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【2015届备考】2014全国名校(数学)分类解析汇编(11月第三期):C单元三角函数


C 单元 三角函数

目录 C1 角的概念及任意角的三角函数 ................................................................................................ 2 C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 .............................................................................. 2 C3 三角函数的图象与性质 .......................................................................................................... 2 C4 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 ................................................................................. 2 C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 .......................................................................................... 2 C6 二倍角公式 .............................................................................................................................. 2 C7 三角函数的求值、化简与证明 .............................................................................................. 2 C8 解三角形 .................................................................................................................................. 2 C9 单元综合 .................................................................................................................................. 2

C1 角的概念及任意角的三角函数

【数学(文)卷·2015 届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试(201410)word 版】7、在 ?0,2? ? 内,使

sin x ? cosx 成立的 x 取值范围是(
A. ?

) D. ?0,

? ? 7? ? , ?4 4 ? ?

B. ?

? ? 5? ? , ?4 4 ? ?

C. ?0,

? 5? ? ? 4? ?
C1

? ? ? ? 7? ? ? ? ,2? ? ? ? 4? ? 4 ?

【知识点】三角函数不等式的解法.

【答案解析】A 解析:当 x ? ? 0, ? ? 时,不等式为 sinx ? cosx,解得 x ? ? 当 x ? ?? ,2? ? 时,不等式为-sinx ? cosx 即 sinx+cosx ? 0,解得 x ? ? ? ,

?? ? ,? ; ?4 ? ?

? ?

7? ? , 4 ? ?

综上得 x ? ?

? ? 7? ? ,故选 A. , ?4 4 ? ?

【思路点拨】根据含绝对值的不等式的解法,通过讨论 x 的取值范围,去掉绝对值,然后利用单位圆及三 角函数线,确定结论.
第 1 页(共 80 页)

【数学理卷·2015 届重庆南开中学高三 10 月月考(201410)word 版】4.“ sin x ? A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

? 3 ”是“ x ? ”的 3 2

【知识点】角的概念及任意角的三角函数 C1 【答案解析】C 若 x ?

?
3

则 sin x ?

? 2? 3 3 ,若 sin x ? 则 x ? 还能为 故选 C. 3 3 2 2

【思路点拨】根据角的范围为任意角去得到必要不充分条件。

【数学理卷· 2015 届重庆南开中学高三 10 月月考 (201410) word 版】 2.角 ? 终边经过点 (1, -1) ,o c s A.1 B.-1 C.

??

2 2

D. ?

2 2

【知识点】角的概念及任意角的三角函数 C1 【答案解析】C 角 ? 终边经过点(1,-1) ,所以 cos? ? 【思路点拨】可直接根据定义确定余弦值

1 1 ? (?1)
2 2

=

2 故选 C。 2

【数学文卷·2015 届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试(201411) 】5.已知扇形的周长 是 6 cm,面积是 2 cm ,则扇形的圆心角的弧度数是( A.1 或 4 B.1 C1
2

) C.4 D.8

【知识点】扇形面积公式;弧度的意义.

? 2r ? l ? 6 ?r ? 1 ?r ? 2 ? ?? 或? 【答案解析】A 解析:设扇形弧长 l ,半径 r,则 ? 1 ,所以 l ? 4 lr ? 2 ? ?l ? 2 ? ?2
扇形的圆心角的弧度数=

l =4 或 1.故选 A. r

【思路点拨】根据题意得关于弧长与半径的方程组,确定弧长和半径,再利用弧长与半径的比为弧度数得 结论.
第 2 页(共 80 页)

【数学文卷·2015 届浙江省温州十校(温州中学等)高三上学期期中联考(201411) 】11.已知角 ? 的终 边经过点(-4,3) ,则 cos ? =__________ 【知识点】任意角的三角函数的定义.C1 【答案解析】-

4 5

解析:角 α 的终边上的点 P(﹣4,3)到原点的距离为 r=5,

由任意角的三角函数的定义得 cos ? ? 故答案为: ?

x 4 ?? . r 5

4 . 5

【思路点拨】先求出角 α 的终边上的点 P(﹣4,3)到原点的距离为 r,再利用任意角的三角函数的定义

cos ? ?

x 求出结果. r

【数学文卷· 2015 届河北省衡水中学高三上学期二调考试 (201410)word 版】2.设α 是第二象限角, P(x,4) 为其终边上的一点,且 cos ? ? A.

4 3

B.

3 4

1 x ,则 tan ? ? 5 3 C. ? 4

D. ?

4 3

【知识点】任意角的三角函数的定义 C1 【答案解析】B 解析:由题意知: x ? 0 , r ? OP ?

x 2 ? 16, 故 cos ? ?

x ? r

x x ? 16
2



又 cos ? ?

y 4 1 x 1 x ,? ? x ,解之得: x ? ?3 ,? tan ? ? ? ? x 3 5 x 2 ? 16 5

【思路点拨】根据任意角 ? 的余弦的定义和已知条件可得 x 的值,再由 tan ? 的定义求得结果。

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期二调考试(201410)word 版】1.设 a = 30. 5, b= log32, c=cos 2,则 A.c<b<a B. c<a<b C. a<b<c D. b<c<a

【知识点】指数、对数比较大小;三角函数的符号 B6 B7 C1 【答案解析】A 解析:由指数函数的单调性知: a ? 3
0.5

? 30 ? 1 ,

第 3 页(共 80 页)

由对数函数的单调性知: b ? log3 2 ? log3 3 ? 1, ∵2 是第二象限角,∴ c=cos 2<0, ∴c<b<a , 故答案为:A 【思路点拨】利用指数函数、对数函数及三角函数的性质即可判断大小.

C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式

【数学 (理) 卷· 2015 届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试 (201410)word 版】5.已知 cos( 那么 sin 2 x = (A)

?

3 ? x) ? , 4 5

18 25

(B) ?

24 25

(C) ?

7 25

(D)

7 25

【知识点】二倍角公式;诱导公式.C2,C6 【答案解析】C 解析:因为 cos(

?
4

? x) ?

3 ,所以 5

7 7 ?? ? ?? ? ?? ? cos 2 ? ? x ? ? 2cos 2 ? ? x ? ? 1 ? ? ,即 cos ? ? 2 x ? ? sin 2 x ? ? ,故选 C. 25 25 ?4 ? ?4 ? ?2 ?
【思路点拨】利用二倍角公式求得 cos ?

?? ? ? x ? 值,再用诱导公式求得 sin2x 值. ?2 ?

【数学(文)卷·2015 届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试(201410)word 版】18、 (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a , b, c 分别是内角 A, B, C 的对边,AB=5, COS ?ABC ? (1)若 BC=4,求 ?ABC 的面积 S ?ABC ; (2)若 D 是边 AC 的中点,且 BD ?

1 . 5

7 ,求边 BC 的长. 2

【知识点】同角三角函数关系;三角形面积公式;余弦定理. C2 C8 【答案解析】(I) S?ABC ? 4 6 (II) CB ? 4 . 解析:(1) AB ? 5 , cos ?ABC ?

1 , BC ? 4 ,又 ?ABC ? (0, ? ) , 5
第 4 页(共 80 页)

所以 sin ?ABC ? 1 ? cos 2 ?ABC ? ∴ S ?ABC ?

2 6 , 5

1 1 2 6 BA ? BC ? sin ?ABC ? ? 5 ? 4 ? ? 4 6 .????6 分 2 2 5
E

(2) 以 BA,BC 为邻边作如图所示的平行四边形 ABCE ,

1 如图,则 cos ?BCE ? ? cos ?ABC ? ? ,BE=2BD=7, 5
CE=AB=5, 在△BCE 中,由余弦定理: B

A

D C

BE 2 ? CB2 ? CE2 ? 2CB ? CE ? cos ?BCE . 即 49 ? CB2 ? 25 ? 2 ? 5 ? CB ? (? ) ,
解得: CB ? 4 . ??????????????10 分 【思路点拨】 (1) 利用同角三角函数关系求 ?ABC 正弦值,再用三角形面积公式求得结论; ( 2 )构造以
BA,BC 为邻边作如图所示的平行四边形 ABCE ,在三角形 BCE 中利用余弦定理求出边 BC 长.

1 5

【数学 (文) 卷· 2015 届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试 (201410) word 版】 5、 已知 cos( 那么 sin 2 x ? ( A. )

?
4

? x) ?

3 , 5

18 25

B. ?

24 25

C. ?

7 25

D.

7 25
C6 C2

【知识点】二倍角公式;诱导公式. 【答案解析】C 解析:因为 cos(

?
4

? x) ?

3 ,所以 5

7 7 ?? ? ?? ? ?? ? cos 2 ? ? x ? ? 2cos 2 ? ? x ? ? 1 ? ? ,即 cos ? ? 2 x ? ? sin 2 x ? ? ,故选 C. 25 25 ?4 ? ?4 ? ?2 ?
【思路点拨】利用二倍角公式求得 cos ?

?? ? ? x ? 值,再用诱导公式求得 sin2x 值. ?2 ?

【 数 学 理 卷 · 2015 届 浙 江 省 重 点 中 学 协 作 体 高 三 第 一 次 适 应 性 测 试 ( 201411 ) word 版 】 15 . 设

f ( x) ? cos 2 x ? 2a(1 ? cos x) 的最小值为 ?

1 ,则 a ? 2





【知识点】同角三角函数基本关系,三角函数求值与化简 C2,C7 【 答 案 解 析 】 ?2 ? 3 解 析 : f ( x? )

22 c o?s x

。 ? c1 o sx ? , 2? a c o?s x 令 2t a

? 1

cx o? s

1

第 5 页(共 80 页)

a 1 ? 1, 即 a ? 2 时 , f m i n ? f (1) ? 1 ? 4a ?? ,得 2 2 a a 3 1 ? ? 1 , a ? ? 2 不成立。 (2) 当 ? ?1, 即 a ? ?2 时,f min ? f (?1) ? 1 ? ? , 不成立。 (3) 当 ?1 2 2 8 2 a 1 2 a ? 1? ? 即 ?2 ? a ? 2 时 , f m i n ? f ( ) ? ? a ? 2 , 得 a ? ?2 ? 3 , 又 ?2 ? a ? 2 , 所 以 2 2
(1)当 f (x) ? 2t 2 ? 2at ? 2a ? 1, ?1 ? t ? 1 ,

a ? ?2 ? 3 成立。
【思路点拨】首先利用同角三角函数基本关系化简得到一个关于 cos x 的二次函数,再利用二次函数在给 定区间上求最值的方法求解。

【数学理卷·2015届北京市重点中学高三上学期第一次月考(201410) 】16. (本小题13分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 sin B ? (Ⅰ)求

5 ,且 a, b, c 成等比数列. 13

1 1 的值; ? tan A tan C

(Ⅱ)若 ac cos B ? 12 ,求 S ?ABC 及 a ? c 的值. 【知识点】余弦定理的应用;等比数列的性质;同角三角函数基本关系的运用;正弦定理.C2 C8 D3 【答案解析】 (Ⅰ)

13 5 ; (Ⅱ) , 3 7 5 2

解析: (Ⅰ)依题意, b 2 ? ac -------------------1 分 由正弦定理及 sin B ?

5 25 , 得 sin A sin C ? sin 2 B ? . -------------------3 分 13 169 1 1 cos A cos C sin( A ? C ) sin B 5 169 13 ? ? ? ? ? ? ? ? . --6 分 tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin A sin C 13 25 5

(Ⅱ)由 ac cos B ? 12知 cos B ? 0.

5 12 , 得 cos B ? ? . (舍去负值)-------------------------------8 分 13 13 12 从而 b 2 ? ac ? ? 13. ------------------ -----------------9 分 cos B
由 sin B ?

S ?ABC ?

1 1 5 5 ac sin B ? ?13 ? ? .------------------ -----------------11 分 2 2 13 2
2 2

由余弦定理,得 b ? (a ? c) ? 2ac ? 2ac cos B. 代入数值,得 13 ? (a ? c) 2 ? 2 ? 13 ? (1 ?

12 ). 13

解得: a ? c ? 3 7 . ------------------------- ------------13 分
第 6 页(共 80 页)

【思路点拨】 (Ⅰ)利用等比数列可得 b 2 ? ac .再利用正弦定理可得 sinAsinC ? sin 2 B .利用同角三角 函数基本关系式、 诱导公式、 两角和差的正弦公式即可得出

1 1 ; (Ⅱ) 先根据 accosB=12 知 cosB ? tan A tan C

>0,再由 sinB 的值求出 cosB 的值,最后根据余弦定理可确定 a,c 的关系,从而确定答案.

【数学文卷· 2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试 (201410) 】 15、 若方程 cos2 x ? sin x ? a ? 0 在0 ? x ?

?
2

内有解,则 a 的取值范围是_____________

【知识点】同角三角函数间的基本关系;一元二次方程的根的分布与系数的关系.C2 B9 【答案解析】 ?? 1,1? 解析:方程 cos2 x ? sin x ? a ? 0 即 sin2x+sinx﹣a﹣1=0. 由于 0 ? x ?

?
2

,∴0<sinx≤1.故方程 t2+t﹣a﹣1=0 在(0,1]上有解.

又方程 t2+t﹣a﹣1=0 对应的二次函数 f(t)=t2+t﹣a﹣1 的对称轴为 t= ? 故有 ?

1 , 2

? ? f ? 0 ? ? f ?1? ? 0 ,解得﹣1<a≤1.故答案为: ?? 1,1? . f 0 ? 0 ? ? ? ?
1 , 2

【思路点拨】由题意可得方程 t2+t﹣a﹣1=0 在(0,1]上有解,函数 f(t)=t2+t﹣a﹣1 的对称轴为 t= ? 故有 ?

? ? f ? 0 ? ? f ?1? ? 0 ,解此不等式组求得 a 的取值范围. ? ? f ? 0? ? 0

【数学文卷· 2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试 (201410) 】 14、 已知

2 sin ? ? cos ? ? ?5, 则 sin ? ? 3 cos ?

3 cos 2? ? 4 sin 2? =__________________
【知识点】二倍角的余弦;同角三角函数基本关系的运用.C2 C6 【答案解析】

7 5

解析:已知:

2 sin ? ? cos ? ? ?5, 利用商数关系解得:tanθ=2 sin ? ? 3 cos ?
= =﹣

进一步求出: =

= ,所以:3cos2θ+4sin2θ=

【思路点拨】首先利用商数关系求出 tanθ 的值,进一步利用万能公式求的结果.

第 7 页(共 80 页)

【数学文卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试(201410) 】11、已知 sin ?

?? ? 1 ? ? ? ? ,则 ?6 ? 3

? 2? ? cos? ? 2? ? 的值是( ? 3 ?
A、 ?



7 9

B、 ?

1 3

C、

1 3

D、

7 9

【知识点】二倍角的余弦;运用诱导公式化简求值.C2 C7 【答案解析】A 解析: cos? =﹣[1﹣2si

? 2? ? ? 2? ? =﹣cos( ? 3 ?

﹣2α)=﹣cos[2(

)]

]=﹣(1﹣ )=﹣ ,故选 A.

【思路点拨】利用诱导公式和二倍角公式化简 cos? 的值,求解即可.

? 2? ? ? 2? ? 为 sin ? 3 ?

的表达式,然后代入

sin

【数学文卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试(201410) 】2、已知数列 {an } 为等差数列,

a2 ? a12 ) 的值为( 且 a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 tan(
A、 3 B、 ? 3



C、 ? 3

D、 ?

3 3

【知识点】等差数列的性质;运用诱导公式化简求值;两角和与差的正切函数.C2 C5 D2 【答案解析】B 解析:∵ a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 a7= ∴tan(a2+a12)=tan2a7=tan

8? = ? 3 ,故选 B. 3

4? , 3

【思路点拨】因为 a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 a7= 可得答案.

4? 8? ,所以 tan(a2+a12)=tan2a7=tan ,由诱导公式计算 3 3

【数学文卷·2015 届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试(201411) 】8.若 sin (

?
6

??) =

第 8 页(共 80 页)

? 3 ,则 cos ( ? ? ) =( 5 3
A. ?

). B. ?

4 5

4 5

C. ?

3 5

D.

3 5

【知识点】诱导公式. C2 【答案解析】D 解析:因为 sin (

?
6

? ? ) =5,所以 cos (

3

?

?? ? ? ?? ? ? ) =sin ? ? ? ? ? ?? 3 ?? ?2 ? 6

?? ? 3 ? sin ? ? ? ? ? ,故选 D. ?3 ? 5
【思路点拨】利用诱导公式求解.

【数学文卷·2015 届湖南省师大附中高三上学期第二次月考(201410) 】16、 (本题满分 12 分) 已知 ?ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? cos(

?
2

? B) ? 2 sin( A ? B) .
1 sin C ,求角 C 的度数. 6

(1) 求边 AB 的长; (2)若 ?ABC 的面积为

【知识点】诱导公式;正弦定理;三角形面积公式;余弦定理. C2 C8 【 答 案 解 析 】 (1)1 ;( 2 ) 60 . 解 析 : (1) 由 题 意 sin A ? cos(

?
2

? B) ? 2 sin( A ? B) 得

sin A ? sin B ? 2 sin C -------2 分
由正弦定理得, BC ? AC ? 2 AB ,----4 分 又因为 AB ? AC ? BC ? 2 ? 1 ,---5 分 两式相减得 AB=1.----6 分 (2) 由 ?ABC 的面积为

1 1 1 BC ? AC ? sin C ? sin C 得, BC ? AC ? .----8 分 2 6 3
2

2 AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ? AC ? BC ? ? 2 AC ? BC ? AB 1 由余弦定理得, cos C ? = ? ,---11 分 2 AC ? BC 2 AC ? BC 2

所以 C ? 60 . ------12 分 【思路点拨】(1)利用诱导公式化简已知等式,再用正弦定理转化为边关系求解; (2)利用三角形面积公式 及余弦定理求解.

【 数 学 文 卷 · 2015 届 河 北 省 衡 水 中 学 高 三 上 学 期 二 调 考 试 ( 201410 ) word 版 】 7. 已 知 函 数
第 9 页(共 80 页)

f ( x) ? cos(2 x ? ? ) 满足 f ( x) ? f (1) 对 x ? R 恒成立,则
A. 函数 f ( x ? 1) 一定是偶函数 C.函数 f ( x ? 1) 一定是奇函数 【知识点】余弦函数的奇偶性 C2 C3 B.函数 f ( x ? 1) 一定是偶函数 D.函数 f ( x ? 1) 一定是奇函数

【答案解析】A 解析:由已知知: f (1) 是函数的最大值,所以 f (1) ? cos ? 2 ? ? ? ? 1 ,

? 2 ? ? ? 2k? , k ? Z , ? ? 2k? ? 2, k ? Z ,

? f ( x) ? cos ? 2x ? 2k? ? 2? ? cos ? 2x ? 2? , ? f ( x ?1) ? cos ? 2x ? 2 ? 2? ? cos 2x ,
所以函数 f ( x ? 1) 一定是偶函数 , 故选:A 【思路点拨】依题意, f (1) 是最大值,从而可求得 ? ? 2k? ? 2, k ? Z ,于是可求得? f ( x ? 1) ? cos 2 x , 继而可得答案.

【 数 学 文 卷 · 2015 届 河 北 省 衡 水 中 学 高 三 上 学 期 二 调 考 试 ( 201410 ) word 版 】 6. 已 知

7? ? 4 3 ) 的值是 ,则 sin(? ? cos(? ? ) ? sin ? ? 6 6 5
A. ?

2 3 5

B.

2 3 6

C. ?

4 5

D.

4 5

【知识点】两角和与差的正余弦;诱导公式 C2 C5 【答案解析】C 解析: cos(? ?

?
6

) ? sin ? ?

3 1 cos ? ? sin ? ? sin ? 2 2 3 3 cos ? ? sin ? 2 2

?

