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高中数学总复习教案01:集合、逻辑、推理与证明


发掘个性特征,学习步步高升!

弘宇教育个性化辅导授课
教师: 课 题 考点分析 重点难点 授课内容:第一单元
本章知识结构

学生

时间:2014 月



段第 次课

高中数学总复习教学案

第一单元 集合与逻辑

推理与证明

集合与逻辑 推理与证明

? ?确定性 ? ? 概念 ? 元素性质 ? ?互异性 ? ?无序性 ? ? ? ? ?列举法 ? ? 表示方法 ?? ? ?描述法 ? ?图示法 ? ? ? ? 集合 ? ? ?属于关系 关系 ?? ? ? ? ?包含关系 ? ? ? 命题及其关系? ? ? ? 充要条件 ? ? ?交集 ? 且 ? ? ? ? ?运算 ?? ? ?并集 ? 或 ? ?? ? 逻辑联结词 ? ? 常用逻辑用语 ? ?补集 ? 非 ? ? 存在量词与 ? ? ? ? ? ? ? 全称量词 ? ? ? ?

? ? ?归纳推理 ? ?合情推理 ? ? ?类比推理 ?推理 ? ? ? ? 演绎推理 ? ? 推理与证明 ? ? ? ?综合法 ? ? 证明 ? ?直接证明 ? ?分析法 ? ? ? ? ? ? 间接证明 ? 反证法 ?

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发掘个性特征,学习步步高升! 本章重点难点聚焦 重点: (1)与集合有关的基本概念和集合的“并” 、 “交” 、 “补”运算。 (2)全称量词、全称命题、存在量词、特称命题等概念及应用。 (3)充分、必要、充要条件的意义,两个命题充要条件的判断。 (4)合情推理与演绎推理的概念和应用。 (5)直接证明与间接证明的基本方法。 难点: (1)有关集合的各个概念的含义以及这些概念之间的联系。 (2)含有一个量词的命题的否定。 (3)判断充要条件时,区分命题条件和结论。 (4)运用合情推理与演绎推理解决问题。 (5)反证法的证明。 本章学习中注意的问题: (1)在解答有关集合问题时,首先弄清代表元素,明确元素特点;当集合元素含有参数时,注意元素互异性; 在集合运算中注意边界点、临界点及空集可能性。 (2)注意全称命题,特称命题的否定。 (3)研究充分条件,必要条件,充要条件时注意联系命题,注意原命题与逆否命题的等价性。 (4)注意数形结合,分类讨论,等价转化等思想方法的运用。 本章高考分析及预测 (1)近几年来,每年都有考查集合的题目,总体来说这部分试题有如下特点: 一是基本题,难度不大;二是大都以选择题、填空题形式出现,有时是解答题的一个步骤。 对于集合的考查:一是考查对基本概念的认识和理解,二是对集合知识的应用。无论哪一种形式,都以其他基础 知识为载体,如方程(组) 、不等式(组)的解集等。 (2) 对于逻辑的考查主要考查四种形式的命题和充要条件, 特别是充要条件, 已经在许多省市的试卷中单独出现, 命题形式:一是原命题与逆否命题的等价性(含最简单的反证法);二是充要条件的判定。在考查基础知识的同时, 还考查命题转换、推理能力和分析问题的能力以及一些数学思想方法的考查。 (3)推理在高考中虽然很少刻意去考查,但实际上对推理的考查无处不在,从近几年的高考题来看,大部分题目 主要考查命题转换、逻辑分析和推理能力,证明是高考中常考的题型之一,对于反证法很少单独命题,但是运用反证 法分析问题、进行证题思路的判断经常用到,有独到之处。 (4)预计在 2009 年的高考中,集合部分的试题还将以选择题或填空题的形式出现,主要考查集合语言与集合思 想的运用,考查以集合为背景的应用性、开放性问题,命题将构思巧妙、独特新颖、解法灵活;而对于命题的考查与 其它知识相结合,因此基本概念和技能一定要落实好。

§1.1 集合 集合间的基本关系 新课标要求 1、了解集合的含义,元素与集合的“属于关系” 。 2、能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。 3、理解集合之间的包含和相等的含义,能识别给定集合的子集。 4、在具体情景下,了解全集与空集的含义。 重点难点聚焦 重点: (1)集合的概念与表示。 (2)集合之间的基本关系。 难点: (1)集合元素的性质:确定性、互异性、无序性。 (2)元素与集合、集合与集合之间的关系以及符号 ? 、 ?的应用。 (3)空集的特殊性。 高考分析及预测 欣 赏 您 的 孩 子,其 实 天 才 就 在 你 身 边!
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发掘个性特征,学习步步高升! 集合是数学中最基本的概念之一, 集合语言是现代数学的基本语言, 因此集合的概念以及集合之间的关系是历年 高考的必考内容之一,本部分的考查一般有两种形式:一是考查集合的相关概念,集合之间的关系,题型以选择题、 填空题为主; 二是考查集合语言、 集合思想的理解与应用, 这多与其他知识融为一体, 题型也是一般以选择填空为主, 单纯的集合问题以解答题形式出出现的几率较小,多是与函数、不等式等联系。在复习中还要特别注意,新课标的中 特别强调表达与描述同一问题的三种语言“自然语言、图形语言、集合语言”之间的关系,因此要注意利用韦恩图数 轴函数图象相结合的作用,另外集合新定义信息题在近几年的命题中时有出现,注意研究。2009 年是新课标命题第 三年,预测在高考中部分会继续保持稳定难度不会太大,命题形式会更加灵活新颖。 提组设计 再现型题组 1、填空 (1)下列说法中①全中国的大胖子,②小于 100 的所有质数,③幸福中学高三 1 班同学,④2008 年北京奥运会 的所有比赛项目, 以上四个说法不能组成集合的是 (2)集合 A= k ? k , 2k ,则实数 k 的取值范围是
2

?

?

2、选择 (1)设全集 U=R,集合 M= ?x ? x ? ?1 ,N= x ? x ? 1 则下列关系中正确的是( A、M=N B、 N ? M C、 M ? N D、 N ? CU M ? ?

?

?

?



(2)给出如下关系式① a ? a, b? , ② a ? a, b? ,③ ?? a? ④ ? ? a? ⑤ a? ? {a, b} ⑥{a} ? {a},其中正确 的是( ) A、①②④⑤ 巩固型题组 B、②③④⑤ C、②④⑤ D、②④⑤⑥

?

?

?

?

?

3.2008 年第 29 届奥运会在北京召开,现在三个实数的集合,既可以表示为 {a, 则a
2008

b ,1} ,也可以表示为 {a2 , a ? b,0} , a

? b2008 ?



4.已知集合

1 b 1 c 1 A ? {x ? x ? a ? , a ? Z }, B ? {x ? x ? ? , b ? Z }, C ? {x ? x ? ? , c ? Z } ,则 A,B,C 之间的关系是 6 2 3 2 6
A. A ? B ? C B. A ? B ? C C. A ? B ? C D. A ? B ? C



5.设 P,Q 为两个非空集合,定义集合 P ? Q ? {a ? b ? a ? P, b ? Q} ,若 P ? {0, 2,5}, Q ? {1, 2, 6}, 则 P ? Q 中元素的 个数是 A. 9 。 C. 7

B. 8

D. 6

6.记函数 f ( x) ?

2?

x?3 的定义域为 A, g ( x) ? lg ?( x ? a ?1)(2a ? x)? (a ? 1) 的定义域为 B. x ?1

(1)求 A. (2)若 A B ? A ,求实数 a 的取值范围.

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发掘个性特征,学习步步高升! 提高型题组 7.已知 x2 ?{1,0, x} ,求实数 x.

8.已知集合 A ? {x ? x2 ? 3x ?1 ? 0} 。 (1)若 B ? A, B ? {x ? m ? 1 ? x ? 2m ? 1}, 求实数 m 的取值范围. (2).若 A ? B, B ? {x ? m ? 6 ? x ? 2m ? 1}, 求实数 m 的取值范围. (3)若 A ? B, B ? {x ? m ? 6 ? x ? 2m ? 1}, 求实数 m 的取值范围.

反馈型题组 9.(08 年江西)定义集合运算

A * B ? {Z ? Z ? xy, x ? A, y ? B}, 设A ? {1, 2}, B ? {0, 2} ,则集合 A * B 的所有元素之和为(
A . 0 B.2 C. 3 D. 6 )

) 。

10.设集合 M ? {x ? x ?

k 1 k 1 ? , k ? Z }, N ? {x ? x ? ? k ? Z } ,则正确的是( 2 4 4 2

A.M ? N B.M ? N C.M ? N D.M N ??
? ? x ? ? 0? ,B= ?x ? 0 ? x ? 3? ,那么“ m ? A ”是“ m ? B ”的 x ?1 ?

11.(08 福建)设集合 A= ? x ? A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2 12.已知集合 A= x ? ax ? 4 x ? 4 ? 0, a ? R 只有一个元素,则 a=

?

?

13.已知集合 A ? ?x ? 0 ? ax ?1 ? 5? ,集合 B ? ? x ? ? (1)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围; (2)若 B ? A ,求实数 a 的取值范围;

? ?

1 ? ? x ? 2? 。 2 ?

(3)A、B 能否相等?若能,求出 a 的值;若不能,试说明理由。

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发掘个性特征,学习步步高升! 14.设 A 为实数集,满足 a ? A ?

1 ? A ,1? A , 1? a

(1)若 2 ? A ,求 A; (2)A 能否为单元素集?若能把它求出来,若不能,说明理由; (3)求证:若 a ? A ,则 1 ?

1 ?A a

15.已知集合 A ? ? x ?? x? ? ?

? ?

?

??

3

? ,集合 2?

1 3 ? ? B ? ? y ? y ? ? cos 2 x ? 2a sin x ? , x ? A? , 2 2 ? ?
其中

?
6

? a ? ? ,设全集 I=R,欲使 B ? A ,求实数 a 的取值范围。

§1.2 集合的运算 新课标要求 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。 (2)理解在给定集合中的一个子集的补集的含义。会求给定子集的补集。 (3)能使用韦恩图表达集合的关系及运算。 重点难点聚焦 并集、交集、补集的含义,以及两个集合之间并、交、补的运算 高考分析及对策 (1)以考查集合的并、交、补等运算为主,同时注重韦恩,数轴应用,求并、交、补等数形结合的思想的考查。 (2)本节在高考中常以选择、填空题型考查,属容易题。 题组设计 再现型题组
2 2 1.已知集合 M= x ? x ? 3 x ? 28 ? 0 , N ? x ? x ? x ? 6 ? 0 则 M

?

?

?

?

N为

A C

?x ? ?4 ? x ? ?2或3 ? x ? 7? ?x ? x ? ?2或x ? 3?

B D

?x ? ?4 ? x ? ?2或3 ? x ? 7? ?x ? x ? ?2或x ? 3?

2 2 已知集合 A ? ?x ? x ?1 ? 0? , B ? x ? ?x ? 2 ? X ? 0 ,R 是全集。

?

?

① A

B ? B ② A B ? A ③ ? CR A

?

B ? R ④ ? CR A

? ?C B ? ? R
R

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发掘个性特征,学习步步高升! 其中成立的是( ) A ①② B ③④ C ①②③ 巩固形题组 D ①②③④

3.设函数 f ( x) ? log 2 (2 x ? 3) 的定义域 M,函数 g ( x) ? ( x ? 3)( x ?1) 的定义域为 N,求 (1)集合 M,N (2)集合 M N , M

N

2 4.(08 湛江模拟)已知集合 M ? x ? y ? lg(4 ? x ), y ? R ,N 为自然数集合,求 M

?

?

N

? ? ? , B ? x ? x 2 ? 5 x ? 4 ? 0 ,若 A 5.(07 北京)已知集合 A ? x ??x ? a?
,求 a 的取值范围

?

?

?

?

B??

提高型题租 6.(08 广东清远)记函数 f ( x) ?

