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数学竞赛教案讲义(9)——不等式


第九章

不等式

一、基础知识 不等式的基本性质: (1)a>b ? a-b>0; (2)a>b, b>c ? a>c; (3)a>b ? a+c>b+c; (4)a>b, c>0 ? ac>bc; (5)a>b, c<0 ? ac<bc; (6)a>b&

gt;0, c>d>0 ? ac>bd; (7)a>b>0, n∈N+ ? an>bn; (8)a>b>0, n∈N+ ? n a ? n b ;

(9)a>0, |x|<a ? -a<x<a, |x|>a ? x>a 或 x<-a; (10)a, b∈R,则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; (11)a, b∈R,则(a-b)2≥0 ? a2+b2≥2ab; (12)x, y, z∈R+,则 x+y≥2

xy , x+y+z ? 33 xyz.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

前五条是显然的,以下从第六条开始给出证明。 (6) 因为 a>b>0, c>d>0, 所以 ac>bc, bc>bd, 所以 ac>bd; 重复利用性质 (6) 可得性质 , (7) ;
n n 再证性质(8) ,用反证法,若 n a ? n b ,由性质(7)得 ( n a ) ? ( n b ) ,即 a≤b,与 a>b

矛盾, 所以假设不成立, 所以 n a ? n b ; 由绝对值的意义知 (9) 成立; -|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|, 所 以 -(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| , 所 以 |a+b|≤|a|+|b| ; 下 面 再 证 ( 10 ) 的 左 边 , 因 为 |a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|,所以|a|-|b|≤|a+b|,所以(10)成立; (11)显然成立;下证(12) , 因为 x+y-2 xy ? ( x ? 一不等式,令
3

y ) 2 ≥0,所以 x+y≥ 2 xy ,当且仅当 x=y 时,等号成立,再证另

x ? a, 3 y ? b, 3 z ? c , 因 为 x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=

1 (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0, 所以 a3+b3+c3≥3abc, x+y+z≥ 33 xyz , 即 等号当且仅当 x=y=z 2
时成立。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 二、方法与例题 1.不等式证明的基本方法。 (1)比较法,在证明 A>B 或 A<B 时利用 A-B 与 0 比较大小,或把 比较大小,最后得出结论。 例 1 设 a, b, x2+y2+z2 ? 2

A (A,B>0)与 1 B
x, y, z, 有

c∈R+ , 试 证 : 对 任 意 实 数

? a?b abc b?c c?a ? ? xy ? yz ? xz ?. ? (a ? b)(b ? c)(c ? a ) ? c a b ? ?

例 2 若 a<x<1,比较大小:|loga(1-x)|与|loga(1+x)|.

(2)分析法,即从欲证不等式出发,层层推出使之成立的充分条件,直到已知为止, 叙述方式为:要证??,只需证??。 例 3 已知 a, b, c∈R+,求证:a+b+c-3 3 abc ≥a+b ? 2 ab.

(3)数学归纳法。 例 5 对任意正整数 n(≥3),求证:nn+1>(n+1)n.

(4)反证法。 例 6 设实数 a0, a1,?,an 满足 a0=an=0, a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,?, an-2-2an-1+an≥0, 且 求 证 ak≤0(k=1, 2,?, n-1).

(5)分类讨论法。 例 7 已知 x, y, z∈R+,求证:

x2 ? y2 y2 ? z2 z2 ? x2 ? ? ? 0. y?z z?x x? y

(6)放缩法,即要证 A>B,可证 A>C1, C1≥C2,?,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+). 例 8 求证: 1 ?

1 1 1 ? ??? n ? n(n ? 2). 2 3 2 ?1 a b c ? ? . a?m b?m c?m

例 9 已知 a, b, c 是△ ABC 的三条边长,m>0,求证:

(7)引入参变量法。 例 10 已知 x, y∈R , l, a, b 为待定正数,求 f(x, y)=
+

a3 x2

?

b3 的最小值。 y2

例 11 设 x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1,求证:(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.