第 10 页(共 80 页)

?1 ? 3 ? 3? cos ? ? sin ? ? ?2 ? 2 ? ?, ?? 4 3 ? ? 3 sin ? ? ? ? ? 6? 5 ?

? 4 ? sin(? ? ) ? 6 5 7? ? 4 ? sin(? ? ) ? ? sin(? ? ) ? ? , 6 6 5
故选:C

【思路点拨】把已知等式的左边利用两角和的余弦函数公式化简,提取 3 ,用两角和的正弦函数公式化 简,即可求出 sin(? ?

?
6

) ,再利用诱导公式得 sin(? ?

7? ? ) ? ? sin(? ? ) 得到答案。 6 6

【数学文卷·2015 届云南省玉溪一中高三上学期期中考试(201410) 】6、已知 sin ? ?

2 ,则 3

cos(? ? 2? ) ? (
A. ?

)

5 3

B. ?

1 9

C.

1 9

D.

5 3

【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式 C2
2 【答案解析】B cos( ? -2 ? )=-cos2 ? =2 sin ? -1=-

1 故选 B。 9

【思路点拨】根据诱导公式及二倍角公式求得。

C3 三角函数的图象与性质

【数学(理)卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期第二次月考(201410) 】17. (本题满分 13 分)

2 cos( x ? )[sin( x ? ) ? 3 cos( x ? )] 3 3 3 . 已知函数 f(x)=
(1)求 f(x)的值域和最小正周期;

?

?

?

第 11 页(共 80 页)

x ? [0, ] 6 内有解,求实数 m 的取值范围. (2)方程 m[f(x)+ 3]+2=0 在
【知识点】两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法.C3 C5 2 3 ? 【答案解析】(1) 值域为[-2- 3,2- 3],最小正周期为 π. (2) ?- ? 3 ,-1? π? ? 解析:(1)f(x)=2sin 2x+3 - 3.

?

?

?

π? ? ∵-1≤sin 2x+3 ≤1.

?

?

π? 2π ? ∴-2- 3≤2sin 2x+3 - 3≤2- 3,T= 2 =π,

?

?

即 f(x)的值域为[-2- 3,2- 3],最小正周期为 π. ???????????7 分 π ?π 2π? ? π? (2)当 x∈ 0,6 时,2x+3∈ 3, 3 ,

?

?

?

?

π? ? 3 ? ? 故 sin 2x+3 ∈? ,1?, ? ? ?2 ? π? ? 此时 f(x)+ 3=2sin 2x+3 ∈[ 3,2].

?

?

2 由 m[f(x)+ 3]+2=0 知,m≠0,∴f(x)+ 3=-m, 2 即 3≤-m≤2,

?m+ 3≤0, 即? 2 ?m+2≥0,
2

2 3 ? 2 3 ? 解得- 3 ≤m≤-1.即实数 m 的取值范围是?- ,-1????13 分 ? 3 ?

【思路点拨】 (1)先利用和差公式把函数解析式化成标准形式,然后结合正弦函数的值域求 f(x)的值域; 2 (2)根据 x 的范围求出[f(x)+ 3]的范围,然后由 m[f(x)+ 3]+2=0 知,m≠0,f(x)+ 3=﹣ ,只须 m 2 让 3≤﹣ ≤2 即可. m

【 数 学 ( 理 ) 卷 · 2015 届 重 庆 市 重 庆 一 中 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 ( 201410 ) 】7.函数

f ( x) ? sin(2x ? ? ) ? 3 cos(2x ? ? ) ,(
( , 0) 关于点 6 对称,则 f ( x ) 的增区间(

? ?

?
2 )的图像

?

)

第 12 页(共 80 页)

5? ?? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z ? 6 ? A. ? 3 5? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z ? 12 ? C. ? 12

? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z ? 3 ? B. ? 6

? ? 7? ? ? ? k? , ? ? k? ? , k ? Z ? 12 ? D. ? 12

【知识点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性.C5 C3 【答案解析】D 解析:f(x)=sin(2x+θ)+ ∵图象关于点 ∵|θ|< 由 解得: ∴函数 f(x)的增区间为 ,∴ 对称,∴2× +θ+ cos(2x+θ)=2sin(2x+θ+ =kπ, (k∈Z) ,∴θ=kπ ) ; ) ,

, (k∈Z) ,

,∴f(x)=2sin(2x+

(k∈Z) (k∈Z) .故选 D. 对称,求出 θ 的值,然

【思路点拨】利用两角和的正弦公式化成标准形式,根据图象关于点 后根据正弦函数的单调增区间求函数 f(x)的单调增区间.

【数学理卷·2015 届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试(201411) 】19.已知 a, b, c 分别是三角 形 ABC 的三个内角 A,B,C 的对边, (1)求角 A 的大小; (2)求函数 y ?

2b ? c cos C . ? a cos A

3 sin B ? sin(C ?

?
6

) 的值域.

【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案解析】 (1)

? (2)(1,2]. 3
1 ? .A 是三角形的内角,所以 A= . 2 3

(1)由题意得(2b-c)cosA=acosC,由正弦定理得:2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC =sin(A+C)即 2sinBcosA=sinB,所以 cosA= (2)因为函数 y= y=2sin(B+

3 sinB+sin(C-

? )的值域(1,2]. 6

? ? ? ? 5? ) = 3 sinB+cosB=2sin(B+ ),而 < B+ < ,所以函数 6 6 6 6 6

【思路点拨】(1)通过向量的平行,利用共线,通过正弦定理以及两角和的正弦函数化简,求出 A 的余
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弦值,然后求角 A 的大小; (2) 通过函数 y=

3 sinB+sin(C-

? ), 利用两角和与差的三角函数, 化为铁公鸡的一个三角函数的形式, 6

结合 B 的范围,直接求解函数的值域.

【 数 学 理 卷 · 2015 届 黑 龙 江 省 双 鸭 山 一 中 高 三 上 学 期 期 中 考 试 ( 201411 ) 】 16 . 已 知 函 数

f ( x) ? x sin x ? cos x ,给出如命题:
① f ( x) 是偶函数;② f ( x) 在 [0, ③函数 f ( x) 在 [?

3? 3? ] 上单调递减,在 ( ,2? ] 上单调递增; 2 2

3? 3? , ] 上有 3 个零点;④当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 1 恒成立; 2 2

其中正确的命题序号是 【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案解析】①④ 对于①,显然定义域为 R,f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsinx+cosx=f(x).所

以函数为偶函数,所以①为真命题;

? ]时,f′(x)>0,此时函数为增函数,故②为假命 2 1 1 3? 3? 3? 题; 对于③, 令f (x) =0, 所以 =-tanx , 做出 y= 及 y=-tanx 在[, ]上的图象可知, 它们在[, x x 2 2 2 3? 3? 3? ]上只有两个交点,所以原函数在[, ]有两个零点,故③为假命题;对于④,要使当 x≥0 时,f 2 2 2
对于②,f′(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,当 x∈[0, (x) ≤x2+1 恒成立, 只需当 x≥0 时, ( f x) -x2-1≤0 恒成立, 即 y=xsinx+cosx-x2-1≤0 恒成立, 而 y′=xcosx-2x= (cosx-2)x 显然小于等于 0 恒成立,所以该函数在[0,+∞)上递减,因此 x=0 时 ymax=0+cos0-1=0,故 当 x≥0 时,f(x)≤x2+1 恒成立,故④为真命题.故答案为①④.

【思路点拨】①利用偶函数的定义判断; ②利用导数求解,导数大于 0 求增区间,导数小于 0 求减区间; ③研究极值、端点处的函数值的符号; ④转化为 f(x)-(x2+1)≤0 恒成立,因此只需求左边函数的最 大值小于 0 即可.

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【数学理卷·2015 届重庆南开中学高三 10 月月考(201410)word 版】20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ??? ( x ? ) ? 的部分图象如图所示,其中 P 为函数图象的最高点,A、B 是函数图象 3 与 x 轴的相邻两个交点,若 y 轴不是函数 f ( x ) 图象的对称轴,且 tan ?APB ?

? ?

1 ? ?

1 . 2

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ? 、 ? 、 ? 满足: f ( ? ? ) f (

2

?

1 3

2

?

?? )?

1 3

3? 2 2 , tan ? ? 2 , 且? ? ? ? 4 3



sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) 的值. cos 2?

【知识点】三角函数的图象与性质两角和与差的正弦、余弦、正切 C3 C5 【答案解析】 (1) f ( x) ? sin(

?

? 2 2 x ? ) (2) ? 2 6 9

(1)过点 P 作 PC ? x 轴,则 BC ? 3 AC ,故 tan ?BPC ? 3 tan ?APC

? tan ?APB ? tan(?BPC ? ?APC ) ?
解得 tan ?APC ? 1或 若 tan ?APC ?

2 tan ?APC 1 ? 2 2 1 ? 3 tan ?APC

1 . 3

3 4 1 1 1 , 故? ? , ,则AC ? PC ? , 此 时 f ( x) 的 最 小 正 周 期 T ? 4 A C ? 2 3 3 3 3

f ( x) ? sin[

3? 1 3? ( x ? )] ? cos x ,其图像关于 y 轴对称,舍去 2 3 2

若 tan ?APC ? 1,则AC ? 1PC ? 1 ,此时 f ( x) 的最小正周期 T ? 4 AC ? 4 , 故? ?

1 , 2

? 1 ? ? f ( x) ? sin[ ( x ? )] ? sin( x ? ) ,符合题意 2 3 2 6

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(2)

, f( ? ? )f(

2

?

1 3

2

?

? ? ) ? sin ? sin ? ?

1 3

3 2 ? 且? ? ? ? 4 3
2 2 , cos? cos ? ? ? 6 6

? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

?





=

(sin ? cos ? ? cos ? sin ? )(sin ? cos ? ? cos ? sin ? ) cos2 ? ? sin2 ?
sin ? sin ? cos2 ? ? cos ? cos ? sin 2 ? ? sin(? ? ? )sin ? cos ? cos2 ? ? sin2 ?

?

sin ? sin ? ? cos ? cos ? tan 2 ? ? sin(? ? ? )tan ? 2 2 ? ?? 2 9 1 ? tan ?

【思路点拨】根据三角函数的性质求出周期求出解析式,根据两角和的三角函数求出结果。

【数学理卷·2015 届重庆南开中学高三 10 月月考(201410)word 版】17.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(

?
2

? x) cos(

?
2

? x) ? cos x cos(? ? x)

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)当 x ? ? ?

? ? ?? 时,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值. , ? 4 4? ?

【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案解析】(1)π(2)最大值是 0 最小值是-1.

? ? +x)cos( -x)+cosxcos(π-x)=sinxcosx-cosxcosx=-cos2x, 2 2 2? 函数 f(x)的最小正周期 T= =π; 2 ? ? ? ? (2)由 x∈[- , ]得,2x∈[- , ],所以 0≤cos2x≤1,即-1≤-cos2x≤0,则函数的最大值是 0,最小 4 4 2 2
(1)由题意得,f(x)=sin( 值是-1. 【思路点拨】(1)根据诱导公式、两角和的余弦公式化简函数解析式,再由周期公式求出函数 f(x)的 最小正周期; (2)由 x∈[-

? ? ? ? , ]得 2x∈[, ],根据余弦函数的性质求出 cos2x 的范围,再求出函数的值域, 4 4 2 2
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即可求函数的最值.

【 数 学 理 卷 · 2015 届 重 庆 南 开 中 学 高 三 10 月 月 考 ( 201410 ) word 版 】 7. 将 函 数

y ?s i n ?(x ? ? ? )? (

?0?, ? | 的图像向左平移 | )

? 个单位,再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 3

倍(纵坐标不变)所得的图像解析式为 y ? sin x ,则 y ? sin(? x ? ? ) 图像上离 y 轴距离最近的对称中心 为 A.(

? ,0) 3

B.( ? ,0)

5 6

C.( ?

?
6

,0)

D.( ?

?
3

,0)

【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案解析】D 将函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π 的图象向左平移 得到函数 y=sin[ω(x+

? )+φ]的图象; 3

? 个单位, 3

再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 得到函数 y=sin( ∴函数 y=sin(

1 ? ωx+ ω+φ)的图象与函数 y=sinx 的图象相同 2 3 1 ? 2? ∴ ω=1 , ω+ φ=0 解得:ω=2,φ=2 3 3 2? 2? 2? ∴y=sin(ωx+φ)=sin(2x)由 2x=kπ 得 x=kπ + (k∈Z) 3 3 3
当 k=-1 时,x=-

1 ? ωx+ ω+φ)的图象; 2 3

? ? ∴离 y 轴距离最近的对称中心为(- ,0).故选 D. 3 3 ? 【思路点拨】函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π 的图象向左平移 个单位, 3 ? 得到函数 y=sin[ω(x+ )+φ]的图象;再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 3 1 ? 得到函数 y=sin( ωx+ ω+φ)的图象;由解析式相同求出 ω、φ 的值,然后根据正弦函数的对称中心 2 3
求出函数 y=sin(ωx+φ)的对称中心,进而求出离 y 轴距离最近的对称中心

【数学理卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期期中考试(201411) 】17. (12 分)已知函数

f ( x) ? sin x ? cos( x ?

?

1 ) ? cos 2 x ? . 6 2

(I)求函数 f ( x) 的单调递增区间和对称中心。 (II)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, ,若 f ( A) ? 1 , b ? c ? 3. 求 a 的最小值. 2
第 17 页(共 80 页)

【知识点】三角函数的图象与性质解三角形 C3 C8 【答案解析】(I) 单增区间为 ? k? ? 对称中心 ? ?

? ?

?
3

.k? ?

??
3 2

? ?k ? Z ? 6?

? k? ? 1? ? . ? , ?k ? Z ? 12 4 ? ? 2 ?

(II)

(I) f ( x ) ? sin x ?

? 3 ? 1 1 3 1 cos x ? sin x ? ? cos2 x ? ? sin x cos x ? cos 2 x 2 2 2 2 ? 2 ?

?

? 1 1 ? 1? 3 1 ?? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? . ? 2? 2 2 6? 4 ? 4 2 ?
? ?

单增区间为 ? k? ? 对称中心 ? ?

?
3

.k? ?

??

? ?k ? Z ? 6?

? k? ? 1? ? . ? , ?k ? Z ? 12 4 ? ? 2 ?

(II)由题意 f ( A) ?

? 1 1 ? ?? 1 1 sin ? 2 A ? ? ? ? ,化简得 sin(2 A ? ) ? . 6 2 2 ? 6? 4 2

? A ? ?0, ? ? ,? 2 A ?

?

? 13? ? 5? ? , ∴A? . ?( , ) , ∴ 2A ? ? 6 6 6 6 6 3
?
3 ? (b ? c) 2 ? 3bc .

在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos

9 ?b?c? 9 2 由 b ? c ? 3 ,知 bc ? ? ? ? ,即 a ? . 4 4 ? 2 ?
∴当 b ? c ?

2

3 3 时, a 取最小值 . 2 2

【思路点拨】根据三角函数的单调性和对称性求出单调区间和对称中心,根据余弦定理求出边和 a 的最小 值。

【数学理卷·2015 届湖南省师大附中高三上学期第二次月考(201410)word 版】14、已知函数

?? ? ,若 f ? x ? ? f ? ? 对 x ? R 恒成立,且 sin ? ? 0 ,则 f ? x ? 的单 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? (其中 ? 为实数) ?6?
调递增区间是 ;

【知识点】正弦函数的单调性.有 C3 【答案解析】 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? k?z 3 ? ?

解析:若 f(x)≤|f(
第 18 页(共 80 页)

)|对 x∈R 恒成立,

则 f( 即 2×

)等于函数的最大值或最小值, +φ=kπ+ ,k∈Z,

则 φ=kπ+

,k∈Z,

又 sinφ<0, 令 k=﹣1,此时 φ=﹣ 令 2x﹣ 解得 ? k? ? ∈[2kπ﹣ ,满足条件 sinφ<0, ,2kπ+ ],k∈Z,

? ?

?
6

, k? ?

2? ? k?z. 3 ? ? ? ?

则 f(x)的单调递增区间是 ? k? ?

?
6

, k? ?

2? ? k?z . 3 ? ?

故答案为: ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? k?z. 3 ? ?
)||对 x∈R 恒成立,结合函数最值的定义,求得 f( )等于函数的最

【思路点拨】由若 f(x)≤|f(

大值或最小值,由此可以确定满足条件的初相角 φ 的值,结合 sinφ<0,易求出满足条件的具体的 φ 值, 然后根据正弦型函数单调区间的求法,即可得到答案.

【数学理卷·2015 届湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学高三四校联考(201410)word 版 (1)】17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a ? b ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值和最小正周期; (Ⅱ) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c , 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 , 若 sin( A ? C ) ? 2 sin A , 求 a、b 的值. 【知识点】三角函数的图象与性质解三角形 C3 C8 【答案解析】 (I)最大值为 0;最小正周期为 ? .(Ⅱ) a ? 3 , b ? 2 3 . (I)

r r

r r 1 ,其中 a ? ( 3 sin x ? cos x, ?1) , b ? (cos x,1) . 2

=
第 19 页(共 80 页)

f ( x) 的最大值为 0;最小正周期为 ? .
(Ⅱ) f (C ) ? sin( 2C ?

?
6

) ? 1 ? 0 ,又

,解得 C ?

?
3

又? sin( A ? C ) ? sin B ? 2 sin A ,由正弦定理 由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 由① ② 解得: a ? 3 , b ? 2 3 .

?
3

a 1 , ? ---------------① b 2

,即 a 2 ? b 2 ? ab ? 9 -------------②

【思路点拨】根据三角函数性质求出周其最值,根据正余弦定理求出边。

【数学理卷·2015 届湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学高三四校联考(201410)word 版 (1)】8.关于函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
4

) ,有下列命题:

?? ? ①其表达式可写成 f ( x) ? cos? 2 x ? ? ; 4? ?
②直线 x ? ?

?
8

是f ( x) 图象的一条对称轴;
? 个单位得到; 4

③ f ( x) 的图象可由 g ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移

④存在 ? ? (0, ? ) ,使 f ( x ? ? ) ? f ( x ? 3? ) 恒成立. 其中,真命题的序号是( A.② ③ B.① ② ) C.② ④ D.③ ④

【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案解析】C f(x)=sin(2x-

? ? 2 2 )= (sin2x-cos2x).f(x)=cos(2x+ ) = (cos2x-sin2x).与原 4 4 2 2

? ? ? ? 时,f(x)=sin[2× (- )- ]=sin(- )=-1,函数取得最小值, 8 8 4 2 ? ? 所以直线 x=- 是 f(x) 图象的一条对称轴.②正确③将 g(x)=sin2x 的图象向右平移 个单位得到,得 8 4 ? ? 到图象对应的解析式是 y=sin2(x- )=sin(2x- )=-cos2x,与 f(x)不为同一个函数.③错误.④取 4 2 ? ? ? ? 3? ? 3? ? α= , ( f x+α) =f (x+ ) =sin[2(x+ )- ] =sin (2x+ ) , ( f x+3α) =f (x+3? ) =sin[2(x+ )- ] =sin 2 2 2 4 4 2 2 4 ? ? 3? ? (2x+3π- )=sin(2x+2π+π- )=sin(2x+ ),所以存在取 α= ∈(0,π),使 f(x+α)=f(x+3α) 4 4 4 2
函数不为同一个函数,①错误.②x=恒成立. ④正确.故选 C.
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【思路点拨】①将两函数解析式化简整理,若表示同一个函数,则①正确,否则错误. ②若 x=-

? 时,f(x)取得最值,则②正确.否则错误. 8

③根据左加右减原则,写出平移后图象对应的解析式,进行对照可以断定正误 ④考虑先取特殊值,比如取 α=

? 等进行验证. 2

【数学理卷·2015 届浙江省温州十校(温州中学等)高三上学期期中联考(201411) 】 18.已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? 3 cos 2 . 3 3 3

(Ⅰ)求该函数图象的对称轴; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 b 2 ? ac ,求 f ( B ) 的取值范围. 【知识点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的对称性;余弦定理.C3 C5 C8 【答案解析】(Ⅰ) x ? (

3 3k 1 ] ? )? , k ? z (Ⅱ) ( 3 ,1 ? 2 2 4

解析:(Ⅰ) f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 (1 ? cos 2 x ) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? sin( 2 x ? ? ) ? 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2

2x ? 2x ? ? 3k 1 ? ) ? ?1 即 ? ? k? ? (k ? z )得x ? ( ? )? , k ? z 3 3 3 3 2 2 4 3k 1 即对称轴为 x ? ( ? )? , k ? z ????????6 分 2 4
由 sin(

(Ⅱ)由已知 b2=ac

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2 1 ? ? 2 B ? 5? ? ? cos B ? 1, ?0 ? B ? , ? ? ? ? 2 3 3 3 3 9 3 2B ? 2B ? 3 3 ? ? sin( ? ) ? 1, ? 3 ? sin( ? )? ? 1? , 2 3 3 3 3 2 2 cos B ?
即 f ( B ) 的值域为 ( 3 ,1 ?