2?

x?3 的定义域为 A, x ?1

g ( x) ? lg( x ? a ? 1)(2a ? x) ,(a<1)的定义域为 B
(1)求 A (2)若 A

B ? A ,求实数 a 的取值范围

2 2 7.已知 A ? y ? y ? x ? 2mx ? 4, x ? R , B ? ? x ? log3 x ? log 1 x ? 0? 且 A

?

?

? ?

? ?

B ? ? 求实数 m 的取值范围

3

2 2 8.设全集是实数集 R, A ? x ? 2 x ? 7 x ? 3 ? 0 , B ? x ? x ? a ? 0 。

?

?

?

?

(1)当 a=-4 时,求 A

B和A B
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发掘个性特征,学习步步高升! (2)若 (CR A)

B ? B ,求实数 a 的取值范围

反馈型题组
2 9.设全集 U 是实数集 R, M ? x ? x ? 4 , N ? ?x ??? x ? 3? ,则图中阴影部分所表示的集合是(

?

?



U

N M

A.

?x ? ?? ? x ? 1?

B. ?x ? ?? ? x ? 2?

C.

?x ??? x ? 2?
3? 4?

D. ?x ? x ? 2?

10.(08 广东兴宁模拟)设数集 M ? ? x ? m ? x ? m ? ? , N ? ? x ? n ? 集,如果把 b-a 叫做集合 ?x ? a ? x ? b? 的“长度” ,那么集合 M A.

? ?

? ?

1 ? ? x ? n ? ,M、N 都是集合 ?x ? ? ? x ? 1? 的子 3 ?

N 的“长度”的最小值是

1 3

B.

2 3

C.

1 12

D.

5 12

11.定义集合 A*B= ?Z ? Z ? xy( x ? y), x ? A, y ? B? ,设 A ? ?1,2? , B ? ?3,4? 则集合 A*B 所有元素之和为 12.高三某班共有 45 人,摸底测验数学 20 人得优,语文 15 人得优,两门都不得优 20 人,则两门都得优的人数
2 2 2 13.已知集合 A ? y ? y ? (a ? a ? 1) y ? a (a ? 1) ? 0 ,

?

?

1 5 ? ? B ? ? y ? y ? x 2 ? x ? , 0 ? x ? 3? 2 2 ? ?
(1)若 A

B ? ? ,求实数 a 的取值范围
2

(2)当 a 取使不等式 x ? 1 ? ax 恒成立的最小值时,求 (CR A)

B

§1.3 命题、基本逻辑连接词与量词 新课标要求: 1.了解命题及逆命题、否命题与逆否命题 2.了解逻辑连结词“或” “且” “非”的含义。 3.理解全程量词与存在量词的意义。 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定。 5.学会运用等价转化思想进行推理。 重点难点聚焦: 欣 赏 您 的 孩 子,其 实 天 才 就 在 你 身 边!
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发掘个性特征,学习步步高升! 本节内容的重点是有关命题的概念及四种命题间的相互关系; 逻辑联结词的含义及命题真假的判定; 全称量词与存在 量词的有关概念。 本节内容的难点:是对含有一个量词的命题的否定,含有逻辑联结词的命题的真假的判断,以上是重点突破的内容。 高考分析及预测: 1.考查命题转化,逻辑推理能力和分析问题,解决问题的能力。多以选择题、填空题的形式出现。 2.全称量词与存在量词作为新增内容,很有可能在选择题,填空中出现。 题组设计 再现型题组: 1. 分别指出由下列命题构成的“ p ? q ” , “ p ?q” “ ? p ”形式的命题的真假。 (1)p: 4 ??2? , q: 2 ??2,3?

(2)p:1 是奇数,q:1 是质数 (3)p: 0 ?? (4)p: 5 ? 5
2

q:

?x ? x

2

? 3x ? 5 ? 0? ? R

q:27 不是质数

(5)p:不等式 x ? 2 x ? 8 ? 0 的解集是 ?x ? ?4 ? x ? 2? q:不等式 x ? 2 x ? 8 ? 0 的解集是 x ? x ? ?4或x ? 2
2

?

?

2. 写出下列命题的否定,并判断命题的否定的真假,指出命题的否定属于全称命题还是特称命题: (1) 所有的有理数是实数。 (2) 有的三角形是直角三角形 (3) 每个二次函数的图像都与 Y 轴相交 (4) ?x ? R, x2 ? 2 x ? 0 巩固型题组 3. 如果命题“ p ? q ”是真命题,命题“ p ? q ”是假命题,那么() (A)命题 p 和命题 q 都是假命题 (B) 命题 p 和命题 q 都是真命题 (C) 命题 p 和命题非 q 真值不同 (D) 命题 p 和命题非 q 真值相同
2 4.已知 a ? 0 ,设命题 p:函数 y ? a x 在 R 上单调递增;命题 q:不等式 ax ? ax ? 1 ? 0 对 ?x ? R 恒成立,若 p 且 q

为假,p 或 q 为真,求 a 的取值范围。

提高型题组
2 5 设 P:关于 x 的不等式 a ? 1 的解集是 ?x ? x ? 0? ,Q:函数 y ? lg(ax ? x ? a) 的定义域为 R,如果 P 和 Q 有且仅有一
x

个正确,求 a 的取值范围.

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发掘个性特征,学习步步高升! 6(2007 年江苏统考)下列命题中不正确的是() A. ?a, b ? R, an ? an ? b ,有 ?an ? 是等差数列 B. ?a, b ? R, an ? an2 ? bn ,使 ?an ? 是等差数列 C. ?a, b ? R, Sn ? an2 ? bn ? c ,有 ?an ? 是等差数列 D. ?a, b, c ? R, Sn ? an2 ? bn ? c ,使 ?an ? 是等差数列 反馈型题组: 7. 已知命题 p: ?x ? R , sin x ? 1 则( ) A. C.
?

p:

?x ? R,sin x ? 1

B. D.

?

p : ?x ? R,sin x ? 1 p : ?x ? R,sin x ? 1

?

p : ?x ? R,sin x ? 1
2

?

8. 命题“存在 x ? Z ,使 x ? 2 x ? m ? 0 ”的否命题是() A.存在 x ? Z ,使 x ? 2 x ? m >0
2

B. 不存在 x ? Z ,使 x ? 2 x ? m >0
2

C.对于任意 x ? Z 都有 x ? 2 x ? m ? 0
2

D. 对于任意 x ? Z 都有 x ? 2 x ? m >0
2

9. 命题“若 ab=0,则 a=0 或 b=0”的逆否命题是() A.若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 B. 若 a ? 0 或 b ? 0 ,则 ab ? 0 C. 若 ab ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 D. 若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 ab ? 0 10. 命题 p:不等式?

x x ?? 的解集为 ?x ? ? ? x ? 1 ? ,命题 q:“A=B”是“sinA=sinB”成立的必要非充分条件, x ?1 x ?1

则( ) A.p 真 q 假 B.“p 且 q”为真 C. “p 或 q”为假 D.p 假 q 真 a ? M b ? M 11. 与命题 “若 ,则 ”等价的命题是() A. 若 a ? M ,则 b ? M B. 若 b ? M ,则 a ? M C 若a?M 则b?M D. 若 b ? M 则 a ? M 12. 如果命题“ (p或q) ”为假命题,则( ) A.p、q.均为真命题 B. p、q.均为假题 C..p、q.中至少有一个为真命题 D .p、q.中至多有一个为真命题 13. 已知命题 p: ? x2 ? x ? ? ? ,q: x ? Z ,且 “p 且 q”与“非 p”同时为假命题,求 x 的值。 欣 赏 您 的 孩 子,其 实 天 才 就 在 你 身 边!
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?

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§1.4 充分条件,必要条件与四种命题 新课标要求 1.本节涉及到的主要基础知识 (1)了解命题及其逆命题,否命题,逆否命题 (2)理解充分条件,必要条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系 2.常用的数学思想方法 演绎法,特例法,转化思想法 3.主要能力 运算能力和逻辑思维能力 重点难点聚焦 本节重点难点是四种命题的等价转化和充分条件,必要条件,充要条件的判断 高考分析和预测 近几年的高考命题中,命题成立的充分,必要及充要条件的求解和判断问题;四种命题的关系已成为高考命题 的首选素材。一方面这类问题具有很深广的开放性,另一方面命题的空间广阔,可与多个知识点进行交汇,命题素材 随处可见。 题组设计 再现型题组 1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假。 (1)若 q ? 1 ,则方程 x2 ? 2x ? q ? 0 有实根; (2)若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ; (3)若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x , y 全为零

2.在下列各题中,判断 A 是 B 的什么条件,并说明理由
2 (1)A: p ? 2, p ? R; B : 方程 x ? px ? p ? 3 ? 0 有实根;
2 2 2 2 2 2 2 (2)A:圆 x ? y ? r 与直线 ax ? by ? c ? 0 相切,B: c ? a ? b r

?

?

巩固型题组 3.已知 p : 1 ?

x ?1 ? 2, q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0 ? m ? 0 ? ,且 ? p 是 ? q 的必要而不充分条件,求实数 m 的取值范围。 2

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4.下列命题: (1) “若 xy=0 则 x,y 中至少有一个为零”的否命题(2)
2 面积不相等的三角形不全等, (3) “若 m ? 1 ,则 x ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题, (4) k ? 0 是方程 y ? kx ? b

表示直线的充分不必要条件,其中真命题有

提高型题组 5.分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,命题的否定,并判断它们的真假: (1)若 q ? 1 ,则方程 x2 ? 2x ? q ? 0 有实根; (2)若 x , y 都是奇数,则 x ? y 是偶数; (3)若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ; (4)若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x , y 全为 0.

6.已知抛物线 C: y ? ? x 2 ? mx ? 1和点 A(3,0) ,B(0,3).求证:抛物线 C 与线段 AB 有两个不同的交点的充要条件 是3 ? m ?

10 3

反馈型题组
2 7(2007 重庆)命题“若 x ? 1 ,则 ?1 ? x ? 1 ”的逆否命题是( )

A.若 x ? 1 ,则 x ? 1 ,或 x ? ?1
2

2 B.若 ?1 ? x ? 1 ,则 x ? 1

C.若 x ? 1 ,或 x ? ?1 ,则 x ? 1
2

D.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x ? 1
2

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发掘个性特征,学习步步高升! 8.(2007 北京)平面 ? / / ? 的一个充分条件是( ) A.存在一条直线 a , a / /? , a / / ? B. 存在一条直线 a , a ? ? , a / / ? C.存在两条平行直线 a, b, a ? ? , b ? ? , a / / ? , b / /? D.存在两条异面直线 a, b, a ? ? , b ? ? , a / / ? , b / /? 9.(2007 天津) “ a ? 2 ”是“直线 ax ? 2 y ? 0 平行于直线 x ? y ? 1 ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 10.(2007 湖北)已知 p 是 r 的充分不必要条件, q 是 r 的充分条件, s 是 r 的必要条件, q 是 s 的必要条件,现有下列 命题: ( ) (1) s 是 q 的充要条件(2) p 是 q 的充分不必要条件(3) r 是 q 的必要不充分条件(4) ? p 是 ?s 的必要不充分 条件(5) r 是 s 的充分不必要条件 A.(1) (4) (5) B.(1) (2 ) (4) C.(2) (3) (5) D.(2) (4) (5) 11.已知条件 p: A= x ? 2a ? x ? a ? 1 条件,
2

?

?

q : B ? x x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2(3a ? 1) ? 0

?

?

