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2017届高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.9 函数模型及其应用课件 文 北师大版


第二章 函数、导数及其应用

第九节

函数模型及其应用

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲

1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道

直线上升、指数增长、对数

增长等不同函数类型增长的含义; 2.了解函数
模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用 的函数模型)的广泛应用。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.三种函数模型之间增长速度的比较 函数 性质 在(0,+∞) 上的增减性 增长速度 y=ax(a>1) _________ 单调递增 越来越快 y=logax(a>1) __________ 单调递增 越来越慢 y=xn(n>0) _________ 单调递增 相对平稳

图像的变化
值的比较

随x的增大逐渐 随x的增大逐渐表现 表现为与______ x轴 为与______ 平行 y轴 平行

随n值变化而各 有不同

存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax

2.常见的几种函数模型
(1) 直线模型: y = ______________________ 型,图像增长特点是直线 kx+b(k≠0) 式上升(x的系数k>0),通过图像可以直观地认识它,特例是正比例函数模型

y=_____________ 。 kx(k>0)
k (k>0) x (2)反比例函数模型:y=_________型,图像增长特点是 y 随 x 的增大

而减小。

(3)指数函数模型:y=a·bx+c(b>0,b≠1,a≠0)型,图像增长特点是随 着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快 (底数b>1 ,a>0) ,常形象地

称为指数爆炸。
(4)对数函数模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0)型,图像增长特点是 随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢(底数a>1,m>0)。

(5)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0)型,其中最常见的是二次函数模型:
_________________ a≠ y=ax2+bx( + c 0) ,图像增长特点是随着自变量的增大,函数值先 减小,后增大(a>0)。

?f1?x?,x∈D1, ?f2?x?,x∈D2, (6)分段函数模型:y=? ?? ?fn?x?,x∈Dn,

图像特点是每一段自变量变

化所遵循的规律不同。可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别 找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围,特别是端点。 a x+x (a>0) (7)“对勾”函数模型: y=______________ 。 常利用基本不等式、 导数、 函数单调性求解最值。

基 础 自 测
[判一判] (1)函数y=2x的函数值在(0,+∞)上一定比y=x2的函数值大。( × )

解析 错误。当x=2和4时,相等。
(2)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远 远大于y=xα(α>0)的增长速度。( √)

解析 正确。
(3)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度 越来越快的形象比喻。( × )

解析 错误。当a>0,b>1时,结论成立。

(4)幂函数增长比直线增长更快。( × ) 解析 错误。对于幂函数y=xα,在(0,+∞)上,当α>1时,其增长速 度比直线增长快;当0<α<1时,比直线增长慢;当α<0时,为减函数。 (5)指数函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实 际问题中。( √ ) 解析 正确。

[练一练] 1.某市生产总值连续两年持续增加。第一年的增长率为 p,第二年的 增长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( p+q A. 2 C. pq ?p+1??q+1?-1 B. 2 D. ?p+1??q+1?-1 )

解析 设年平均增长率为 x,则(1+x)2=(1+p)(1+q), ∴ x= ?1+p??1+q?-1。 答案 D

2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据。现
准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的 一个是( ) x y 1.95 0.97 3.00 1.59 3.94 1.98 5.10 2.35 6.12 2.61

A.y=2x 1 2 C.y= (x -1) 2
解析

B.y=log2x D.y=2.61cos x

由表格数据可知,y的增长速度随x的增大而减小,符合对数

函数的特点。

答案 B

3 . (2015· 四川卷 ) 某食品的保鲜时间 y( 单位:小时 ) 与储藏温度 x( 单

位:℃ ) 满足函数关系 y = ekx + b(e = 2.718?为自然对数的底数, k , b 为常
数)。若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时, 则该食品在33℃的保鲜时间是( )

A.16小时
C.24小时

B.20小时
D.28小时

解析 由题意,得(0,192)和 (22,48)是函数 y= ekx+ b 图像上的两个点。
?192= eb, 所以? 22k+b 。 ?48=e

① ②

由②,得 48= e22k· eb,③ 48 1 1 把①代入③得 e22k= = ,即(e11k)2= , 192 4 4 1 所以 e = 。 2
11k

1 所以当储藏温度为 33℃时,保鲜时间 y= e33k+ b= (e11k)3· eb= ×192 8 =24(小时)。 答案 C

4.(2016·苏州模拟 )某类产品按工艺共分 10个档次,最低档次产品每
件利润为8元。每提高一个档次,每件利润增加2元。用同样工时,可以生 产最低档产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品。则获得利润最大时 9 生产产品的档次是________ 。 解析 由题意,第 k档次时,每天可获利润为: y= [8 + 2(k- 1)][60 - 3(k-1)]=-6k2+108k+378(1≤k≤10),配方可得y=-6(k-9)2+864,∴k

=9时,获得利润最大。

R

热点命题

深度剖析

考点一

一次函数、二次函数模型
提高市内跨江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状

【例1】

况。在一般情况下,大桥上的车流速度 v( 单位:千米 / 时 ) 是车流密度 x( 单 位:辆/千米)的函数。桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时 车流速度为0;车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时。研究 表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数。 (1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;

【解】 由题意,当 0≤x≤20 时, v(x)=60; 当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,
?200a+b=0, 再由已知得? ?20a+b=60,

?a=-1, ? 3 解得? 200 ?b= 3 。 ?
故函数 v(x)的表达式为

? ?60,0≤x≤20, v(x)=?1 ?200-x?,20≤x≤200。 ? ?3

(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车 辆数,单位:辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值。(精确到1辆 /时)