3 ] .????????14 分 2

【思路点拨】 (Ⅰ)利用两角和与差的三角函数,化简函数为一个角的一个三角函数的形式,然后求该函 数图象的对称轴; (Ⅱ)通过在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 b2=ac,利用余弦 定理求出 B 地方我,得到相位的范围,即可求解 f(B)的取值范围.

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【数学理卷·2015 届宁夏银川一中高三第三次月考(201410) 】18. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ?

3 sin

?x ? ?
2

cos

?x ? ?
2

? sin 2 ,1) .

?x ? ?
2

(? ? 0 , 0 ? ? ?

?
2

) .其图象的最高点与相邻对称中

心的两点间 距离为 1 ? ...

?2
16

,且过点 (

?
3

(1)求函数 f ( x) 的周期及其表达式; (2)在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, a ? 5 , CA ? CB ? 10 ,角 C 为锐角且满足

2a ? 4a sin C ? c sin A ,求 c 的值.
【知识点】三角函数的图象与性质解三角形 C3 C8 【答案解析】(Ⅰ) T ? ? , f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

)?

1 (Ⅱ) c ? 21 2
∵最高点与相邻对称中心的距离为
6 2

( Ⅰ ) f ( x) ? 3 sin(?x ? ? ) ? 1 [1 ? cos(?x ? ? )] ? sin(?x ? ? ? ? ) ? 1 .
2 2

1?
sin(

?2
16

,则

2? T ? ? , 即 T ?? , ∴ ? ? , ∵ ? ? 0 , ∴ ? ? 2 , 又 f ( x) 过 点 ( ,1) , ∴ ? 4 4 3 |? |

2? ? 1 ? ? ? ) ? ? 1, 3 6 2

即 sin(

?
2

? ?) ?

1 1 ? ? ? 1 ,∴ cos ? ? .∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ,∴ f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? . 2 2 2 3 6 2

(Ⅱ) 2a ? 4a sin C ? c sin A ,由正弦定理可得 sin C ? 又a ?

5 2 ? , ∵ 0 ? C ? ,∴ cos C ? , 3 3 2

5 , CA ? CB ? ab cos C ? 10 ,∴ b ? 6 ,由余弦定理得

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 21 ,∴ c ? 21 .
【思路点拨】根据三角函数的中心距离求出解析式,利用正弦定理余弦定理求出边长。

【数学理卷·2015 届宁夏银川一中高三第三次月考(201410) 】10.函数 y ? sin x ? cos x 是
4 4

A.最小正周期为

?
2

,值域为 ?

? 2 ? ,1? 的函数 ? 2 ?

B.最小正周期为

? 2 ? ? ,值域为 ? ,1? 的函数 4 ? 2 ?

C.最小正周期为

?
2

,值域为 ? ,1? 的函数
第 22 页(共 80 页)

?1 ? ?2 ?

D.最小正周期为

?
4

,值域为 ? ,1? 的函数

?1 ? ?2 ?

【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案解析】∵y=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1=

3 1 2? ? 1 ? ,其值域为[ ,1]故选:C. + ×cos4x∴其周期 T= 4 4 2 4 2

1 1 1 ? cos 4 x ×sin22x=1- × 2 2 2

【思路点拨】 利用平方关系与二倍角的正弦将 y=sin4x+cos4x 化为 y=1y=

1 ×sin22x, 再利用降幂公式可求得 2

3 1 + ×cos4x,从而可求其周期和值域. 4 4

【 数 学 理 卷 · 2015 届 吉 林 省 实 验 中 学 高 三 上 学 期 第 三 次 质 量 检 测 ( 201411 ) 】6.已知函数

f ( x) ? 2sin x, g ( x) ? 2 3 cos x, 直线x ? m与f ( x), g ( x) 的图象分别交 M , N 两点,则 MN 的最大值为
A. 3 B. 4 C. 2 2 D.2

【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案解析】B 设 M(x0,2sinx0),N(x0 , 2 3 cosx0), 则|MN|=|2sinx0- 2 3 cosx0|=|4sin(x0+φ)|=4|sin(x0+φ)|, ∴|MN|的最大值为 4.故答案为:4. 【思路点拨】依题意可设 M(x0,2sinx0) ,N(x0 , 2 3 cosx0) ,|MN|=|2sinx0- 2 3 cosx0|,利用辅助 角公式即可.

【数学理卷·2015 届北京市重点中学高三上学期第一次月考(201410) 】15. (本小题 14 分)
2 已知函数 f ? x ? ? 3 sin ? x cos ? x ? cos ? x ? 1 ?? ? 0 ? 的最小正周期为 ? .

(Ⅰ)求 ? 的值及 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)求 f ? x ? 在 ? 0,

? ?? 上的最大值和最小值. ? 2? ?

【知识点】二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法;复合三角函数的单调性.C3C6

第 23 页(共 80 页)

【答案解析】 (Ⅰ)ω=1,单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??

5 ? k ? Z ? ; (Ⅱ) ,1 ? 2 6?

1+cos 2ωx 解析: (Ⅰ)f(x)= 3sin ωxcos ωx+ +1 2 = 3 1 3 sin 2ωx+ cos 2ωx+ - -----------------2 分 2 2 2 -----------------4 分 -----------------5 分

π 3 =sin?2ωx+ ?+ . 6? 2 ? ∵ω>0,∴T=

2? =π,∴ω=1. 2?

π 3 故 f(x)=sin?2x+ ?+ . 6? 2 ? 令 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,解得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

.

? ?? ? f ? x ? 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? -----------------8 分 3 6? ?
π π π 7π (Ⅱ)∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ , 2 6 6 6 π 1 ∴- ≤sin(2x+ )≤1, 2 6 当 2x ? -----------------9 分 -----------------10 分 时, f ? x ? 取得最大值

?

2 6 7? ? 当 2x ? ? ,即 x ? 时, f ? x ? 取得最小值 1 . -----------------14 分 6 6 2

?

6

?

?

,即 x ?

?

5 ;-----------------12 分 2

【思路点拨】(I)利用倍角公式和两角差的正弦公式化简解析式,再求出函数的最小正周期,根据正弦 函数的增区间,求出此函数的增区间;(II)由 x 的范围求出“ 2 x ? 求出函数的最大值和最小值.

?
6

”的范围,再由正弦函数的性质

【 数 学 文 卷 · 2015 届 黑 龙 江 省 哈 六 中 高 三 上 学 期 期 中 考 试 ( 201411 )】 9. 已 知

f ? x ? ? A sin(? x ? ? )( A ? 0,? ? 0) 在 x ? 1 处取最大值,则(
A. f ( x ? 1) 一定是奇函数 C. f ( x ? 1) 一定是奇函数



B. f ( x ? 1) 一定是偶函数 D. f ( x ? 1) 一定是偶函数 C3 B4

【知识点】三角函数的最值;函数的奇偶性.

【答案解析】D 解析:因为 f ? x ? ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 在 x ? 1 处取最大值,所以

? ? ? ? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ? ? ? 2 k? ?

?
2

? ?, k ? Z ,
第 24 页(共 80 页)

所以 f ( x) ? A sin(? x ? 2k? ? 故选 D.

?
2

? ? ) ? A cos ? ( x ? 1) ,所以 f ( x ? 1) = A cos ? x 是偶函数,

【思路点拨】根据题意得 f(x) ? A cos ? ( x ? 1) ,由此逐个检验各选项的正误.

【数学文卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期期中考试(201411) 】13.函数 y=sin2x+2 3 sin2x 的最小正 周期 T 为_______ 【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案解析】π =2sin(2xy=sin2x+2 3 ×

1 ? cos 2 x 1 3 =sin2x- 3 cos2x+ 3 =2( sin2xcos2x)+ 3 2 2 2

? )+ 3 ,∵ω=2,∴T=π.故答案为:π 3

【思路点拨】函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式 化为一个角的正弦函数,找出 ω 的值,代入周期公式即可求出函数的最小正周期.

【数学文卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期期中考试(201411) 】5.函数 f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)(ω>0, π π π |φ|< )的部分图象如图所示,如果 x1,x2∈(- , ),且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)等于( 2 6 3 1 A. 2 B. 2 2 C. 3 2 D.1 )

【知识点】三角函数的图象与性质 C3 π π 【答案解析】C 由图知,T=2×( + ) =π, 3 6

? π π π ∴ω=2,因为函数的图象经过(- , 0 ),0=sin(- +? )∵| ? | < ,所以 ? = , 6 3 3 2
? π π ∴f(x)=sin(2x+ ) ,x 1 +x 2 =2× = , 3 12 6
所以 f(x 1 +x 2 )=sin

2? 3 = .故选 C. 3 2

【思路点拨】通过函数的图象求出函数的周期,利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相,得到函数 的解析式,利用函数的图象与函数的对称性求出 f(x1+x2)即可.

第 25 页(共 80 页)

【数学文卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试(201410) 】4、函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 一个单调减区间是( A、 [ ) B、 [?

?
4

)的

5? 9? , ] 8 8

? 3?
8 , 8

]

C、 [

3? 7? , ] 8 8

D、 [

? 5?
8 , 8

]

【知识点】复合三角函数的单调性.C3 【答案解析】C 解析:由 2kπ+ ∴函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ≤2x﹣ ≤2kπ+ (k∈Z)得:kπ+ ,kπ+ ]. ≤x≤kπ+ ,

?
4

) 的单调递减区间为[kπ+

当 k=0 时,函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
4

) 的一个单调递减区间是 [

3? 7? , ] .故选 C. 8 8

【思路点拨】由正弦函数的单调性可求得正弦函数的递减区间,继而可得答案.

【数学文卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试(201411)word 版】18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3 cos ? x sin ? x(? ? 0), f ( x) 的两条相邻对称轴间的距离大 于等于

π 。 2

(1)求 ? 的取值范围; (2)在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边依次为 a, b, c ? 3 , b ? c ? 3, f ( A) ? 1, 当

? ? 1 时,求△ ABC 的面积。
【知识点】三角函数,解三角形 C3 C8 【答案解析】(1) 0 ? ?? 1 ;(2) 解析:(1) f ( x) ? cos
2

3 2 .

?x ? sin2 ?x ? 2 3 cos ?x sin ?x

? cos 2? x ? 3 sin 2? x

?? ? ? 2sin ? 2? x ? ? 6? ?
w ? 0 ∴函数 f ( x) 的最小正周期
T? 2π π ? 2? ? ,
(4 分)

π T π T? … π, … ? 2 2 由题意得: ,即
第 26 页(共 80 页)

解得: 0 ? ?? 1 .

(2 分)

π ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 6 , (2) w ? 1 ,

π 1 ? sin(2 A ? ) ? f ( A) ? 1 , 6 2,

2A ?

?

? 13? ?( , ) 6 6 6

?2A ?

?
6

?

? 5? A= 3. 6 ,即

a ? 3, b ? c ? 3,
2 2 ∴由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A, 即 b ? c ? bc ? 3

2

2

2

①, (2 分)

(b ? c)2 ? b2 ? c2 ? 2bc ? 9
联立①②,解得: bc ? 2 ,

②, (4 分)

1 3 S△ABC ? bc sin A ? . 2 2 则

(2 分)

【思路点拨】先利用二倍角公式化简,然后再整理化为一个角的正弦函数,根据函数两条相邻对称轴间的

π 距离大于等于 2 ,利用周期公式列得关于 ? 的不等式进行求解;根据已知求得角 A 的值,再由余弦定理求
得 bc ? 2 ,进而求得面积.

【 数 学 文 卷 · 2015 届 浙 江 省 温 州 十 校 ( 温 州 中 学 等 ) 高 三 上 学 期 期 中 联 考 ( 201411 ) 】 16. 已 知

f ( x) ? a sin x ? 3 x ? 5 ,若 f ? ?lg ? lg 2 ? ? ? ? 3 ,则 f ? lg(log 2 10) ? ? ______
【知识点】正弦函数的奇偶性;函数奇偶性的性质.C3 【答案解析】7 解析:由题意可得,f[lg(lg2)]=f[﹣lg(log210)]=3,∵f(x)=asinx+ +f(﹣x)=10.∴f[lg(log210)]=10﹣f[lg(lg2)]=7,故答案为:7. 【思路点拨】由题意可得 f(x)+f(﹣x)=10,f[lg(lg2)]=f[﹣lg(log210)]=3,从而求得 f[lg(log210)] 的值. +5,∴f(x)

【数学文卷·2015 届浙江省温州十校(温州中学等)高三上学期期中联考(201411) 】7.同时具有性质“① 最小正周期是 ? ,②图象关于直线 x ? A. y ? sin(

?
3
)

对称”的一个函数是 ( C. y ? cos(2 x ?

) D. y ? sin( 2 x ?

x ? ? ) 2 6

B. y ? cos( x ?

?

?
6

3

)

?
6

)

第 27 页(共 80 页)

【知识点】三角函数的周期性及其求法;正弦函数的对称性.C3 【答案解析】D 解析:A、 y ? sin( B、 y ? cos( x ?

?
3

x ? ? ) ,∵ω= ,∴T=4π,不合题意; 2 6

) ,∵ω=1,∴T=2π,不合题意;

C、 y ? cos(2 x ? D、 y ? sin( 2 x ? 故选:D.

?
6

) ,∵ω=2,∴T=π,令 2x﹣

=0,即 x= = ,即 x=

,不合题意; ,即图象关于直线 x= 对称,符合题意,

?

6

) ,∵ω=2,∴T=π,令 2x﹣

【思路点拨】利用周长公式及对称性判断即可得到结果.

【 数 学 文 卷 · 2015 届 河 北 省 衡 水 中 学 高 三 上 学 期 二 调 考 试 ( 201410 ) word 版 】 7. 已 知 函 数

f ( x) ? cos(2 x ? ? ) 满足 f ( x) ? f (1) 对 x ? R 恒成立,则
A. 函数 f ( x ? 1) 一定是偶函数 C.函数 f ( x ? 1) 一定是奇函数 【知识点】余弦函数的奇偶性 C2 C3 B.函数 f ( x ? 1) 一定是偶函数 D.函数 f ( x ? 1) 一定是奇函数

【答案解析】A 解析:由已知知: f (1) 是函数的最大值,所以 f (1) ? cos ? 2 ? ? ? ? 1 ,

? 2 ? ? ? 2k? , k ? Z , ? ? 2k? ? 2, k ? Z ,

? f ( x) ? cos ? 2x ? 2k? ? 2? ? cos ? 2x ? 2? , ? f ( x ?1) ? cos ? 2x ? 2 ? 2? ? cos 2x ,
所以函数 f ( x ? 1) 一定是偶函数 , 故选:A 【思路点拨】依题意, f (1) 是最大值,从而可求得 ? ? 2k? ? 2, k ? Z ,于是可求得? f ( x ? 1) ? cos 2 x , 继而可得答案.

【数学文卷·2015 届宁夏银川一中高三第三次月考(201410) 】18. (本小题满分 12 分)

第 28 页(共 80 页)

函数 f ( x) ?

3 sin

?x ? ?
2

cos

?x ? ?
2

? sin 2

?x ? ?
2

(? ? 0 , 0 ? ? ?

?
2

) .其图象的最高点与相邻对称中

心的两点间 距离为 1 ? ...

?2
16

,且过点 (

?
3

,1) .

(1)求函数 f ( x) 的表达式; (2) 在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边 , a ? 5 , CA ? CB ? 10 , 角 C 为锐角 . 且满足

2a ? 4a sin C ? c sin A ,求 c 的值.
【知识点】三角函数的图象与性质解三角形 C3 C8 【答案解析】(Ⅰ) f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

)?

1 (Ⅱ) c ? 21 2
∵最高点与相邻对称中心的距离为
6 2

( Ⅰ ) f ( x) ? 3 sin(?x ? ? ) ? 1 [1 ? cos(?x ? ? )] ? sin(?x ? ? ? ? ) ? 1 .
2 2

1?
sin(

?2
16

,则

2? T ? ? , 即 T ?? , ∴ ? ? , ∵ ? ? 0 , ∴ ? ? 2 , 又 f ( x) 过 点 ( ,1) , ∴ ? 4 4 3 |? |

2? ? 1 ? ? ? ) ? ? 1, 3 6 2

即 sin(

?
2

? ?) ?

1 1 ? ? ? 1 ,∴ cos ? ? .∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ,∴ f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? . 2 2 2 3 6 2

(Ⅱ) 2a ? 4a sin C ? c sin A ,由正弦定理可得 sin C ? 又a ?

5 2 ? , ∵ 0 ? C ? ,∴ cos C ? , 3 3 2

5 , CA ? CB ? ab cos C ? 10 ,∴ b ? 6 ,由余弦定理得

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 21 ,∴ c ? 21 .
【思路点拨】根据三角函数的中心距离求出解析式,利用正弦定理余弦定理求出边长。

【数学文卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第三次质量检测(201411) 】17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) ? 1 . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)当 x ? [ ?

π , 0] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. 2

【知识点】三角函数的图象与性质 C3

第 29 页(共 80 页)

【答案解析】(Ⅰ)π(2)最小值 f (? ) ? (Ⅰ)∵f(x)=sinxcosx-cos2x+1 =

π 8

? 2 ?1 π 最大值 f (? ) ? 1 2 2

1 1 ? cos 2 x 1 1 1 ? 1 2 sin2x+1= sin2x- cos2x+ = sin(2x- )+ , 2 2 2 2 2 2 2 4
2? =π. 2

∴函数 f(x)的最小正周期为 T=

(2)解:由 ?

π 2 π 5π π π , ≤ x ≤ 0 ,得 ? ≤ 2 x ? ≤ - . 所以 ?1 ≤ sin(2 x ? ) ≤ 4 2 2 4 4 4

所以

? 2 ?1 2 π 1 ? 2 ?1 ≤ sin(2 x ? ) ? ≤ 1 ,即 ≤ f ( x) ≤ 1 . 2 2 4 2 2 π ? 2 ?1 π π π ? ? ,即 x ? ? 时,函数 f ( x) 取到最小值 f (? ) ? 8 2 4 2 8
?? 5? ? π 函数 f ( x) 取到最大值 f (? ) ? 1 时,即x ? ? 时, 4 2 2

当 2x ? 当 2x ?

?
4

【思路点拨】(Ⅰ)对函数解析式进行化简,求得关于正弦函数的解析式,利用正弦函数的性质求得最小 正周期 T. (Ⅱ)根据 x 的范围,求得 2x-

? 的范围,利用正弦函数的单调性求得函数 f(x)的最大和最小值. 4

C4 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质

【 数 学 ( 理 ) 卷 · 2015 届 重 庆 市 重 庆 一 中 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 ( 201410 ) 】4.函数

f ( x) ? A s i ? n( x ??
则 f ( x) ? ( )

)A (?

? 0 ,? 的部分图象如图所示, 0)
y 2

π 2 sin(2 x ? ) 6 A.
π 2 sin(4 x ? ) 3

B.