若条件 p 是条件 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围

§1.5 合情推理与演绎推理 新课标要求 1、 了解合情推理的含义,利用归纳与类比等进行简单的推理。 2、 了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能进行简单的推理。 重难点聚焦 重点:归纳推理与类比推理的一般步骤,演绎推理的“三段论”模式。 难点:合情推理的猜想与演绎推理的证明。 高考分析及预测: 推理是高考的重要的内容,推理包括合情推理与演绎推理,由于解答高考题的过程就是推理的过程,因此本部 分内容的考察将会渗透到每一个高考题中,考察推理的基本思想和方法,既可能在选择题中和填空题中出现,也可能 在解答题中出现。 题组设计 再现型题组 1.根据右边给出的数塔猜测 123456 ? 9+7=( ) 欣 赏 您 的 孩 子,其 实 天 才 就 在 你 身 边!
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发掘个性特征,学习步步高升! A .1111110 1 ? 9+2=11 B. 1111111 12 ? 9+3=111 C. 1111112 123 ? 9+4=1111 D. 1111113 1234 ? 9+5=11111 2.下列那个平面图形与空间中平行六面体作为类比对象比较合适。 ( ) A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形 3.演绎推理是以( )为前提,推出某个特殊情况下的结论的推理方法。 A.一般性的原理 B.特定的命题 C.一般性的真命题 D.定理、公式 巩固型题组 4. 设 {an} 是 集 合

?2 ? 2
t

s

? 0 ? s ? t , 且s、t ? Z

?

中 的 所 有 数 从 小 到 大 排 成 的 数 列 , 即

a1 ? 3, a2 ? 5, a3 ? 6, a4 ? 9, a5 ? 10, a6 ? 12
3

,将各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下三角形数列表:

5 6 9 10 12 — — — — (1)写出这个三角形数表的第四、第五行各数; (2)求 a100 5.请用类比推理完成下表: 平面 三角形两边之和大于第三边 三角形的面积等于任意一边的长度与这边上 高的乘积的一半 三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周 长的乘积的一半 6.已知函数 f(x)=x +x-1, ? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根( ?? ? ? ) ,f ?? (x)是 f(x)的导数。设 a1=1,an+1=an2

空间 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面 的面积 三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该 底面上的高的乘积的三分之一

f (an ) (n ? 1, 2, ) . f ?(an )
(1)求 ? , ? 的值。 (2)对任意的正整数 n 有 an ? ? ,记 bn ? ln

an ? ? (n ? 1, 2, ) ,求 {bn } 的前 n 项和 s n 。 an ? ?

7.证明: f ( x) ? ? x ? 2 x 在 (??,1] 上是增函数。
2

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8.由图(1)有面积关系

? s??????? ??? ? ??? 。则由图(2)有体积关系: P ? A? B ? C ? 等于多少? ? s? ???? ?? ? ?? ? P ? ABC

B B' P A' (1)

B B' C'
A

C

P

A' (2)

A

反馈型题组 9.已知扇形的弧长为 l ,半径为 r,类比三角形的面积公式: s ?

底? 高 ,可知扇形面积公式( 2



A.

r2 2

B.

l2 2

c.

lr 2

D.不可类比

10.在数列 {an )中,a1 ? 0, an?1 ? 2an ? 2, 则an是 (



A.2 n ? 2 ?

1 2

B.2n ? 2

C.2n?1 ? 1

D.2n?1 ? 4
2 2

11.若点 E、F、G、H 顺次是空间四边形 ABCD 四条边 AB、BC、CD、DA 的中点,EG=3,FG=4,则 AC ? BD 的值是( A.25 B. 50 C.100 D.200



12.等差数列 {an } 中,an ? 0 ,公差 d>0,则有 a4 ? a6 ? a3 ? a7 ,类比上述性质,在等比数列 {bn } 中,若 bn ? 0 ,q>0, 写出 b5 , b7 , b4 , b8 的一个不等关系 13.在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? 。

2an , n ? N * ,猜想这一数列的通项公式。 2 ? an

14.若四面体各棱的长是 1 或 2,且该四面体不是正四面体,则其体积是多少?(只需写出一个可能的值)

§1.6 直接证明与间接证明 新课标要求: 欣 赏 您 的 孩 子,其 实 天 才 就 在 你 身 边!
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发掘个性特征,学习步步高升! 1.了解直接证明的两种基本方法---分析法与综合法,了解两种方法的思考过程与特点。 2.了解间接证明的一种基本方法---反证法,了解他的思考过程与特点。 重点难点聚焦: 理解综合法证明与分析法证明的概念及它们的区别,综合证题是由因索果,分析法证题是知果索因,这是两种 思路截然不同的方法,在解决问题时可以综合应用。反证法适用于不易直接证明的问题,关键应把握证题的步骤,且 证明中必须用到假设。 高考分析及预测 历年高考中都要考察证明,以考察综合法为主,有时也考察到分析法与反证法,2009 年预计仍会考到之一部分 的内容,很可能涉及立体几何,解析几何,不等式,方程等知识,因此把握好三中证明方法的思考过程和步骤是关键。 题组设计 再现型题组 1.证明分为 与 ,直接证明包括 、 等;间接证明主要是 。 2.综合法: (1)一般的,利用 ,经过 最后 。这种证明方法叫做综合法。 (2)综合法的模式;若用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示所要证明的结论,则综合法可用框图 表示为:

P ? Q1 ? Q1 ? Q2 ? Q2 ? Q3 ?

? Qn ? Q

3. 分析法:一般的,从 出发,逐步寻找使 直至最后,把要证明的结论归结为 (已知条件、定义、定理、公理等) 。这种证明方法叫做分析法。分析法可用框图表示为:

Q?P 1 ? P 1 ?P 2 ? P 2 ?P 3
4.反证法:一般的,假设 ,最后 巩固型题组

Pn ? Pn?1
(即在原命题的条件下,结论不成立) ,经过 ,从而 ,这样的证明方法叫做反证法。

,因此说明

b n ?1 a n ?1 1 1 5.设 a+b>0,n 为偶数,证明: n ? n ? ? 。 a b a b

6.已知非零向量 a ? b ,求证:

a?b a ?b

? 2。

7.已知, a, b, c ? (0,1) , 求证: (1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a 不能同时大于

1 。 4

提高型题组 8.已知 a,b,c 为正实数,a+b+c=1 求证: a ? b ? c ?
2 2 2

1 。 3

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发掘个性特征,学习步步高升! 9.已知 ac ? 2(b ? d ) 求证:方程 x ? ax ? b ? 0 与方程 x ? cx ? d ? 0 中至少有一个方程由实数根。
2 2

反馈型题组 10.下列四个命题,其中属于假命题的是(



A.不存在无穷多个角 ? 和 ? ,使得 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 。 B.存在这样的角 ? 和 ? ,使得 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 。 C.对任意的角 ? 和 ? ,都有 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 。 D.不存在这样的角 ? 和 ? ,使得 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 。 11.下列各式对 x ? R 都成立的式子是( A . lg( x2 ? 1) ? lg 2 x B . ( x2 ? 1) ? 2 x 12.已知 x,y 是正变数,a,b 是正常数,且 ) C .

1 ?1 x ?1
2

D. x ?

1 ?2 x


a b ? ? 1 ,则 x+y 的最小值为 x y

13.设 a, b, c ? R , a ? b ? c ? 1, 则 a ? b ? c 的最大值是 14.已知数列 {log(an ?1)}(n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9, (1).求数列 {an } 的通项公式。 (2).证明

?



1 1 ? ? a2 ? a1 a3 ? a2

?

1 ? 1. an?1 ? an

15.已知函数 f ( x) ? a ?
x

x?2 (a ? 1) x ?1

(1).证明:函数 f ( x ) 在(-1, ?? )上为增函数。 (2).用反证法证明 f ( x) ? 0 没有负数根。

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发掘个性特征,学习步步高升! 16.已知函数 y ?

x ?1 1 ( x ? ) ,证明: 2x ?1 2

(1).经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于 x 轴。 (2).这个函数的图像关于直线 y ? x 成轴对称图形。

第一章. 集合与简易逻辑、推理与证明单元综合检测题 一.选择题 1.设全集 U ? R ,集合 M ? {x ? x ? 1}, N ? {x ? x ? 1},则下列关系中正确的是( ) A. M ? N B. N ? M C. M ? N D. N ? Cu M ? ?

2.已知全集 U ? Z , A ? {?1,0,1.2}, B ? {x ? x2 ? x} ,则 A A. {-1,2} B.{-1,0} C.{0,1} D.{1,2}

CU B 为(



3.若命题“ P ? Q ”与“ P ? Q ”中一真一假,则可能是( A.P 真 Q 假 B.P 真 Q 真 C.
?



P 真 Q 假 D.P 假 ?Q 真


4.命题“对任意的 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是( A.不存在 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 C.存在 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 5.设是 M , N 两个集合,则“ M

B.存在 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 D.对任意 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0

N ? ? ”是“ M

N ? ? ”的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.推理: (1)矩形是平行四边形;(2)三角形不是平行四边形; (3)所有三角形不是矩形。 其中的小前提是( ) A.(1) B.(2) C.(3) D.(1)和(2) 二.填空题
2 7.集合 A ? {?1,3, 2m ? 1} ,集合 B ? {3, m } ,若 B ? A ,则实数 m ?

。 。

8.已知集合 A ? {x ? x ? a ? 1}, B ? {x ? x ? 5x ? 4 ? 0} ,若 A
2
2 9.设 p, q 为两个命题, p : log 1 ( x ? 3) ? 0, q : x ? 2

B ? ? ,则实数 a 的取值范围是
条件。

5 1 ? ? 0, 则 p 是 q 的 6 6

10.由图(1)有面积关系

? s??????? ??? ? ??? 。则由图(2)有体积关系: P ? A? B ? C ? 等于多少? ? s? ???? ?? ? ?? ? P ? ABC
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B B' P A' (1)

B B' C'
A

C

P

A' (2)

A

三.解答题 11.已知 a ? 0, b ? 0且a ? b ? 2, 求证:

1? b 1? a , 中有一个小于 2. a b

12.已知命题 p : 方程x2 ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负实根;命题 q : 方程4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根, 若 p 或q 为 真, p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围。

答案部分
§1.1 再现型题组 1. 填空 (1) 答案: (1) 提示:因为没有规定大胖子的标准,所以(1)不是集合。由于(2) (3) (4)中的对象具备确定性因此可以组成集合。 (2) 答案: {k | k ? 0且k ? 3} 提示:利用集合的元素的互异性可得 k
2

集合间的基本关系

-k ? 2k解得k ? 0且k ? 3

基础知识聚焦:一般地,某些被考察的对象集在一起,就构成了一个集合(简称集)集合中两个对象称为这个集合的 元素,又具有三个特性:确定性,无序性,互异性。 确定性:对于一个给定的集合,任何一个对象或者是这个集合中的元素或者不是它的元素。 互异性:相同对象归入任何一个集合时,只能算作这个集合的一个元素。 无序性:在一个集合中,通常不考虑元素之间的顺序,例如{a,b}={a,b} 变式拓展: (1)下列各组对象中不能形成集合的是( ) A. 高一 1 班全体学生 B.高一 1 班全体女学生 C. 张良的所有初中老师, D.李佳的所有好同学 (2)由实数-X,X,|X|,

X 2 ,- 3 X 3 , 所组成的集合中最多含有( )个元素

A 2 B 3 C 4 D 5 (3)设 P,Q 为两个非空实数集合 ,定义 P ? Q={z|z=ab,a ? P,b ? Q}, 若 P={-1,0,1},Q={-2,2}则集合 P,Q 中元素的个 数是() A 3 B 4 C 5 D6 答案: (1)D (2)A (3)A 2.选择题 (1)答案:C 欣 赏 您 的 孩 子,其 实 天 才 就 在 你 身 边!
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发掘个性特征,学习步步高升! 提示:因为 N={x|x>1 或 x<-1} 所以 M ? N (2) 答案:D 提示: (1)不正确,应为 a ? {a,b} 选C

(3)不正确,集合间的关系应表示为

(2) (4) (5) (6)都正确,选 D 基础知识聚焦:元素与集合之间用属于 ? 或不属于 ? 表示。 集合与集合之间的关系用符号 ?, ?, ?, ? 表示 子集: 对于两个集合与如果对于集合的每一个元素, 它也是集合的元素, 那么集合叫做集合的子集, 记作 A ? B 或 B ? A 真子集:如果集合是集合的子集,并且集合中至少有一个元素不属于集合那么集合叫做集合的真子集,记作 A ? B 或 B?A 拓展变式: (2006 年江苏)若 A,B,C 为三个集合,A B=B C,则一定有( ) A A?C B C?A B?B 且 A C A? C D A? ?

