

当x>0时,解 g ?( x) ? 0 得g(x)在(1,+∞)上↘ 1 故 g ( x) ? g (1) ? ? 2 e ?x 所以 f (x)>g (x),即 x ln x ? xe ? e

(7)(2015年全国Ⅱ)设函数

f ( x) ? e ? x ? mx
mx 2

①证明: f (x)在(-∞,0)单调递减;在(0,+∞)单调递增

证: 由题意得 f / ( x) ? memx ? 2 x ? m 又因 f / / ( x) ? m2emx ? 2 ? 0 在R上恒成立
故 f /(x)在R上↗ ,而 f /(0)=0

所以,当x<0时, f /(x)<0 当x>0时, f /(x)>0 即 f (x)在(-∞,0)上单调递减 f (x)在(0,+∞)上单调递增

(7)(2015年全国Ⅱ)设函数

f ( x) ? e ? x ? mx
mx 2

①证明: f (x)在(-∞,0)单调递减;在(0,+∞)单调递增

②若对于任意 x1 , x2 ? [?1,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1
求m的取值范围 由①知 f ( x)min ? f (0) ? 1 ,f ( x)max ? Max{ f (?1), f (1)}

“无中生有”法1: 等价于在[-1,1]上 f ( x)max ? f ( x)min ? e ? 1

e ? m ? e ?1 ? 0 m 即 ?m ,设 h(m) ? e ? m ? e ? 1 e ? m ? e ?1 ? 0
m

因 h?(m) ? em ? 1

故在(0,+∞)上 h?( x) ? 0 ,即h(x)在(0,+∞)上↗
故在(-∞,0)上 h?( x) ? 0 ,即h(x)在(-∞,0)上↘

(7)(2015年全国Ⅱ)设函数

f ( x) ? e ? x ? mx
mx 2

②若对于任意 x1 , x2 ? [?1,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1

e ? m ? e ?1 ? 0 “无中生有”法1:??即 ? m e ? m ? e ?1 ? 0 设 h(m) ? em ? m ? e ? 1 因 h?(m) ? em ? 1
m

求m的取值范围

故在(0,+∞)上 h?( x) ? 0 ,即h(x)在(0,+∞)上↗ 故在(-∞,0)上 h?( x) ? 0 ,即h(x)在(-∞,0)上↘

h(1) ? 0 m e ? m ? e ?1 ? 0 故由 ? m 可得 -1≤m≤1 e ? m ? e ?1 ? 0
又因

,h(?1) ? e?1 ? e ? 2 ? 0

(7)(2015年全国Ⅱ)设函数 求m的取值范围

f ( x) ? e ? x ? mx
mx 2

②若对于任意 x1 , x2 ? [?1,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 “无中生有”法2:??由①知等价于 f ( x)max ? e

f ( x)max ? Max{ f (?1), f (1)}
设 h(m) ? f (1) ? f (?1)
/ m

? e ?e
m

?m

? 2m

1 1 m 因 h ( m) ? e ? m ? 2 ? 2 e ? m ? 2 ? 0 e e
故 h(m)在R上↗ ,又因 h (0)=0 所以,当 m ≥ 0时, f (m)max= f (1) ?? 当 m<0时, f (m)max= f (-1) ??

作业:

1.《精炼案》P:27 Ex10 设 f x ? ax ? x ? ln x 1 ①当 x ? 时,f(x)取到极值,求a的值 2 ②若f(x)在[2,3]上有单调增区间,求a的取值范围
2

? ?

2.(2007年安徽简化)设a≥0, x>1 求证:x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 3.(2015年新课标Ⅰ)设函数

f ? x ? ? e ? a ln x
2x

①讨论f(x)的导函数g(x)的零点的个数 2 ②证明:当a>0时, f ? x ? ? 2a ? a ln a

预习:

导数的应用___解证不等式


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