π 2 sin(2 x ? ) 3
π 3

O

5π 12

x

C.

D.

π 2 sin(4 x ? ) 6

【知识点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.C4

第 30 页(共 80 页)

【答案解析】 B 解析: 由图知 f (x) 在 x= ∴A= 由 ∴ ,T= sin(2× +θ=2kπ+ =π,ω=2; +θ)= ,得:sin(

π 时取到最大值

, 且最小正周期 T 满足 T=

π+

=



+θ)=1, sin(2x﹣ ) .故选:B. sin

,θ=2kπ﹣

,k∈Z.∴f(x)=

【思路点拨】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象可求得其振幅 A 及最小正周期 T=π,继而可得 ω;再由 (2× +θ)= 可求得 θ,从而可得答案.

【 数 学 理 卷 · 2015 届 黑 龙 江 省 双 鸭 山 一 中 高 三 上 学 期 期 中 考 试 ( 201411 ) 】 8 . 已 知 函 数

f ( x) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 为 偶 函 数 , 则 ? 的 一 个 取 值 为 (
A. 0 B.



?
4

C.

?
2

D.

?

【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4 【答案解析】B f(x)=sin(x+? )+cos(x+? )= ∵函数 f(x)为偶函数,∴?+ 故选 B. 【思路点拨】利用两角和的正弦公式化成标准形式,根据函数 f(x)为偶函数, 结合诱导公式得 ?+

2 sin(x+?+

? ? ? ? = +kπ (k∈Z)∴?= +kπ (k∈Z)当 k=0 时,?= . 4 2 4 4

? ) 4

? ? = +kπ (k∈Z),进而求出 ? 的值. 4 2

【数学理卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期期中考试(201411) 】6. 把函数 y ? sin( x ? 的横坐标缩短到原来的 程为 A. x ? ?

?
6

) 图象上各点

1 ? 倍(纵坐标不变) ,再将图象向右平移 个单位,那么所得图象的一条对称轴方 2 3
( ) D. x ?

?
2

B. x ? ?

?
4

C. x ?

?
8

?
4

【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4 【答案解析】 A y=sin(x+

? 1 ) 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 6 2
第 31 页(共 80 页)

y=sin(2x+

? ? ? ? ? ? ) ;再将图象向右平移 个单位,得函数 y=sin[2(x- )+ ]=sin(2x- ) ,x=- 是其图象 6 3 3 6 2 2

的一条对称轴方程.故选 A. 【思路点拨】先对函数 y=sin(x+ 即令 ωx+φ=

? +kπ 即可得到答案. 2

? ) 进行图象变换,再根据正弦函数对称轴的求法, 6

【数学理卷· 2015 届浙江省温州十校(温州中学等)高三上学期期中联考( 201411 ) 】 5. 将函数

π ?x π? f ( x) ? 2 tan ? ? ? 的图象向左平移 个单位,再向下平移 1 个单位, 4 ?3 6?
得到函数 g ( x) 的图象,则 g ( x) 的解析式为( A. g ( x) ? 2 tan( ? ) ? 1 C. g ( x) ? 2 tan( ? ) B. g ( x) ? 2 tan( ? ) ? 1 D. g ( x) ? 2 tan( ?

x 3

π 4

x 3

π 4

x π ) ?1 3 12

x π ) ?1 3 12

【知识点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.C4 【答案解析】A 解析:将函数 f ( x) ? 2 tan ?

π ?x π? ? ? 的图象向左平移 个单位,得 4 ?3 6?

π π x π f ? x ? ? 2 tan( 4 ? ) ? 2 tan( ? ) , 3 6 3 4 x
再向下平移 1 个单位,得到函数 g ( x) ? 2 tan( ? ) ? 1 的图象,所以 g(x)的解析式为

x 3

π 4

x π g ( x) ? 2 tan( ? ) ? 1 .故选 A. 3 4
【思路点拨】直接利用左加右减、上加下减的平移原则,推出平移后的函数解析式即可.

【数学理卷·2015 届北京市重点中学高三上学期第一次月考(201410) 】6.如右图所示为函数

f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ? ( ? ? 0,

?
2

?? ?? )

的部分图象,其中 A, B 两点之间的距离为 5 , 那么 f ? ?1? ? A. 3 B. 2 C. 2 D.

3 2
第 32 页(共 80 页)

【知识点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及性质。C4 【答案解析】 B 解析:A, B 两点之间的水平距离为 3 ,

T ? ? ?? ? ? 3 , ? 3 ,? ? . f ? x ? ? 2sin ? x ? ? ? . 2 ? 3 ?3 ?

又由 f ? 0 ? ? 1 ,得 sin ? ?

1 ? 5? 5? ?? ,因 ? ? ? ? ,故 ? ? . f ? x ? ? 2sin ? x ? 2 2 6 6 ?3

? ?, ?

所以 f ? ?1? ? 2sin ? ?

? ? 5? ? ? 3 6

? ? ? ? 2sin ? 2 ,故选 B. 2 ?
1 ? ,再由 ? ? ? ? ,结合图象可得 φ 的值.再由 A,B 两点之 2 2

【思路点拨】由图象可得 A=2, sin ? ?

间的距离为 5,可得 ω 的值,从而求得函数 f(x)的解析式,f(-1)的值可求.

【数学文卷·2015 届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试( 201411) 】8. 函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (其中
| ? |?

?
2

)的图象如图所示,为了得到 y ? sin ?x 的图象,只需把 y ? f ( x) 的图象上所有点(



A. 向右平移 C. 向右平移

?
12

个单位长度

B. 向左平移

?
12

个单位长度

?
6

6 【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像与性质.

个单位长度

D. 向左平移

?

个单位长度 C4

【答案解析】C 解析:由图像得 T= 4 ?

? 7? ? ? ? ? ? ? ,从而 ? ? 2 ,进一步由 ? 12 3 ?

2?

? 7? 3? ? ? ? ? ? 2 k? ? ? ? ? 2k? ? , k ? Z ,因为 | ? |? ,所以 ? ? ,所以 2 3 12 2 3

f ( x) ? sin(2 x ? ) ? sin 2( x ? ) ,所以选 C. 3 6
【思路点拨】首先根据图像求出函数 f(x)的解析式,然后再确定变换方法.

?

?

【 数 学 文 卷 · 2015 届 湖 南 省 师 大 附 中 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 ( 201410 ) 】8、设偶函数

f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图像如图所示, ?KML 为等腰直角三角形,∠
KML= 90 , KL ? 1 则 f ( ) ?

1 6

第 33 页(共 80 页)

A. ?

3 4

B. ?

1 4

C. ?

1 2

D.

3 4
C4

【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像与性质. 【答案解析】D 解析:由图像知 A ? 且 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

1 1 , T ? 2 ? ? ? ? , 所以 f ? x ? ? sin(? x ? ? ) ,又此函数为偶函数 2 2

?
2

,所以 f ( ) ?

1 6

1 ?? ? ? 3 ,故选 D. sin ? ? ? ? 2 ?6 2? 4
1 6

【思路点拨】根据已知和图像确定函数解析式,进而求 f ( ) 的值.

【数学文卷·2015 届云南省玉溪一中高三上学期期中考试(201410) 】4、要得到函数 y ? 2sin(2 x ? ) 的 图象,只要将函数 y ? 2sin 2 x 的图象( A.向左平移 ) C.向左平移

? 6

? ? 个单位 B. 向右平移 个单位 6 6

? 个单位 12

D.向右平移

? 个单位 12

【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4 【答案解析】C 因为 y=2sin2x 向左平移

? ? ? 个单位个单位后得到 y=2sin2(x+ )=2sin(2x+ ),故选 C. 12 12 6

【思路点拨】根据图像平移的性质求出解析式。

【数学卷·2015 届甘肃省兰州一中高三上学期期中考试(201410) 】19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4 3 sin x cos x ? 4 cos 2 x ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 [0,

?
2

] 上的值域;

(Ⅱ)若对于任意的 x ? R ,不等式 f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立,求 sin(2 x0 ?

?
3

).

【知识点】 二倍角公式; 两角和与差的三角函数; y ? A sin(? x ? ? ) 的性质; 不等式恒成立问题. C4 C5 C6 E1

第 34 页(共 80 页)

【答案解析】(Ⅰ)[-3,3];(Ⅱ)

3 2

解析:(Ⅰ) f ( x) ? 4 3 sin x cos x ? 4 cos 2 x ? 1 ? 2 3 sin 2 x ? 2(1 ? cos 2 x) ? 1

? 4 sin(2 x ?
∵0? x ?

?
6

) ?1

,???????3 分

?
2

,∴ ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 1 ? ,∴ ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 , 6 2 6

∴ ? 3 ? f ( x) ? 3 ,即函数 f ( x) 在 [0,

?
2

] 上的值域是[-3,3] .????6 分

(Ⅱ)∵对于任意的 x ? R ,不等式 f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立, ∴ f ( x 0 ) 是 f ( x) 的最大值,∴由 2 x 0 ? 解得 2 x 0 ? 2k? ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ?Z ,

2? ? 2? ? ? 3 , k ? Z ∴ sin(2 x 0 ? ) ? sin(2k? ? .??12 分 ? ) ? sin ? 3 3 3 3 3 2

【思路点拨】(Ⅰ)利用二倍角公式,两角和与差的三角函数,把已知函数化为:

f ? x ? ? 4sin(2 x ? ) ? 1 ,再由 x 范围求函数 f ( x) 值域;(Ⅱ)根据题意知 f ( x 0 ) 是 f ( x) 的最大值,由 6
此得关于 x0 方程 2 x 0 ? 2k? ? 所以 sin( 2 x 0 ?

?

2? , k ?Z , 3
2? ? ? 3 ? ) ? sin ? 3 3 3 2 .

?
3

) ? sin( 2k? ?

【数学卷· 2015 届甘肃省兰州一中高三上学期期中考试 (201410) 】 9. 函数 f ( x) ? 的部分图象如图所示, 若 AB ? BC ?| AB | ,则 ? 等于(
2

3 sin(?x ? ? )(? ? 0)

)

A.

?
12

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
6

【知识点】由函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像求其解析式;向量的应用. C4 F1 【答案解析】D 解析:因为 AB ? BC ?| AB | ,所以 AB ? BC ? AB ? AB ? BC ? BA ? 0 ,
2

?

?

?

?

而 BC ? BA ? BE ,所以 AB ? BE (如图),因为 AE=BC=2AB 所以 ?AEB ? 30 ,

第 35 页(共 80 页)

?BAD ? 30 ,因为点 B 的纵坐标是 3 ,所以 AB=2 3 ,AD=6,从而函数的周期为 12,所以 ? ?
故选 D.

2? ? ? , 12 6

【思路点拨】如图:由 AB ? BC ?| AB | ,得 AB ? BE ,因为 AE=BC=2AB 所以 ?AEB ? 30 ,
2

?BAD ? 30 ,因为点 B 的纵坐标是 3 ,所以 AB=2 3 ,AD=6,从而函数的周期为 12,所以 ? ?

2? ? ? . 12 6

C5 两角和与差的正弦、余弦、正切

【数学(理)卷·2015 届重庆市重庆一中高三上学期第二次月考(201410) 】17. (本题满分 13 分)

2 cos( x ?
已知函数 f(x)=

?
3

)[sin( x ?

?
3

) ? 3 cos( x ?

?

)] 3 .

(1)求 f(x)的值域和最小正周期;

x ? [0, ] 6 内有解,求实数 m 的取值范围. (2)方程 m[f(x)+ 3]+2=0 在
【知识点】两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法.C3 C5 2 3 ? 【答案解析】(1) 值域为[-2- 3,2- 3],最小正周期为 π. (2) ?- ? 3 ,-1? π? ? 解析:(1)f(x)=2sin 2x+3 - 3.

?

?

?

π? ? ∵-1≤sin 2x+3 ≤1.

?

?

π? 2π ? ∴-2- 3≤2sin 2x+3 - 3≤2- 3,T= 2 =π,

?

?

即 f(x)的值域为[-2- 3,2- 3],最小正周期为 π. ???????????7 分 π ?π 2π? ? π? (2)当 x∈ 0,6 时,2x+3∈ 3, 3 ,

?

?

?

?

第 36 页(共 80 页)

π? ? 3 ? ? 故 sin 2x+3 ∈? ,1?, ? ? ?2 ? π? ? 此时 f(x)+ 3=2sin 2x+3 ∈[ 3,2].

?

?

2 由 m[f(x)+ 3]+2=0 知,m≠0,∴f(x)+ 3=-m, 2 即 3≤-m≤2,

?m+ 3≤0, 即? 2 ?m+2≥0,
2

2 3 ? 2 3 ? 解得- 3 ≤m≤-1.即实数 m 的取值范围是?- ,-1????13 分 3 ? ?

【思路点拨】 (1)先利用和差公式把函数解析式化成标准形式,然后结合正弦函数的值域求 f(x)的值域; 2 (2)根据 x 的范围求出[f(x)+ 3]的范围,然后由 m[f(x)+ 3]+2=0 知,m≠0,f(x)+ 3=﹣ ,只须 m 2 让 3≤﹣ ≤2 即可. m

【 数 学 ( 理 ) 卷 · 2015 届 重 庆 市 重 庆 一 中 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 ( 201410 ) 】7.函数

f ( x) ? sin(2x ? ? ) ? 3 cos(2x ? ? ) ,(
( , 0) 关于点 6 对称,则 f ( x ) 的增区间(

? ?

?
2 )的图像

?

)

5? ?? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z ? 6 ? A. ? 3 5? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z ? 12 ? C. ? 12

? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z ? 3 ? B. ? 6

? ? 7? ? ? ? k? , ? ? k? ? , k ? Z ? 12 ? D. ? 12

【知识点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性.C5 C3 【答案解析】D 解析:f(x)=sin(2x+θ)+ ∵图象关于点 ∵|θ|< 由 解得: ,∴ 对称,∴2× +θ+ cos(2x+θ)=2sin(2x+θ+ =kπ, (k∈Z) ,∴θ=kπ ) ; ) ,

, (k∈Z) ,

,∴f(x)=2sin(2x+

(k∈Z) (k∈Z)
第 37 页(共 80 页)

∴函数 f(x)的增区间为

.故选 D. 对称,求出 θ 的值,然

【思路点拨】利用两角和的正弦公式化成标准形式,根据图象关于点 后根据正弦函数的单调增区间求函数 f(x)的单调增区间.

【数学理卷·2015 届重庆南开中学高三 10 月月考(201410)word 版】18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ?

?
6

) , x?R , ? ) ,求 f (? ) 的值;

(1)已知 tan ? ? ?2 , ? ? ( (2)若 ? , ? ? ?0,

?
2

8 ? ?? , f (? ) ? 2 , f ( ? ) ? ,求 f (2? ? 2? ) 的值. ? 5 ? 3?

【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切 C5 【答案解析】 (1)

14 2 15 ? 5 (2) ? 25 5

(1)

tan ? ? ?2 (? ? (

?
2

,? )) ? sin ? ?

2 5 5 ,cos ? ? ? 5 5 2 15 ? 5 5

? f (? ) ? 2 sin(? ?
(2)

?
6

)?

3 sin ? ? cos ? ?
) ? 2 ? sin(? ?

f (? ) ? 2 sin(? ?

?
6

?

? ) ? 1 又? ? [0, ] 6 3

? ?+


?

? [0, ] 6 2

?

? ?+
?

?
6

=

?
2

,故? =

?
3

8 ? 4 ,? sin( ? ? ) ? 6 5 6 5 2? ? 5? ? ? f (2? ? 2? ) ? 2 sin(2? + ? ) ? 2 sin(2? ? ) ? 2 cos(2? ? ) 3 6 6 3 f (? ) ? 2 sin(? ? )?

? 2[1 ? 2 sin2(? ?

?
6

)] = -

14 25

【思路点拨】根据同角三角函数基本关系求出,利用三角恒等变换求出。

【数学理卷·2015 届重庆南开中学高三 10 月月考(201410)word 版】9. 4cos10 ? tan 80 ?
第 38 页(共 80 页)

A. ? 3

B. ? 2

C. ?1

D. 3

【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切 C5 【答案解析】 A

4cos10° -tan80° =4cos10° -

sin 80? sin10? 4sin10? cos10? ? cos10? =4cos10° = = cos10? cos80? sin10?

2sin 20? ? cos10? 2sin 20? ? cos(30? ? 10? ) = sin10? sin10?
3 3 sin 20? ? cos10? 2 2 = = sin10?

3 sin(20? ? 30? ) =sin10?

3 ,故选:A.

【思路点拨】利用两角和差的三角公式,把非特殊角转化成特殊角,化简原式,可得答案.

【数学理卷·2015 届湖南省师大附中高三上学期第二次月考(201410)word 版】16、 (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P ?

?1 ? , cos 2 ? ? 在角 ? 的终边上,点 Q ? sin 2 ? , ?1? 在角 ? 的终边上,且 ?2 ?

OP ? OQ = ?

1 。 2

2 的值; (Ⅰ)求 c o s ?
(Ⅱ)求 sin ?? ? ? ? 的值。 【知识点】二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数.C6C5 【答案解析】 (Ⅰ) cos 2? ? 解析: (Ⅰ)∵ OP ? OQ = ?

1 10 ; (Ⅱ) ? 3 10

1 1 2 1 2 ,? sin ? ? cos ? ? ? , 2 2 2 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 1 ? ? ? ,? cos 2? ? . ? 4 2 2 3
2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得: cos ? ?

1 ? cos 2? 2 1 ? cos 2? 1 ?1 2? ? ,∴ p ? , ? , sin 2 ? ? ? , 2 3 2 3 ?2 3?

∴ Q ? , ?1? ,∴ sin ? ?

?1 ?3

? ?

4 3 3 10 10 , cos ? ? , sin ? ? ? , cos ? ? , 5 5 10 10

∴ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ?

10 . 10

【思路点拨】 (Ⅰ)由点 P、Q 的坐标即 OP 、 OQ 坐标,结合向量数量积坐标运算公式得 θ 的三角函数等
第 39 页(共 80 页)

式,再利用余弦的倍角公式把此等式降幂即可; (Ⅱ)首先由余弦的倍角公式求出 cos2θ,再根据同角正余 弦的关系式求出 sin2θ,即明确点 P、Q 的坐标,然后由三角函数定义得 sinα、cosα、sinβ、cosβ 的值,最 后利用正弦的和角公式求得答案.

【数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试(201411)word 版】16.在 ?ABC 中,

a cos B ? b cos A ? 2c cos A , tan B ? 3tan C ,则

AC = AB





【知识点】正弦定理,两角和与差的正弦公式 C8, C5 【答案解析】

?1 ? 13 2

解 析 : 由 a cos B ? b cos A ? 2c cos A 得

sinA cos B ? sin B cos A ? 2sin C cos A , sin( A ? B) ? 2sin C cos A ? sin C ,所以 cos A ?

