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2015惠州一模文数含答案


广东省惠州市 2015 届高三第一次调研考试 数学试题(文科)
(本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. )
注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净

后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求.) 1.复数 Z ? A. ?

1 2

i (其中 i 为虚数单位)的虚部是 ( 1? i 1 1 B. i C. 2 2

) D. ?

1 i 2


2.已知集合 A ? x y ? lg ? x ? 3? , B ? x x ? 2 ,则 A B ? ( A. ( ?3, 2] B. ( ?3, ??) C. [2, ??) ) C. y ? x ? 1 )

?

?

?

?

D. [?3, ??)

3.下列函数在定义域内为奇函数的是( A. y ? x ?

1 x

B. y ? x sin x

D. y ? cos x

4.命题“ 若x ? 1, 则-1 ? x ? 1 ”的逆否命题是(
2

A. 若x ? 1, 则x ? 1, 或x ? ?1
2
2 C.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x ? 1

2 B.若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1

2 D.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x ? 1

5.若向量 BA ? (1, 2), CA ? (4,5), 则 BC ? A. (5, 7) B. (?3, ?3) C. (3,3) D. (?5, ?7)

6. 若函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算, 得数据如下:

f (1) ? ?2 f (1.375) ? ?0.260

f (1.5) ? 0.625 f (1.4375) ? 0.162

f (1.25) ? ?0.984 f (1.40625) ? ?0.054


那么方程 x3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个最接近的近似根为(

A. 1.2

B. 1.3

C. 1.4

D. 1.5 )

7.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 7 ,则输出的 s 的值为( A. 22 B. 16 C. 15 D. 11

y 2

-

π 3

O

5π 12

x

(7 题) 8.函数 f ( x) ? 别是 ( A. 2, ? )

(8 题)

2 sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, ? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则 ? , ? 的值分

?
3

B. 2, ?

?
6

C. 4, ?

?
6

D. 4,

?
3

9.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线的斜率为( a 2 b2
B. ? 2 C. ?



A. ?2

1 2

D. ?

2 2

10.已知函数 f ( x) ? ? A. ? ?1,0?

2 ? ? x ? 2 x, x ? 0 ,若f (?a) ? f (a) ? 2 f (1), 则实数 a 的取值范围是 2 x ? 2 x , x ? 0 ? ?

B. ?0,1?

C. ??1,1?

D. ? ?2, 2?

二、填空题: (本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) (一)必做题(11~13 题)
4 3 3 2 正视图 侧视图

11. 计算 log3 18 ? log3 2 ?



?2x ? y ? 2 ?x ? 2y ? 2 ? 12.变量 x 、 y 满足线性约束条件 ? , x ? 0 ? ? ?y ? 0
则目标函数 z ? x ? y 的最大值为 . 13.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积等于

3 俯视图

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的 得分。 14 . (坐标系与参数方程选做题)已知在平面直角坐标系 xOy 中圆 C 的参数方程为:

? ? x ? 3 ? 3cos ? , ( ? 为参 数) ,以 Ox 为极 轴建 立极坐标 系,直 线极坐 标方程为 : ? ? ? y ? 1 ? 3sin ?

? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 0 ,则圆 C 截直线所得弦长为 6?

.

15. (几何证明选讲选做题)如图, AB 是圆 O 的直径,

BC 是圆 O 的切线,切点为 B , OC 平行于弦 AD ,
若 OB ? 3 , OC ? 5 ,则 CD ? . 文字
C

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出 说明、证明过程或演算步骤. ) 16 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 函 数

D

f ( x) ?

3 1 cos x ? sin x ? 1 2 2

A O

B

(1)求函数 f ( x) 的值域和函数的单调递增区间; (2)当 f (? ) ? 值.

9 ? 2? 2? ) ,且 ? ? ? 时,求 sin(2? ? 5 6 3 3



17.(本题满分 12 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列 联表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50

(1)用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽6人,其中男生抽多少人? (2)在上述抽取的6人中选2人,求恰有一名女生的概率.

18. (本小题满分 14 分) 如图所示的多面体中, ABCD 是菱形, BDEF 是矩形,

ED ? 面 ABCD , ?BAD ?

?
3

E F



(1)求证: 平面BCF / /平面AED . (2)若 BF ? BD ? a, 求四棱锥A ? BDEF的体积。
A

D B

C

19. (本小题满分 14 分) 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 首 项 a1 ? 1, 公 差 d ? 0, 且 a2 , a5 , a14 分 别 是 等 比数 列 ?bn ? 的

b2 , b3 , b4 .
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)设数列 ?cn ? 对任意正整数 n 均有 的值.

c1 c2 ? ? b1 b2

?

cn ? an?1 成立,求 c1 ? c2 ? bn

? c2014

20.(本题满分 14 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? ,过 C1 的左焦点 F 1 的直线 2 a b 3

l : x ? y ? 2 ? 0 被圆 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? r 2 (r ? 0) 截得的弦长为 2 2 .
(1)求椭圆 C1 的方程;

a2 (2)设 C1 的右焦点为 F2 ,在圆 C2 上是否存在点 P ,满足 PF1 ? 2 PF2 ,若存在,指 b
出有几个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1(a ? R) x

(1)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 a ?

