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必修一(8)指数函数对数函数及幂函数


指对函数及幂函数
指对函数及幂函数三个基本函数的考查一直是高考必考重点,对于指对函数考查主要集中在图像性质(如定点、定 义域、运算性质、单调性、复合函数单调性以及比较大小等热点考点) ,对幂函数主要考查五中基本类型的的幂函 数, 另该知识点也常和不等式、 解三角形、 导数、 三角函数等知识点结合在一起考查, 故在高一阶段应该打好基础, 学好三种基本函数的基本性质及其运用. 一、基础知识回顾 (1)含零的指数幂运算: 1 a0 ? 1(a ? 0) ○ 2 0 x ? 1( x ? 0) ○ (2)根式与分数指数幂的转化运算: 1 n a ? (当n,a ? 0) ○ 2 a ○ (3)指数幂的运算性质
m n m? n m n mn 1 a a ? a (a ? 0,m,n ? R) ○ 2 (a ) ? a (a ? 0,m,n ? R) ○ n n n 3 (ab) ? a b (a ? 0,b ? 0,n ? R) ○
?n

?

n ? 1 1 m ( a ? 0) 3 4 a m ? n (a ? 0) a ? m a n (a ? 0,n ? 1) ○ ○ n a am

n

练习 1 求下列函数的定义域: (1) f ( x) ? ( x2 ? 2 x ? 3)0 (2) f ( x) ? 0x
2

?2 x ?3

(3) f ( x) ?

x2 ? 3x ? 4 (4) f ( x) ? ( x2 ? x ? 2) 4

3

练习 2 求下列式子的值: (1) 2 2
3 4 1 4

? 8 ?4 (2) ? 2 7 ? ? ?

7

(3) 2

?2

1

(4) 16 2

二、指数函数 定义:一般形如 y ? a (a ? 0且a ? 1 ,x ? R) 的函数叫做指数函数,其中 x 自变量是, a 是底数
x

?0 ? a ? 1 ? 单调递减? 1) 0,+?),定义域为R ? ? ? 均过定点(0,,值域为( ?a ? 1 ? 单调递增 ? ? 重要性质: ?比较大小的方法:化成同底数或同指数 ? 2x x x ?方程思想:形如ma ? na ? k ? 0解方程可以将设t ? a 将其转化为一元二次方程 f ( x) ? ?复合函数性质综合:a (单调性:“同增异减”)
题型 1:考查图像

?1? 例 1:已知 f ( x) ? ? ? ?2?

x 2 ? 2 x ?3

,求使 f ( x) ? 1 的 x 的取值范围.

解析:此题考查指数函数基本性质,因为 f ( x ) 的图像必过(0,1)且为减函数,故只需解 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 解: x ? 2x ? 3 ? 0 ? x ? ? ?31 , ?
2

练习 1 求下列各式满足条件的 x 的解集: (1) f ( x) ? 22 x ? 1 (2) f ( x) ? 3x?3 ? 9 (3) f ( x) ? 0.5x
2

?2 x?3

?1

题型 2:比较大小

? 1 ?3 ? 1 ?4 ? 2 ?3 例 2:已知 a ? ? ? ,b ? ? ? ,c ? ? ? ,比较 a,b,c 的大小 ?2? ?2? ?3?

2

3

2

?1? 解析:可以发现 a与b 同底且结合 f ( x) ? ? ? 为单调递减,故有 a ? b ,又 a与c 同指数,可以由草图得知 a ? c ?2?
解: b ? a ? c

x

?2? ?3? 练习 1 已知有 m ? ? ? , n ? ? ? ,试在下列条件下比较 m ,n 的大小 ?3? ?4?
(1) a ? b (2) a ? 0,b ? 0 (3) a ? 0,b ? 0 (4) a ? 0,b ? 0 (5) a ? 0,b ? 0

a

b

题型 3:判断单调性求值域 例 3:函数 f ( x) ? 2x 解析: f ( x) ? 2
g ( x)
2

? x?2

,求函数 f ( x ) 在 1 , 2 上的值域.

? ?

,根据复合函数“同增异减”得到 f ( x ) 在区间 1 , 2 上为增函数,故 f ( x) 值域为 ? f (1),f (2)?

? ?

解:由题意 f ( x)min ? f (1) ? 22 ? 4 , f ( x)max ? f (2) ? 25 ? 32 ,故 f ( x ) 在区间 1 , 2 上的值域为 4, 32

? ?

?

?

?1? 练习 1 函数 f ( x) ? ? ? ?2?

x2 ? x ? 2

,求函数 f ( x ) 在 1 , 2 上的最大值.

? ?

练习 2 函数 f ( x) ? 2

x2 ?2 x ?3

,求函数 f ( x ) 在 ? ?2, ?1? 上的最大值.

题型 4:综合方程考查 例 4: 已知关于 x 的方程 f ( x) ? 3 ? ? ?

