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二项式定理.版块三.二项展开式3赋值求某些项系数的和与差.学生版


赋值求某些项系数的和与差

知识内容
1.二项式定理
⑴二项式定理

? a ? b?

n

0 n 1 n?1 2 n ?2 2 n n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ... ? Cn b ? n ? N? ?

这个公式表示的定理叫

做二项式定理. ⑵二项式系数、二项式的通项
0 n 1 n ?1 2 n?2 2 n n Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ... ? Cn b 叫做 ? a ? b ? 的二项展开式,其中的系数

n

r Cn ? r ? 0, 1, 2, ..., n? 叫做二项式系数,式中的 Cnr an?r br 叫做二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,

r n?r r 即通项为展开式的第 r ?1 项: Tr ?1 ? Cn a b .

⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式 ? a ? b ? 的展开式项数为 n ? 1 项,各项的幂指数状况是
n

①各项的次数都等于二项式的幂指数 n . ②字母 a 的按降幂排列,从第一项开始,次数由 n 逐项减 1 直到零,字母 b 按升幂排列,从 第一项起,次数由零逐项增 1 直到 n . ⑷几点注意
r n?r r ①通项 Tr ?1 ? Cn a b 是 ? a ? b ? 的展开式的第 r ?1 项,这里 r ? 0, 1, 2, ..., n .

n

r n?r r b a 是有区别的, ②二项式 ? a ? b ? 的 r ?1 项和 ? b ? a ? 的展开式的第 r ?1 项 Cn 应用二项式

n

n

定理时,其中的 a 和 b 是不能随便交换的.
r ③注意二项式系数( Cn )与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数一定为正,而

项的系数有时可为负. ④通项公式是 ? a ? b ? 这个标准形式下而言的,如 ? a ? b ? 的二项展开式的通项公式是
n n
r n?r r r n ?r r a b 是不同的,在这 Tr ?1 ? ? ?1? Cn a b (只须把 ?b 看成 b 代入二项式定理)这与 Tr ?1 ? Cn

r

1

r r r 里对应项的二项式系数是相等的都是 Cn ,但项的系数一个是 ? ?1? Cn ,一个是 Cn ,可看出,

r

二项式系数与项的系数是不同的概念.
1 2 2 r r ⑤设 a ? 1, b ? x ,则得公式: ?1 ? x ? ? 1 ? Cn x ? Cn x ? ... ? Cn x ? ... ? xn . n
r n?r r ⑥通项是 Tr ?1 ? Cn a b ? r ? 0, 1, 2, ..., n ? 中含有 Tr ?1 , a , b , n , r 五个元素,

只要知道其中四个即可求第五个元素. ⑦当 n 不是很大, x 比较小时可以用展开式的前几项求 (1 ? x)n 的近似值.

2.二项式系数的性质
⑴杨辉三角形: 对于 n 是较小的正整数时,可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理,二项式系数也可 以直接用杨辉三角计算. 杨辉三角有如下规律: “左、 右两边斜行各数都是 1. 其余各数都等于它肩上两个数字的和. ” ⑵二项式系数的性质:

? a ? b?

n

0 1 2 n r 展开式的二项式系数是: Cn ,从函数的角度看 Cn 可以看成是 r 为自 , Cn , Cn , ..., Cn

变量的函数 f ? r ? ,其定义域是: ?0, 1, 2, 3, ..., n? . 当 n ? 6 时, f ? r ? 的图象为下图:

这样我们利用 “杨辉三角” 和 n ? 6 时 f ? r ? 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质. ①对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
m n ?m ? Cn 事实上,这一性质可直接由公式 Cn 得到.

②增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大; 如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大.

2

由于展开式各项的二项式系数顺次是
0 1 Cn ? 1, Cn ?

n ? n ? 1? n 2 , Cn ? , 1 1? 2

3 Cn ?

n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1? 2 ? 3

,...,
k ? , Cn

k ?1 Cn ?

n ? n ? 1?? n ? 2 ? ... ? n ? k ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? .... ? ? k ? 1?

n ? n ? 1?? n ? 2 ? ... ? n ? k ? 2 ?? n ? k ? 1? 1 ? 2 ? 3... ? ? k ? 1? k

,...,

n Cn ?1 .

