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1. 习题课


习题课 函数与极限
一、 函数

第一章

二、 连续与间断
三、 极限

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一、 函数
1. 函数的概念 定义: 设 定义域 其中 函数为特殊的映射: 值域

图形:
( 一般为曲线 )

y

y ? f ( x)

o
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D
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x
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2. 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 3. 反函数 设函数 4. 复合函数 给定函数链 为单射, 反函数为其逆映射

f ?1 : f ( D) ? D

则复合函数为 f ? g : D ? f [ g ( D) ] 5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与复
复合而成的一个表达式的函数.
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3x ? 1 , x ? 1 求 f [ f ( x)] . ? , 例1. 设函数 f ( x) ? ? x ?1 ?x,
解:

3 f ( x) ? 1 , ? f [ f ( x)] ? ? ? f ( x) ,

f ( x) ? 1 f ( x) ? 1

x?0
3(3x ? 1) ? 1

? ? ? ? 3x ? 1 , ? ? x,

9x ? 4 , x ? 0

0 ? x ?1
x ?1

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例2. 设

其中



解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 . 令 即

代入原方程得 即





代入上式得 即

画线三式联立
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4. 设 f ( x) ? e 及其定义域 .

x2

, f [? ( x)] ? 1 ? x , 且? ( x) ? 0 , 求 ? ( x)

x?8 ? x ? 3, 5. 已知 f ( x) ? ? , 求 f (5) . ? f [ f ( x ? 5)] , x ? 8 1 6. 设 f (sin x ? ) ? csc 2 x ? cos 2 x , 求 f ( x) . sin x
4. 解: 由 得

x

x

? ( x)

? ( x)

? ( x) ? ln( 1 ? x) ,

x ? (?? , 0]
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x?8 ? x ? 3, , 求 f (5) . 5. 已知 f ( x) ? ? ? f [ f ( x ? 5)] , x ? 8 ) ? f (7) ? f [ 解: f (5) ? f [ f (10) ] ? f (

]

? f(

) ? f (9) ? 6

1 2 2 ) ? csc x ? cos x , 求 f ( x) . 6. 设 f (sin x ? sin x
解: ?
2 1 1 f (sin x ? ) ? 2 ? sin x ? 1 sin x sin x 2 1 ? (sin x ? ) ?3 sin x 2
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? f ( x) ? x ? 3

二、 连续与间断
1. 函数连续的等价形式
x ? x0

lim f ( x) ? f ( x0 )

? ? f ( x0 ) ? f ( x0 ) ? f ( x0 )

? ?x ? x ? x0 , ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?
f ( x) ? f ( x0 ) ? ?
第一类间断点

?x?0

lim ?y ? 0

? ? ? 0 , ?? ? 0 , 当 x ? x0 ? ? 时, 有
可去间断点 跳跃间断点
无穷间断点 振荡间断点
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2. 函数间断点

第二类间断点

3. 闭区间上连续函数的性质 有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .

例3. 设函数

在 x = 0 连续 , 则 a =
?

2

, b=

e

.

a ? 提示: f (0 ) ? lim ? 2 x?0 2 x 1 2 f (0? ) ? lim ? ln (b ? x 2 ) ? ln b 1 ? cos x ~ x x?0 2 a ? 1 ? ln b 2
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a (1 ? cos x)

例4. 设函数 及可去间断点 解:

有无穷间断点
试确定常数 a 及 b . 为无穷间断点, 所以

ex ? b lim ?? x ?0 ( x ? a )( x ? 1)

( x ? a)( x ? 1) a lim ?0 ? x x ?0 1? b e ?b a ? 0 , b ?1

ex ? b 为可去间断点 , ? lim 极限存在 x ?1 x ( x ? 1)

lim(e x ? b) ? 0
x ?1

b ? lim e x ? e
x ?1
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三、 极限
1. 极限定义的等价形式 (以 x ? x0 为例 )

"? ?? "

(即 ? ? f ( x) ? A 为无穷小)

有 2. 极限存在准则及极限运算法则

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3. 无穷小
无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ; 常用等价无穷小:

sin x~ x ;




arcsin x~ x ;


1 x2 ; 1 ? cos x~ 2



~ x; e ?1
4. 两个重要极限 5. 求极限的基本方法

x

~? x ; (1 ? x) ? 1

?

6. 判断极限不存在的方法
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例6. 求下列极限:

(1) lim (sin x ? 1 ? sin x )
x ???

(2)

2 1 ? x lim sin ? x x ?1

(3)

cot x 1 ? x lim ? 1? x ? x ?0

提示: (1) sin x ? 1 ? sin x

x ?1 ? x x ?1 ? x ? 2 sin cos 2 2 1 x ?1 ? x ? 2 sin cos 2( x ? 1 ? x ) 2
无穷小 有界
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(2)

2 1 ? x lim x ?1 sin ? x

令 t ? x ?1

?t (t ? 2) ? lim t ?0 sin ? (t ?1) t (t ? 2) ? lim t ?0 sin ? t

2 t ( t ? 2 ) ? lim ? t ?0 ? t ?
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1 ? x cot x (3) lim ? ? ? lim (1 ? 2 x )cot x x?0 1 ? x x?0 1? x

1?

x ln (1 ? 2 x ) ~ 12 ?x

?e

x ?0

x 2x lim ( cos sin x ? 1? x )

1? x

?e

2

例7. 确定常数 a , b , 使 解: 原式 ? lim x ( 3 13 ? 1 ? a ? b )?0 x
x ?? x

?

x ??

lim ( 3

1 x3

?1 ? a ? b )?0 x

故 ? 1 ? a ? 0 , 于是 a ? ?1 , 而

? lim

1 (1 ? x ) ? x 1 ? x 3 ? x 2
3 2 3

x ?? 3

?

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例8. 当 x ? 0时, 3 x 2 ? x 是 解: 设其为 的 阶无穷小, 则
3 2 x ?0 3 2

的几阶无穷小?

lim

x ? x xk

?C ?0
? lim 3 x ?0 x ? x x
3k
1 ? 3k 2 3 2



x ?0

lim

x ? x x
k

2



1 k? 6

? lim

3

x ?0

x

(1 ? x )

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阅读与练习
1. 求 的间断点, 并判别其类型.

(1 ? x) sin x 1 ? sin 1 解: lim 2 x ? ?1 x ( x ? 1)( x ? 1)
x = –1 为第一类可去间断点
x? 1

lim f ( x) ? ?
x = 1 为第二类无穷间断点
x? 0

x? 0

lim ? f ( x) ? ?1,

lim ? f ( x) ? 1,
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x = 0 为第一类跳跃间断点

2. 求 解:

(2000考研)

3 1 4 ? ? ? ? ? ? x x x sin x ? sin x ? ? 2e ? e ?2?e lim ? ? ? lim ? ? ? 1 ? ? 4 4 ?x x ? x ?0 ? ? x ? x ?0 ? ? 1 ? e x ? ? ? e ?1 ? 1 1 ? ? ? ? x x 2?e sin x ? sin x ? ?2?e ? ? lim ? ? lim ? ? ? 1 4 ? 4 ? ? x ? x ? x?0 ? 1 ? e x x ?0 ? ? 1 ? e x ? ? ? ?

原式 = 1
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3. 求 lim (1 ? 2
x ???

x

? 3x ) x .
x x x ?3 )
1

1

解: 令 f ( x) ? (1 ? 2 则

? 3?
1 x

x (1 ) 3

x ? (2 ) 3

?1 ?

1 x

3 ? f ( x) ? 3 ? 3 利用夹逼准则可知 lim f ( x) ? 3 .
x ???

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