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2

广东省惠州市 2015 届高三第一次调研考试 数学试题(文科)答案
题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 D 5 B 6 C 7 B 8 A 9 B 10 C

1. 【解析】化简得 z ?

1 1 1 ? i ,则虚部为 ,故选 C 2 2 2

2. C 【解析】 A ? x y ? lg ? x ? 3? ? x x ? ?3 ,B ? x x ? 2 , 所以 A 故选 C. 3. 【解析】根据奇函数的定义可知 A 正确。

?

? ?

?

?

?

B ? [2, ??) ,

2 4. 【解析】由逆否命题的变换可知,命题“若 x ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ” 的逆否命题是“若

x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 ” ,故选 D.
5. 【解析】 BC ? BA ? AC ? ? ?3, ?3? 6. 【解析】因为 f ?1.40625? ? -0.054 ? 0 , f ?1.4375? ? 0.162 ? 0 ,由零点存在定理 知,最接近的近似根为 1.4 . 7. 【解析】程序执行过程中, i, s 的值依次为 i ? 1, s ? 1 ; s ? 1, i ? 2 ; s ? 1 ? 1, i ? 3 ;

s ? 1 ? 1 ? 2, i ? 4 ; s ? 1 ? 1 ? 2 ? 3, i ? 5 ; s ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4, i ? 6 ;

s ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5, i ? 7 ,输出 s 的值为 16.

3 5 π T ? π+ . 5 12 3 π 时取到最大值 2 , 8. 【解析】 由图知 f ( x ) 在 x ? 且最小正周期 T 满足 4 12 3 2π ? ? 3π,? ? 2, 故 A ? 2, 4 ? 2 sin(2 ? 5π 5π ? ? ) ? 2 sin( ? ? ) ? 1, 6 12 ,

5π π π π ? ? ? 2kπ ? ,? ? 2kπ ? , k ? f ( x) ? 2 sin(2 x ? ). 3 6 2 3 Z .所以 5 π f ( π) ? 2 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ). 3 或由 12 逐个检验知
9. 【解析】试题分析:双曲线的离心率 e ? 其渐近线的方程为 y ? ? 10. 【解析】

b c a 2 ? b2 b2 ? ? 1 ? 2 ? 3 ,所以 ? 2 , a a a a

b x ,其斜率为 ? 2 ,故选 B. a

由偶函数定义可得 f ( x ) 是偶函数,故 f (?a) ? f (a) ,原不等式等价于

函数 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增, f (a) ? f (1) ,又根据偶函数定义, f (a) ? f ( a ) ? f (1) ,

a ? 1 , a ?[?1,1] .或利用图象求 a 范围.选 C.
4 3

11. 2

12.

13. 24

14. 4 2

15. 4

11. 【解析】 log 3 18 ? log 3 2 ? log 3

18 ? log3 9 ? 2 2

?2x ? y ? 2 ?x ? 2y ? 2 ? 12. 【解析】作出不等式组 ? 所表示的可行 x ? 0 ? ? ?y ? 0
域如图所示,联立 ?

y
2 1

?2 x ? y ? 2 ?2 2? 得 A ? , ? ,作直线 ?3 3? ?x ? 2 y ? 2

2x+y=2 A x+2y=2 x 2 1 l:z=x+y 3
2 3 4 第 6 题图

则 z 为直线 l 在 x 轴上的截距, 当直线 l 经 l:z ? x? y , 过可行域上的点 A 时,直线 l 在 x 轴上的截距最大,此 时 z 取最大值,即 zmax ?

2 2 4 ? ? . 3 3 3

O

13. 【解析】由三视图可知,原几何体是一个三棱柱被截去了一个 小三棱锥得到的,如图 V ?

1 1 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? ( ? 3 ? 4) ? 3 ? 24 2 3 2

14. 【解析】圆 C : ?

? x ? 3 ? 3cos ? ? ( ? 为参数)表示的曲线是以点 ? ? y ? 1 ? 3sin ?

?

3,1 为圆心,以 3 为

?

半径的圆, 将直线 ? cos ? ? ?

? ?

??

圆心 ? ? 0 的方程化为直角坐标方程为 3x ? y ? 0 , 6?

?

3,1

?