1 , 2

2? ? tan C ? 2? 2? 2? 3 A? ? C ,? tan B ? tan( ,B?C ? ,B ? ? C) ? ? 3tanC 2? 3 3 3 3 1 ? tan ? tan C 3 tan
3 1 3 cos C ? sin C cos C 1 AC sin B sin(A ? C) 2 ?1 ? 13 2 ? 2 ? ? ? ? 得, = 。 sin C sin C 2 AB sinC sinC 2
【 思 路 点 拨 】 根 据 正 弦 定 理 由 a cos B ? b cos A ? 2c cos A 得

sinA cos B ? sin B cos A ? 2sin C cos A , sin( A ? B) ? 2sin C cos A ? sin C , 求 得 cos A ? tan B ? 3 tC an 可求 tan C ?
AC sin B sin(A ? C) 2 ? 13 ? ? ,再由 即可求解。 AB sinC sinC 3 3

1 ,由 2

【数学理卷·2015 届浙江省温州十校(温州中学等)高三上学期期中联考(201411) 】 18.已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? 3 cos 2 . 3 3 3

(Ⅰ)求该函数图象的对称轴; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 b 2 ? ac ,求 f ( B ) 的取值范围. 【知识点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的对称性;余弦定理.C3 C5 C8 【答案解析】(Ⅰ) x ? (

3 3k 1 ] ? )? , k ? z (Ⅱ) ( 3 ,1 ? 2 2 4
第 40 页(共 80 页)

解析:(Ⅰ) f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 (1 ? cos 2 x ) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? sin( 2 x ? ? ) ? 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2

2x ? 2x ? ? 3k 1 ? ) ? ?1 即 ? ? k? ? (k ? z )得x ? ( ? )? , k ? z 3 3 3 3 2 2 4 3k 1 即对称轴为 x ? ( ? )? , k ? z ????????6 分 2 4
由 sin(

(Ⅱ)由已知 b2=ac

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2 1 ? ? 2 B ? 5? ? ? cos B ? 1, ?0 ? B ? , ? ? ? ? 2 3 3 3 3 9 3 2B ? 2B ? 3 3 ? ? sin( ? ) ? 1, ? 3 ? sin( ? )? ? 1? , 2 3 3 3 3 2 2 cos B ?
即 f ( B ) 的值域为 ( 3 ,1 ?

3 ] .????????14 分 2

【思路点拨】 (Ⅰ)利用两角和与差的三角函数,化简函数为一个角的一个三角函数的形式,然后求该函 数图象的对称轴; (Ⅱ)通过在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 b2=ac,利用余弦 定理求出 B 地方我,得到相位的范围,即可求解 f(B)的取值范围.

【数学理卷· 2015 届浙江省温州十校(温州中学等)高三上学期期中联考( 201411 ) 】 14. 已知

7? ? ?? 3 3 ? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ? ,则 sin ? ? ? ?? 6 ? 6? 5 ? ?
【知识点】两角和与差的正弦函数.菁优网版 C5 【答案解析】 ? ∴ ∴sin( +α)= .

.

3 5

?? 3 3 ? 解析:∵已知 cos ? ? ? ? ? sin ? ? , 6? 5 ?
+sinα= ,即 ( )= ,

∴ sin ? ? ?

? ?

7? 6

? ? ? =﹣sin( ?

+α)=﹣ ,

故答案为﹣ . 【思路点拨】由条件利用两角和差的正弦、余弦公式求得 sin ( +α ) = .再利用诱导公式求得

第 41 页(共 80 页)

7? ? sin ? ? ? 6 ?

? ? ? ﹣sin( ?

+α)的值.

【数学理卷· 2015 届吉林省实验中学高三上学期第三次质量检测 (201411) 】 17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,求角 A, B, C 的大小. 【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切 C5 【答案解析】 A ?
2

?
6

,B ?

2? ? ? ? 2? ,C ? , 或 A ? , B ? ,C ? 6 6 3 3 6
2

设 BC=a,AC=b,AB=c,由 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC 得 2bccosA= 3 bc,

所以 cosA=

? 3 2 ,又 A ? (0, ? ) ,因此 A= ,由 3 AB ? AC =3 BC 得 bc= 6 2
5? 3 ? C) = ,所以 sinC ? sin( 6 4

3 a2

于是 sinCsinB=

3 4

因此 2sin C ? cos C ? 2 3sin 2 C ? 3,sin 2C ? 3 cos 2C ? 0 ,既 sin(2C ?

?
3

)?0

? ? 5? ? 4? 知0 ? C ? ,所以 ? , 2C ? ? , 3 6 6 3 3 ? 2? ? ? , 从而 2C ? ? 0, 或 2C ? ? ? , ,既 C ? , 或 C ? 6 3 3 3 ? 2? ? ? ? 2? ,C ? , 或 A ? , B ? ,C ? 故 A? ,B ? 。 6 6 3 6 3 6
由 A= 【思路点拨】根据向量关系列出 A B C 的关系求出角。

【数学文卷· 2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试 (201410) 】 17、 (本小题满分 10 分) 在 ?ABC
2 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,向量 m ? (2 sin B,? 3 ), n ? (cos 2 B,2 cos

?

?

? ? B ? 1) ,且 m // n 2

(1)求锐角 B 的大小; (2)已知 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积的最大值。 【知识点】二倍角的余弦;平行向量与共线向量;两角和与差的正弦函数.C5 C6 F2 【答案解析】 (1) B ?

?
3

; (2) Smax ? 3
2

解析: (1)由 m // n 得 2 sin B(2 cos

?

?

B ? 1) ? ? 3 cos 2 B 2
第 42 页(共 80 页)

整理得 tan2B ? ? 3 ? B 为锐角

?B ?

?
3

??????5’

(2)由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 得 4= a 2 ? c 2 ? ac

? ac ? 4

? S max ? 3

??????10’

【思路点拨】 (1)由两向量的坐标,及两向量平行时满足的关系列出关系式,利用二倍角的正弦函数公式 化简,再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出 tan2B 的值,由 B 为锐角,得到 2B 的范围,利用 特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数; (2)由 cosB 的值及 b 的值,利用余弦定理列出关于 a 与 c 的关 系式,利用基本不等式求出 ac 的最大值,再由 sinB 及 ac 的最大值,利用三角形的面积公式即可求出三角 形 ABC 面积的最大值.

【数学文卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试(201410) 】9、在 △ ABC 中,内角 A, B, C 所对的边长分别是 a, b, c 。若 sin C ? sin(B ? A) ? sin 2 A ,则 △ ABC 的形状为( A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形 )

【知识点】两角和与差的正弦函数.C5 【答案解析】D 解析:∵ sin C ? sin(B ? A) ? sin 2 A , ∴sin(A+B)+sin(B﹣A)=sin2A,∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A, ∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA,∴2cosA(sinA﹣sinB)=0,∴cosA=0,或 sinA=sinB, ∴A= ,或 a=b,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形故选:D. ,或 a=b,

【思路点拨】由已知条件结合三角函数公式化简可得 2cosA(sinA﹣sinB)=0,分别可得 A= 可得结论.

【数学文卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试(201410) 】2、已知数列 {an } 为等差数列,

a2 ? a12 ) 的值为( 且 a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 tan(



第 43 页(共 80 页)

A、 3

B、 ? 3

C、 ? 3

D、 ?

3 3

【知识点】等差数列的性质;运用诱导公式化简求值;两角和与差的正切函数.C2 C5 D2 【答案解析】B 解析:∵ a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 a7= ∴tan(a2+a12)=tan2a7=tan

8? = ? 3 ,故选 B. 3

4? , 3

【思路点拨】因为 a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 a7= 可得答案.

4? 8? ,所以 tan(a2+a12)=tan2a7=tan ,由诱导公式计算 3 3

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期二调考试(201410)word 版】18.(本小题满分 12 分) 已知向量 m=(sinx,-1),n=( 3 cos x, ?

1 ),函数 f ( x ) =m2+m n-2 2

(1)求 f ( x ) 的最大值,并求取最大值时 x 的取值集合; (2)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A、B、C 的对边,且 a,b,c 成等比数列,角 B 为锐角,且 f ( B) ? 1,求

1 1 ? 的值. tan A tan C
【知识点】平面向量的数量积运算;三角恒等变换;正弦定理 F3 C5 C8 【答案解析】 解: (1) f ( x) ? (m ? n) ? m ? 2 ? sin x ? 1 ? 3 sin x cos x ?
2

1 ?2 2

=

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ? ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) .故 f ( x)max ? 1 , 2 2 2 2 2 6

2x ?

?
6

=2k? ?

?
2

, k ? Z , 得 x ? k? ?
? ?

?
3

,k ? Z,

所以取最大值时 x 的取值集合为 ? x ? k? ?

?

? ,k ?Z?。 3 ?

(2) f ( B) ? sin(2 B ?

?
6

) ? 1, 0 ? B ?

?
2

,??

?
6

? 2B ?

?
6

?

5? , 6

? 2B ?

?
6

?

?
2

.B ?

?
3

2 2 由 b ? ac 及正弦定理得 sin B ? sin A sin C 于是

第 44 页(共 80 页)

1 1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C
? sin( A ? C ) 1 2 3 ? ? 2 sin B sin B 3 ? ?

【思路点拨】 (1)把给出的向量的坐标代入函数解析式,化简整理后得到 f ( x) ? sin ? 2 x ?

??

? ,直接由 6?

2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z 即可得到使函数取得最大值 1 的 x 的取值集合;

( 2 )由 B 为锐角,利用 f ( B) ? 1 求出 B 的值,把要求的式子切化弦,由 a, b ,c 成等比数列得到

sin 2 B ? sin A sin C ,代入化简后即可得到结论。

【 数 学 文 卷 · 2015 届 河 北 省 衡 水 中 学 高 三 上 学 期 二 调 考 试 ( 201410 ) word 版 】 15. 已 知 函 数

1 1 3 f ( x)= x ? sin x ? cos x 的图象在点 A( x0 , y0 ) 处的切线斜率为 1,则 tan x0 ? ________________. 2 4 4
【知识点】导数的几何意义;三角恒等变换 B11 C5 C7 【答案解析】 ? 3 解析:

1 1 3 f ( x)= x ? sin x ? cos x 2 4 4

? f '( x) ?

1 1 3 1 1 ? ?? ? cos x ? sin x ? ? sin ? x ? ? , 2 4 4 2 2 ? 6?
1 1 ?? ? ? sin ? x0 ? ? ? 1, 2 2 ? 6?

f '( x0 ) ?
? x0 ?

2? ? 2 k? ? k ? Z ? , 3

2? ? 2? ? ? tan x0 ? tan ? ? 2k? ? ? tan ?? 3, 3 ? 3 ?
故答案为: ? 3 【思路点拨】先求函数 f ( x ) 的导数,然后令 f '( x0 ) ? 1 ,求出 x0 的值后再求其正切值即可.

第 45 页(共 80 页)

【 数 学 文 卷 · 2015 届 河 北 省 衡 水 中 学 高 三 上 学 期 二 调 考 试 ( 201410 ) word 版 】 6. 已 知

7? ? 4 3 ) 的值是 ,则 sin(? ? cos(? ? ) ? sin ? ? 6 6 5
A. ?

2 3 5

B.

2 3 6

C. ?

4 5

D.

4 5

【知识点】两角和与差的正余弦;诱导公式 C2 C5 【答案解析】C 解析: cos(? ?

?
6

) ? sin ? ?

3 1 cos ? ? sin ? ? sin ? 2 2 3 3 cos ? ? sin ? 2 2

?

?1 ? 3 ? 3? ? 2 cos ? ? 2 sin ? ? ? ? ?, ?? 4 3 ? ? 3 sin ? ? ? ? ? 6? 5 ?

? 4 ? sin(? ? ) ? 6 5 7? ? 4 ? sin(? ? ) ? ? sin(? ? ) ? ? , 6 6 5
故选:C

【思路点拨】把已知等式的左边利用两角和的余弦函数公式化简,提取 3 ,用两角和的正弦函数公式化 简,即可求出 sin(? ?

?
6

) ,再利用诱导公式得 sin(? ?

7? ? ) ? ? sin(? ? ) 得到答案。 6 6

【数学卷·2015 届甘肃省兰州一中高三上学期期中考试(201410) 】19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4 3 sin x cos x ? 4 cos 2 x ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 [0,

?
2

] 上的值域;

(Ⅱ)若对于任意的 x ? R ,不等式 f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立,求 sin(2 x0 ?

?
3

).

第 46 页(共 80 页)

【知识点】 二倍角公式; 两角和与差的三角函数; y ? A sin(? x ? ? ) 的性质; 不等式恒成立问题. C4 C5 C6 E1

【答案解析】(Ⅰ)[-3,3];(Ⅱ)

3 2

解析:(Ⅰ) f ( x) ? 4 3 sin x cos x ? 4 cos 2 x ? 1 ? 2 3 sin 2 x ? 2(1 ? cos 2 x) ? 1

? 4 sin(2 x ?
∵0? x ?

?
6

) ?1

,???????3 分

?
2

,∴ ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 1 ? ,∴ ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 , 6 2 6

∴ ? 3 ? f ( x) ? 3 ,即函数 f ( x) 在 [0,

?
2

] 上的值域是[-3,3] .????6 分

(Ⅱ)∵对于任意的 x ? R ,不等式 f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立, ∴ f ( x 0 ) 是 f ( x) 的最大值,∴由 2 x 0 ? 解得 2 x 0 ? 2k? ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ?Z ,

2? ? 2? ? ? 3 , k ? Z ∴ sin(2 x 0 ? ) ? sin(2k? ? .??12 分 ? ) ? sin ? 3 3 3 3 3 2

【思路点拨】(Ⅰ)利用二倍角公式,两角和与差的三角函数,把已知函数化为:

f ? x ? ? 4sin(2 x ? ) ? 1 ,再由 x 范围求函数 f ( x) 值域;(Ⅱ)根据题意知 f ( x 0 ) 是 f ( x) 的最大值,由 6
此得关于 x0 方程 2 x 0 ? 2k? ? 所以 sin( 2 x 0 ?

?

2? , k ?Z , 3
2? ? ? 3 ? ) ? sin ? 3 3 3 2 .

?
3

) ? sin( 2k? ?

C6 二倍角公式

【数学 (文) 卷· 2015 届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试 (201410) word 版】 5、 已知 cos( 那么 sin 2 x ? ( A. )

?
4

? x) ?

3 , 5

18 25

B. ?

24 25

C. ?

7 25

D.

7 25
C6 C2

【知识点】二倍角公式;诱导公式. 【答案解析】C 解析:因为 cos(

?
4

? x) ?

3 ,所以 5

7 7 ?? ? ?? ? ?? ? cos 2 ? ? x ? ? 2cos 2 ? ? x ? ? 1 ? ? ,即 cos ? ? 2 x ? ? sin 2 x ? ? ,故选 C. 25 25 ?4 ? ?4 ? ?2 ?
第 47 页(共 80 页)

【思路点拨】利用二倍角公式求得 cos ?

?? ? ? x ? 值,再用诱导公式求得 sin2x 值. ?2 ?

【数学理卷·2015 届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试( 201411 ) 】 4 若 sin( x ?

?

1 ) ? ,则 6 3

cos( ? 2 x) ? ( 3
A.

?



4 5 9

B. ?

4 5 9

C.

7 9

D. ?

7 9

【知识点】二倍角公式 C6 【答案解析】C

? ? 7 ? cos( ? 2 x) ? cos(2x- )=1- 2sin 2 ( x ? ) = 故选 C。 3 6 9 3

【思路点拨】根据二倍角公式求解

【数学理卷·2015 届湖南省师大附中高三上学期第二次月考(201410)word 版】16、 (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P ?

?1 ? , cos 2 ? ? 在角 ? 的终边上,点 Q ? sin 2 ? , ?1? 在角 ? 的终边上,且 ?2 ?

OP ? OQ = ?

1 。 2

2 的值; (Ⅰ)求 c o s ?
(Ⅱ)求 sin ?? ? ? ? 的值。 【知识点】二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数.C6C5 【答案解析】 (Ⅰ) cos 2? ? 解析: (Ⅰ)∵ OP ? OQ = ?

1 10 ; (Ⅱ) ? 3 10

1 1 2 1 2 ,? sin ? ? cos ? ? ? , 2 2 2 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 1 ? ? ? ,? cos 2? ? . ? 4 2 2 3
2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得: cos ? ?

1 ? cos 2? 2 1 ? cos 2? 1 ?1 2? ? ,∴ p ? , ? , sin 2 ? ? ? , 2 3 2 3 ?2 3?

∴ Q ? , ?1? ,∴ sin ? ?

?1 ?3

? ?

4 3 3 10 10 , cos ? ? , sin ? ? ? , cos ? ? , 5 5 10 10

第 48 页(共 80 页)

∴ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ?

10 . 10

【思路点拨】 (Ⅰ)由点 P、Q 的坐标即 OP 、 OQ 坐标,结合向量数量积坐标运算公式得 θ 的三角函数等 式,再利用余弦的倍角公式把此等式降幂即可; (Ⅱ)首先由余弦的倍角公式求出 cos2θ,再根据同角正余 弦的关系式求出 sin2θ,即明确点 P、Q 的坐标,然后由三角函数定义得 sinα、cosα、sinβ、cosβ 的值,最 后利用正弦的和角公式求得答案.

【数学理卷·2015 届湖南省师大附中高三上学期第二次月考(201410)word 版】2、若角 ? 的终边落在直 线 x ? y ? 0 上,则 A、 ?2 C、 ?2 或 2

sin ? 1 ? sin 2 ?

?

1 ? cos2 ? 的值等于( cos ?



B、2 D、0

【知识点】三角函数的化简求值;二倍角的正弦;二倍角的余弦.C6 C7 【答案解析】D 解析:∵角 ? 的终边落在直线 x ? y ? 0 上, ∴角 ? 为第二或第四象限角.

1 ? cos 2 ? sin ? | sin ? | ∵ , ? ? ? 2 cos ? | cos ? | cos ? 1 ? sin ?
sin ? sin ? ? ? 0; cos ? cos ? sin ? ? sin ? ? ?0. 当角 α 为第四象限角时,原式= cos ? cos ?
∴当角 α 为第二象限角时,原式= ? 综上可知:角 α 为第二或第四象限角时,均有值为 0,故选 D. 【思路点拨】根据 ? 的终边落在直线 x ? y ? 0 上,判断出 ? 所在的象限,并由平方关系化简所求的式子, 再对 ? 分类利用三角函数值的符号进一步化简求值.

sin ?

【数学理卷·2015 届北京市重点中学高三上学期第一次月考(201410) 】15. (本小题 14 分) 已知函数 f ? x ? ? 3 sin ? x cos ? x ? cos ? x ? 1 ?? ? 0 ? 的最小正周期为 ? .
2

(Ⅰ)求 ? 的值及 f ? x ? 的单调递增区间;

第 49 页(共 80 页)

(Ⅱ)求 f ? x ? 在 ? 0,

? ?? 上的最大值和最小值. ? 2? ?

【知识点】二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法;复合三角函数的单调性.C3C6 【答案解析】 (Ⅰ)ω=1,单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??

5 ? k ? Z ? ; (Ⅱ) ,1 ? 2 6?

1+cos 2ωx 解析: (Ⅰ)f(x)= 3sin ωxcos ωx+ +1 2 = 3 1 3 sin 2ωx+ cos 2ωx+ - -----------------2 分 2 2 2 -----------------4 分 -----------------5 分

π 3 =sin?2ωx+ ?+ . 6? 2 ? ∵ω>0,∴T=

2? =π,∴ω=1. 2?

π 3 故 f(x)=sin?2x+ ?+ . 6? 2 ? 令 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,解得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

.

? ?? ? f ? x ? 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? -----------------8 分 3 6? ?
π π π 7π (Ⅱ)∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ , 2 6 6 6 π 1 ∴- ≤sin(2x+ )≤1, 2 6 当 2x ? -----------------9 分 -----------------10 分 时, f ? x ? 取得最大值

?
6

2 6 ? 7? ? 当 2x ? ? ,即 x ? 时, f ? x ? 取得最小值 1 . -----------------14 分 6 6 2
【思路点拨】(I)利用倍角公式和两角差的正弦公式化简解析式,再求出函数的最小正周期,根据正弦 函数的增区间,求出此函数的增区间;(II)由 x 的范围求出“ 2 x ? 求出函数的最大值和最小值.

?

?

,即 x ?

?

5 ;-----------------12 分 2

?
6

”的范围,再由正弦函数的性质

【数学文卷· 2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试 (201410) 】 17、 (本小题满分 10 分) 在 ?ABC
2 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,向量 m ? (2 sin B,? 3 ), n ? (cos 2 B,2 cos

?

?

? ? B ? 1) ,且 m // n 2

(1)求锐角 B 的大小; (2)已知 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积的最大值。 【知识点】二倍角的余弦;平行向量与共线向量;两角和与差的正弦函数.C5 C6 F2
第 50 页(共 80 页)

【答案解析】 (1) B ?