(8)局部不等式。 例 12 已知 x, y, z∈R+,且 x2+y2+z2=1,求证:

3 3 x y z ? . ? ? 2 2 2 2 1? x 1? y 1? z

例 13 已知 0≤a, b, c≤1,求证:

a b c ≤2。 ? ? bc ? 1 ca ? 1 ab ? 1

(9)利用函数的思想。 例 14 已知非负实数 a, b, c 满足 ab+bc+ca=1, f(a, b, c)= 求 值。

1 1 1 的最小 ? ? a?b b?c c?a

2.几个常用的不等式。

(1)柯西不等式:若 ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n,则 (

? ai2 )(? bi2 ) ? (? ai bi ) 2 .
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

等号当且仅当存在 λ∈R,使得对任意 i=1, 2, , n, ai=λbi,
n 2 i

变式 1:若 ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n,则 (

?b
i ?1

a

)?

(? a i ) 2 (? bi )
i ?1 i ?1 n

n

.
2

i

等号成立条件为 ai=λbi,(i=1, 2, ?, n)。
n

变式 2:设 ai, bi 同号且不为 0(i=1, 2, ?, n),则

?b
i ?1

ai
i

?

(? a i ) 2

n

?a b
i ?1 i

i ?1 n

.

i

等号成立当且仅当 b1=b2=?=bn. (2)平均值不等式:设 a1, a2,?,an∈R+,记 Hn=

n 1 1 1 ? ??? a1 a 2 an

, Gn= n a1 a 2 ? a n ,

a ? a2 ? ? ? an , Qn ? An= 1 n

2 2 a12 ? a 2 ? ? ? a n , Hn≤Gn≤An≤Qn. 即调和平均≤几何平均≤ 则 n

算术平均≤平方平均。 其中等号成立的条件均为 a1=a2=?=an. 【证明】 由柯西不等式得 An≤Qn,再由 Gn≤An 可得 Hn≤Gn,以下仅证 Gn≤An. 1)当 n=2 时,显然成立; 2)设 n=k 时有 Gk≤Ak,当 n=k+1 时,记 1? k a1 a 2 ? a k a k ?1 =Gk+1.
k ?1 因为 a1+a2+?+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥ k k a1 a 2 ? a k ? k k a k ?1 ? G k ?1 k ?1 2k ≥ 2k 2 k a1 a 2 ? a k ?1G k ?1 ? 2k 2 k G k ?1 ? 2kGk+1,

所以 a1+a2+?+ak+1≥(k+1)Gk+1,即 Ak+1≥Gk+1. 所以由数学归纳法,结论成立。 (3)排序不等式:若两组实数 a1≤a2≤?≤an 且 b1≤b2≤?≤bn,则对于 b1, b2, ?, bn 的任意 排列 bi , bi , ? , bi ,有 a1bn+a2bn-1+?+anb1≤ a1 bi ? a 2 bi ? ? ? a n bi ≤a1b1+a2b2+?+anbn.
1 2 n 1 2 n

【 证 明 】
n ?1 i ?1

引 理 : 记

A0=0 , Ak=

? ai (1 ? k ? n) , 则
i ?1

k

?a b
i ?1 i

n

i

?

。 ? (si ? si ?1 )bi = ? si (bi ? bi?1 ) ? sn bn (阿贝尔求和法)
i ?1

n

证法一:因为 b1≤b2≤?≤bn,所以 bi ? bi ? ? ? bi ≥b1+b2+?+bk.
1 2 k

记 sk= bi ? bi ? ? ? bi -( b1+b2+?+bk),则 sk≥0(k=1, 2, ?, n)。
1 2 k





a1 bi ? a 2 bi ? ? ? a n bi
1 2

-(a1b1+a2b2+
k

?

+anbn)=

?a
j ?1

n

j

(bi ? b j ) ?
j

?s
j ?1

n

j

(a j ? a j ?1 ) +snan≤0.

