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2015年河北省衡水点睛大联考高考数学四模试卷(文科)


2015 年河北省衡水点睛大联考高考数学四模试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.(5 分)(2015?衡水四模)设集合 M={x|x +3x+2<0},集合 N={x|( ) ≤4},则 M∪ N= ( . ) A { x|x≥﹣2} B { x|x>﹣1} . C

{ x|x<﹣1} .
﹣1

2

x

D { x|x≤﹣2} .
3

2.(5 分)(2014?埇桥区校级学业考试)若 x∈(e ,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln x,则( A a<b<c B c<a<b C b<a<c D b<c<a . .
2





. )

3. (5 分) (2015?衡水四模) 抛物线 y=4x 关于直线 x﹣y=0 对称的抛物线的准线方程是 ( A y=﹣1 B C x=﹣1 D y=﹣ x=﹣ . . . . 是面积为 8 的矩形,则该几何体的表面积是( )

4.(5 分)(2015?衡水四模)如图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其俯视图

A 20+8 .

B 24+8 .

C 8 .

D 16 .

5.(5 分)(2015?衡水四模)若函数 f(x)同时具有以下两个性质:① f(x)是偶函数,② 对 任意实数 x,都有 f( A f(x)=cosx . +x)=f( ﹣x),则 f(x)的解析式可以是( C f(x)=sin . (4x+
x



B f(x)=cos . (2x+ )

D f(x)=cos6x .
2



6.(5 分)(2015?衡水四模)已知命题 p:?x0∈R,e ﹣mx=0,q:?x∈R,x +mx+1≥0,若 p∨ (? q)为假命题,则实数 m 的取值范围是( ) A (﹣∞,0)∪ . (2,+∞) B [0,2] . C R . D ? .

7.(5 分)(2015?衡水四模)若实数 x、y 满足不等式组

则 z=|x|+2y 的最大

值是( A 10 .

) B 11 . C 13 . D 14 . ,

8.(5 分)(2015?衡水四模)已知数列{an}满足 a1=1,且 且 n∈N ),则数列{an}的通项公式为(
*



1

A .

an =

B a = n .

C an=n+2 .

D an=(n+2)3n . 的左、右焦点,点 P 在 C

9.(5 分)(2015?衡水四模)已知 F1,F2 为双曲线 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠ F1PF2=( A B . A 没有零点 . C 有且仅有两个 . 零点 . B 有且仅有一个 . 零点 D 有无穷多个零 . 点 ) C . D .

10.(5 分)(2011?陕西)函数 f(x)=

﹣cosx 在[0,+∞)内 (



11.(5 分)(2006?重庆)与向量 的向量是( A . C . ) B . D .

的夹角相等,且模为 1

12.(5 分)(2015?湖南一模)在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,若 直线 y=kx+2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小 值是( A . ) B . C . D .

2

2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填写在各小题的横线 上.) 13.(5 分)(2015?衡水四模)已知 f(x)=x+log2 的值为 . ,各侧面均为直角三角形的正三棱锥 P﹣ .
x

,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)

14.(5 分)(2015?衡水四模)已知底面边长为

ABC 的四个顶点都在同一球面上,则此球的表面积为

15.(5 分)(2015?衡水四模)若在区间[0,1]上存在实数 x 使 2 (3x+a)<1 成立,则 a 的 取值范围是 . 16.(5 分)(2015?衡水四模)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分 别为 F1、F2,这两条曲线在第一象限的交点为 P,△ PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 |PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为 e1、e2,则 e1?e2 的取值范围为 .

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明或演算步骤.) 17.(12 分)(2015?衡水四模)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,函数 f (x)=2cosxsin(x﹣A)+sinA(x∈R)在 x= (1)当 处取得最大值.

时,求函数 f(x)的值域;

2

(2)若 a=7 且 sinB+sinC=

,求△ ABC 的面积.

18.(12 分)(2015?衡水四模)若{an} 是各项均不为零的等差数列,公差为 d,Sn 为其前 n 项和,且满足 an =S2n﹣1,n∈N .数列{bn}满足 bn= (Ⅰ )求 an 和 Tn; (Ⅱ )是否存在正整数 m、n(1<m<n),使得 T1、Tm、Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m、 n 的值; 若不存在,请说明理由. 19.(12 分)(2015?衡水四模)如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1. (Ⅰ )若 M、N 分别是 AB,A1C 的中点,求证:MN∥ 平面 BCC1B1. (Ⅱ )若三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各棱长均为 2,∠ B1BA=∠ B1BC=60° ,P 为线段 B1B 上的动点, 当 PA++PC 最小时,求证:B1B⊥ 平面 APC.
2 *

为数列{bn}的前 n 项和.