?
3

; (2) Smax ? 3
2

解析: (1)由 m // n 得 2 sin B(2 cos

?

?

B ? 1) ? ? 3 cos 2 B 2

整理得 tan2B ? ? 3 ? B 为锐角

?B ?

?
3

??????5’

(2)由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 得 4= a 2 ? c 2 ? ac

? ac ? 4

? S max ? 3

??????10’

【思路点拨】 (1)由两向量的坐标,及两向量平行时满足的关系列出关系式,利用二倍角的正弦函数公式 化简,再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后求出 tan2B 的值,由 B 为锐角,得到 2B 的范围,利用 特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数; (2)由 cosB 的值及 b 的值,利用余弦定理列出关于 a 与 c 的关 系式,利用基本不等式求出 ac 的最大值,再由 sinB 及 ac 的最大值,利用三角形的面积公式即可求出三角 形 ABC 面积的最大值.

【数学文卷· 2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试 (201410) 】 14、 已知

2 sin ? ? cos ? ? ?5, 则 sin ? ? 3 cos ?

3 cos 2? ? 4 sin 2? =__________________
【知识点】二倍角的余弦;同角三角函数基本关系的运用.C2 C6 【答案解析】

7 5

解析:已知:

2 sin ? ? cos ? ? ?5, 利用商数关系解得:tanθ=2 sin ? ? 3 cos ?
= =﹣

进一步求出: =

= ,所以:3cos2θ+4sin2θ=

【思路点拨】首先利用商数关系求出 tanθ 的值,进一步利用万能公式求的结果.

【数学卷·2015 届甘肃省兰州一中高三上学期期中考试(201410) 】19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4 3 sin x cos x ? 4 cos 2 x ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 [0,

?
2

] 上的值域;

第 51 页(共 80 页)

(Ⅱ)若对于任意的 x ? R ,不等式 f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立,求 sin(2 x0 ?

?
3

).

【知识点】 二倍角公式; 两角和与差的三角函数; y ? A sin(? x ? ? ) 的性质; 不等式恒成立问题. C4 C5 C6 E1

【答案解析】(Ⅰ)[-3,3];(Ⅱ)

3 2

解析:(Ⅰ) f ( x) ? 4 3 sin x cos x ? 4 cos 2 x ? 1 ? 2 3 sin 2 x ? 2(1 ? cos 2 x) ? 1

? 4 sin(2 x ?
∵0? x ?

?
6

) ?1

,???????3 分

?
2

,∴ ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 1 ? ,∴ ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 , 6 2 6

∴ ? 3 ? f ( x) ? 3 ,即函数 f ( x) 在 [0,

?
2

] 上的值域是[-3,3] .????6 分

(Ⅱ)∵对于任意的 x ? R ,不等式 f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立, ∴ f ( x 0 ) 是 f ( x) 的最大值,∴由 2 x 0 ? 解得 2 x 0 ? 2k? ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ?Z ,

2? ? 2? ? ? 3 , k ? Z ∴ sin(2 x 0 ? ) ? sin(2k? ? .??12 分 ? ) ? sin ? 3 3 3 3 3 2

【思路点拨】(Ⅰ)利用二倍角公式,两角和与差的三角函数,把已知函数化为:

f ? x ? ? 4sin(2 x ? ) ? 1 ,再由 x 范围求函数 f ( x) 值域;(Ⅱ)根据题意知 f ( x 0 ) 是 f ( x) 的最大值,由 6
此得关于 x0 方程 2 x 0 ? 2k? ? 所以 sin( 2 x 0 ?

?

2? , k ?Z , 3
2? ? ? 3 ? ) ? sin ? 3 3 3 2 .

?
3

) ? sin( 2k? ?

C7 三角函数的求值、化简与证明

【 数 学 ( 理 ) 卷 · 2015 届 重 庆 市 重 庆 一 中 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 ( 201410 )】

1+ cos 20? ? 4sin10? tan 80? ? 8. sin 20? (
A. 1 B.

) C.

2

3

D. 2

【知识点】三角函数的化简求值.C7

第 52 页(共 80 页)

【答案解析】C 解析: = = ﹣2sin10°( ﹣2sin10°? ﹣

﹣2sin10°(cot5°﹣tan5°) ) = ﹣4cos10°=

=

=

=

=

=2cos30°= 故选:C.



【思路点拨】由条件利用同角三角函数的基本关系把要求的式子化为= 导公式、和差化积公式化为 2cos30°,从而得到结果.

﹣4cos10°,通分后利用诱

【数学(理)卷·2015 届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试(201410)word 版】16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m=(sinωx,cosωx),n=(cosωx,cosωx),其中 ω>0,函数 f ( x) ? 2m·n-1 的最小正周期为 π. (Ⅰ) 求 ω 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 在[

? ? , ]上的最大值. 6 4

【知识点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值.C7,F2 【答案解析】(1) ? ? 1 (2)

3 ?1 解析:解:(Ⅰ) f ( x) ? 2m·n-1 ? 2 sin?x ? cos ?x ? 2 cos 2 ?x ? 1 2

= sin 2?x ? cos 2?x ? 2 sin(2?x ? 由题意知: T ? ? ,即

?
4

) . ???????????6 分

2? ? ? ,解得 ? ? 1 .?????????????7 分 2?

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ∵

?
4

),

? ? 7? ? 3? ≤x≤ ,得 ≤ 2x ? ≤ , 6 4 12 4 4
7? 3? , ]上是减函数, 12 4

又函数 y=sinx 在[ ∴ f ( x) max ?

2 sin

7? ? ? ? 2 sin( ? ) ?????????????10 分 12 4 3
第 53 页(共 80 页)

? 2 sin
=

?
4

cos

?
3

? 2 cos

?
4

sin

?
3

3 ?1 .?????? 2

【思路点拨】由向量的坐标运算可以列出关系式,求出? 的值,再根据解析式在定义域内求出函数的最大 值.

【数学(理)卷·2015 届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试(201410)word 版】11.若 tan ? ? ? , 则

1 3

3sin? ? 2 cos? ? _______. 2 sin? ? cos ?

【知识点】已知三角函数值求三角函数式的值.C7 【答案解析】 ?

3 5

解析:因为 tan ? ? ?

1 3 sin ? ? 2 cos ? , 所以 3 2 sin ? ? cos ?

3sin ? ? 2cos ? 3tan ? ? 2 ?1 ? 2 3 cos ? ? ? ? ?? . 2sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 ? 2 ? 1 5 cos ? 3
【思路点拨】把所求化成关于正切的式子求解.

【数学(文)卷·2015 届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试(201410)word 版】16、 (本小题满分 12 分)已知向量 m ? (sin wx, coswx), n ? (coswx, coswx) ,其中 w ? 0 函数 f ( x) ? 2m ? n ?1的最小正周期 为? . (1)求 w 的值. (2)求函数 f ( x) 在 ?

?? ? ? 上的最大值. , ?6 4? ?
F2 C7

【知识点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值. 【答案解析】(1) ? ? 1 (2)

3 ?1 2

解析:(1) f ( x) ? 2m· n-1 ? 2 sin?x ? cos ?x ? 2 cos 2 ?x ? 1 = sin 2?x ? cos 2?x ? 2 sin(2?x ?

?
4

) . ??????6 分

第 54 页(共 80 页)

由题意知: T ? ? ,即

2? ? ? ,解得 ? ? 1 .????????7 分 2?

(2) 由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?
4

),



? ? 7? ? 3? ≤x≤ ,得 ≤ 2x ? ≤ , 6 4 12 4 4
7? 3? , ]上是减函数, 12 4

又函数 y=sinx 在[ ∴ f ( x) max ?

2 sin

7? ? ? ? 2 sin( ? ) ??????????10 分 12 4 3

? 2s i n co s ? 2co s s i n 4 3 4 3
=

?

?

?

?

3 ?1 .???????????????????12 分 2

【思路点拨】由向量的坐标运算可以列出关系式,求出? 的值,再根据解析式在定义域内求出函数的最大 值.

【数学(文)卷·2015 届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试(201410)word 版】11、若 tan ? ? ? , 则

1 3

3 sin ? ? 2 cos ? = 2 sin ? ? cos ?

.

【知识点】已知三角函数值求三角函数式的值. C7 【答案解析】 ?

3 5

解析:因为 tan ? ? ?

1 3 sin ? ? 2 cos ? , 所以 3 2 sin ? ? cos ?

3sin ? ? 2cos ? 3tan ? ? 2 ?1 ? 2 3 cos ? ? ? ? ?? . 2sin ? ? cos ? 2 tan ? ? 1 ? 2 ? 1 5 cos ? 3
【思路点拨】把所求化成关于正切的式子求解.

【 数 学 理 卷 · 2015 届 黑 龙 江 省 哈 六 中 高 三 上 学 期 期 中 考 试 ( 201411 ) 】 18 . 已 知 函 数

f ( x ) ? 2 3 sin( x ?

?
4

) cos(x ?

?
4

(12 分) ) ? sin 2x ? a 的最大值为1 .

(Ⅰ)求常数 a 的值; (4 分)
第 55 页(共 80 页)

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2 分) (Ⅲ)若将 f ( x) 的图象向左平移 值和最小值. (6 分) 【知识点】 三角函数的化简求值运算 C7 【 答 案 解 析 】( I ) -1(II)

?
6

个单位,得到函数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大

? ? 5? ? ? ? k? , ? k? ?, k ? Z ? 12 ? 12 ?

(III) ? 当 2 x ?

2? 2? 时 , ? 3 3

2? ? 3 ? , g ? x ? 取最大值 3 ? 1 sin? 2 x ? ?? 3 ? 2 ?
当 2x ?

2? 3? 2? ? ? 时, sin ? 2 x ? ? ? ? ?1 , g ? x ? 取最小值-3.3 2 3 ? ?

解析: (1)? f ? x ? ? 3 sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? sin 2 x ? a ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? a 2?

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? a ? 1 3? ?
? 2 ? a ? 1 ,? a ? ?1 -----------------------------------------------------------4 分
(2)由 ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ,解得

?

5? ? ? ? 5? ? ? k? ? x ? ? k? ,所以函数的单调递增区间 ?? ? k? , ? k? ?, k ? Z --------2 分 12 12 12 ? 12 ?

(3)? 将 f ? x ? 的图象向左平移

?
6

个单位,得到函数 g ? x ? 的图象,

? ? ?? ?? ?? 2? ? ? ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? ? 2 sin ?2? x ? ? ? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? 6? 6 ? 3? 3 ? ? ? ? ?
2? ? 2? 5? ? ? ?? ? x ? ?0, ?,? 2 x ? ? , 3 ? ? 2? ? 3 3 ? ?
?当 2x ?

2? ? 3 2? 2? ? 时, sin ? 2 x ? , g ? x ? 取最大值 3 ? 1 ? ?? 3 3 3 ? 2 ?

当 2x ?

2? 3? 2? ? ? 时, sin ? 2 x ? ? ? ? ?1 , g ? x ? 取最小值-3.-----------6 分 3 2 3 ? ?

【思路点拨】根据已知条件对三角函数进行化简求值,求单调性,周期,最值问题,都要把函数化成一个 三角函数的形式再进行运算.
第 56 页(共 80 页)

【数学理卷·2015 届湖南省师大附中高三上学期第二次月考(201410)word 版】2、若角 ? 的终边落在直 线 x ? y ? 0 上,则 A、 ?2 C、 ?2 或 2

sin ? 1 ? sin 2 ?

?

1 ? cos2 ? 的值等于( cos ?



B、2 D、0

【知识点】三角函数的化简求值;二倍角的正弦;二倍角的余弦.C6 C7 【答案解析】D 解析:∵角 ? 的终边落在直线 x ? y ? 0 上, ∴角 ? 为第二或第四象限角.

1 ? cos 2 ? sin ? | sin ? | ∵ , ? ? ? 2 cos ? | cos ? | cos ? 1 ? sin ?
sin ? sin ? ? ? 0; cos ? cos ? sin ? ? sin ? ? ?0. 当角 α 为第四象限角时,原式= cos ? cos ?
∴当角 α 为第二象限角时,原式= ? 综上可知:角 α 为第二或第四象限角时,均有值为 0,故选 D. 【思路点拨】根据 ? 的终边落在直线 x ? y ? 0 上,判断出 ? 所在的象限,并由平方关系化简所求的式子, 再对 ? 分类利用三角函数值的符号进一步化简求值.

sin ?

【 数 学 理 卷 · 2015 届 浙 江 省 重 点 中 学 协 作 体 高 三 第 一 次 适 应 性 测 试 ( 201411 ) word 版 】 15 . 设

f ( x) ? cos 2 x ? 2a(1 ? cos x) 的最小值为 ?

1 ,则 a ? 2





【知识点】同角三角函数基本关系,三角函数求值与化简 C2,C7 【 答 案 解 析 】 ?2 ? 3 解 析 : f ( x? )

22 c o?s x

。 ? c1 o sx ? , 2? a c o?s x 令 2t a

? 1

cx o? s

1

a 1 ? 1, 即 a ? 2 时 , f m i n ? f (1) ? 1 ? 4a ?? ,得 2 2 a a 3 1 ? ? 1 , a ? ? 2 不成立。 (2) 当 ? ?1, 即 a ? ?2 时,f min ? f (?1) ? 1 ? ? , 不成立。 (3) 当 ?1 2 2 8 2 a 1 2 a ? 1? ? 即 ?2 ? a ? 2 时 , f m i n ? f ( ) ? ? a ? 2 , 得 a ? ?2 ? 3 , 又 ?2 ? a ? 2 , 所 以 2 2
(1)当 f (x) ? 2t 2 ? 2at ? 2a ? 1, ?1 ? t ? 1 ,

a ? ?2 ? 3 成立。
第 57 页(共 80 页)

【思路点拨】首先利用同角三角函数基本关系化简得到一个关于 cos x 的二次函数,再利用二次函数在给 定区间上求最值的方法求解。

【数学文卷· 2015 届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试 (201411) 】 14. 已知 cos(? ?

?
3

)?

10 ? , ? ? (0, ) , 10 2

? 则 cos(2? ? ) ? . 3 【知识点】已知一个三角函数的值,求另一个三角函数的值.
【答案解析】

C7

4 ? ? 4 2 解析:由已知得 cos 2(? ? ) ? 2 cos (? ? ) ? 1 ? ? , 5 3 3 5

? ? ? 4 ? ? 所以 cos(2? ? ) ? ? cos ?? ? (2? ? ) ? ? ? cos 2(? ? ) ? . 3 3 ? 3 5 ?
【思路点拨】由二倍角公式得 cos 2(? ?

?
3

) ,再由诱导公式得结论.

【数学文卷· 2015 届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试( 201411 ) 】 5. 已知 sin ? ? cos ? ?
sin 2 (

1 ,则 3

?
4

??) ? (

) D. C7
2 9

1 17 8 B. C. 9 18 18 【知识点】已知一个三角函数式的值,求另一个三角函数式的值.

A.

【答案解析】B 解析:已知等式两边平方得: sin 2? ? ? ,所以 sin 2 (

8 9

?
4

??) ?

?? ? 1 ? cos 2 ? ? ? ? ?4 ? ? 1 ? sin 2? ? 17 ,故选 B. 2 2 18
【思路点拨】将已知等式平方得 sin 2? ? ? ,再用二倍角公式,诱导公式求解.

8 9

【数学文卷·2015届辽宁师大附中高三上学期10月模块考试(201410 ) 】18、 (本题满分10分)已知向量

a ? (sin(? x ? ? ), 2),b ? (1,cos(? x ? ? ))( ? >0,0< ? <
的图象的相邻两对称轴之间的距离为2,且过点 M (1, ) 。

? ) 。函数 f ( x) ? (a ? b) ? (a ? b) , y ? f ( x) 4

7 2

第 58 页(共 80 页)

(1)求 f ( x ) 的表达式; (2)求 f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2014 ) 的值。 【知识点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算.C7 F3 【答案解析】 (1) f ? x ? ? ? cos(2? x ? 2?) ? 3 ; (2) 6045 解析: (1) f ( x) ? (a ? b) ? (a ? b) =a ?b

1 2

?2

?2

? sin 2 (? x ? ? ) ? 4 ?1 ? cos2 (? x ? ? )
? ? cos(2? x ? 2? ) ? 3

∵0< ? <

? ? ? ,∴ 2? ? , ? ? , 4 6 12 ? ? ∴ f ( x) ? 3 ? cos( x ? ) 。 2 6

2? ? ? 2 ? 2 ,∴ ? ? 。 2? 4 7 ? 1 又图象过点 M ,∴ ? 3 ? cos( ? 1 ? 2? ) 即 sin 2? ? , 2 2 2
由题意知:周期 T ?

??????5’

(2) y ? f ( x) 的周期 T ? 4 ,

∵ f (0) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? (3 ? 原式= 6045

3 1 3 1 ) ? (3 ? ) ? (3 ? ) ? (3 ? ) ? 12 2 2 2 2
??????10’

1 。 2 7 2

【思路点拨】 (1)根据向量的数量积运算、平方关系、二倍角的余弦公式化简解析式,由周期公式和题意 求出 ω 的值,再把点 M (1, ) 代入化简后,结合 φ 的范围求出 φ; (2)根据函数的周期为 4,求出一个周 期内的函数值的和,再根据周期性求出式子的值.

【数学文卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期 10 月模块考试(201410) 】11、已知 sin ?

?? ? 1 ? ? ? ? ,则 ?6 ? 3

? 2? ? cos? ? 2? ? 的值是( ? 3 ?
A、 ?



7 9

B、 ?

1 3

C、

1 3

D、

7 9

第 59 页(共 80 页)

【知识点】二倍角的余弦;运用诱导公式化简求值.C2 C7 【答案解析】A 解析: cos? =﹣[1﹣2si

? 2? ? ? 2? ? =﹣cos( ? 3 ?

﹣2α)=﹣cos[2(

)]

]=﹣(1﹣ )=﹣ ,故选 A.

【思路点拨】利用诱导公式和二倍角公式化简 cos? 的值,求解即可.

? 2? ? ? 2? ? 为 sin ? 3 ?

的表达式,然后代入

sin

【 数 学 文 卷 · 2015 届 河 北 省 衡 水 中 学 高 三 上 学 期 二 调 考 试 ( 201410 ) word 版 】 15. 已 知 函 数

1 1 3 f ( x)= x ? sin x ? cos x 的图象在点 A( x0 , y0 ) 处的切线斜率为 1,则 tan x0 ? ________________. 2 4 4
【知识点】导数的几何意义;三角恒等变换 B11 C5 C7 【答案解析】 ? 3 解析:

1 1 3 f ( x)= x ? sin x ? cos x 2 4 4

? f '( x) ?

1 1 3 1 1 ? ?? ? cos x ? sin x ? ? sin ? x ? ? , 2 4 4 2 2 ? 6?
1 1 ?? ? ? sin ? x0 ? ? ? 1, 2 2 ? 6?

f '( x0 ) ?
? x0 ?

2? ? 2 k? ? k ? Z ? , 3

2? ? 2? ? ? tan x0 ? tan ? ? 2k? ? ? tan ?? 3, 3 ? 3 ?
故答案为: ? 3 【思路点拨】先求函数 f ( x ) 的导数,然后令 f '( x0 ) ? 1 ,求出 x0 的值后再求其正切值即可.

C8 解三角形

第 60 页(共 80 页)

【数 学(理)卷 · 2015 届重 庆市重庆一 中高三上学 期第二次月 考( 201410 ) 】 12 .在 △ ABC 中 ,

A ? 60? ,AC ? 4 , BC ? 2 3,则 ?ABC 的面积_______________.
【知识点】正弦定理.C8 【答案解析】 2 3 解析:∵△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 由正弦定理得: ,∴ , ,

解得 sinB=1,∴B=90°,C=30°, ∴△ABC 的面积= 故答案为: . .

【思路点拨】利用三角形中的正弦定理求出角 B,再利用三角形的面积公式求出△ABC 的面积.