最后一个不等式的理由是 aj-aj+1≤0(j=1, 2, ?, n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立,同理可证左侧不等式。 证法二: (调整法)考察 a1 bi ? a 2 bi ? ? ? a n bi ,若 bi ? bn ,则存在。
1 2 k j

若 bi ? \bn (j≤n-1),则将 bi 与 bi 互换。
j
n

j

因为
b a n bn ? a j bi ? (a n bi ? a j bn ) ? (a n ? a j )bn ? (a j ? a n )bi ? (a n ? a j )(bn ? bi ) ≥0,
n n n n

所 调整后,和是不减的,接下来若 bi

n ?1

? bn ?1 ,则继续同样的调整。至多经 n-1 次调

整就可将乱序和调整为顺序和,而且每次调整后和是不减的,这说明右边不等式成立,同理 可得左边不等式。
2 2 2 a n ?1 a n a12 a 2 ? ??? ? ? a1+a2+?+an. 例 15 已知 a1, a2,?,an∈R ,求证; a 2 a3 an a1

+

注:本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用,希望读者在解题中再加以总结。 三、基础训练题 1.已知 0<x<1,a, b∈R+,则 2.已知 x∈R+,则 x ?

a2 b2 ? 的最小值是____________. x 1? x

1 的最小值是____________. x2

3 . 已知 a, b, c∈R ,且 a2+b2+c2=1, ab+bc+ca 的 最 大 值为 M, 最小 值为 N ,则 MN=___________.

4. 若不等式 ? 3 ?

x 2 ? ax ? 1 则 ? 2 对所有实数 x 成立, a 的取值范围是____________. x2 ? x ?1

5.若不等式 2x ?1 ? x+a 的解是 x>m,则 m 的最小值是____________. 6. “a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8 的解集是{x|-2<x<6}”的____________条件. 7.若 a, b∈R+,则 a+b=1,以下结论成立是__________.① a4+b4≥

1 1 ;② ≤a3+b3<1; 8 4

1 1 1 1 2 ③ 2 ? 2 ? ;④ a ? ? b ? ? 2 ;⑤ a 2 2 ab a b
8.已知 0< ? < ? ,若 sin

b ?1 2

? a b ;⑥

b ?1 lg a ? b lg a. 2

?
2

(1 ? cos? ) ?

4 3 ,则 ? =____________. 9

9.已知 x ?

x1 ? x 2 ? ? ? x n ,p=(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2, q=(x1-a)2+(x2-a)2+? n

+(xn-a)2, 若 a ? x ,则比较大小:p___________q. 10.已知 a>0, b>0 且 a ? b, m=aabb, n=abba, 则比较大小:m_________n.

1 1 3n ??? 2 ? . 2 2n ? 1 2 n 1 12.已知 0<a<1,x2+y=0,求证:loga(ax+ay) ≤loga2+ . 8 x x 13.已知 x∈R, x ? 0 ,求证: ? . 1? 2x 2
11.已知 n∈N+,求证: 1 ? 四、高考水平训练题 1.已知 A=asin2x+bcos2x, B=acos2x+bsin2x(a, b, x∈R),设 m=AB, n=ab, P=A2+B2, q=a2+b2, 则下列结论成立的有]__________. 1) ( m≥n, p≥q; 2) ( m≤n, p≤q; (3) m+p≥n+q; m+q≥n+p. (4) 2.已知 a, b, c, d∈R,M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d),则比较 大小:M________N. 3 . 若 a ? b, a, b ? R+ , 且 a ? 3 , b ? ________. 4.已知△ ABC 的三边长 a, b, c 满足 b+c≤2a, a+c≤2b,则

a?3 a?b , 将 3 , a, b, 从 小到 大 排 列为 a ?1 2 b 的取值范围是________. a

5.若实数 x, y 满足|x|+|y|≤1,则 z=x2-xy+y2 的最大值与最小值的和为________. 6.设函数 f(x)= 2 ? x ? 3x ? 12 (x∈[-4,2]),则 f(x)的值域是________. 7 . 对 x1>x2>0, 1>a>0 , 记 y1 ? x1x2________y1y2. 8.已知函数 y ?

x1 ax ax x ? 2 , y2 ? 1 ? 2 , 比 较 大 小 : 1? a 1? a 1? a 1? a

a ? sin x ? 4 ? 的值域是 ?? ,?? ? ,则实数 a 的值为________. 1 ? cos x ? 3 ?