20.(12 分)(2015?衡水四模)已知点 A(﹣4,4)、B(4,4),直线 AM 与 BM 相交于点 M,且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率之差为﹣2,点 M 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ ) 求曲线 C 的轨迹方程; (Ⅱ ) Q 为直线 y=﹣1 上的动点,过 Q 做曲线 C 的切线,切点分别为 D、E,求△ QDE 的面积 S 的最小值. 21.(12 分)(2015?衡水四模)已知函数 f(x)=ax+ +c(a>0)的图象在点(1,f(1)) 处的切线方程为 y=x﹣1. (1)试用 a 表示出 b,c; (2)若 f(x)≥lnx 在[1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (3)证明:1+ + +…+ >ln(n+1)+ (n≥1).

请考生在第 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.【选修 4-1:几 何证明选讲】 22. (10 分) (2015?衡水四模)如图,AB 是☉ O 的直径,AC 是弦,∠ BAC 的平分线 AD 交☉ O 于点 D,DE⊥ AC,交 AC 的延长线于点 E,OE 交 AD 于点 F. (Ⅰ )求证:DE 是☉ O 的切线; (Ⅱ )若 = ,求 的值.

3

【选修 4-4:坐标系与参数方程】

23. (2015?衡水四模)已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是

(t

是参数),以原点 O 为极点,Ox 为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 p=2cos(θ+ (1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.(2015?衡水四模)已知 f(x)=|2x﹣1|+ax﹣5(a 是常数,a∈R) ① 当 a=1 时求不等式 f(x)≥0 的解集. ② 如果函数 y=f(x)恰有两个不同的零点,求 a 的取值范围.

).

4

2015 年河北省衡水点睛大联考高考数学四模试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.(5 分)(2015?衡水四模)设集合 M={x|x +3x+2<0},集合 N={x|( ) ≤4},则 M∪ N= ( . 考点: 专题: 分析: 解答: ) A { x|x≥﹣2} B { x|x>﹣1} . 并集及其运算. 集合. 求出集合的等价条件,根据集合的基本运算即可得到结论. 解:M={x|x +3x+2<0}={x|﹣2<x<﹣1},集合 N={x|( ) ≤4}={x|x≥﹣2}, 则 M∪ N={x|x≥﹣2}, 故选:A 点评: 本题主要考查集合的基本运算,求出集合的等价条件是解决本题的关键.
﹣1

2

x

C { x|x<﹣1} .

D { x|x≤﹣2} .

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2

x

2.(5 分)(2014?埇桥区校级学业考试)若 x∈(e ,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln x,则( A a<b<c B c<a<b C b<a<c D b<c<a . 考点: 分析: 解答: . 对数值大小的比较. . .

3



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根据函数的单调性,求 a 的范围,用比较法,比较 a、b 和 a、c 的大小. 解:因为 a=lnx 在(0,+∞)上单调递增, 故当 x∈(e ,1)时,a∈(﹣1,0), 于是 b﹣a=2lnx﹣lnx=lnx<0,从而 b<a. 又 a﹣c=lnx﹣ln x=a(1+a)(1﹣a)<0,从而 a<c. 综上所述,b<a<c. 故选 C
3
﹣1

点评:

对数值的大小,一般要用对数的性质,比较法,以及 0 或 1 的应用,本题是基础题.
2

3. (5 分) (2015?衡水四模)抛物线 y=4x 关于直线 x﹣y=0 对称的抛物线的准线方程是( A y=﹣1 B C x=﹣1 D y=﹣ x=﹣ . . . . 考点: 专题: 分析: 抛物线的简单性质.
2



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计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 先求出抛物线 y=4x 的准线 l,然后根据对称性的求解 l 关于直线 y=x 对称的直线,即为抛物 线 y=4x 关于直线 x﹣y=0 对称的抛物线的准线方程.
2

5

解答:

解:因为 y=4x 的准线方程为 y=﹣

2

,关于 y=x 对称方程为 x=﹣ .



所以所求的抛物线的准线方程为:x=﹣ 故选:D. 点评:

本题主要考查了抛物线的准线,曲线关于直线对称的求解,属于对基础知识的考查.