其中,后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小 1 的数(如
n , n ? 1, n ? 2, ... ),分母是乘以逐次增大的数(如 1,2,3,?).因为,一个自然数乘以

一个大于 1 的数则变大,而乘以一个小于 1 的数则变小,从而当 k 依次取 1,2,3,?等值
r 时, Cn 的值转化为不递增而递减了.又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等,

所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小,且二项式系数最大的项必在中间. 当 n 是偶数时, n ? 1 是奇数,展开式共有 n ? 1 项,所以展开式有中间一项,并且这一项的
n

二项式系数最大,最大为 Cn2 . 当 n 是奇数时, n ? 1 是偶数,展开式共有 n ? 1 项,所以有中间两项. 这两项的二项式系数相等并且最大,最大为 Cn 2 ? Cn 2 .
0 1 2 r n ③二项式系数的和为 2n ,即 Cn ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ? ... ? Cn ? 2n .
n ?1 n ?1

④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即
0 2 4 1 3 5 Cn ? Cn ? Cn ? ... ? Cn ? Cn ? Cn ? ... ? 2n?1 .

常见题型有: 求展开式的某些特定项、项数、系数,二项式定理的逆用,赋值用,简单的组合数式问题.

典例分析
二项展开式 3 赋值求某些项系数的和与差
1? ? 【例1】 ? x 2 ? 3 ? 的展开式中常数项为______;各项系数之和为______. (用数字作答) x ? ?
5

1 【例2】 若 ( x ? )n 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为_______(用数字 x

3

作答) .

【例3】

? 2 ? x ? 展开式中不含 x
8

4

的项的系数和为 C. 210 D. 215

A. ?1

B. 2 9

1? ? 【例4】 若 ? x 2 ? 3 ? 展开式的各项系数之和为 32 ,则 n ? _____,其展开式中的常数项为 x ? ?

n

______. (用数字作答)

【例5】 (1 ? x)6 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ?

? a6 x6 ,则 a0 ? a1 ? a2 ?

? a6 ? ______.

1 ? ? 【例6】 在二项式 ? x ? 4 ? 的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中所有有 2 x? ? 理项.

n

2 ? ? 【例7】 ? x ? 2 ? 的 展 开 式 中 x2 的 系 数 是 ________ ; 其 展 开 式 中 各 项 系 数 之 和 为 x ? ?

5

_______. (用数字作答)

4

【例8】 若 (2x ? 3)4 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 , 则 (a0 ? a2 ? a4 )2 ? (a1 ? a3 )2 的 值 为 _____(用数字作答) .

【例9】 设 5 x ? x A. ?150

?

?

n

的展开式的各项系数之和为 M , 二项式系数之和为 N ,若 ) D.500 B.150 C. ?500

M ? N ? 240 , 则展开式中 x 3 的系数为(

【例10】 若 ( x ? 2) n 展开式的二项式系数之和等于 64 ,则第三项是



1? ? 【例11】 若 ? x ? ? 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为 x? ?

n



1 ? ? 【例12】 在二项式 ? 3 x ? 3 ? 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列. 2 x? ?

n

⑴ 求展开式的第四项;⑵ 求展开式的常数项;⑶ 求展开式的各项系数的和.

5

【例13】 若 2 ? 3x

?

?

100

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ?
2

? a100 x100 ,

求 ? a0 ? a2 ? a4 ?

? a100 ? ? ? a1 ? a3 ? a5 ?

? a99 ? 的值.
2

【例14】 若 (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? 则 a0 ? a1 ?
an ?

? (1 ? x)n ? a0 ? a1 ( x ? 1) ?


an ( x ? 1)n ,

【例15】 若 (2x ? 3)4 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 , 则 (a0 ? a2 ? a4 )2 ? (a1 ? a3 )2 的 值 为

_____(用数字作答) .

【例16】 若 ( x ? 2)5 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 ,

则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? _____.

6

【例17】 已知 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ?

? a7 x7 ,求 | a0 | ? | a1 | ?

? | a7 | .

【例18】 若 ?1 ? 2x ? ? a0 ? a1 ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 ? a6 x6 ? a7 x7 , 求 a0 ? a2 ? a4? a6的
7

值.

【例19】 若 (2x ? 3)4 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 , 则 (a0 ? a2 ? a 4 )2 ? (a1 ? a3 )2 的 值 为

( ) . A. 1

B. ?1

C. 0

D. 2

【例20】 若 (1 ? 2x)100 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1)2 ?

? a100 ( x ? 1)100 ,则 a1 ? a3 ? a5 ?

? a99 ?