到直线

3x ? y ? 0 的 距 离 d ?

3?

? ?

3? 1 ?1 , 故 圆 C 截 直 线 所 得 弦 长 2 2 3 ?1

2 32 ?12 ? 4 2 .
15. 【解析】由于 OC //AD ,??BOC ? ?BAD ,而 OD ? OA ,因此 ?ODA ? ?BAD , ??ODA ? ?BOC , OC //AD , ??COD ? ?ODA , ??COD ? ?BOC , OD ? OB , OC ? OC , ??BOC ? ?DOC , D ? B C , 故C 由于 BC 切圆 O 于点 B , 易知 OB ? BC ,

由勾股定理可得 BC ? OC 2 ? OB2 ? 52 ? 32 ? 4 ,因此 CD ? BC ? 4 . 16.解:依题意 f ( x) ?

? 3 1 cos x ? sin x ? 1 ? sin( x ? ) ? 1 3 2 2

???2 分

(1) 函数 f ( x) 的值域是 ? 0, 2? ; 令?

???4 分

?
2

? 2k? ? x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ,解得 ?

5? ? ? 2k? , ? 2k? ](k ? Z ) . ???8 分 6 6 ? 4 ? 9 (2)由 f (? ) ? sin(? ? ) ?1 ? , 得 sin(? ? ) ? , 3 5 3 5 ? 2? ? ? ? 3 , 所以 ? ? ? ? ? , 得 cos(? ? ) ? ? , 因为 ? ? ? ???10 分 6 3 2 3 3 5 24 ? ? 4 3 2? ? sin(2? + ) ? sin 2(? ? ) ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) ? ?2 ? ? ? ? ???12 25 3 3 5 5 3 3
所以函数 f ( x) 的单调增区间为 [? 分 17.解: (1)在喜欢打蓝球的学生中抽6人,则抽取比例为 ∴男生应该抽取 20 ?

5? ? ? 2 k? ? x ? ? 2 k? 6 6

???7 分

6 1 ? 30 5

1 ? 4 人 ??????????4分 5

(2)在上述抽取的 6 名学生中, 女生的有 2 人,男生 4 人。女生 2 人记 A, B ;男生 4 人为

c, d , e, f ,则从 6 名学生任取 2 名的所有情况为: ( A, B) 、 ( A, c) 、 ( A, d ) 、 ( A, e) 、 ( A, f ) 、
( B, c) 、 ( B, d ) 、 ( B, e) 、 ( B, f ) 、 (c, d ) 、 (c, e) 、 (c, f ) 、 ( d , e) 、 (d , f ) 、 (e, f ) 共
15 种情况,????????8 分 其中恰有 1 名女生情况有: ( A, c) 、 ( A, d ) 、 ( A, e) 、 ( A, f ) 、 ( B, c) 、 ( B, d ) 、 ( B, e) 、

( B, f ) ,共 8 种情况,

??????????10 分

故上述抽取的6人中选2人,恰有一名女生的概率概率为 P ?

8 . ???????12 分 15
E F

18.证明: (1)由 ABCD 是菱形

? BC / / AD

BC ? 面ADE , AD ? 面ADE
D

? BC / /面ADE ????????????3 分
由 BDEF 是矩形? BF / / DE

O B

C

A

BF ? 面ADE , DE ? 面ADE

? BF / /面ADE

BC ? 面BCF , BF ? 面BCF , BC
BD ? O 由 ABCD 是菱形,? AC ? BD
(2)连接 AC , AC 由 ED ? 面 ABCD , AC ? 面ABCD

BF ? B ?????6 分

? ED ? AC

ED , BD ? 面BDEF , ED

BD ? D

? AO ? 面BDEF ,?????????????????10 分
则 AO 为四棱锥 A ? BDEF 的高 由 ABCD 是菱形, ?BAD ?

?
3

,则 ? A BD 为等边三角形,

由 BF ? BD ? a ;则 AD ? a, AO ?

3 a S BDEF ? a 2 , 2 ,

1 3 3 3 VA? BDEF ? ? a 2 ? a? a 3 2 6

???????????????14 分

19.解:(1)∵ a2 ? 1 ? d , a5 ? 1 ? 4d , a14 ? 1 ? 13d ,且 a2 , a5 , a 14 成等比数列,
2 ∴ (1 ? 4d ) ? (1 ? d )(1 ? 13d ) ,即 d ? 2 ,

?????2 分

∴ an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1.