4.(5 分)(2015?衡水四模)如图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其俯视图是 面积为 8 的矩形,则该几何体的表面积是( )

A 20+8 . 考点: 专题: 分析: 解答:

B 24+8 .

C 8 .

D 16 .

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 计算题;空间位置关系与距离.

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由三视图及题设条件知,此几何体为一个三棱柱,底面是等腰直角三角形,且其高为 故先求出底面积,求解其表面积即可. 解:此几何体是一个三棱柱,且其高为 =4,



由于其底面是一个等腰直角三角形,直角边长为 2,所以其面积为 × 2× 2=2, 又此三棱柱的高为 4,故其侧面积为(2+2+2 表面积为:2× 2+16+8 故选 A. 点评: 本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考查三视图 与实物图之间的关系,用三视图中的数据还原出实物图的数据,再根据相关的公式求表面积 三视图的投影规则是:“主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等”. 5.(5 分)(2015?衡水四模)若函数 f(x)同时具有以下两个性质:① f(x)是偶函数,② 对 任意实数 x,都有 f( A f(x)=cosx . +x)=f( ﹣x),则 f(x)的解析式可以是( C f(x)=sin . (4x+ ) ) =20+8 . )× 4=16+8 ,

B f(x)=cos . (2x+ )

D f(x)=cos6x .

考点: 专题: 分析: 解答:

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 三角函数的图像与性质.

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先判断三角函数的奇偶性,再考查三角函数的图象的对称性,从而得出结论. 解:由题意可得,函数 f(x)是偶函数,且它的图象关于直线 x= ∵ f(x)=cosx 是偶函数,当 x= 时,函数 f(x)= 对称.

,不是最值,故不满足图象关于直

6

线 x=

对称,故排除 A. )=﹣sin2x,是奇函数,不满足条件,故排除 B. )=cos4x 是偶函数,当 x= 对称,故 C 满足条件. 时,函数 f(x)=0,不是最值,故不满足图象关 时,函数 f(x)=﹣4,是最大值,

∵ 函数 f(x)=cos(2x+ ∵ 函数 f(x)=sin(4x+ 故满足图象关于直线 x=

∵ 函数 f(x)=cos6x 是偶函数,当 x= 于直线 x= 故选:C. 点评: 对称,故排除 D,

本题主要考查三角函数的奇偶性的判断,三角函数的图象的对称性,属于中档题.
x 2

6.(5 分)(2015?衡水四模)已知命题 p:?x0∈R,e ﹣mx=0,q:?x∈R,x +mx+1≥0,若 p∨ (? q)为假命题,则实数 m 的取值范围是( ) A (﹣∞,0)∪ . (2,+∞) 考点: 专题: 分析: 解答: B [0,2] . C R . D ? .

复合命题的真假.

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函数的性质及应用. 根据复合函数的真假关系,确定命题 p,q 的真假,利用函数的性质分别求出对应的取值 范围即可得到结论. 解:若 p∨ (? q)为假命题,则 p,? q 都为假命题,即 p 是假命题,q 是真命题, 由 e ﹣mx=0 得 m=
x



设 f(x)=

,则 f′(x)=

=



当 x>1 时,f′(x)>0,此时函数单调递增, 当 0<x<1 时,f′(x)<0,此时函数单调递递减, 当 x<0 时,f′(x)<0,此时函数单调递递减, ∴ 当 x=1 时,f(x)= ∴ 函数 f(x)= 取得极小值 f(1)=e,

的值域为(﹣∞,0)∪ [e,+∞),
2 2

∴ 若 p 是假命题,则 0≤m<e; 若 q 是真命题,则由 x +mx+1≥0,则△ =m ﹣4≤0,解得﹣2≤m≤2, 综上 故选:B. 点评: 本题主要考查复合命题之间的关系,利用函数的性质求出相应的取值范围是解决本题的关 ,解得 0≤m≤2.

7

键,综合性较强,有一定的难度.

7.(5 分)(2015?衡水四模)若实数 x、y 满足不等式组

则 z=|x|+2y 的最大值

是( . 考点: 专题: 分析: 解答:

) B 11 . 简单线性规划. C 13 . D 14 .

A 10

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不等式的解法及应用. 由约束条件作出可行域,分类化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求 出最优解的坐标,代入目标函数得答案.