答案:A 提示:由 A

B=B

C知 A

B ? C,所以 A ? C 且 B ? C,故选 A.

巩固型题组: 3.答案:1 解析:根据集合中元素的确定性,我们不难得到两集合的元素是相同的,这样需要列方程组分类谈论,显然复杂又繁 琐。这时若能发现 0 这个元素,和 由已知得

b 中 a 不为 0 的隐含信息,就能得到如下解法。 a

b 2 =0,及 a ? 0,所以 b=0,于是 a =1,即 a=1 或 a=-1,又根据集合中的互异性 a=1 应舍去,因而 a=-1 a

故 a2008 ? b2008 ? (?1)2008 ? 1 方法点拨:1.利用集合中元素的特点,列出方程组求解,但仍然要检验,看所得结果是否符合集合元素的互异性的特 征。 2.此类问题还可以根据两集合中元素的和相等,元素的积相等,列出方程组求解,但仍然要检验。 拓展变式:含有三个实数的集合{x,

y 5 3 ,1}也可以表示为{|x|,x+y,0}则 x ? y ? x

答案:-1 4.解法 1:分析:用列举法表示各集合中的元素,再判断 解:简单列举集合中的元素:

1 7 13 19 , , , ,?} 6 6 6 6 1 1 2 7 B={?, - , , , ,?} 3 6 3 6 1 2 7 5 C={?, , , , ,? } 6 3 6 3 ? A ? B,B=C,即 A ? B=C
A={ ?, 答案:B 点拨:这几个集合都是无限集,列举时列举元素个数不能太少,太少了不便于发现规律,会导致判断错误。 解法 2:用各集合中元素所具备的特征入手 解:在 A 中,x=

6a ? 1 ,a ? Z; 6

在 B 中,x=

3b ? 2 3c ? 1 ,b ? Z; 在 C 中,x= ,c ? Z 6 6

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发掘个性特征,学习步步高升! 显然 B=C,且 A ? C 答案:B 点拨: (1)形式统一化 (2)熟悉数的整除性,3b-2(b ? Z),3c+1(c ? Z)都表示被 3 除余 1 的整数,而 6a+1(a ? Z)表示被 6 除余 1 的整 数。 5.分析:写出元素与 Q 中元素相加和分别为 1,2,3,4,6,7,8,11,共 8 个。 答案:B 方法点拨:在处理集合问题时首先看集合的代表元素,由代表元素确定集合的性质。 拓展变式:已知非空集合 M ? {1,2,3,4,5}那么集合 M 的个数为( ) A 5 B 6 C 7 D 8 答案:D 6.分析:由函数定义域可求得集合 A、B 对 B 中含参数的二次不等式要考虑两根大小,再由 B ? A 转化为区间的端点 值大小关系的不等式,2a ? 1,或 a+1 ? -1 求出 a 的范围。 解: (1)由 2 ?

x?3 x ?1 ?0? ? 0 , ? x ? ?1 或 x ? 1 。即 A ? ? ??, ?1? ??1, ??? x ?1 x ?1
a ? 1? a ? 1 ? 2a

(2)由 ? x ? a ?1?? 2a ? x ? ? 0, 得? x ? a ?1?? x ? 2a ? ? 0 , 故 B ? ? 2a, a ? 1? .

1 1 A ? B ? A,? B ? A ? 2a ? 1或a ? 1 ? ?1,即 a ? 或 a ? ?2 ,而 a ? 1 ,? ? a ? 1 或 2 2

a ? ?2 。故当 A

?1 ? B ? A 时,实数 a 的取值范围是 ? ??, ?2? ? ,1? 。 ?2 ?

点评: (1)利用集合间的关系求参数范围,一般根据集合的有关概念,借助于数轴,建立不等关系,注意端点是否取 到。 (2)本例中 A B=A ? B ? A ? A B=B 注意等价性。 拓展变式:如果将 6 中的 a>1 条件去掉,请写出集合 B。 解析:由题意得(x-a-1)(2a-x)>0 所以,[x-(a+1)](x-2a)<0 a=1 时,不等式 ( x ? 2)2 <0 无实数解,此时 B= ? a>1 时,2a>a+1 不等式为 a+1<x<2a 此时 B={X|a+1<x<2a} a<1 时 2a<a+1 不等式为 2a<x<a+1 此时 B={x|2a<x<a+1} 提高型题组: 7.分析:由元素确定性可知 x =0,1 或 x. 由互异性知 x ? 0 ,1
2 2 2

确定 x 值

解:若 x =0,则 x=0,此时集合为{1,0,0}不符合集合中元素的互异性,舍去。 若 x =1 ,则 x=1,-1. 欣 赏 您 的 孩 子,其 实 天 才 就 在 你 身 边!
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2

发掘个性特征,学习步步高升! 当 x=1 时,集合为{1,0,1},舍去;当 x=-1 时,集合为{1,-1,0},符合。 若 x ? x ,则 x=0 或 x=1,不符合互异性,都舍去。
2

综上所述知:x=-1. 点拨:由于集合元素的互异性,因而对求集合中参数的值的问题,必须有检验的意识。 拓展变式: 已知 A={a-2, 2 a +5a,10}且-3 ? A,求 a
2

解;

-3 ? A

? a-2=-3,或 2 a 2 +5a=-3
? a= -1,或 a= ?
3 2
2

但 a= -1 时,a-2= -3 且 2 a +5a= -3,与集合中元素的互异性矛盾。

? a= ?

8.分析:集合间的包含、相等关系,关键搞清 A、B 两集合谁是谁的子集,B ? A 说明 B 是 A 的子集,即集合 B 中元素 都在集合 A 中,注意 B 是 ? 的情况,同样 A ? B,说明 A 是 B 的子集,此时注意 B 是不是 ? 。A=B 说明两集 合元素完全相同。 解: (1)由 A={x| x ? 3x ? 10 ? 0 }
2

3 2

得 A={x| - 2 ? x ? 10 } 因为 B ? A, 所以, (i)若 B= ? 则 m+1>2m-1 即 m<2, 此时满足 B ? A

? m ? 1 ? 2m ? 1 ? (ii)若 B ? ? 则 ? m ? 1 ? ?2 ? 2m ? 1 ? 5 ?

-2 m+1 0 2m-1

5

解得 2 ? m ? 3 由(i) (ii)得,m 的取值范围是( ?? ,3] (2)若 A=B 则必有 ?

?m ? 6 ? ?2 ? 2m ? 1 ? 5

解得 m ? ?

即不存在 m 值使得 A=B

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? 2m ? 1 ? m ? 6 ? (3)若 A ? B,则依题意应有 ? m ? 6 ? ?2 ? 2m ? 1 ? 5 ?
所以 m 的取值为 ?3, 4?

? m ? ?5 ? ,解得 ? m ? 4 ? m?3 ?

,故 3 ? m ? 4

规律技巧总结: 解决两个数集关系问题时,应注意一下几点: (1)注意空集是一个特殊的集合,它是任何集合的子集,解题时不要漏掉这一点。 (2)解决此类问题,避免出错的一个有效手段是合理利用数轴帮助分析与求解,这也是数与形的完美结合之所在。 (3)在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行讨论,分类时要遵循“不重不漏”的分类原则,然后对每 一类情况要给出问题的解答,分类讨论的一般步骤是:确定标准;恰当分类;逐类讨论;归纳结论。 课堂小结: 1.注意集合互异性及空集在解题中的特殊性,如 A ? B,则有 A= ? 或 A ? ? 的可能性。 2.从集合观点看,若 A ? B,则 A 是 B 的充分条件,B 是 A 的必要条件,若 A=B,则 A,B 互为充要条件。 3.利用集合间的关系建立不等式求参数范围时,要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用。 反馈型题组: 9.答案:D 解析:由 A*B 定义写出集合 A*B 中的所有元素,有 0,2,4,所有元素之和是 0+2+4=6,选 D 点拨:本题是创新型概念理解题,有的人又称为自定义题型,在这里准确理解 A*B 是解决问题关键,并且又考查了集 合元素的互异性,因此又要准确理解集合的含义,明确题目所要解决的问题,从而解决问题。 10.答案:B 解析:可利用特殊值法,令 k=-2,-1,0,1,2 可得 M={?, -

3 1 1 3 5 ,, , , ,? 4 4 4 4 4

}

N={?,0,

1 , 4

1 3 , ,1,? 2 4

} 所以 M ? N

解析 2:集合 M 的元素为 x=

k 1 2k ? 1 + = (k ? Z) 2 4 4 k 1 k ?2 集合 N 的元素为 x= ? ? (k ? Z) 4 2 4 而 2k+1 为奇数,k+2 为整数,因此 M ? N

11.答案:A 解析: 化简 A、 B, A={x|0<x<1}B={x|0<x<3} 所以, 所以对集合中的任意元素 m, 有 m ? A 时, 一定有 m ? B, 即 m? A ? m ? B,但 m ? B 时,可能有 m ? A,例如 2 ? B,但 2 ? A,所以,m ? A 是 m ? B 是充分而不必要条件。选 A 12.答案:0 或 1 解析: 由题意可得方程 ax +4x+4=0 只有一个解或二重根。当 a=0 时方程 4x+4=0, 即 x=-1,只有一个解, 符合题有意; 当 a ? 0 时,方程 ax +4x+4=0 只有一个解需满足 ? =16-16a=0,即 a=1 时,次方程有二重实根-2,由互异性知
2 2

A 中只有一个元素,适合题意,故所求 a 的值为 0 或 1. 13.解析:A 中不等式的解集应分为三种情况讨论: (1)若 a=0,则 A=R (2)若 a<0,则 A={x|

4 1 } ? x<a a

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发掘个性特征,学习步步高升! (3) 若 a>0,则 A={x|-

i) 当 a=0 时,若 A ? B,此种情况不存在。

1 4 <x ? } a a

1 ?4 ?? ? a ? ?8 ? ?a ? 2 ?? 当 a<0 时,若 A ? B,则 ? 1 a?? ?? 1 ? 2 ? ? 2 ? ? a
所以 a<-8

? 4 ?2 ? ? a 当 a>0 时,若 A ? B,则 ? ?? 1 ? ? 1 ? 2 ? a

?a ? 2 ?? ?a ? 2

所以 a ? 2. 综上知,此时 a 的取值范围是 a<-8 或 a ? 2. ii) 当 a=0 时,显然 B ? A

1 ?4 ?? ? a ? ?8 ? ?a 2 ? ?? 当 a<0 时,若 B ? A 则 ? 1 a?? ?? 1 ? 2 ? ? 2 ? ? a
所以-

1 <a<0 2

? 4 ?2 ? ?a ? 2 ? a 当 a>0 时,若 B ? A 则 ? ?? ? ? 1 ? ? 1 ?a ? 2 ? 2 ? a
所以 0<a ? 2 综上知,当 B ? A 时,-

1 <a ? 2。 2

iii)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时,A=B,由 i) ii)知,a=2. 规律总结:在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段就是合理运用轴帮助分析与求解,另外,在解 含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行讨论。分类时要遵循“不重不漏”的分类原则,然后对每一类情 况要给出问题的解答,分类讨论的一般步骤是:确定标准;恰当分类;逐类讨论;归纳结论。 14.(1)解:2 ? A ?

1 1 1 1 1 ? ? A ? ? 2 ? A ? A={2,-1, } =-1 ? A ? 1 1? 2 2 1 ? (?1) 2 2 1 1 2 (2)解:设 A={a}, ,即 a -a+1=0,无实数解,所以 A 不能为单元素集合。 ? A, ? a= 1? a 1? a 1 1 1 (3)证明: a ? A ? ? A, ? ? A,即 1- ? A 1 1? a a 1? 1? a 5? ? 2 ? 1 ? 2 }, B : y ? ? sin x ? a ? ? 1 ? a ,sin x ? ?? ,1? . ?x? 6 6 ? 2 ?
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15.解:A={x|-

发掘个性特征,学习步步高升! (1) 若

?
6

? a ? 1 时, ymin ? 1 ? a 2 , ymax ? a ?