9.设 a≤b<c 是直角△ ABC 的三边长,若不等式 大值为________.

1 1 1 M 恒成立,则 M 最 ? ? ? a b c a?b?c
b?2 a ?1

10. 实系数方程 x2+ax+2b=0 的一个根大于 0 且小于 1, 另一个根大于 1 且小于 2, 则

的取值范围是________. 11.已知 a, b, c∈R+ 且满足 a+b+c≥abc,求证:下列三个式子中至少有两个成立:

6 3 2 6 3 2 6 3 2 ? ? ? 2, ? ? ? 2, ? ? ? 2. a b c b c a c a b 1 1 12.已知 a, b∈R+且 ? ? 1 ,求证:对一切 n∈N+,(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1. a b c a b 3 13.已知 a, b, c ∈R+,求证: ? ? ? . a?b b?c c?a 2
14.设 x, y, z 是 3 个不全为零的实数,求 五、联赛一试水平训练题 1. 已知 a1, a2, b1, b2, c1, c∈R, 1c1- b1 =a2c2 ? b2 >0, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2, a 比较大小:
2 2

xy ? 2 yz 的最大值。 x ? y2 ? z2
2

P_______Q. 2 已知 x2+y2-xy=1,则|x+y-3|+|x+y+2|=__________. 3. 二次函数 f(x)=x2+ax+b, M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|}, M 的最小值为__________. 记 则 4.设实数 a, b, c, d 满足 a≤b≤c≤d 或者 a≥b≥c≥d,比较大小: 4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d). 5.已知 xi∈R+, i=1, 2, ?,n 且

?1? x
i ?1

n

1

? 1 ,则 x1x2?xn 的最小值为__________(这里
i

n>1). 6.已知 x, y∈R, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72 的最小值为__________. 7.已知 0≤ak≤1(k=1, 2, ?,2n),记 a2n+1=a1, a2n+2=a2,则 __________. 8.已知 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1,则

? (a
k ?1

2n

k

? a k ?1 a k ? 2 ) 的最大值为

x y z 的最大值为__________. ? ? yz ? 1 zx ? 1 xy ? 1

9.已知

3 ≤x≤5,求证: 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ? 15 ? 3x ? 2 19 . 2
a?b?c 3 10 ? abc ? . 3 27
=1 。 又 0<λ1≤λ2≤ ? ≤λn , 求 证 :

10.对于不全相等的正整数 a, b, c,求证:
n

11 . 已 知 ai>0(i=1, 2, ? , n) , 且

?a
i ?1

i

n ? n a (? ?i ai )? ? i ? ? i ?1 ? i ?1 i

? (?1 ? ? n ) 2 ?≤ . ? 4?1 ? n ?

六、联赛二试水平训练题 1.设正实数 x, y, z 满足 x+y+z=1,求证:

xy xy ? yz

?

yz yz ? xz

?

xz xz ? xy

?

2 . 2

2.设整数 x1, x2, ?,xn 与 y1, y2, ?, yn 满足 1<x1<x2<?<xn<y1<y2<?<ym, x1+x2+? +xn>y1+y2+?+ym,求证:x1x2xn>y1y2?ym. 3. f(x)=x2+a, f ' ( x) ? f(x), fn(x)=f(fn-1(x))(n=2, 3, ?), 设 记 M={a∈R|对所有正整数 n, |fn(0)| ≤2},求证: M ? ?? 2, ? 。 4

? ?

1? ?

4. 给定正数 λ 和正整数 n(n≥2), 求最小的正数 M (λ) 使得对于所有非负数 x1, x2,?,xn , , 有 M(λ) (

? xk ) n ? ? xkn ? ? ? xk .
k ?1 k ?1 k ?1

n

n

n

5.已知 x, y, z∈R+,求证:(xy+yz+zx) ?

?

1 1 1 ? 9 ? ? ?? . 2 2 ( y ? z) ( z ? x) 2 ? 4 ? ( x ? y)

6.已知非负实数 a, b, c 满足 a+b+c=1,求证:2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c), 并求出等号成立的条件。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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