解:由约束条件

作出可行域如图,

当 x≥0 时,z=|x|+2y 化为 y=﹣ x+ z,表示的是斜率为﹣ ,截距为 的平行直线系, 当过点(1,5)时,直线在 y 轴上的截距最大,z 最大,zmax=1+2× 5=11; 当 x<0 时,z=|x|+2y 化为 ,表示斜率为 ,截距为 ,的平行直线系,

当直线过点(﹣4,5)时直线在 y 轴上的截距最大,z 最大,zmax=4+2× 5=14. ∴ z=|x|+2y 的最大值是 14. 故选:D. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

8.(5 分)(2015?衡水四模)已知数列{an}满足 a1=1,且 n∈N ),则数列{an}的通项公式为( A B a = n an = . . 考点: 数列递推式.
*

,且

) C an=n+2 . D an=(n+2)3n .

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8

分析:

由题意及足 a1=1,且 进而求解.

,且 n∈N ),则构造新的等差数列

*

解答: 解:因为 ,且 n∈N )?
*





,则数列{bn}为首项

,公差为 1 的等差数列,

所以 bn=b1+(n﹣1)× 1=3+n﹣1=n+2,所以 故答案为:B 点评:



此题考查了构造新的等差数列,等差数列的通项公式.

9.(5 分)(2015?衡水四模)已知 F1,F2 为双曲线 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠ F1PF2=( A B . 考点: 专题: 分析: 解答: . 双曲线的简单性质. ) C . D .

的左、右焦点,点 P 在 C

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圆锥曲线的定义、性质与方程. 根据双曲线的定义,结合|PF1|=2|PF2|,利用余弦定理,即可求 cos∠ F1PF2 的值. 解:设|PF1|=2|PF2|=2m,则根据双曲线的定义,可得 m=2a ∴ |PF1|=4a,|PF2|=2a ∵ 双曲线 ∴ |F1F2|=2 a, = .

∴ cos∠ F1PF2= 故选 B. 点评:

本题考查双曲线的性质,考查双曲线的定义,考查余弦定理的运用,属于中档题. ﹣cosx 在[0,+∞)内 ( )

10.(5 分)(2011?陕西)函数 f(x)= A 没有零点 . C 有且仅有两个 . 零点 考点: 专题: B 有且仅有一个 . 零点 D 有无穷多个零 . 点 函数零点的判定定理.

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计算题;压轴题;分类讨论.

9

分析: 解答:

根据余弦函数的最大值为 1,可知函数在[π,+∞)上为正值,在此区间上函数没有零点, 问题转化为讨论函数在区间[0,π)上的零点的求解,利用导数讨论单调性即可. 解:f′(x)= +sinx >0 且 sinx>0,故 f′(x)>0

① 当 x∈[0.π)时,

∴ 函数在[0,π)上为单调增 取 x= 可得函数在区间(0,π)有唯一零点 ② 当 x≥π 时, >1 且 cosx≤1 故函数在区间[π,+∞)上恒为正值,没有零点 综上所述,函数在区间[0,+∞)上有唯一零点 点评: 在[0,+∞)内看函数的单调性不太容易,因此将所给区间分为两段来解决是本题的关键所 在. <0,而 >0

11.(5 分)(2006?重庆)与向量 的向量是( A. C. ) B. D.

的夹角相等,且模为 1

考点: 分析: 解答:

平面向量数量积坐标表示的应用.

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要求的向量与一对模相等的向量夹角相等,所以根据夹角相等列出等式,而已知的向量模 是相等的,所以只要向量的数量积相等即可.再根据模长为 1,列出方程,解出坐标. 解:设与向量 且模为 1 的向量为(x,y), 的夹角相等,



解得





故选 B. 点评: 本题表面上是对向量数量积的考查,根据两个向量的坐标,用数量积列出式子,但是这步 工作做完以后,题目的重心转移到解方程的问题,解关于 x 和 y 的一元二次方程.

10

12.(5 分)(2015?湖南一模)在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,若 直线 y=kx+2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小 值是( A . 考点: 专题: 分析: 解答: ) B . 直线与圆的位置关系. C . D .

