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高中数学人教A版选修1-1课时作业:3.3.1 函数的单调性与导数(1)


课时作业 26 一、选择题 1.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( A. sinx C. x3-x ) B. xex D. lnx-x 解析:y=xex,则 y′=ex+xex=ex(1+x)在(0,+∞)上恒大于 0. 答案:B 2.若函数 y=f(x)的导函数 在区间[a,b]上是增函数,则函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图 ... 象可能是( ) 解析:∵y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 f(x)图象上的点的切线斜率 是递增的. 答案:A 3.已知 f(x)=2cos2x+1,x∈(0,π),则 f(x)的单调递增区间是( A.(π,2π) π C.( ,π) 2 解析:∵f(x)=2cos2x+1=2+cos2x,x∈(0,π), ∴f′(x)=-2sin2x. 令 f′(x)>0,则 sin2x<0. 又 x∈(0,π),∴0<2x<2π. π ∴π<2x<2π,即 <x<π. 2 B.(0,π) π D.(0, ) 2 ) 答案:C 4. 设函数 f(x)在定义域内可导, y=f(x)的图象如图所示, 则导函数 y=f′(x)可能为( ) 解析:由函数的图象知:当 x<0 时,函数单调递增,导数始终为正;当 x>0 时,函数先 增后减再增,导数先正后负再正,对照选项,应选 D. 答案:D 二、填空题 5.函数 f(x)=x3+x2-5x-5 的单调递增区间是_____. 5 解析:令 y′=3x2+2x-5>0,得 x<- 或 x>1. 3 5 答案:(-∞,- ),(1,+∞) 3 1 6.函数 y= x2-lnx 的单调递减区间为________. 2 1 1 ?x-1??x+1? 解析:函数 y= x2-lnx 的定义域为(0,+∞),y′=x- = ,令 y′≤0, 2 x x 1 则可得函数 y= x2-lnx 的单调递减区间是 0<x≤1. 2 答案:(0,1] 1 7.设函数 f(x)=x(ex-1)- x2,则 f(x)的单调递增区间是 ________,单调递减区间是 2 ________. 解析:f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0; 当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增, 在(-1,0)上单调递减. 答案:(-∞,-1)和(0,+∞) (-1,0) 三、解答题 8.证明:函数 f(x)=lnx+x 在其定义域内为单调递增函数. 证明:函数的定义域为{x|x>0}, 1 又 f′(x)=(lnx+x)′= +1, x 当 x>0 时,f′(x)>1>0, 故 y=lnx+x 在其定义域内为单调递增函数. lnx 9.判断函数 f(x)= -1 在(0,e)及(e,+∞)上的单调性. x 1 · x-lnx x 1-lnx 解:f′(x)= = 2 . 2 x x 当 x∈(0,e)时,lnx<lne=1,1-lnx>0,x2>0, ∴f′(x)>0,f(x)为增函数. 当 x∈(e,+∞)时,lnx>lne=1,1-lnx<0,x2>0, ∴f′(x)<0,f(x)为减函数.


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