?1? ?1? ? 2 ? ? ? ? 5 ( x ? 0) ,求 f ( x) 的最值. ? 3? ? 3?
x

2x

x

?1? 2 解析:此类形式可先将方程进行转化,令 t ? ? ? ( 0 ? t ? 1 ) ,原方程转化为 f (t ) ? 3t ? 2t ? 5 ,由于已知 t 的 3 ? ?

取值范围,故进一步可求 f ( x ) 的最值. 解:令 t ? ? ? ( 0 ? t ? 1 ) ,原方程转化为 f (t ) ? 3t 2 ? 2t ? 5 当t ?

?1? ?3?

x

1 14 ,即 x ? 1 时,方程 f ( x ) 取得最小值, f (1) ? ; 3 3

当 t ? 1 ,即 x ? 0 时,方程 f ( x ) 取得最大值, f (0) ? 6 . 练习 1 已知关于 x 的方程 f ( x) ? 4x ? 2x?1 ? 8 ( x ? 0) ,求 f ( x ) 的最值

三、对数函数 定义:一般若有 a ? N (a ? 0,a ? 1) ,则 x 叫做以为 a 底 N 的对数,记作 x ? log a N ,其中称 a 为底, N 为真
x

数.

?0 ? a ? 1 ? 单调递减? 0) R,定义域为(0,+?) ? ? ? 均过定点(1,,值域为 ?a ? 1 ? 单调递增 ? ?自然对数:以无理数e=2.71828? 为底的对数,将 log N 记作 ln N e ? ?常用对数:以10为底的对数,将 log10 N记作 lg N ? 重要性质: ?常用性质: log a 1 ? 0, log a a ? 1( a ? 0且a ? 1) ? M ? 运算性质: log ( MN ) ? log M ? log N ;log ? log a M ? log a N ;log a M b ? b log a M a a a a ? N ? log a N ?恒等式:a loga N ? N ; 换底公式: log M N ? ? log a M ?
题型 1:考查对数函数定义域 例 1 已知函数 f ( x) ? log2 ( x2 ? 3x ? 4) ,求函数的定义域 解析:此题复合函数考查定有类型, u( x) ? x ? 3x ? 4 ? 0 解集即为函数 f ( x ) 的定义域
2

解:令 u( x) ? x ? 3x ? 4 ? 0 解得 x ? ?4?或x ? 1 ,故 f ( x ) 的定义域为 ? ??, ? 4? ? (1 , ? ?)
2

练习 1 已知函数 f ( x) ? log2 ( x2 ? 3x ? 4) ,求函数的定义域.

练习 2 已知函数 f ( x) ? lg(? x ? 2 x ? 3) ,求 f (2 x) ? f ( x ? 1) 的定义域.
2

题型 2:考查单调区间且求最值 例 2 求函数 f ( x) ? ln(3x ? 5) 的单调区间

解析:由题可求出函数 f ( x ) 的定义域为 ? ? , ? ? ? ,令 t ? 3x ? 5 ? t ? 0? 在 ? ? , ? ? ? 上为增函数,且 f (t ) ? ln t 在 ? 0, “同增异减” ,故 f ( x ) 在 ? ? , ? ?? 上为增函数, ? ? ? 上单调递增

? 5 ? 3

? ?

? 5 ? 3

? ?

? 5 ? 3

? ?

解: f ( x ) 的单调增区间为 ? ? , ? ? ?. 练习 1 求函数 f ( x) ? log3 ( x2 ? x ? 6) 的单调减区间

? 5 ? 3

? ?

题型 3:考查对数运算 例 3 求 lg 25 ? lg 4 的值 解析:可以发现直接求值是行不通的,可以将原式运用对数运算性质进行化简 解: lg 25 ? lg 4 ? lg(25 ? 4) ? lg100 ? 2 练习 1 计算下列各式的值 (1) log2 24 ? log2 3 (2) log8 16 ? log16 8 (3) log4 9 ? 2log 4 3

题型 4:考查奇偶性 例 4 已知函数 f ( x) ? log a

1? x (a ? 1) ,试判断函数 f ? x ? 奇偶性 1? x

解析:判断函数的奇偶性首先要判断定义域是否关于原点对称,再运用其奇偶性判断方法构造 f ? ? x ? ,比较

f ? x ? 与f ? ?x ? 的关系
解: 由

1? x ? 0 得 ?1 ? x ? 1 (关于原点对称) 1? x
?1

1? x 1? x ? 1? x ? 又 f (? x) ? log a ? log a ? ? ? f ? x? ? ? ? log a 1? x 1? x ? 1? x ?
所以 f ? x ? 是奇函数 练习 1 已知函数 f ( x) ? log 1
2

x?2 ,试判断函数 f ? x ? 的奇偶性,若 f ( x) ? log 1 3a 恒成立,求实数 a 的值 x?2 2

题型 5:比较大小

?1? ?1? b, c , d 均为非负数, 例 5: 设 a, 且有 ? ? ? log 2 a, 试比较 a,b,c,d 2b ? log 1 b, 2d ? log 2 d , ? ? ? log 1 c, 2 2 ? ? ? ? 2 2
的大小