????????4 分

又∵ b2 ? a2 ? 3, b3 ? a5 ? 9, ∴ q ? 3 , b1 ? 1, bn ? 3n?1. ??????6 分 (2)∵

c1 c2 ? ? b1 b2

cn ? an?1 , bn





c1 c1 c2 ? a2 ,即 c1 ? ba ? ? 1 2 ? 3 ,又 b1 b1 b2

cn?1 ? an (n ? 2) , bn?1



① ? ②得

cn ? an?1 ? an ? 2 bn

?????????????????9 分

∴ cn ? 2bn ? 2 ? 3n?1 (n ? 2) ,∴ cn ? ? 则 c1 ? c2 ?

( n ?1) ?3 ,????????????11 分 n ?1 ?2 ?3 ( n ?2)
? 2 ? 32014?1 ? 3 ? 2 ? (31 ? 32 ?

? c2014 ? 3 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ?

? 32013 )

? 3 ? 2?

3(1 ? 32013 ) ? 32014. ??????14 分 1? 3

20.解:因为直线 l 的方程为 l : x ? y ? 2 ? 0 ,令 y ? 0 ,得 x ? ?2 ,即 F1 (?2,0) ??1 分 ∴ c ? 2 ,又∵ e ?

c 6 ,∴ a 2 ? 6 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ? a 3

x2 y2 ? ? 1 .???????????????4分 ∴ 椭圆 C1 的方程为 C1 : 6 2
(2)存在点 P,满足 PF1 ?

a2 PF2 b2

∵ 圆心 C2 (3,3) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

3?3? 2 2

? 2,

又直线 l : x ? y ? 2 ? 0 被圆 C2 : x2 ? y 2 ? 6x ? 6 y ? 3m ? 1 ? 0 截得的弦长为 2 2 , ∴由垂径定理得 r ?

l d 2 ? ( )2 ? 2 ? 2 ? 2 , 2

故圆 C2 的方程为 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 .????????????8分 设圆 C2 上存在点 P ( x, y ) ,满足 PF1 ? 且 F1 , F2 的坐标为 F 1 (?2,0), F2 (2,0) ,
2 2 2 2 2 2 则 ( x ? 2) ? y ? 3 ( x ? 2) ? y , 整理得 ( x ? ) ? y ?

a2 PF2 即 PF1 ? 3 PF2 , b2

5 2

9 5 , 它表示圆心在 C ( , 0) , 4 2

半径是

3 的圆。 2

∴ CC2 ? (3 ? ) ? (3 ? 0) ?
2 2

5 2

37 ???????????????12分 2

故有 2 ?

3 3 ? CC2 ? 2 ? ,即圆 C 与圆 C2 相交,有两个公共点。 2 2

a2 ∴圆 C2 上存在两个不同点 P ,满足 PF1 ? 2 PF2 .?????????14分 b
1, x ? (0, ??) 21.解: (1)当 a ? -1 时, f ( x) ? ln x ? x ? - 2 x

1 2 ? 1 ? 2 , f (2) ? ln 2 ? 2, f ' (2) ? 1, 所以切线方程为:y ? x ? ln 2 ??6 分 x x 1? a ? 1, (2)因为 f ( x) ? ln x ? ax ? x f ' ( x) ?
所以 f ' ( x) ?

ax2 ? x ? 1 ? a 1 a ?1 ?a? 2 ?? x x x2

x ? (0,??) ,

令 g ( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a, x ? (0,??), ????????8 分 (i)当 a=0 时, g ( x) ? -x ? 1, x ? (0, ??) 所以当 x ? (0,1) 时 g(x)>0, f ' ( x) ? 0 此时函数 f ( x ) 单调递减, x∈(1 ,∞)时,g(x)<0, f ' ( x) ? 0 此时函数 f (x)单调递增。
,

(ii)当 a ? 0 时,由 f ( x)=0 ,解得: x1 ? 1, x2 ? 1- ????????10 分

1 a

1 ,函数 f(x)在 (0,+?) 上单调递减,????????11 分 2 1 1 1 ? ?) 单调递减,在 (1, -1) 上单调递增. ②若 0 ? a ? ,在 (0,1), ( -1, 2 a a
①若 a ? ③ 当 a<0 时,由于 1/a-1<0, x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f ' ( x) ? 0 ,函数 f(x)单调递减; x∈(1 ,∞)时,g(x)<0 , f ( x) ? 0 ,此时函数 f ( x ) 单调递增。
'

综上所述: 当 a≤ 0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减; 函数 f(x)在 (1, +∞) 上单调递增

1 时,函数 f(x)在(0, + ∞)上单调递减 2 1 1 ? ?) 上单调递减; 当 0 ? a ? 时,函数 f(x)在 (0,1), ( -1, 2 a 1 函数 f(x)在 (1, -1) 上单调递增;???14 分 a
当a ?

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广东省惠州市2016届高三第一次调研考试文科数学试题

机密★启用前 考试时间:2015 年 7 月 1 日 15:00-17:00 惠州市 2016 届高三第一次调研考试 文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分....

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