【数学(文)卷·2015 届四川省绵阳市高三第一次诊断性考试(201410)word 版】18、 (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a , b, c 分别是内角 A, B, C 的对边,AB=5, COS ?ABC ? (1)若 BC=4,求 ?ABC 的面积 S ?ABC ; (2)若 D 是边 AC 的中点,且 BD ?

1 . 5

7 ,求边 BC 的长. 2

【知识点】同角三角函数关系;三角形面积公式;余弦定理. C2 C8 【答案解析】(I) S?ABC ? 4 6 (II) CB ? 4 . 解析:(1) AB ? 5 , cos ?ABC ?

1 , BC ? 4 ,又 ?ABC ? (0, ? ) , 5
2 6 , 5

所以 sin ?ABC ? 1 ? cos 2 ?ABC ? ∴ S ?ABC ?

1 1 2 6 BA ? BC ? sin ?ABC ? ? 5 ? 4 ? ? 4 6 .????6 分 2 2 5
E

(2) 以 BA,BC 为邻边作如图所示的平行四边形 ABCE ,

1 如图,则 cos ?BCE ? ? cos ?ABC ? ? ,BE=2BD=7, 5
CE=AB=5, 在△BCE 中,由余弦定理: B

A

D C

BE 2 ? CB2 ? CE2 ? 2CB ? CE ? cos ?BCE . 即 49 ? CB2 ? 25 ? 2 ? 5 ? CB ? (? ) ,

1 5

第 61 页(共 80 页)

解得: CB ? 4 . ??????????????10 分 【思路点拨】 (1) 利用同角三角函数关系求 ?ABC 正弦值,再用三角形面积公式求得结论; ( 2 )构造以
BA,BC 为邻边作如图所示的平行四边形 ABCE ,在三角形 BCE 中利用余弦定理求出边 BC 长.

【数学理卷·2015 届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试(201411) 】17.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对

的边分别为 a, b, c ,且满足 cos

A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

(1)求 ?ABC 的面积; (4 分) (2)若 c ? 1,求a 、 sin B 的值. (6 分) 【知识点】 向量的运算;余弦定理.C8,F3

【答案解析】(1)2(2)

2 5 2 5 2 3 解析: (1) cos A ? 2 ? ( ) ?1 ? , 5 5 5

3 bc ? 3, ? bc ? 5 5 4 1 1 4 又 A ? (0, ? ) ,? sin A ? , ? S ? bc sin A ? ? 5 ? ? 2. 5 2 2 5
而 AB ? AC ? AB ? AC ? cos A ? (2)

------------4 分

bc ? 5, 而 c ? 1 ,? b ? 5

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 20 , a ? 2 5.

4 5? b sin A a b 5 ? 2 5 . ----------------------------------6 分 ? 又 ,? sin B ? ? a 5 sin A sin B 2 5
【思路点拨】根据向量的运算求出两边的乘积,再用正弦与余弦定理可求出三角值.

【数学理卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期期中考试(201411) 】17. (12 分)已知函数

f ( x) ? sin x ? cos( x ?

?

1 ) ? cos 2 x ? . 6 2

(I)求函数 f ( x) 的单调递增区间和对称中心。 (II)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, ,若 f ( A) ? 1 , b ? c ? 3. 求 a 的最小值. 2 【知识点】三角函数的图象与性质解三角形 C3 C8

第 62 页(共 80 页)

【答案解析】(I) 单增区间为 ? k? ? 对称中心 ? ?

? ?

?
3

.k? ?

??
3 2

? ?k ? Z ? 6?

? k? ? 1? ? . ? , ?k ? Z ? 12 4 ? ? 2 ?

(II)

(I) f ( x ) ? sin x ?

? 3 ? 1 1 3 1 cos x ? sin x ? ? cos2 x ? ? sin x cos x ? cos 2 x 2 2 2 2 ? 2 ?

?

? 1 1 ? 1? 3 1 ?? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? . ? 2? 2 2 6? 4 ? 4 2 ?
? ?

单增区间为 ? k? ? 对称中心 ? ?

?
3

.k? ?

??

? ?k ? Z ? 6?

? k? ? 1? ? . ? , ?k ? Z ? 12 4 ? ? 2 ?

(II)由题意 f ( A) ?

? 1 1 ? ?? 1 1 sin ? 2 A ? ? ? ? ,化简得 sin(2 A ? ) ? . 6 2 2 ? 6? 4 2

? A ? ?0, ? ? ,? 2 A ?

?

? 13? ? 5? ? , ∴A? . ?( , ) , ∴ 2A ? ? 6 6 6 6 6 3
?
3 ? (b ? c) 2 ? 3bc .

在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos

9 ?b?c? 9 2 由 b ? c ? 3 ,知 bc ? ? ? ? ,即 a ? . 4 4 ? 2 ?
∴当 b ? c ?

2

3 3 时, a 取最小值 . 2 2

【思路点拨】根据三角函数的单调性和对称性求出单调区间和对称中心,根据余弦定理求出边和 a 的最小 值。

【数学理卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期期中考试(201411) 】10. 已知△ABC 中,内角 A、B、C 所 对的边分别为 a, b, c 且 a cos C ? A.

3 c ? b ,若 a ? 1, 3c ? 2b ? 1 ,则角 B 为( 2
C.



?
4

B.

?
6

?
3

D.

?
12

【知识点】解三角形 C8

第 63 页(共 80 页)

【答案解析】B 由 acosC+

3 3 c=b ,可得 sinAcosC+ sinC=sinB. 2 2 3 sinC=cosAsinC,sinC≠0, 2

而 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC.可得

所以

? 5? 5? 1 3 =cosA,A∈(0,π),所以 A= , C= -B ,∴ 3 sin( -B )-2sinB= , 2 6 6 6 2

? 1 5? ? ? )= ,∵0 < B < ,∴B+ ∈( , π) 2 6 6 6 6 ? ? ? ∴B+ = ,所以 B= . 6 3 6
整理得 cos(B+ 【思路点拨】(Ⅰ)通过已知表达式,利用正弦定理,以及三角形的内角和,转化 sinB=sin(A+C),通 过两角和的正弦函数,化简可求 A 的余弦值,即可求角 A; (Ⅱ)利用 a ? 1, 3c ? 2b ? 1 ,通过正弦定理,三角形的内角和,转化方程只有 B 的三角方程,结合 B 的范围,求角 B.

【数学理卷·2015 届湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学高三四校联考(201410)word 版 (1)】17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a ? b ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值和最小正周期; (Ⅱ) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c , 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 , 若 sin( A ? C ) ? 2 sin A , 求 a、b 的值. 【知识点】三角函数的图象与性质解三角形 C3 C8 【答案解析】 (I)最大值为 0;最小正周期为 ? .(Ⅱ) a ? 3 , b ? 2 3 . (I)

r r

r r 1 ,其中 a ? ( 3 sin x ? cos x, ?1) , b ? (cos x,1) . 2

=

f ( x) 的最大值为 0;最小正周期为 ? .
(Ⅱ) f (C ) ? sin( 2C ?

?
6

) ? 1 ? 0 ,又

,解得 C ?

?
3

又? sin( A ? C ) ? sin B ? 2 sin A ,由正弦定理

a 1 , ? ---------------① b 2

第 64 页(共 80 页)

由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 由① ② 解得: a ? 3 , b ? 2 3 .

?
3

,即 a 2 ? b 2 ? ab ? 9 -------------②

【思路点拨】根据三角函数性质求出周其最值,根据正余弦定理求出边。

【数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试(201411)word 版】18. (本小题满分 14 分) 已知 ?ABC 的面积为 S ,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , AB ? AC ? (1)求 cos A 的值; (2)若 a, b, c 成等差数列,求 sin C 的值。 【知识点】三角变换、正弦定理、余弦定理 C8,C9

3 S。 2

3 12 , (2) sin C ? 5 13 3 3 1 4 (1)由 AB ? AC ? S ,得 bc cos A ? ? bc sin A ,即 sin A ? cos A . 2 2 2 3 9 代入 sin 2 A + cos 2 A ? 1 ,化简整理得, cos2 A ? . 25 4 3 由 sin A ? cos A ,知 cos A ? 0 ,所以 cos A ? . 5 3
【答案解析】 (1) cos A ? (2)由 2b ? a + c 及正弦定理,得 2sin B ? sin A + sin C , 即 2sin( A + C ) ? sin A + sin C , 所以 2sin A cos C + 2cos A sin C ? sin A + sin C .①

(2 分) (2 分) (2 分)

(1 分)

3 4 4 及 sin A ? cos A ,得 sin A ? , 5 5 3 4 ? sin C 代入①,整理得 cos C ? . 8
由 cos A ? 代入 sin 2 C + cos 2 C ? 1 ,整理得 65sin 2 C ? 8sin C ? 48 ? 0 ,

(2 分) (2 分)

12 4 或 sin C ? ? . 13 5 12 因为 C ? (0, ?) ,所以 sin C ? . 13
解得 sin C ? 【思路点拨】根据正弦定理,由 AB ? AC ?

(2 分) (1 分)

3 3 1 S ,得 bc cos A ? ? bc sin A ,求得 cosA。由 2b ? a + c 及 2 2 2 12 正弦定理,得 2sin B ? sin A + sin C ,即 2sin( A + C ) ? sin A + sin C ,加以计算可求 sin C ? 。 13

第 65 页(共 80 页)

【数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试(201411)word 版】16.在 ?ABC 中,

a cos B ? b cos A ? 2c cos A , tan B ? 3tan C ,则

AC = AB





【知识点】正弦定理,两角和与差的正弦公式 C8, C5 【答案解析】

?1 ? 13 2

解 析 : 由 a cos B ? b cos A ? 2c cos A 得

sinA cos B ? sin B cos A ? 2sin C cos A , sin( A ? B) ? 2sin C cos A ? sin C ,所以 cos A ?
2? 2? 2? A? ? C ,? tan B ? tan( ,B?C ? ,B ? ? C) ? 3 3 3 3

1 , 2

?

2? ? tan C 3 ? 3tanC 2? 1 ? tan ? tan C 3 tan

3 1 3 cos C ? sin C cos C 1 AC sin B sin(A ? C) 2 ?1 ? 13 2 2 ? ? ? ? ? 得, = 。 sin C sin C 2 AB sinC sinC 2
【 思 路 点 拨 】 根 据 正 弦 定 理 由 a cos B ? b cos A ? 2c cos A 得

sinA cos B ? sin B cos A ? 2sin C cos A , sin( A ? B) ? 2sin C cos A ? sin C , 求 得 cos A ? tan B ? 3 tC an 可求 tan C ?
AC sin B sin(A ? C) 2 ? 13 ? ? ,再由 即可求解。 AB sinC sinC 3 3

1 ,由 2

【数学理卷·2015 届浙江省温州十校(温州中学等)高三上学期期中联考(201411) 】 18.已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? 3 cos 2 . 3 3 3

(Ⅰ)求该函数图象的对称轴; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 b 2 ? ac ,求 f ( B ) 的取值范围. 【知识点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的对称性;余弦定理.C3 C5 C8 【答案解析】(Ⅰ) x ? (

3 3k 1 ] ? )? , k ? z (Ⅱ) ( 3 ,1 ? 2 2 4

解析:(Ⅰ) f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 (1 ? cos 2 x ) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? sin( 2 x ? ? ) ? 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2

2x ? 2x ? ? 3k 1 ? ) ? ?1 即 ? ? k? ? (k ? z )得x ? ( ? )? , k ? z 3 3 3 3 2 2 4 3k 1 即对称轴为 x ? ( ? )? , k ? z ????????6 分 2 4
由 sin(
第 66 页(共 80 页)

(Ⅱ)由已知 b2=ac

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2 1 ? ? 2 B ? 5? ? ? cos B ? 1, ?0 ? B ? , ? ? ? ? 2 3 3 3 3 9 3 2B ? 2B ? 3 3 ? ? sin( ? ) ? 1, ? 3 ? sin( ? )? ? 1? , 2 3 3 3 3 2 2 cos B ?
即 f ( B ) 的值域为 ( 3 ,1 ?

3 ] .????????14 分 2

【思路点拨】 (Ⅰ)利用两角和与差的三角函数,化简函数为一个角的一个三角函数的形式,然后求该函 数图象的对称轴; (Ⅱ)通过在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 b2=ac,利用余弦 定理求出 B 地方我,得到相位的范围,即可求解 f(B)的取值范围.

【数学理卷·2015 届广东省阳东一中、广雅中学高三第一次联考(201410) 】16. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边,满足 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac , (1)求角 B 的大小; (2)设 m ? (sin A, cos 2 A) , n ? (?6, ?1) ,求 m ? n 的最小值 【知识点】余弦定理;向量的运算.C8,F2 【 答 案 解 析 】 (1)

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? ? ,又 (2)-5 解 析 : 解 : 在 ABC 中 , 由 余 弦 定 理 cosB ? 3 2ac 2

B ? ? 0 ,? ? ? , B?

?
3

(2) m ? n ? ?6sin A ? cos 2 A ? 2sin 2 A ? 6sin A ? 1 ? 2 ? sin A ? 又

? ?

3 ? 11 ? ? 2? 2
?????12 分

2

0? A?

2? ,? 0 ? sin A ? 1 当 sin A ? 1 时, m ? n 取最小值 ?5 3

【思路点拨】由已知条件根据余弦定理可直接求出角 B,再由向量的运算求出最小值.

【数学理卷·2015 届宁夏银川一中高三第三次月考(201410) 】18. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ?

3 sin

?x ? ?
2

cos

?x ? ?
2

? sin 2

?x ? ?
2

(? ? 0 , 0 ? ? ?

?
2

) .其图象的最高点与相邻对称中

第 67 页(共 80 页)

心的两点间 距离为 1 ? ...

?2
16

,且过点 (

?
3

,1) .

(1)求函数 f ( x) 的周期及其表达式; (2)在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, a ? 5 , CA ? CB ? 10 ,角 C 为锐角且满足

2a ? 4a sin C ? c sin A ,求 c 的值.
【知识点】三角函数的图象与性质解三角形 C3 C8 【答案解析】(Ⅰ) T ? ? , f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

)?

1 (Ⅱ) c ? 21 2
6 2

( Ⅰ ) f ( x) ? 3 sin(?x ? ? ) ? 1 [1 ? cos(?x ? ? )] ? sin(?x ? ? ? ? ) ? 1 .
2 2

∵最高点与相邻对称中心的距离为

1?
sin(

?2
16

,则

2? T ? ? , 即 T ?? , ∴ ? ? , ∵ ? ? 0 , ∴ ? ? 2 , 又 f ( x) 过 点 ( ,1) , ∴ ? 4 4 3 |? |

2? ? 1 ? ? ? ) ? ? 1, 3 6 2

即 sin(

?
2

? ?) ?

1 1 ? ? ? 1 ,∴ cos ? ? .∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ,∴ f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? . 2 2 2 3 6 2

(Ⅱ) 2a ? 4a sin C ? c sin A ,由正弦定理可得 sin C ? 又a ?

5 2 ? , ∵ 0 ? C ? ,∴ cos C ? , 3 3 2

5 , CA ? CB ? ab cos C ? 10 ,∴ b ? 6 ,由余弦定理得

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 21 ,∴ c ? 21 .
【思路点拨】根据三角函数的中心距离求出解析式,利用正弦定理余弦定理求出边长。

【数学理卷·2015 届宁夏银川一中高三第三次月考(201410) 】14.在 ?ABC 中,已知内角 A ?

?
3

,边

BC ? 2 3 ,则 ?ABC 的面积 S 的最大值为
【知识点】解三角形 C8 【答案解析】3 3



由余弦定理,得 12=b2+c2-bc.又 S=

1 bcsinA= 2

3 bc; 3

而 b2+c2≥2bc?bc+12≥2bc?bc≤12,(当且仅当 b=c 时等号成立) 所以 S=

1 3 bcsinA= bc≤3 3 .即△ABC 的面积 S 的最大值为:3 3 . 2 4
第 68 页(共 80 页)

故答案为:3 3 . 【思路点拨】根据余弦定理结合三角形的面积公式以及基本不等式,即可求出结论.

【数学理卷·2015届北京市重点中学高三上学期第一次月考(201410) 】16. (本小题13分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 sin B ? (Ⅰ)求

5 ,且 a, b, c 成等比数列. 13

1 1 的值; ? tan A tan C

(Ⅱ)若 ac cos B ? 12 ,求 S ?ABC 及 a ? c 的值. 【知识点】余弦定理的应用;等比数列的性质;同角三角函数基本关系的运用;正弦定理.C2 C8 D3 【答案解析】 (Ⅰ)

13 5 ; (Ⅱ) , 3 7 5 2

解析: (Ⅰ)依题意, b 2 ? ac -------------------1 分 由正弦定理及 sin B ?

5 25 , 得 sin A sin C ? sin 2 B ? . -------------------3 分 13 169 1 1 cos A cos C sin( A ? C ) sin B 5 169 13 ? ? ? ? ? ? ? ? . --6 分 tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin A sin C 13 25 5

(Ⅱ)由 ac cos B ? 12知 cos B ? 0.

5 12 , 得 cos B ? ? . (舍去负值)-------------------------------8 分 13 13 12 从而 b 2 ? ac ? ? 13. ------------------ -----------------9 分 cos B
由 sin B ?

S ?ABC ?

1 1 5 5 ac sin B ? ?13 ? ? .------------------ -----------------11 分 2 2 13 2
2 2

由余弦定理,得 b ? (a ? c) ? 2ac ? 2ac cos B. 代入数值,得 13 ? (a ? c) 2 ? 2 ? 13 ? (1 ?

12 ). 13

解得: a ? c ? 3 7 . ------------------------- ------------13 分
2 【思路点拨】 (Ⅰ)利用等比数列可得 b 2 ? ac .再利用正弦定理可得 sinAsinC ? sin B .利用同角三角

函数基本关系式、 诱导公式、 两角和差的正弦公式即可得出

1 1 ; (Ⅱ) 先根据 accosB=12 知 cosB ? tan A tan C

>0,再由 sinB 的值求出 cosB 的值,最后根据余弦定理可确定 a,c 的关系,从而确定答案.

第 69 页(共 80 页)

【数学文卷·2015 届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试(201411) 】21. (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中, ?A ? 60 , BC ? 10 ,D 是 AB 边上的一点, CD ? △CBD 的面积为 1, (1)求 BD 的长; (2)求 sin ?ACD 的值. 【知识点】三角形面积公式;正弦定理;余弦定理. C8 B C D

2,
A

【答案解析】 (1)2; (2) 解析: (1)∵ S ?CBD ? ∴ sin ?BCD ?

6? 2 . 4

1 1 BC ? CD sin ?BCD ? ? 2 ? 10 sin ?BCD ? 1 , 2 2

5 2 5 , cos ?BCD ? 5 5 2 5 ?4 5

由余弦定理得: BD 2 ? CD 2 ? BC 2 ? 2CD ? BC cos ?BCD ? 2 ? 10 ? 2 ? 2 ? 10 ? 故 BD ? 2 (2)在 ?BCD 中,由正弦定理

10 10 BC BD ? 有 , ? sin ?BDC sin ?BDC sin ?BCD 5

解得 sin ?BDC ? ∴ cos ?BDC ? ?

2 ,∵ ?ACD ? ?BDC ? ?A ? ?BDC ? 60? , 2 2 , 2

sin ?ACD ? sin(?BDC ? 60?) ? sin ?BDC cos 60? ? cos ?BDC sin 60?
? 2 1 2 3 ? ? (? )? ? 2 2 2 2 6? 2 4 5 2 5 ,从而 cos ?BCD ? ,再由余弦定理求得 BD ? 2 ; (2) 5 5

【思路点拨】 (1)由面积公式得 sin ?BCD ? 由(1)及正弦定理得 sin ?BDC ?
cos ?BDC ? ?