a

c

四、幂函数 定义:一般形如 y ? xa (a ? R) 的函数称为幂函数, x 为自变量, a 为常数

1、指数为常数; 2、底数为自变量; 3、幂系数为1 ?判断: ? ?比较大小:与指数函数一样化为同底或同指数 重要性质: ? 奇偶性:当a为奇数时,幂函数奇函数;当a为偶函数时,幂函数为偶函数 ? 1 1 ? 2 3 ?1 ?2 3 2 ?单调性:熟记y ? x,y ? x ,y ? x ,y ? x ,y ? x ,y ? x ,y ? x 图像
题型:幂函数判断 例 1 若 (m ? 3) x m?2 ? n ? 3 是幂函数,求 m ? n 的值
2 1

解析:因为 (m ? 4) x
2

1 m?2

? n ? 3 为幂函数,则必须符合幂函数的几个判断条件,由判断条件解出 m,n 的值,则可

以求出 m ? n 的值

?m2 ? 3 ? 1 ?m ? ?2 ? 解:由题意 ?m ? 2 ? 0 ? ? ? m? n ?1 ?n ? 3 ?n ? 3 ? 0 ?
练习 1 判断下列函数是否为幂函数: (1) y ? x
2

(2) y ? 3? x (5) y ? x (8) y ? x
1 1 2

3

(3) y ? x

?2

(4) y ? x ? 1 (7) y ? 2
x

(6) y ? 3

x ?1

(9) y ? 2

x 3

练习 2 若 f ( x) ? (m ? 2) x 3? m 为幂函数,求 f (4) 的值.

题型 2:性质结合图像综合运用 规律:对于 y ? x ( a ? R )
a

由图像先判断 a 的正负,图像过原点且在第一象限为增函数则 a ? 0 ,若图像不过原点且在第一象限为减函数则

a ? 0 ;其次判断奇偶性,若图像关于 y 轴对称,则 a 为偶数且幂函数为偶数,若图像关于原点对称,则 a 为奇数
且幂函数为奇函数; 当 a ? 1 时, 图像曲线在第一象限下凹, 当 0 ? a ? 1 时, 图像曲线在第一象限上凸, 当 a ? 0 时, 图像曲线在第一象限下凹.

经典巩固练习
2. (2006 福建) 已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数, 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则 ( ) A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a D. c ? a ? b )

6 5

3 2

5 2

3. (2006 湖北)设 f ( x) ? lg

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为( 2? x 2 x

0) ? (0, 4) A.(-4, B.(-4,-1) ? (1,4)
4. (2006 湖南)函数 y ?

C. (-2,-1) ? (1,2) D. (-4,-2) ? (2,4) )

log2 x 的定义域是(

A.(0,1] B. (0,+∞)

C. (1,+∞) D. [1,+∞) )

5. (2006 湖南)函数 y ? log 2 x ? 2 的定义域是( A.(3,+∞) B.[3, +∞) C.(4,, +∞) D.[4,+∞)

7. (2006 天津)设 P ? log 2 3 , Q ? log3 2 , R ? log 2 (log3 2) ,则( A. R ? Q ? P B. P ? R ? Q C. Q ? R ? P )

) D. R ? P ? Q

8. (2006 浙江)已知 log 1 m ? log 1 n ? 0 ,则(
2 2

A. n<m < 1

B.m<n< 1

C.1< m<n )

D.1 <n<m

10. (2006 全国)若 a ? ln 2 , b ? ln 3 , c ? ln 5 ,则( 2 3 5 A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c

11. (2005 上海)若函数

f ( x) ?

1 ,则该函数在 ? ??, ??? 上是( 2x ?1



A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值 12. (2005 北京)函数 y ? log2 x 的图象是( )

y

y

y

y

O

1 A

x

O

1 B

x

O

1 C

x

O

1 D

x

13. (2005)函数 f ( x) ?

1 的定义域为( log 2 (? x ? 4 x ? 3)
2



A. (1,2)∪(2,3)B. (??,1) ? (3,??) C. (1,3)D.[1,3]

16. (2009 北京)为了得到函数 y ? lg

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有的点( 10



A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 18. (2009 全国)设 a ? lg e,b ? (lg e)2,c ? lg e 则( A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b D. c ? b ? a ) )

19. (2010 广东)若函数 f ( x) ? 3x ? 3? x 与 g ( x) ? 3x ? 3? x 的定义域均为 R,则( A.f(x)与 g(x)均为偶函数 B. f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 22. (2005 湖北)函数 f ( x) ? D. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数

x?2 lg 4 ? x 的定义域是. x ?3

1 ? 1 27. (2011 四川)计算 (lg ? lg 25) ? 100 2 = . 4

28. (2011 江苏)函数 f ( x) ? log5 (2 x ? 1) 的单调增区间是__________. 29. (2011 陕西)设 f ( x) ? ?

?lg x,x ? 0 则 f ( f (?2)) =______. x ?10 ,x ? 0



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