2

2

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计算题;转化思想;直线与圆. 化圆 C 的方程为(x﹣4) +y =1,求出圆心与半径,由题意,只需(x﹣4) +y =4 与直线 y=kx+2 有公共点即可. 解:∵ 圆 C 的方程为 x +y ﹣8x+15=0,整理得:(x﹣4) +y =1,即圆 C 是以(4,0)为 圆心,1 为半径的圆; 又直线 y=kx+2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点, ∴ 只需圆 C :(x﹣4) +y =4 与直线 y=kx+2 有公共点即可. 设圆心 C(4,0)到直线 y=kx+2 的距离为 d, 则 d= ≤2,即 3k ≤﹣4k,
2 ′ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴ ﹣ ≤k≤0. ∴ k 的最小值是 故选 A. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,将条件转化为“(x﹣4) +y =4 与直线 y=kx+2 有公共点”是 关键,考查学生灵活解决问题的能力,是中档题.
2 2



二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填写在各小题的横线 上.) 13.(5 分)(2015?衡水四模)已知 f(x)=x+log2 的值为 36 考点: 专题: 分析: . 函数的值. ,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)

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函数的性质及应用. 由已知得 f(x)+f(9﹣x)=(x+log2 +f(2)+f(3)+…+f(8)的值. )+(9﹣x+ )=9,由此能求出 f(1)

解答:

解:∵ f(x)=x+log2

, )+(9﹣x+ )=9,

∴ f(x)+f(9﹣x)=(x+log2 ∴ f(1)+f(2)+f(3)+…+f(8)

=[f(1)+f(8)]+[f(2)+f(7)]+[f(3)+f(6)]+[f(4)+f(5)] =9× 4=36.

11

故答案为:36. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题的关键是推导出 f(x)+f(9﹣x)=9. ,各侧面均为直角三角形的正三棱锥 P﹣ABC 3π .

14. (5 分) (2015?衡水四模)已知底面边长为 的四个顶点都在同一球面上,则此球的表面积为 考点: 专题: 分析: 球的体积和表面积. 底面边长为 易求. 解答:

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计算题;空间位置关系与距离. ,各侧面均为直角三角形的正三棱锥可以看作是正方体的一个角,故此正三 棱锥的外接球即此正方体的外接球,由此求出正方体的体对角线即可得到球的直径,表面积 解:由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球,此正方体的面对角线为 边长为 1. 正方体的体对角线是 故外接球的直径是 故其表面积是 4×π×( 故答案为:3π. . ,半径是 ) =3π.
2





点评:

本题考查球内接多面体,解题的关键是找到球的直径与其内接多面体的量之间的关系,由此 关系求出球的半径进而得到其表面积.

15.(5 分)(2015?衡水四模)若在区间[0,1]上存在实数 x 使 2 (3x+a)<1 成立,则 a 的取 值范围是 (﹣∞,1) . 考点: 专题: 分析: 解答: 函数恒成立问题.
x

x

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计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 2 (3x+a)<1 可化为 a<2 价于 a<(2
x
﹣x ﹣x

﹣3x,则在区间[0,1]上存在实数 x 使 2 (3x+a)<1 成立,等
﹣x

x

﹣3x)max,利用函数的单调性可求最值. ﹣3x,
﹣x

解:2 (3x+a)<1 可化为 a<2 而2
﹣x

则在区间[0,1]上存在实数 x 使 2 (3x+a)<1 成立,等价于 a<(2 ﹣3x 在[0,1]上单调递减,
0

x

﹣3x)max,

∴ 2 ﹣3x 的最大值为 2 ﹣0=1, ∴ a<1, 故 a 的取值范围是(﹣∞,1), 故答案为:(﹣∞,1). 点评: 该题考查函数恒成立问题,考查转化思想,注意“存在”与“恒成立”问题的区别与联系是解题 关键. 16.(5 分)(2015?衡水四模)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分 别为 F1、F2,这两条曲线在第一象限的交点为 P,△ PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 |PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为 e1、e2,则 e1?e2 的取值范围为 ( ,+∞) .

﹣x

考点:

椭圆的简单性质;双曲线的简单性质.
12

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专题: 分析:

计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 设椭圆和双曲线的半焦距为 c,|PF1|=m,|PF2|=n,(m>n),由条件可得 m=10,n=2c,再 由椭圆和双曲线的定义可得 a1=5+c,a2=5﹣c,(c<5),运用三角形的三边关系求得 c 的 范围,再由离心率公式,计算即可得到所求范围.

解答:

解:设椭圆和双曲线的半焦距为 c,|PF1|=m,|PF2|=n,(m>n), 由于△ PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若|PF1|=10, 即有 m=10,n=2c, 由椭圆的定义可得 m+n=2a1, 由双曲线的定义可得 m﹣n=2a2, 即有 a1=5+c,a2=5﹣c,(c<5), 再由三角形的两边之和大于第三边,可得 2c+2c>10, 可得 c> ,即有 <c<5. 由离心率公式可得 e1?e2= ? = = ,

由于 1<

<4,则有

> .