5 ,又 4

?

? 5? ? a ? 1 , ? B ? ?,? B ? ? y 1 ? a 2 ? y ? a ? ? 。欲使 6 4? ?

? ? 1 ? a2 ? ? ? ? ? 6 B ? A ,则 ? ? ? a ?1 6 ? a? 5 ? ? ? 4 6 ?
? ? 2 ? 2a ? ? ? 5 ? 6 ? a ? ? 由 B ? A ,则 ? 4 ? a ? 5 ? 5? ? 4 6 ?
?
12
§1.2 集合的运算 再现型题组 1. 答案:A M={x| ?4 ? x ? 7 } 由图可知 M ? N ={x| N={x|x>3 或 x<-2}

(2)若 1<a ? ? 时, ymin ? 2 ? 2a, ymax

?1 ? a ? 1 ?

?
12

.? a 的范围是

?
6

? a ? 1?

?4 ? x ? ?2或3 ? x ? 7 }故选 A

点评:借助于数轴建立不等关系,注意端点值是否取到。 2. 答案:C 解析:A={x|x<1} B={x|x>2 或 x<1} 显然 A ? B=B A ? B=A CR A

B ? R, CR A CR B ? R ,故选 C

巩固型题组 3. 解析: M={x|2x-3>0}={x|x>

3 } 2

N={x|(x-3)(x-1) ? 0 }={ x x ? 1或 x ? 3}? M

N ? x x?3

?

?

M

? 3? N ? ? x x ? 或x ? ? 2? ?

点评:应注意集合函数定义域的要求。
2 4.解析:M={ x 4 ? x ? 0 }= x ?2 ? x ? 2 ,?M

?

?

N ? ?0,1?

2 点评:应注意集合 M 的代表元素是 x 也就是 y= lg 4 ? x

?

?

的定义域。

5. 解析:A= x x ? a ? 1 ? x a ? 1 ? x ? a ? 1 B= x x ? 1或x ? 4 ,又

?

? ?

?

?

?

A

B??

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由图可知 ?

? a ? 1 ? 1 ?a ? 2 ,? 2 ? a ? 3 ?? ?a ? 1 ? 4 ? a ? 3

点评:熟练解不等式,借助数轴。 提高型题组 6.思路点拨:本题考查函数定义域求解和集合关系及运算,解不等式可得定义域,对 B 中含参数的二次不等式要考 虑两个根的大小,再由 B ? A 转化为区间端点什大小关系的不等式 2a ? 1 或 a ? 1 ? ?1 。求出 a 的范围。 解: (1)由 2 ?

x ?1 x?3 ? 0 ,? x< ?1 或 x ? 1 ? 0 ,? x ?1 x ?1

即 A= (??, ?1)

[1, ??)

(2)由 ( x ? a ? 1)(2a ? x) ? 0 ,得 ( x ? a ? 1)( x ? 2a) ? 0 a<1, 即a ?

? a+1>2a,故 B=(2a,a+1) A B ? A ,? B ? A ,? 2a ? 1 或 a ? 1 ? ?1

1 或 a ? ?2 2 1 而 a<1,? ? a ? 1 或 a ? ?2 2
故当 A

1 B ? A 时,实数 a 的取值范围是 (??, ?2) [ ,1) 。 2

点评: (1)利用集合间的关系求参数范围,一般根据集合的有关概念,借助于数轴,建立不等关系,注意端点是否取 到。 (2)本例中 A B ? A ? B ? A ? A B ? B 注意等价性。 7.解:

y ? x2 ? 2mx ? 4 ? ( x ? m)2 ? 4 ? m2 ? 4 ? m2

? A= { y | y ? 4 ? m2} , log32 x ? log 1 x ? 0
3

? log32 x ? log3 x ? 0 ,即 log3 x(log3 x ?1) ? 0 ? 0 ? log3 x ? 1
即 1? x ? 3

? B ? ?x 1 ? x ? 3? 。

A B ? ?, 则 4 ? m2 ? 3 ,? ?1 ? m ? 1 。
故A

B ? ?, 实数 m 的取值范围为 m ? 1 或 m ? ?1 。

点评:解不等式一定要注意对数式及复合形式。 8 . 解 析 : ( 1 )

? 1 ? A ? ? x ? x ? 3? , ? 2 ?



a ? ?4





B ? ?x ?2 ? x ? 2?



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? 1 ? ? A B ? ? x ? x ? 2? , ? A B ? ?x ?2 ? x ? 3.?. ? 2 ?
(2) CR A ? ? x x ?

? ?

? 1 即 a ? 0 时, 满足 B ? CR A ; ②当 B ? ? , 或x ? 3? , 当 CR A B ? B , B ? CR A ,①当 B ? ? , 2 ?
?a , 要使 B ? CR A ,需

即 a<0 时, B ? x ? ?a ? x ?

?

?

?a ?

1 1 1 ,解得 ? ? a ? 0 ,综上可得,实数 a 的取值范围是 a ? ? . 4 2 4

点评:高考对集合运算的考查是一个热点,经常考查具体集合的运算,多数情况下会与求函数定义域,值域,解不等 式,求范围等问题联系在一起,解答这类问题时要注意弄清楚集合中的元素是什么,然后对集合进行化简,并注意将 集合之间的间接关系转化为直接关系进行求解,同时,一定要善于运用数轴等工具帮助分析和运算。 课堂小结 1. 进行集合的运算须明确集合的元素 集合的运算是指求集合的子集,交集,并集,补集。在进行集合运算时,首先要明确元素是什么,全集是什 么,保证所有元素都是全集中的元素。这里容易出现的错误之一是混淆一元数集与平面点集之间的概念,错 将一元数集当作二元点集,如将{x|y=x-2,y ? R}理解为直线上 y=x-2 点的集合。 2. 利用集合的不同表示形式进行运算。 集合概念与运算建立后,不可避免地出现了集合语言与文字语言,图形语言,符号语言的转化问题。一般地, 不等式解集的集合运算多借助数轴进行,一般集合可用 Venn 图加以表示,点集的几何意义为函数图象或方程 曲线,所以要树立借助图形解决问题的意识。 3. 注意将两个集合间的间接关系化为直接关系。 例如: (1)A ? B=B ? A ? B (2)A ? B= B ? B ? A (3)A=B ? B ? A 且 A ? B (4)A ? B ? ? ? A B ? ? (5)A ? B ? A B ? A B ? A B ? A ? B 4.注意分类讨论思想方法的应用 在集合的关系中时刻渗透分类讨论的思想。 如 A ? B ;那么 A 可能为:① A ? ?, ② A ? B ③ A=B,另外对于含参的方程和不等式更应该分类讨论。 5.注意韦恩图在集合运算中的重要应用。 反馈型题组: 9.解析:依题意,该图形中阴影部分表示的集合应该是 N

CR M ,而 M ? x x 2 ? 4 =

?

? ?x x ? 2或x<-2? ,于是

CR M ? x ?2 ? x ? 2? ,因此 N

?

CR M ? x 1 ? x ? 2? ,选 C

?

评价探究:新课标特别指出“能使用韦恩图表达集合的关系及运算” ,将对韦恩图的要求提高到一个更高的层次,因 此我们必须注意韦恩图在表达集合关系和运算中的重要作用。应结合交集、并集、补集等的定义进行理解。 10.解析:用区间的长度来刻画集合,使“长度”的概念有了更深层次的内涵。

? m?0 ? 1 1 1 ?n ? ? 0 ? 由已知可得 ? 即0 ? m ? ;? ,即 ? n ? 1 。取字母 m 的最小值 0,字母 n 的最大值 1,可得 3 3 3 4 ? m ? ?1 ? ? 4 ? n ?1

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? 3? ?2 ? M ? ?0, ? , N ? ? ,1? 。 ?M ? 4? ?3 ?

? 3? N ? ?0, ? ? 4?

?2 ? ?2 3? ,1 = ? , ? 此时得集合 M ? ?3 ? ? ?3 4?

3 2 1 N 的长度为 ? ? , 故应选 C。 4 3 12

评价探究:以集合为背景将其他的“长度”等概念交汇于命题之中,是高考集合命题的一大特色,探究解题时紧扣定 义及其相互间的联系,巧妙应用特殊化思想可以使解题的思路更为简捷。 11.解析:依题意:x,y 的取值应为:x=1,y=3; x=1,y=4; x=2,y=3; x=2,y=4 从而 A ? B ? ?12, 20, 30, 48? 故所有元素乘积:12*20*30*48 =345600. 12.解析:法 1:设全集为高三(1)班全体同学的集合,集合 M、N 分别是数学、语文得优的同学的集合,作韦恩图 示,则各部分集合中所含元素个数分别如图所示,则有: (20-x)+x+(15-x)+20=45 解得 x=10.
U 20

M

N x 15-x

20-x

即两门全优的人数是 10 人。 法 2 。 公 式 法 : 设 P 集 合 的 元 素 个 数 用 n(P) 表 示 , 则 n ? M

N ? ? n?M ? ? n? N ? ? n?M

N? , 数

n?M

N ? ? 20 ?15 ? (45 ? 20) ? 10 ,

即两门全优的人数是 10 人。, 点评:集合思想及方法在解决实际问题中应用广泛,解此类问题要借助于韦恩图,使问题简明、直观、易求解。 13 . 解 析 : ( 1 )

A ? ? y ? y ? a或y ? a 2 ? 1?

,

B ? ? y ? ? ? y ? 4? , 由

A

B??



?a 2 ? 1 ? 4 ?? , ? 3 ? a ? 2或a ? ?2 ? a?2
(2)由 x ? 1 ? ax 知 x ? ax ? 1 ? 0 对 x ? R 恒成立。?? ? a2 ? 4 ? 0,
2 2

?2 ? a ? 2 .

? a小 ? ?2 此时 A ? ? y ? y ? ?2或y ? 5? . CR A ? ? y ? ?2 ? y ? 5? ,

?(CR A) B ? ? y ? 2 ? y ? 4?
1.3 命题、基本逻辑联结词与量词答案与提示 再现型题组: 1.解析(1) (2)

p是假命题,q是真命题 ?p ? q为真,p ? q为假,?p是真命题
1 是奇数,? p 是真命题,又 1 不是质数,

? q 是假命题; 因此p ? q为真,p ? q为假,?p为假 。
(3)

0 ??, ? p是真命题;又 x2 ? 3x ? 5 ? 0 ?

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? 3 ? 29 3 ? 29 3 ? 29 ? ? 3 ? 29 ? ?x? ,?? x ? x 2 ? 3x ? 5 ? 0 ? ? x ? ?x? ? ? R 成立 2 2 2 2 ? ? ? ?

?

?q为真命题, ? p ? q为真命题,p ? q为假命题,?p为真命题
(4)显然 p:5 ? 5 为真命题,q:27 不是质数为真命题;? p ? q为真命题, p ? q为假命题, ?p为假命题 。 (5)

x2 ? 2x ? 8 ? 0?? x ? 4?? x ? 2? ? 0即? 4 ? x ? 2,

x2 ? 2 x ? 8 ? 0的解集为 x ? ?4 ? x ? 2 ;?命题p为真,命题q为假
? p ? q为真,p ? q为假,?p为假 。
基础知识聚焦:判断含有逻辑联结词“或” “且” “非”的命题的真假, (1)弄清构成它的命题 p,q 的真假(2)弄清 结构形式(3)据真值表判断构成新命题的真假。 点评:据或、且、非命题的形式及其真值表直接判断。 2.解析: (1) ? p :存在一个有理数不是实数,为假命题,属特称命题 (2) ? p :所有的三角形都不是直角三角形,为假命题,属全称命题 (3) ? p :有一个二次函数的图像与 y 轴不相交,为假命题,属特称命题 (4) ? p : ?x ? R, x2 ? 2x ? 0 ,为真命题,属特称命题 基础知识聚焦:对全称命题的否定,在否定判断词时,还要否定全称量词为特称量词;对特称命题的否定,在否定判 断词时也要否定存在量词。 点评:只否定全称量词和存在量词,或只否定判断词,会因为否定不全面或否定词不准确而致错。 巩固型题组: 3 解析:选 D

?