) 1 A. (3100 ? 1) 2



B. (3100 ? 1)

1 2

C. (5100 ? 1)

1 2

D. (5100 ? 1)

1 2

【例21】 已知 ?1 ? 2x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ?
7

? a7 x7 ,求:

⑴ a1 ? a2 ? a3 ?

? a7 ;

7

⑵ a1 ? a3 ? a5 ? a7 ; ⑶ a0 ? a2 ? a4 ? a6 .

【例22】 若 2 ? 3x

?

?

100

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ?
2

? a100 x100 ,

求 ? a0 ? a2 ? a4 ?

? a100 ? ? ? a1 ? a3 ? a5 ?

? a99 ? 的值.
2

【例23】 若 ( x ? 2)5 ? a5 x5 ? a4 x4 ? a3 x3 ? a2 x2 ? a1 x ? a0 ,

则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ________. (用数字作答)

【例24】 若 (1 ? x) ? (1 ? x)2 ?

? (1 ? x)n ? a0 ? a1 ( x ? 1) ?

an ( x ? 1)n ,

则 a0 ? a1 ?

an ?



【例25】 若 ?1 ? 2x ?

2009

? a0 ? a1 x ?

? a2009 x2009 ,则

A. 0

B. 2

a a1 a2 的值为( ) ? ? ? 2009 2 22 22009 C. ?1 D. ?2

8

【例26】 已知 ( x ? 1)n ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1)2 ? a3 ( x ? 1)3 ?

? an ( x ? 1)n (n ≥ 2 , n ? N* ) .

⑴ 当 n ? 5 时,求 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 的值; a ⑵ 设 bn ? n2 , Tn ? b2 ? b3 ? b4 ? ? bn . 2 ?3 n(n ? 1)(n ? 1) 试用数学归纳法证明:当 n ≥ 2 时, Tn ? . 3

【例27】 请先阅读:在等式 cos 2x ? 2cos2 x ? 1( x ? R) 的两边求导得 (cos 2 x)? ? (2cos2 x ? 1)? , 由求导法则得 (? sin 2 x) ? 2 ? 4cos x ? (? sin x) ,化简得 sin 2 x ? 2sin x cos x . ⑴ 利 用 上 述 想 法 ( 或 其 他 方 法 ) , 结 合 等 式 1 2 2 n ?1 n ?1 n n ,证明: (1 ? x)n ? C0 ? Cn x ( x?R , 整数 n≥ 2 ) n ? Cn x ? Cn x ? ??? ? Cn x
k ?1 n[(1 ? x) n ?1 ? 1] ? ? kCk ; nx k ?2 k ?0. ⑵ 对于整数 n ≥ 3 ,求证: ? (?1) k kC n k ?1 n n

⑶对于整数 n ≥ 3 ,求证① ? (?1) k k 2 Ck n ? 0 ;② ?
k ?1

n

1 2n ?1 ? 1 Ck ? . n n ?1 k ?0 k ? 1
n

(n ? 1)2n ? 2 . 【例28】 证明: ? k 2 C k n ? n
k ?0

n

9

n 1 2n ? 2 ? n ? 3 Ck 【例29】 证明: ? . n ? (n ? 1)(n ? 2) k ? 0 (k ? 1)(k ? 2)

2 【例30】 求证: C1 n ? 2Cn ?

n ? nCn ? n ? 2n?1

1? ? 【例31】 求 ? x ? ? 的二项展开式. x? ?

5

【例32】 设 f ( x) ? x5 ? 5x4 ? 10x3 ? 10x2 ? 5x ? 1 ,则 f ?1 ( x) 等于(



A. 1 ? 5 x

B. 1 ? 5 x ? 2

C. 1 ? 5 x ? 2

D. 1 ? 5 x

1 1 2 a ? C12 a ? 【例33】 设 a ? 2 ? i ,求 A ? 1 ? C12

12 12 ? C12 a

10

a1 , a2 , a3 , ( a0 ? 0 )满足: ai ?1 ? ai ?1 ? 2ai (i ? 1, 2, 3, ) 【例34】 已知数列 a0 ,

求 证 : 对 于 任 意 正 整 数 0 n 1 n ?1 n ?1 n ?1 n n f ( x) ? a0Cn (1 ? x) ? a1Cn x(1 ? x) ? ? an?1Cn x (1 ? x) ? an Cn x 是一次多项式或零次多项式.

n



【例35】 若 f (m) ? ? m i Cin ,则
i ?0

n

log 2 f (3) 等于( log 2 f (1)

) D. 3

A. 2

B.

1 2

C. 1

11


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