2 ,而 ?BDC ? ?A ? 60 ,所以 2

2 ,又 ?ACD ? ?BDC ? ?A ? ?BDC ? 60? ,所以可以求 sin ?ACD 的值. 2

【数学文卷·2015 届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试(201411) 】18. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin A, sin B), n ? (cos B, cos A), m ? n ? sin 2C , 且 A、B、C 分别为△ABC 的三边 a、b、c 所对的 角.
第 70 页(共 80 页)

(1)求角 C 的大小; (2)若 sin A, sin C , sin B成等差数列, 且CA ? ( AB ? AC ) ? 18 ,求 c 边的长. 【知识点】向量的坐标运算;正弦定理;余弦定理. 【答案解析】(1) F2 C8

? ; (2)6. 解析: (1) m ? n ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin( A ? B) 3
1 ? ,C ? . 2 3

对于 ?ABC , A ? B ? ? ? C ,0 ? C ? ? ? sin( A ? B) ? sin C ,

? m ? n ? sin C.

又? m ? n ? sin 2C ,? sin 2C ? sin C , cos C ?

(2)由 sin A, sin C , sin B成等差比数列, 得2 sin C ? sin A ? sin B , 由正弦定理得 2c ? a ? b. ? CA ? ( AB ? AC ) ? 18,? CA ? CB ? 18 , 即 ab cos C ? 18, ab ? 36. 由余弦弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? (a ? b) 2 ? 3ab ,

? c 2 ? 4c 2 ? 3 ? 36, c 2 ? 36 ,? c ? 6.
【思路点拨】 (1)利用向量数列积坐标表达式,诱导公式,二倍角公式求得结果; (2)由正弦定理,向量数列积的定义式,以及余弦定理求得结果.

【 数 学 文 卷 · 2015 届 黑 龙 江 省 哈 六 中 高 三 上 学 期 期 中 考 试 ( 201411 ) 】 7. 已 知 ?ABC 中 , ,D | BC | ? 1 0 ,A B ? AC ??1 6 为 BC 的中点,则 | AD |? ( A.6 B. 5 C.4 ) D.3 F3 F1 C8

【知识点】向量的数量积;向量加法的平行四边形法则;余弦定理.

【答案解析】D 解析:由 AB ? AC ? ?16 得 bccosA=-16,又 a=BC=10,代入余弦定理得,

b2 ? c 2 ? 68 ,因为 AB ? AC ? 2 AD ,
2 2 所以 ( AB ? AC)2 ? (2 AD)2 ? c ? b ? 32 ? 4 AD , 2

所以 AD ?

2

68 ? 32 ? 9 .从而 | AD |? 3,故选 D. 4

2 2 【思路点拨】根据向量数量积的定义得 bccosA=-16,代入余弦定理得 b ? c ? 68 ,再由向量加法的平行

四边形法则得 AB ? AC ? 2 AD ,两边平方,转化为数量积运算得结论.

第 71 页(共 80 页)

x ? 【数学文卷·2015 届辽宁师大附中高三上学期期中考试(201411) 】18.已知向量 m =? ? 3sin4,1?, n =

?cosx ,cos2x?. 4? ? 4
2π ? (1)若 m ? n =1,求 cos? ? 3 -x?的值; (2)记 f(x)= m ? n ,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数 f(A)的取值范围. 【知识点】解三角形 C8 【答案解析】(1) -

1 2

(2) (1 ,

3 ) 2

x 1 ? cos x 3 2 =sin( x + ? )+ 1 =1 ∴sin( x + ? )= 1 ∵m?n= sin + 2 2 6 2 2 6 2 2 2 2? ? x ? 1 ∵cos( -x)=-cos(x+ )=-[1-2sin 2 ( + )]=2 6 2 3 3
(2)∵(2a-c)cosB=bcosC∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C) =sinA∵sinA>0∴cosB= ∵B∈(0,π),∴B=

? 2? ∴A ∈ (0 , ) 3 3 x ? 1 A ? 1 ∵f(x)=sin( + )+ ∴f(A)=sin( ? )+ 2 6 2 2 2 6 A ? ? ? A ? 1 3 ∵ ? ∈ ( , ) ∴sin( ? ) ∈ ( , 1) ∴f(A) ∈ (1 , ) 2 2 2 6 6 2 2 6 x ? 【思路点拨】(1)利用向量的数量积公式列出方程求出 sin( + ),利用二倍角的余弦公式求出要求的 2 6
式子的值. (2)利用三角形中的正弦定理将等式中的边转化为角的正弦值,利用三角形的内角和为 180° 化简等式, 求出角 B,求出角 A 的范围,求出三角函数值的范围.

1 2

【数学文卷·2015 届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试(201411) 】17 (本题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若向量 m=(2 b - c, a),n=(cosA,-cosC) 且 m⊥n (1)求角 A 的大小; 3 3 (2)若 a= 3,S△ABC= ,试判断△ABC 的形状,并说明理由. 4 【知识点】正弦定理;余弦定理的应用. C8
第 72 页(共 80 页)

【答案解析】(1) 解析:(1)

? ;(2)等边三角形,理由:见解析. 3

向量 m=(2 b - c, a),n=(cosA,-cosC) 且 m⊥n ,

? (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0 ,由正弦定理得:

(2sin B ? sin C) cos A ? sin A cos C ? 0 , ? 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ? 0 ?sin B(2cos A ? 1) ? 0 ,
0 ? A ? ? ,? A ? 0 ? B ? ? ,? sin B ? 0,? cos A ? 1 , 2

?
3

.

(本小题还可以用余弦定理求解) (2)△ABC 为等边三角形.

1 3 3 1 ? 3 3 S?ABC ? bc sin A ? , 即 bc sin ? ? bc ? 3 ① 2 4 2 3 4

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, a ? 3, A ?

?
3

,?b2 ? c2 ? 6, ②

由①②得 b ? c ? 3 ,? △ABC 为等边三角形. 【思路点拨】 (1)由已知得 (2b ? c) cos A ? a cos C ? 0 ,再把正弦定理或余弦定理代入此等式求得∠ A; (2)由面积公式得 bc=3,由余弦定理得 b 2 ? c 2 ? 6 ,解得 b ? c ? 3 ,又∠A = 角形.

? ,所以△ABC 为等边三 3

【数学文卷·2015 届湖南省师大附中高三上学期第二次月考(201410) 】16、 (本题满分 12 分) 已知 ?ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? cos(

?
2

? B) ? 2 sin( A ? B) . 1 sin C ,求角 C 的度数. 6

(3) 求边 AB 的长; (2)若 ?ABC 的面积为

【知识点】诱导公式;正弦定理;三角形面积公式;余弦定理. C2 C8 【 答 案 解 析 】 (1)1 ;( 2 ) 60 . 解 析 : (1) 由 题 意 sin A ? cos(

?
2

? B) ? 2 sin( A ? B) 得

sin A ? sin B ? 2 sin C -------2 分
由正弦定理得, BC ? AC ? 2 AB ,----4 分 又因为 AB ? AC ? BC ? 2 ? 1 ,---5 分 两式相减得 AB=1.----6 分 (4) 由 ?ABC 的面积为

1 1 1 BC ? AC ? sin C ? sin C 得, BC ? AC ? .----8 分 2 6 3
第 73 页(共 80 页)

2 AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ? AC ? BC ? ? 2 AC ? BC ? AB 1 由余弦定理得, cos C ? = ? ,---11 分 2 AC ? BC 2 AC ? BC 2 2

所以 C ? 60 . ------12 分 【思路点拨】(1)利用诱导公式化简已知等式,再用正弦定理转化为边关系求解; (2)利用三角形面积公式 及余弦定理求解.

【数学文卷·2015 届浙江省温州十校(温州中学等)高三上学期期中联考(201411) 】18.(本小题满分 14 分 ) 已 知 a,b,c 为 △ ABC 的 三 个 内 角 A,B,C 的 对 边 , 向 量 m ? (2sin B, 2 ? cos 2B) ,

n ? (2sin 2 ( ? ), ? 1) , m ? n , a ? 3 , b ? 1 4 2
(1)求角 B 的大小;(2)求 c 的值. 【知识点】余弦定理的应用;平面向量的综合题.C8F3 【答案解析】 (1) B ?

?

B

?
6

;(2) c=2 或 c ? 1

解析: (1) m n ? 0 , 4sin B sin 2 ( 则 2sin B[1 ? cos( 所以 sin B ?

?
4

?

?
2

B ) ? cos 2 B ? 2 ? 0 ,??????????3 分 2

? B)] ? cos 2 B ? 2 ? 0 ,??????????5 分

1 ,??????????7 分 2 ? 5? 又 B ? (0, ? ) ,则 B ? 或 ??????????8 分 6 6
又 a>b,所以 B ?

?

6

??????????9 分

(2)由余弦定理: b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ??????????10 分 得 c=2 或 c ? 1 ?????????????????????????14 分 【思路点拨】 (1) m ? n ,则 m n ? 0 ,则有 4sin B sin 2 ( 小; (2)由余弦定理即可求 c 的值.

?
4

?

B ) ? cos 2 B ? 2 ? 0 化简后即可求角 B 的大 2

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期二调考试(201410)word 版】20.(本小题满分 12 分) 如图,△ABC 中, sin

?ABC 3 4 3 , AB ? 2 ,点 D 在线段 AC 上,且 AD=2DC,BD= . ? 3 2 3

第 74 页(共 80 页)

(1)求 BC 的长; (2)求△DBC 的面积. 【知识点】解三角形 C8 【答案解析】 解: (1)因为 sin

1 1 ?ABC 3 ,所以 cos ?ABC ? 1 ? 2 ? ? . ? 3 3 2 3

△ABC 中,设 BC=a,AC=3b, 则 由 余 弦 定 理 可 得 9b ? a ? 4 ?
2 2

4a ① 在 △ ABD 和 △ DBC 中 , 由 余 弦 定 理 可 得 3

cos ?ADB ?

4b2 ?

16 ?4 3 , 16 3 b 3 16 2 ?a 3 .因为 cos ?ADB = ? cos ?BDC 8 3 b 3

cos ?BDC ?

b2 ?

4b2 ?
所以有

16 16 ?4 b2 ? ? a 2 2 2 3 3 ,所以 3b ? a =-6 ?? 16 3 8 3 b b 3 3



由①②可得 a ? 3, b ? 1 ,即 BC ? 3 .

(2)由(1)得△ABC 的面积为

1 2 3 2 2 ? 2 ? 3? =2 2 ,所以△DBC 的面积为 2 3 3

【思路点拨】 (1)通过余弦定理求出 x 与 a 的方程,然后分别求出∠ADB 与∠BDC 的余弦值,推出 a 与 c 的关系,然后求 BC 的长; (2)把三角形 BDC 的面积转化成求三角形 ABC 的面积,求解即可.

第 75 页(共 80 页)

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期二调考试(201410)word 版】18.(本小题满分 12 分) 已知向量 m=(sinx,-1),n=( 3 cos x, ?

1 ),函数 f ( x ) =m2+m n-2 2

(1)求 f ( x ) 的最大值,并求取最大值时 x 的取值集合; (2)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A、B、C 的对边,且 a,b,c 成等比数列,角 B 为锐角,且 f ( B) ? 1,求

1 1 ? 的值. tan A tan C
【知识点】平面向量的数量积运算;三角恒等变换;正弦定理 F3 C5 C8 【答案解析】 解: (1) f ( x) ? (m ? n) ? m ? 2 ? sin x ? 1 ? 3 sin x cos x ?
2

1 ?2 2

=

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ? ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) .故 f ( x)max ? 1 , 2 2 2 2 2 6

2x ?

?
6

=2k? ?

?
2

, k ? Z , 得 x ? k? ?
? ?

?
3

,k ? Z,

所以取最大值时 x 的取值集合为 ? x ? k? ?

?

? ,k ?Z?。 3 ?

(2) f ( B) ? sin(2 B ?

?
6

) ? 1, 0 ? B ?

?
2

,??

?
6

? 2B ?

?
6

?

5? , 6

? 2B ?

?
6

?

?
2

.B ?

?
3

2 2 由 b ? ac 及正弦定理得 sin B ? sin A sin C 于是

1 1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin A sin C
? sin( A ? C ) 1 2 3 ? ? 2 sin B sin B 3 ? ?

【思路点拨】 (1)把给出的向量的坐标代入函数解析式,化简整理后得到 f ( x) ? sin ? 2 x ?

??

? ,直接由 6?

2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z 即可得到使函数取得最大值 1 的 x 的取值集合;

( 2 )由 B 为锐角,利用 f ( B) ? 1 求出 B 的值,把要求的式子切化弦,由 a, b ,c 成等比数列得到
第 76 页(共 80 页)

sin 2 B ? sin A sin C ,代入化简后即可得到结论。

【数学文卷·2015 届宁夏银川一中高三第三次月考(201410) 】18. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ?

3 sin

?x ? ?
2

cos

?x ? ?
2

? sin 2 ,1) .

?x ? ?
2

(? ? 0 , 0 ? ? ?

?
2

) .其图象的最高点与相邻对称中

心的两点间 距离为 1 ? ...

?2
16

,且过点 (

?
3

(1)求函数 f ( x) 的表达式; (2) 在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边 , a ? 5 , CA ? CB ? 10 , 角 C 为锐角 . 且满足

2a ? 4a sin C ? c sin A ,求 c 的值.
【知识点】三角函数的图象与性质解三角形 C3 C8 【答案解析】(Ⅰ) f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

)?

1 (Ⅱ) c ? 21 2
∵最高点与相邻对称中心的距离为
6 2

( Ⅰ ) f ( x) ? 3 sin(?x ? ? ) ? 1 [1 ? cos(?x ? ? )] ? sin(?x ? ? ? ? ) ? 1 .
2 2

1?
sin(

?2
16

,则

2? T ? ? , 即 T ?? , ∴ ? ? , ∵ ? ? 0 , ∴ ? ? 2 , 又 f ( x) 过 点 ( ,1) , ∴ ? 4 4 3 |? |

2? ? 1 ? ? ? ) ? ? 1, 3 6 2

即 sin(

?
2

? ?) ?

1 1 ? ? ? 1 ,∴ cos ? ? .∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ,∴ f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? . 2 2 2 3 6 2

(Ⅱ) 2a ? 4a sin C ? c sin A ,由正弦定理可得 sin C ? 又a ?

5 2 ? , ∵ 0 ? C ? ,∴ cos C ? , 3 3 2

5 , CA ? CB ? ab cos C ? 10 ,∴ b ? 6 ,由余弦定理得

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 21 ,∴ c ? 21 .
【思路点拨】根据三角函数的中心距离求出解析式,利用正弦定理余弦定理求出边长。

【数学文卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第三次质量检测( 201411) 】7.在△ABC 中,若 a ? 4 ,

1 b ? 3 , cos A ? ,则 B ? ( 3


第 77 页(共 80 页)

A.

π 4

B.

π 3

C.

π 6

D.

2π 3

【知识点】解三角形 C8 【答案解析】A ∵cosA=

1 ,0<∠A<π∴sinA= 3

1 ? cos2 A =

1?

1 2 2 = 3 9



a b 3 4 ? ,即 = ,∴sinB= sin A sin B sin B 2 2 3

? 3? 2 ,∴∠B= 或 , 4 4 2

∵sinA= ∴∠B=

? 3? 2 2 2 > ∴∠A> ∴∠B= 与三角形内角和为 180° 矛盾. 4 4 3 2

? ,故选 A. 4

【思路点拨】先利用同角三角函数关系求得 sinA 的值,进而利用正弦定理求得 sinB 的值,最后求得 B.

C9 单元综合

【数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试(201411)word 版】18. (本小题满分 14 分) 已知 ?ABC 的面积为 S ,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , AB ? AC ? (1)求 cos A 的值; (2)若 a, b, c 成等差数列,求 sin C 的值。 【知识点】三角变换、正弦定理、余弦定理 C8,C9

3 S。 2

3 12 , (2) sin C ? 5 13 3 3 1 4 (1)由 AB ? AC ? S ,得 bc cos A ? ? bc sin A ,即 sin A ? cos A . 2 2 2 3 9 代入 sin 2 A + cos 2 A ? 1 ,化简整理得, cos2 A ? . 25 4 3 由 sin A ? cos A ,知 cos A ? 0 ,所以 cos A ? . 5 3
【答案解析】 (1) cos A ? (2)由 2b ? a + c 及正弦定理,得 2sin B ? sin A + sin C , 即 2sin( A + C ) ? sin A + sin C , 所以 2sin A cos C + 2cos A sin C ? sin A + sin C .①
第 78 页(共 80 页)

(2 分) (2 分) (2 分)

(1 分)

3 4 4 及 sin A ? cos A ,得 sin A ? , 5 5 3 4 ? sin C 代入①,整理得 cos C ? . 8
由 cos A ? 代入 sin 2 C + cos 2 C ? 1 ,整理得 65sin 2 C ? 8sin C ? 48 ? 0 ,

(2 分) (2 分)

12 4 或 sin C ? ? . 13 5 12 因为 C ? (0, ?) ,所以 sin C ? . 13
解得 sin C ? 【思路点拨】根据正弦定理,由 AB ? AC ?

(2 分) (1 分)

3 3 1 S ,得 bc cos A ? ? bc sin A ,求得 cosA。由 2b ? a + c 及 2 2 2 12 正弦定理,得 2sin B ? sin A + sin C ,即 2sin( A + C ) ? sin A + sin C ,加以计算可求 sin C ? 。 13

【数学文卷·2015 届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试(201411) 】19. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2 sin( x ?

?
4

) cos( x ?

?
4

) ? 2 3 cos 2 ( x ?

?
4

)

(1)求 f ( x ) 的单调减区间和最大值及取到最大值时相应的 x 的集合;

? (2)若函数 y ? f ( x) ? m 在区间 [0, ] 上恰好有两个零点,求实数 m 的取值范围. 2 【知识点】三角函数综合. C9
【答案解析】 (1) f ( x) 的减区间为 [k? ?
{x | x ? k? ?

?
3

, k? ?

5? ], k ? Z , f ( x) 最大值 2 ? 3 ,此时 x 的取值集合为 6

?
3

, k ? Z } ;(2) 1 ? 3 ? m ? 2 ? 3

解析: (1) f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 3[1 ? cos(2 x ? )]

?

?

2

2

? 3sin 2 x ? cos2 x ? 3 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 6 ? ? 3? ? 5? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 解得 k? ? ? x ? k? ?
2 6 2 3 6

?

f ( x) 的减区间为 [k? ?

?
3

, k? ?

5? ], k ? Z 6

当 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

时, f ( x) 取最大值 2 ? 3 ,

此时 x 的取值集合为 {x | x ? k? ?

?
3

, k ? Z} ) ? m ? 3 ,令 y ? 2 sin(2 x ?

(2) 由 y ? f ( x) ? m ? 0 得 2 sin(2 x ?

?
6

?
6

)

? ? 5? ? ∵ x ? [0, ] ,∴ 2 x ? ? [? , ] 2 6 6 6
2 1 第 79 页(共 80 页)

2x ?
x

?
6

?

?
6

0

? 2
?
3

5? 6

0 -1

?
12

?
2

y

0

2

1

由 y ? 2 sin(2 x ?

?
6

) 的图像知 1 ? m ? 3 ? 2 ,∴ 1 ? 3 ? m ? 2 ? 3

【思路点拨】 (1)利用三角公式将 f ( x ) 化为 2sin(2x ?

?
6

) ? 3 ,再求其单调减区间和最大值及取到最大
?
6 ) ? m ? 3 的解,

值时相应的 x 的集合; ( 2) 函数 y ? f ( x) ? m 得零点, 是方程 y ? f ( x) ? m ? 0 即 2 sin(2 x ? 也就是函数 y ? 2 sin(2 x ? 画出函数 y ? 2 sin(2 x ?

?
6

) 与函数 y ? m ? 3 交点横坐标,

?

) 在 [0, ] 上的图像,可得关于 m 的不等式求解. 6 2

?

第 80 页(共 80 页)



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