?

p ? q为假 ? p, q都不是真命题 p ? q为真 ? p, q不能同时为假命题 ? p, q是一真一假的命题 ? 命题p和命题?q真值相同
点评:本题主要考察学生对真值表的应用及对逻辑连接词的掌握情况 4.解:

y ? a x在R 上单调递增? p : a ? 1 ;又不等式 ax2 ? ax ? 1 ? 0对?x ? R 恒成立

?? ? 0,即a2 ? 4a ? 0,? q : 0 ? a ? 4.
而命题 p 且 q 为假,p 或 q 为真,那么 p,q 中有且只有一个为真,一个为假. (1)若 p 真 q 假,则 a ? 4 (2)若 q 真 p 假,则 0 ? a ? 1 所以 a 的取值范围是 ? 0,1?

?4, ??? 。

基础知识聚焦: (1)含有逻辑关系词的命题要先确定构成命题的命题的真假,求出此时参数成立的条件; (2)其次求出含逻辑联结词的命题成立的条件; (3)注意 p ? q 为假且 p ? q 为真,等价于 p, q 中一真一假。 点评:本题可先求出每个命题为真时,相应的 a 的取值范围,再根据 p, q 之间的关系确定 a 的取值范围。 提高型题组

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发掘个性特征,学习步步高升! 5.解析:若 p 真,则 0 ? a ? 1 ,若 p 假,则 a ? 1或a ? 0 ,若 Q 真,由 若 Q 假,则 a ?

?

a ?0 ??1? 4 a 2 ? 0

得a ?

1 ; 2

1 . 2

又 p 和 q 有且只有一个正确,当 p 真 q 假时, 0 ? a ?

1 ;当 p 假 q 真时, a ? 1 2

综上得 a ? ? 0, ? ? ?1, ?? ? 2

? ?

1? ?

答案: ? 0, ? ? ?1, ?? ? 2

? ?

1? ?

点评:p 和 q 有且只有一个正确转化为复合命题 p 且 q 为假,p 或 q 为真,解这类问题时,一般是先把 p、q 都为真命 题时求出所满足的条件,然后再分情况讨论. 6.解析:答案 C 当 c ? 0 时,若 Sn ? an2 ? bn ? c 则 an ? 一定不是等差数列 点评:本题是命题、逻辑关系词、数列知识的综合运用,考察点比较好。 课堂小结:本节课重在考察命题转化,逻辑推理能力,将量词与不等式或数列等其他章节的内容联系起来考察,是需 要我们注意的 反馈型题组:答案 7.C 8.D 9.D 10.A 11.D 12.C 13.解析: p 且 q 为假,? p,q 至少有一个为假命题

?

又“非 p”为假,? q 为真,从而可知 p 为假.由 p 为假且 q 为真可得 的取值为-1,0,1,2

?

x2 ? x ?6 x?Z

? ? x2 ? x ?6 即 ? x 2 ? x ??6 ? ? x?Z

??

?2 ? x ? 3 x?Z 故x

§1.4 充分条件、必要条件与四种命题答案与提示 再现型题组 1. 解: (1)逆命题:若方程 x2 ? 2x ? q ? 0 有实数根,则 q<1,是假命题。 否命题:若 q ? 1 ,则方程 x2 ? 2x ? q ? 0 无实根,是假命题。 逆否命题:若方程 x2 ? 2x ? q ? 0 无实根,则 q ? 1 ,是真命题。 (2)逆命题:若 a=0 或 b=0,则 ab=0 是真命题, 否命题:若 ab ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 ,是真命题。 逆否命题:若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 ab ? 0 ,是真命题 (4) 逆命题:若 x,y 全为 0,则 x ? y ? 0 ,是真命题。
2 2

否命题:若 x ? y ? 0 ,则 x,y 不全为 0,是真命题。
2 2

逆否命题:若 x,y 不全为 0,则 x ? y ? 0 ,是真命题。
2 2

基础知识聚集:写出一种命题的逆命题,否命题,逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写, 欣 赏 您 的 孩 子,其 实 天 才 就 在 你 身 边!
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发掘个性特征,学习步步高升! 一般地说命题 p ? q 的四种形式之间有如下关系: (1) (2) 2. 互为逆否的两个命题是等效的(同真同假) ,因此,证明原命题也可以改正它的逆否命题 互逆或互否的两个命题是不等效的。
2

解: (1) 当 | p |? 2 时, 例如 p=3 则方程 x ? 3x ? 6 ? 0 无实根, 而方程 x2 ? px ? p ? 3 ? 0 有实根, 必有 p ? ?2 或 p ? 6 ,可推出 | p |? 2 ,故 A 是 B 的必要不充分条件。

(2)若圆 x2 ? y 2 ? r 2 与直线 ax ? by ? c ? 0 相切,圆心到直线 ax ? by ? c ? 0 的距离等于 r,即 r ?

|c| a 2 ? b2



所 以 c 2 ? ( a 2 ? b 2 )r 2 ; 反 过 来 , 若 c 2 ? ( a 2 ? b 2 )r 2 , 则

|c| a ?b
2 2

? r 成 立 , 说 明 圆 x2 ? y 2 ? r 2 与 直 线

ax ? by ? c ? 0 相切,故 A 是 B 的充分必要条件。
基础知识聚集:对于涉及充分必要条件判断的问题,必须以准确、完整地理解充分必要条件的概念为基础,有些问 题需转化为等价命题后才容易判断。 巩固型题组:

3 解:法一:由 x ? 2 x ? 1 ? 0
2

得1 ? m ? x ? 1 ? m

? ? q : A ? {x | x ? 1 ? m或x ? 1 ? m, m ? 0}
由 |1 ?

x ?1 |? 2 得 ?2 ? x ? 10 3

? ? p : B ? {x | x ? 10或x ? ?2}
? p 是 ? q 的必要而不充分条件

? m?0 ? ? A ? B ? ? 1 ? m ? ?2 解得 m ? 9 ?1 ? m ? 10 ?
法二:

? p 是 ? q 的必要而不充分条件

? q 是 p 的必要而不充分条件 ? p 是 q 的充分而不必要条件
由 x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 得 1 ? m ? x ? 1 ? m (m>0)
2 2

? q:Q={x| 1 ? m ? x ? 1 ? m } x ?1 |? 2 得 ?2 ? x ? 10 又由 |1 ? 3 ? p:P={x| ?2 ? x ? 10 }
又 p 是 q 的充分而不必要条件 解得 m ? 9

? m?0 ? ? P ? Q ? ? 1 ? m ? ?2 ?1 ? m ? 10 ?

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发掘个性特征,学习步步高升! 点评:本例涉及到参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问 题来解决。一般地,在涉及到求字母参数的取值范围的充要条件问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑。 4.答案: (1) (2) (3) (4) 解析: (1)的否命题为“若 xy ? 0 ,则 x,y 全不为 0” ,正确 (2)由其逆否命题“全等三角形的面积相等”正确知原命题正确 (3)因为 x ? 2 x ? m ? 0 有实根的条件为 m ? 0 ,即原命题正确,故其逆否命题正确
2

方程 y=kx+b 表示直线与 k 是否为 0 无关。 即 k ? 0 时方程 y=kx+b 表示直线, k=0 时方程 y=kx+b 也表示直线, 因此 (4) 正确。 点评:本题考查了四种命题及充分必要条件的判定,体现了本讲中的重点在判断时一定要先分清到底判断哪个命题。 提高型题组: 5.解(1)原命题是真命题; 逆命题:若方程 x2 ? 2x ? q ? 0 有实根,则 q ? 1 ,为真命题。 否命题:若 q>1,则方程 x2 ? 2x ? q ? 0 无实根,为真命题; 逆否命题:若方程 x2 ? 2x ? q ? 0 无实根,则 q>1,为真命题; 命题的否定:若 q ? 1 ,则方程 x2 ? 2x ? q ? 0 无实根,为假命题。 (2)原命题是真命题; 逆命题:若 x+y 是偶数,则 x,y 都是奇数,是假命题; 否命题:若 x,y 不都是奇数,则 x+y 不是偶数,是假命题; 逆否命题:若 x+y 不是偶数,则 x,y 不都是奇数,是真命题。 命题的否定:x,y 都是奇数,则 x+y 不是偶数,是假命题。 (3)原命题是真命题 逆命题:若 x=0 或 y=0,则 xy=0,是真命题。 否命题:若 xy ? 0 ,则 x ? 0且y ? 0 ,是真命题。 逆否命题:若 x ? 0且y ? 0 ,则 xy ? 0 ,是真命题, 命题的否定:若 xy=0,则 x ? 0且y ? 0 ,是假命题。 (4)原命题是真命题 逆命题:若 x,y 全为 0,则 x ? y ? 0 ,为真命题
2 2

否命题:若 x ? y ? 0 ,则 x,y 不全为 0,为真命题
2 2

逆否命题:若 x,y 不全为 0,则 x ? y ? 0 ,为真命题
2 2

命题的否定:若 x ? y ? 0 ,则 x,y 不全为 0,是假命题。
2 2

点评:a.注意: (1) “都是”的否定是“不都是” ,而不是“都不是” ,因为“x,y 不都是奇数”包含“x 是奇数 y 不是 奇数” 、 “ x 不是奇数 y 是奇数” 、 “ x,y 不都不是奇数”三种情况; (2) “x=0 或 y=0”的否定是“ x ? 0且y ? 0 ” ,而 欣 赏 您 的 孩 子,其 实 天 才 就 在 你 身 边!
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发掘个性特征,学习步步高升! 不是“ x ? 0或y ? 0 ” ,因为“x=0 或 y=0”包含“” 、 “” “”三种情况。 b 要注意区别“否命题”与“命题的否定” :否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题 的结论否定。 C 互为逆否关系的命题是等价命题:否命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假。所以(1)当 判断一个命题的真假有困难时,可以判断它的逆否命题的真假; (2)原命题、逆命题、否命题、逆否命题 这四个命题的个数可能是 0 个、2 个、4 个。 6. 解: (1)必要性: 由已知得,线段 AB 的方程为 y=-x+3( 0 ? x ? 3 ) 由于抛物线 C 和线段 AB 有两个不同的交点,

? y ? ? x 2 ? mx ? 1 所以方程组 ? (*)有两个不同的实数解 ? y ? ? x ? 3(0 ? x ? 3)
消元得: x2 ? (m ? 1) x ? 4 ? 0 ( 0 ? x ? 3 ) 设 f ( x) ? x2 ? (m ? 1) x ? 4 则有

? ? ? (m ? 1) 2 ? 4 ? 4 ? 0 ? f (0) ? 4 ? 0 ? ? ? f (3) ? 9 ? 3(m ? 1) ? 4 ? 0 ? m ?1 ? 0? ?3 ? ? 2
(2)充分性 当3 ? m ?

解得 3 ? m ?