【解】 依题意并由(1)可得

? ?60x,0≤x≤20, f(x)=?1 x?200-x?,20≤x≤200。 ? ?3
当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数, 故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200;

1 1?x+?200- x??2 10 000 ?= 当 20≤x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ ? ,当且仅 3 3? 3 2 ? 当 x=200-x, 即 x=100 时,取等号。 10 000 所以当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 。 3 10 000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 333, 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/时。

【规律方法】 一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略
(1)直接考查一次函数、二次函数模型。解决此类问题应注意三点:① 二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意

函数的定义域,否则极易出错;②确定一次函数模型时,一般是借助两个
点来确定,常用待定系数法;③解决函数应用问题时,最后要还原到实际 问题。

(2)以分段函数的形式考查。解决此类问题应关注以下三点:①实际问
题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系 式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解;②

构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏;③分段
函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)。

变式训练 1 为了保护环境, 发展低碳经济, 某单位在国家科研部门的 支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的 化工产品。已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处 1 理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y= x2-200x 2 +80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为 100 元。 (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

解 由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为 y 1 80 000 = x+ -200≥2 x 2 x 1 80 000 x· -200=200, 2 x

1 80 000 当且仅当 x= ,即 x=400 时,上式取等号, 2 x 即当每月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低 成本为 200 元。

(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则 国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?

解 设该单位每月获利为 S,
?1 ? 则 S=100x- y=100x-? x2- 200x+80 000? ?2 ?

1 2 =- x +300x-80 000 2 1 =- (x-300)2-35 000, 2 因为 400≤x≤600,所以当 x=400 时,S 有最大值-40 000。 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40 000 元,才能不亏损。

考点二 函数 y=x+x 模型的应用
【例 2】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗, 房屋的屋顶和 外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚 的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元) k 与隔热层厚度 x(单位: cm)满足关系 C(x)= (0≤x≤10), 若不建隔热层, 3x+5 每年能源消耗费用为 8 万元,设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗 费用之和。 (1)求 k 的值及 f(x)的表达式;

a

【解】 由已知条件得 C(0)=8,则 k=40, 800 因此 f(x)=6x+20C(x)=6x+ (0≤x≤10)。 3x+5

(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值。 800 【解】 f(x)=6x+10+ -10 3x+5

≥2

800 ?6x+10? -10=70(万元), 3x+5

800 当且仅当 6x+10= ,即 x=5 时取等号。 3x+5 所以当隔热层厚度为 5 cm 时,总费用 f(x)达到最小值,最小值为 70 万 元。

a 【规律方法】 函数 y=x+ (a>0)在 [- a,0)和 (0, a]内单调递减, x 在 (- ∞,- a]和 [ a,+∞)内单调递增 (函数单调性定义法、导数方法均 可证明),如图所示,函数图像无限趋近于 y=x,但永不相交。当 a在函数 的定义域内时,可以使用基本不等式求最小值,当 a不在函数的定义域内 时根据函数的单调性求最小值。

变式训练2 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,在 温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大 面积是多少?
800 解 设温室的左侧边长为 x m,则后侧边长为 m, x
?800 ? 所以蔬菜种植面积 y= (x-4)? -2? ? x ?

=808-2?x+ 因为 x+ x=

? ?

1 600? ?(4<x<400)。 x ? 1 600 x· =80,所以 y≤808-2×80=648。当且仅当 x

1 600 ≥2 x

1 600 800 ,即 x=40 时取等号,此时 =20,y 最大值=648(m2)。 x x

1 600 因为 x+ ≥2 x

1 600 x· =80,所以 y≤808-2×80=648。当且仅 x

1 600 800 当 x= ,即 x=40 时取等号,此时 =20,y 最大值=648(m2)。 x x 即当矩形温室的边长各为 40 m,20 m 时, 蔬菜的种植面积最大, 最大面 积是 648 m2。

考点三

指数函数的模型

【例 3】 一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐 面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生 1 态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今年为止,森林剩余面积 4 2 为原来的 。 2 (1)求每年砍伐面积的百分比;

【解】 设每年砍伐的百分比为 x(0<x<1), 1 则 a(1-x) = a, 2
10

1 即 (1-x) = , 2
10

?1? 1 解得 x=1-? ? 。 ? 2? 10

(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
【解】 设经过 m 年剩余面积为原来的
m

2 , 2

2 ?1? 1 ?1? 1 ?1? 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 则 a(1-x) = a,∴x=1- 。∴ = ,∴ = , 2 2m 10 ? 2? 2m ? 2?2m ? 2?10 解得 m=5。 故到今年为止,该森林已砍伐了 5 年。

【规律方法】 型来表示。

(1)指数函数模型常与增长率相结合进行考查,在实际

问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模
(2)应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型将有关已

知数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型。
(3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解。

变式训练3

一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3

mg/mL ,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为 了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒 精含量不得超过0.09 mg/mL,那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经 5 过________ 小时才能开车。(精确到1小时) 解析 设至少经过x小时才能开车。 由题意得0.3(1-25%)x≤0.09,

∴0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈5。

S

思想方法

感悟提升

⊙1个防范——实际问题的定义域 要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域。

⊙4个步骤——解决实际应用问题的一般步骤
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学 模型;

(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,
利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论;

(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义。

以上过程用框图表示如下:


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