10 3

10 时 3

x1 ?

m ? 1 ? (m ? 1)2 ? 16 m ? 1 ? (m ? 1)2 ? ?0 2 2
2

10 10 ? 1 ? ( ? 1) 2 ? 16 m ? 1 ? (m ? 1) ? 16 3 3 x2 ? ? ?3 2 2

? 方程 x2 ? (m ? 1) x ? 4 ? 0 有两个不等的实根 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? x2 ? 3 ,
方程组(*)有两组不同的实数解。 因此,抛物线 y ? ? x ? mx ? 1和线段 AB 有两个不同交点的充要条件是 3 ? m ?
2

10 3

点评: (1)证明充要条件问题时,既要证明充分性成立,又要证明必要性成立。 本题考查线段与抛物线的位置关系,属解析几何中的重点与充要条件知识的交汇,也是高考的一个重要考 查内容。在求解这类问题时,除了直线与二次曲线相交的位置关系用判别式法求解外,还需要建立二次函 数模型,通过二次函数的图象与坐标交点的实根分布列出不等式组求解。 课堂小结 1.应用充分条件、必要条件、充要条件时须注意的问题 欣 赏 您 的 孩 子,其 实 天 才 就 在 你 身 边!
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发掘个性特征,学习步步高升! 充分而不必要条件,必要而不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件反映了条件 p 和结论 q 之间的因果关系, 再结合具体问题进行判断是,要注意以下几点: (1)确定条件是什么,结论是什么; (2)尝试从条件推结论,结论推条件; (3)确定条件是结论的什么条件; (4)要证明命题的条件是充要的,就即要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立。证明原命题即证明条件的充 分性,证明逆命题即证明条件的必要性 2.四种命题及相互关系 (1)关于逆命题、否命题、逆否命题,也可以有如下表述: 第一:交换原命题的条件和结论,所得的命题为逆命题; 第二:同时否定原命题的条件和结论,所得的命题为否命题; 第三:交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题为逆否命题; (2)四种命题的相互关系 四种命题以及它们间的关系

在判断它们之间的关系时,首先要注意分清命题的条件与结论,在比较每个命题的条件与结论之间的关系。 (3)四种命题的真假判断 1.原命题为真,它的逆命题可以为真,也可以为假。 2.原命题为真,它的否命题可以为真,也可以为假。 3.原命题为真,它的逆否命题一定为真。 4.互为逆否的命题是等价命题,它们同真同假,同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题,所以它们同真 同假。 综合上述四条可知,在同一个命题的四种命题中,真命题的个数要么是 0 个,要么是 2 个,要么是 4 个。 反馈型题组: 7 D 8 D 9 C 10 B 11 解:

x2 ? 3(a ? 1) ? 2(3a ? 1) ? 0, ?( x ? 2) ? x ? (3a ?1)? ? 0,
1 时, B ? x 2 ? x ? 3a ? 1? 3

(1)当 3a ? 1 ? 2 ,即 a ? (2)当 3a ? 1 ? 2 即 a ?

?

1 时 B ? ?2? 3 1 (3)当 3a ? 1 ? 2 即 a ? 时, B ? x 3a ? 1 ? x ? 2? 3

?

?p?q

条件 p 是条件 q 的充分条件

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发掘个性特征,学习步步高升! 当a ?

? 2a ? 2 1 时, ? 2 ,? a ? ?1 3 ?a ? 1 ? 3a ? 1
1 时,显然不成立 3

当 a? 当a ?

1 时, 3

?3a ? 1 ? 2a ? a ? ?1 ? 2 ? a ?1 ? 2

? a 的取值范围为{a| 1 ? a ? 3或a ? ?1 }
§1.5 合情推理与演绎推理(解答部分) 再现型题组 1 B 基础知识聚集:本题考查合情推理中的归纳猜想。 2 C 基础知识聚集:本题考查合情推理中的类比。 3 C 基础知识聚集:本题考查演绎推理的三段论 4 解析:结合数列进行分析归纳。 (1) 第四行:17,18,20,24 第五行:33,34,36,40,48 (2) 设 n 为 an 的下标,观察每行第一个元素下标,三角形数表第一行第一个元素下标是 1, 第二行第一个元素下标为 2=2(2-1)/2+1 第三行第一个元素下标为 4=3(3-1)/2+1 ?? 第 t 行第一个元素下标为

t ? t ? 1? ? 1,该元素为 2t ? 2t ?1 ,由此判断 a100 所在行。 2

因此

14 ? ?14 ? 1? 15 ? ?15 ? 1? ? 100 ? 2 2

所以 a100 是第 14 行的第 9 个元素.

a100 ? 214 ? 29?1 ? 16640 .
点评:归纳离不开观察、分析,对于数列中的归纳问题,要从数值特征、式子结构特点,从已知与未知 的必然联系等方面进行归纳,要注意联想已学过的等差、等比数列基本知识,若能寻求出递推关系,则 易于求解。 5,解析:本题由已知前两组类比可得到如下信息: 、 (1)平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象; (2)三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象; (3)三角形边上的高与三棱锥面上的高是类 比对象; (4)三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象; (5)三角形的面积公式中的“二分之一”与三 棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象。 由以上分析可知: 欣 赏 您 的 孩 子,其 实 天 才 就 在 你 身 边!
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j 三角形 类比 的 面积 类比 等于其 内切圆 类比 半径与 三角形周长 的乘积的 类比 一半 类比

三棱锥



体积

等于其 内切球 半径与 三棱锥表面积 的乘积的 三分之一

故第三行空格应填:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一。 本题结论可以用等体积法,将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明,此处从略。 点评:类比推理的关键是找到合适的类比对象。平面几何中的一些定理、公式、结论等,可以类比到空 间立体几何中,得到类似结论。 6.解析:以函数、一元二次方程、数列知识求解。 (1)由 x ? x ? 1 ? 0 解得方程的两根为 x1,2 ?
2

?1 ? 5 . 2 ?1 ? 5 ?1 ? 5 ,? ? . 2 2

又 ?、? 是方程的两个根,且? ? ? ,?? ?

(2)

f (an ) an 2 ? an ? 1 . f ( x) ? 2 x ? 1,? an?1 ? an ? / ? an ? f (an ) 2an ? 1
/

an ? ? ? ? (n ? 1, 2,3...), 且a1 ? 1, ?b1 ? ln

1? ? ?2 5 ?1 ? ln 2 ? ln ? 4 ? 4ln . 1?? ? 2
2

? a ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 1 ? ln (an ? ? )2 a ?? a 2 ? 2? an ? ? ? 1 bn?1 ? ln n?1 ? ln n 2 ? ? ln n 2 (an ? ? ) 2 an?1 ? ? an ? 2? an ? ? ? 1 ? an ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 1
? 2ln an ? ? ? 2bn . 即 ?bn ? 是以 b1 为首项,以 2 为公比的等比数列。故数列前 n 项之和为 an ? ?

sn ?

b1 ?1 ? 2n ? 1? 2

? (2n ? 1) ? 4ln

5 ?1 2

点评:演绎推理的主要形式是三段论,从集合角度来讲,若集合 M 的所有元素都具有性质 P,SM,则 S 中所有元素都 具有性质 P,应用三段论时应首先明确什么是大前提、什么是小前提,如果大前提是错误的,所得结论也是错误的。 7、证明 任取 x1, x2 ? ? ??,1? , x1 ? x2 , 则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ?? x2 ? x1 ? 2?

x1, x2 ? 1,? x1 ? x2 ? 2 ? 0 。? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0,? f ? x1 ? ? f ? x2 ?
于是,根据“三段论” ,可知, f ? x ? ? ?x ? 2x 在 ? ??,1? 是增函数。
2

点评: “三段论”中,第一个判断称为大前提,它提供了一个一般原理,第二判断叫小前提,文章指出了一个特殊情 况,这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论,演绎推理是一种必 欣 赏 您 的 孩 子,其 实 天 才 就 在 你 身 边!
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发掘个性特征,学习步步高升! 然性推理,演绎推理的前提和结论之间有蕴含关系,因而,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论必然 是真实的,但错误的前提可导致错误的结论。 8、

PA\ ? PB \ ? PC \ PA ? PB ? PC

1 1 1 ?s ?h ? PA? ? PC ? ? sin ?CPA ? h1 VP ? A?B?C ? 3 ?PA/ C 1 3 2 PA? ? PB? ? PC ? 分析: . ? ? ? 1 1 1 VP ? ABC PA ? PB ? PC s?PAC ? h2 ? PA ? PC ? sin ?CPA ? h2 3 3 2
点评:类比推理步骤,首先,找出两类对象之间可以准确表述的相似特征;然后,由一类对象的已知特殊去推测另一 类对象的特征,从而做出一个猜想,最后检验这个猜想。 反馈型题组 9、答案 C 分析可以将扇形看作曲边三角形所以选 C 点评:本题考查类比推理的思想 10、答案 B 分析 n=1 时可以先排除 AB,然后再当 n=2 时验证,或构造一个等比数列 ?an ? 2? . 点评:本题考查归纳推理的思想方法或用之演绎推理来进行证明。 11、答案 B 分析 EFGH 是平行四边形,由于平行四边形两条对角线的平方和等于四边平方和得:
2 2 ?? 1 ? ?1 ? ? 1 EG ? FH ? 2 ? EH ? EF ? ? 2 ?? BD ? ? ? AC ? ? ? ? AC 2 ? BD 2 ? , ? ?2 ? ? ?? 2 ? 2 ? 2 2 2 2

? AC 2 ? BD 2 ? 2 ? EG 2 ? FH 2 ? ? 2 ? 32 ? 42 ? ? 50.

点评:本题主要运用平行四边形的性质进行演绎推理。 12、答案: b4 ? b8 ? b5 ? b7 .

分析:b2 , b7 , b4 , b8,为b4 q, b4 q 2 , bq 3 , bq 4 ? b 4 ? q ? 1? ? q 3 ? 1? ? 0.

所以 ? b4 ? b8 ? ? ? b5 ? b7 ? ? b4 ?1 ? q 4 ? ? b4 ? q ? q 3 ?

点评:本题先类比推理,然后进行验证即可。 13、解 解法一: ?an ?中,a1 ? 1, a2 ?

2 2 2 , a3 ? , a4 ? , 3 4 5

, 猜想的通论公式为

an ?

2 . n ?1

解法二: a1 ? 1, an ?1 ? ?

2an , 2 ? an

2 ? an 1 1 1 ? ? ? , an ?1 2 an an 2 2 . n ?1

? an ?

点评:解法一运用归纳推理得出结论,简单明了,但运用合情推理需要观察、分析、归纳、猜想;解法二运用演绎推 理,推理严谨。 欣 赏 您 的 孩 子,其 实 天 才 就 在 你 身 边!
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发掘个性特征,学习步步高升! 14、答案:

11 ? 11 14 ? 或 或 ? ? 6 ? 12 12 ? ? ?

分析本题是一道很好的开放题,解题的开窍点是:每个面的三条棱是怎样构造的,依据“三角形中两边之和大于第三 边” ,就可否定 ?1,1,2? , 从而得出 ?1,1,1 ?,?1,2,2?,?2,2,2? 三种形态,再由这三类面构成满足提设条件的四面体,最

后计算出这三个四面体的体积分别为

11 11 14 , , , 故应该填 6 12 12

11 11 14 , , 中的一个即可。 6 12 12

课堂小结(置于反馈题组答案前) 通过对已学知识的回顾, 进一步体会合情推理这种基本的分析方法,认识归纳推理和类比推理这两种合情推理的基本 方法;体会演绎推理在实际证明中的应用价值和证明的一般过程 1、 归纳推理的一般步骤 2、 类比推理的一般步骤 3、 “三段论”是演绎推理的一般模式 §1.6 直接证明与间接证明(解答部分) 再现型题组 提示与答案 1、 直接证明,间接证明,分析法,综合法,反证法 2、 已知条件和某些数学定义,公理,定理;一系列的推理论证推导出所要证明的结论成立。 3、 要证明的结论,它成立的充分条件,判定一个明显成立的条件 4、 原命题不成立,正确的推理,得出矛盾,假设错误,证明了原命题成立。 知识聚焦 用分析法证明不等式时,不要把“逆求”错误地作为“逆推” ,分析法的过程仅需要寻求充分条件即可,而 不是充分条件,也就是说,分析法的思维时逆向思维,因此,在证题时,应正确使用“要证” 、 “只需证”这样的连接 “关键词” 。 知识聚焦(1)用反证法证题时,首先要高清反证法证题的方法,其次注意反证法时在条件较少,不易入手时常用的 方法,尤其有否定词含“至多” 、 “至少”等词的问题中常用。 (2)使用反证法进行证明的关键时在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知矛盾,或与假设矛盾,或与定 义、公理、定理、事实矛盾等。 巩固型题组
n n n ?1 n ?1 bn ?1 a n ?1 1 1 ? a ? b ?? a ? b ? 5.证明 n ? n ? ? ? n a b a b ? ab ?
n n (1) 当 a ? 0, b ? 0 时 a ? b

?

?? a

n ?1

? b n ?1 ? ? 0 , ? ab ? ? 0 ,
n

?a 所以

n

? bn ?? a n?1 ? bn?1 ?

? ab ?

n

?0 故

b n ?1 a n ?1 1 1 ? n ? ? an b a b

(2) 当 a , b 为负值时,不妨设 a ? 0, b ? 0 由于 a ? b ? 0 ,所以 a ? b ,又 n 时偶数,
n n 所以 a ? b

?

?? a

n ?1

? b n ?1 ? ? 0 ,又 ? ab ? ? 0
n

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?a 故


n

? bn ?? a n?1 ? bn?1 ?

? ab ?

n

?0

b n ?1 a n ?1 1 1 ? n ? ? an b a b b n ?1 a n ?1 1 1 ? n ? ? 成立 an b a b

综合 (1)(2) 知

点评 作差法、作商法统称为比较法,它是证明不等式的最基本方法。
?
?

6.证明:

a ? b ,? a ? b ? 0 。要证

?

?

?

a?b
?

?

a? b

?

? 2 ,只需证: a ? b ? 2 a ? b ,

?

?

?

?

2 2 ? ?? ? ? ? ? ? ?2 ?2 平方得: a ? b ? 2 a b ? 2 ? a ? b ? 2 a ? b ? 只需证: a ? b ? 2 a b ? 0 ? ? ? ?
? 2 ? 2 ? ?

?? ?? 即 ? a ? b ? ? 0 ,显然成立。 ? ?
点评:本题从要证明的结论出发,探求使结论成立的充分条件,最后找到恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、 法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。这正是分析法证明问题的一般思路。一般地,含有根号、绝对值 的等式或不等式,若从正面不易推导时,可以考虑用分析法。 7.证法一:假设三式同时大于

2

1 1 1 1 ,即 ?1 ? a ? b ? , ?1 ? b ? c ? , ?1 ? c ? a ? 4 4 4 4

a, b, c ? ? 0,1? , ? 三 式 同 向 相 乘 得 ?1 ? a ? b ?1 ? b ? c ?1 ? c ? a ?

1 ? 1? a ? a ? 1 , 又 ?1 ? a ? a ? ? ? ? 同理 64 2 ? 4 ?

2

?1 ? b ? b ?

1 1 , ?1 ? c ? c ? 4 4 1 ,这与假设矛盾,故原命题得证。 64

? ?1 ? a ? b ?1 ? b ? c ?1 ? c ? a ?
证法二:假设三式同时大于

?1 ? a ? ? b ? 1 , 0 ? a ? 1?1 ? a ? 0 , 4 2
2
2 2

?1 ? a ? b ?

1 1 ? , 4 2

同理

?1 ? b ? ? c ? 1 , ?1 ? c ? ? a ? 1 , 三式相加得 3 ? 3 ,这是矛盾的,故假设错误,所以原命题正确
2 2 2
1 ”包含多种情形,不易直接证明,可用反证法证明。即正难则反 4
2 2 2

点评: “不能同时大于 提高型题组:

8.证明: (1)方法 1: a ? b ? c ?

1 1 ? ? 3a 2 ? 3b 2 ? 3c 2 ? 1? = 3 3 1? 2 1 2 3a ? 3b 2 ? 3c 2 ? ? a ? b ? c ? ? = ? 3a 2 ? 3b 2 ? 3c 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc ? ? ? 3 3
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1? 1 2 2 2 ? 0 ? a 2 ? b2 ? c2 ? ? a ? b? ? ?b ? c ? ? ? a ? c ? ? ? ? 3 3
2

2 2 2 方法 2: ? a ? b ? c ? ? a ? b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc

? a 2 ? b2 ? c2 ? a 2 ? b2 ? b2 ? c 2 ? c 2 ? a 2 ,? 3 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ? a ? b ? c ? ? 1
2

? a 2 ? b2 ? c2 ?
方法 3:设 a ?

1 3

1 1 1 ? ? , b ? ? ? , c ? ? ? 。 a ? b ? c ? 1?? ? ? ? ? ? 0 3 3 3
2 2 2

?1 ? ?1 ? ?1 ? ?a ? b ? c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 ? ?3 ? ?3 ?
2 2 2

1 2 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 3 3

1 ? ?? 2 ? ? 2 ?? 2 3

?

1 3

? a 2 ? b2 ? c2 ?

1 3

点评:充分利用“1”的代换,乘法公式是化简证明的关键。 9、证明:方法 1: (综合法)
2 2 因 a 2 ? b2 ? 2ac, 可推知 a2 ? c2 ? 4 ?b ? d ? ,即 a ? 4b ? c ? 4d ? 0 。 2 2 故得 a ? 4b 与 c ? 4d 中至少有一个不小于零。

?

? ?

?

?

? ?

?

可知,原命题成立。 方法 2: (反证法) 假设两方程都没有实数根,则 ?1 ? a2 ? 4b ? 0与?2 ? c2 ? 4d ? 0, 有 a ? c ? 4 ?b ? d ? ,
2 2

而 a 2 ? b2 ? 2ac, 从而有 a 2 ? c2 ? 2ac, 即: ac ? 2 ? b ? d ? , 与提设矛盾,故原命题成立。 点评: 同一个问题,可能有不同的思路会用到不同的方法,分析法、比较法、综合法、反证法中探索寻求一种恰当 的方法。 课堂小结: 1、 综合法特点是:由因推出结果;分析法特点是:由结果追溯到这一结果的原因。在证明问题时常把综合法和分析 法结合起来,根据条件的结构特点转化结论,得到中间结论 Q;根据结论的特点转化条件,得到中间结论 P,若 由 Q 可以推出 P 成立就可以证明结论成立。 2、 反证法在高考中的要求不太高,但是这种“正难则反”的思维方式要引起足够的重视,在解决问题时要注意从多 方面、多渠道考虑,提高解决问题的灵活性。 反馈型题组 10、D 11、C 12、 ac ? 2 ? b ? d ?

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13. 3.解: 1? a ?b?c ?

1 1 1 ? a ? b ? ? ? b ? c ? ? ? c ? a ? ? ab ? bc ? ca ? a ? b ? c时取等号? 2 2 2

? ab ? bc ? ca ?1. a ? b ? c 1? 2

?

ab ? bc ? ca ? 1 ? 2 ? 3,? a ? b ? c ? 3.

?

?

?

2

? a ? b ? c ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ca ?

14、解(1)设等差数列 log2 ? an ?1? 的公差为的公差为 d 由 a1 ? 3, a3 ? 9 得 2 ? log2 2 ? d ? ? log2 2 ? log2 8 ,即 d ? 1 . 所以 log2 ? an ?1? ? 1 ? ? n ?1? ?1 ? n ,即 an ? 2n ? 1.

?

?

? 2 ? 证明 : 因为
?

1 1 1 ? n ?1 n ? n , an ?1 ? an 2 ? 2 2 1 an ?1 ? an
所以

1 1 ? ? a2 ? a1 a3 ? a2

1 1 1 ? 1? 2? 3? 2 2 2

1 1 1 ? ? 1 2 2n 2 1 ? n ? ? 1 ? n ? 1. 1 2 2 1? 2
x2 ? x1

15、解: (1)任取 x1 , x2 ? (?1, ??), 不妨设 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? 0, a 所以 a 2 ? a 1 ? a 1 (a
x x x x2 ? x1

? 1, ,且 a x1 ? 0

?1) ? 0 ,又因为 x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0

所以

x2 ? 2 x1 ? 2 ( x2 ? 2)( x1 ? 1) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 1) 3( x2 ? x1 ) ? ? ? ?0 x2 ? 1 x1 ? 1 ( x2 ? 1)( x1 ? 1) ( x2 ? 1)( x1 ? 1)
x x

于是 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a 2 ? a 1 ?

x2 ? 2 x1 ? 2 ? ?0 x2 ? 1 x1 ? 1

故函数 f ( x ) 在 (?1, ??) 为增函数。 (2)设存在 x0 ? 0( x0 ? ?1) ,满足 f ( x0 ) ? 0 ,则 a
x0

??

x0 ? 2 x0 ? 1

又0 ? a

x0

? 1,所以 0 ? ?

1 x0 ? 2 ? 1 ,即 ? x0 ? 2 2 x0 ? 1

与 x0 ? 0( x0 ? ?1) 假设矛盾 故 f ( x0 ) ? 0 没有负数根 16、解: ( 1 ) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 时 函 数 图 像 上 任 意 两 个 不 同 的 点 , 则 x1 ? x2 , 且 x1 ? 欣 赏 您 的 孩 子,其 实 天 才 就 在 你 身 边!
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1 1 , x2 ? , 2 2

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? y1 ? y2 ?

x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? x2 ? ? ?0 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

即 y1 ? y2 ,故直线 AB 不平行于 x 轴。 (2)设 A ( x1 , y1 ) 是函数图像上的任意一个点,则 x1 ?

1 1 x ?1 , 且 y1 ? 1 (*) ,? y1 ? 2 2 2 x1 ? 1

否则有

x1 ? 1 1 ? ,得 2=1,这是不可能的。因此 2 y1 ? 1 ? 0 2 x1 ? 1 2 y1 ? 1 1 ( y1 ? ) 2 y1 ? 1 2

由 (*) 式得: x1 ?

此式表示:点 A ( x1 , y1 ) 关于直线 y=x 的对称点 ( y1 , x1 ) 在函数图像上,由于 A 的任意性,知函数的图像关于直线 y=x 成轴对称图形。

第一章 集合与逻辑 推理与证明单元综合检测题答案与提示 一、选择题 1、C 2、A 3、A 4、C 5、B 6、B 二、填空题 7、1 8、 (2,3)

PA? ? PB? ? PC ? 9、充分不必要 10 PA ? PB ? PC

三、解答题 11、证明:假设

1? b 1? a 1? b 1? a , ? 2, ?2 都不少于 2,则 a b a b

因为 a ? 0, b ? 0 ,所以 1 ? b ? 2a,1 ? a ? 2b , 1 ? 1 ? a ? b ? 2(a ? b) 即 2 ? a ? b ,这与已知 a ? b ? 2 相矛盾,故假设不成立 综上

1? b 1? a , 中有一个小于 2 a b

??0 ? ? 12、解:P: ? x1 ? x2 ? ? m ? 0 ? m ? 2 ? x ? x ?1? 0 ? 1 2
Q: ? ? 0 ? 1 ? m ? 3 (1) 若 P 假 Q 真,则 ?

? m?2 ?1? m ? 2 ?1 ? m ? 3

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发掘个性特征,学习步步高升! (2) 若 P 真 Q 假,则 ? 所以 m ? (1,2?

m?2 ?m?3 ?m ? 1或m ? 3 ?

?3, ??)

课后作业:
学生对于本次课的评价:○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差

学生寄语:
我今天学到

学生签字:________ 教师评定: 1、学生上次作业评价: 2、学生本次上课情况评价: 教师寄语: ○特别满意 ○特别满意 ○满意 ○满意 ○一般 ○一般 ○差 ○差

教师签字:________ 教务处审核 : 教导主任签字:________ 教务主管签字:__________

弘宇教育教务处 制

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高考数学第二轮复习教案(1):集合的概念与运算技巧

高考数学第二轮复习教案(2... 高考数学第二轮复习教案...全面考查集合与简易逻辑的知识,题 型新,分值稳定....(或凑)出形式,然后再推理. 例 9(2006 年江苏卷...


高中数学专题01:集合、映射、简易逻辑与函数

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2013届高考数学第一轮复习教案第41讲 逻辑、推理与证明、复数、框图

福州五佳教育贡献于2014-01-05 0.0分 (0人评价...数学第一轮复习教案第41讲 逻辑推理与证明、复数...全体复数所形成 的集合叫做复数集,一般用字母 C ...


高中数学选修2-1新教学案:第一章常用逻辑用语小结与复习

高中数学选修2-1新教学案:第一章常用逻辑用语小结...证明“ ? p ”,即将“ ? q ”作为条件进行推理...特称命题 例 5 设 A, B 为两个集合,下列四个...


专题01:集合、映射、简易逻辑与函数

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人教版高中数学必修1集合教案

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