则 e1?e2 的取值范围为( ,+∞). 故答案为:( ,+∞). 点评: 本题考查椭圆和双曲线的定义和性质,考查离心率的求法,考查三角形的三边关系,考查运 算能力,属于中档题.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明或演算步骤.) 17.(12 分)(2015?衡水四模)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,函数 f(x) =2cosxsin(x﹣A)+sinA(x∈R)在 x= (1)当 处取得最大值.

时,求函数 f(x)的值域; ,求△ ABC 的面积.

(2)若 a=7 且 sinB+sinC=

考点: 专题: 分析:

正弦定理;两角和与差的正弦函数;正弦函数的定义域和值域. 解三角形.

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利用三角函数的恒等变换化简函数 f(x)的解析式为 sin(2x+A),由于函数在 得最大值.令 ,其中 k∈z,解得 A 的值,

处取

(1)由于 A 为三角形内角,可得 A 的值,再由 x 的范围可得函数的值域;

13

(2)由正弦定理求得 b+c=13,再由余弦定理求得 bc 的值,由△ ABC 的面积等于 算出即可. 解答: 解:∵ 函数 f(x)=2cosxsin(x﹣A)+sinA =2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA =sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin(2x﹣A) 又∵ 函数 f(x)=2cosxsin(x﹣A)+sinA(x∈R)在 ∴ 即 ,其中 k∈z, ,其中 k∈z, 处取得最大值.



(1)∵ A∈(0,π),∴ A= ∵ ∴ (2)由正弦定理得到 即
2

,∴ 2x﹣A ,即函数 f(x)的值域为: ,则 sinB+sinC= sinA,

,∴ b+c=13
2 2 2

由余弦定理得到 a =b +c ﹣2bccosA=(b+c) ﹣2bc﹣2bccosA 即 49=169﹣3bc,∴ bc=40 故△ ABC 的面积为:S= 点评: .

本题主要考查三角函数的恒等变换,正、余弦定理的应用,正弦函数的值域,属于中档题.

18.(12 分)(2015?衡水四模)若{an} 是各项均不为零的等差数列,公差为 d,Sn 为其前 n 项 和,且满足 an =S2n﹣1,n∈N .数列{bn}满足 bn= (Ⅰ )求 an 和 Tn; (Ⅱ )是否存在正整数 m、n(1<m<n),使得 T1、Tm、Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m、 n 的值; 若不存在,请说明理由. 考点: 专题: 分析: 解答: 数列的求和;数列与不等式的综合. 等差数列与等比数列. (Ⅰ )根据等差数列的公式以及利用裂项法即可求 an 和 Tn; (Ⅱ )根据等比数列的等比中项的性质,建立方程关系即可得到结论. 解:(Ⅰ )∵ an =S2n﹣1, ∴ 令 n=1,2 得 a1=1,d=2, 则 an=2n﹣1,bn= = = ( ﹣ ),
2 2 *

为数列{bn}的前 n 项和.

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14

则 Tn = (



)= (1﹣

)=



(Ⅱ )假设存在正整数 m、n(1<m<n),使得 T1、Tm、Tn 成等比数列, 则 Tm =T1Tn, 即( ) =
2 2



得 =
2



即 2m ﹣4m﹣1<0,解得 1﹣ ∵ m 是正整数且 m>1, 点评:

<m<1+



∴ m=2,此时 n=12 当且仅当 m=2,n=12 时,T1、Tm、Tn 成等比数列. 本题主要考查等差数列和等比数列的应用,利用等差数列和等比数列的通项公式求出数列的 通项公式是解决本题的关键.

19.(12 分)(2015?衡水四模)如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1. (Ⅰ )若 M、N 分别是 AB,A1C 的中点,求证:MN∥ 平面 BCC1B1. (Ⅱ )若三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各棱长均为 2,∠ B1BA=∠ B1BC=60° ,P 为线段 B1B 上的动点, 当 PA++PC 最小时,求证:B1B⊥ 平面 APC.

考点: 专题: 分析:

直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 证明题;空间位置关系与距离.

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(Ⅰ ) 连接 AC1、 BC1, 先证明 MN∥ BC1, 又 BC1?平面 BCC1B1, 即可证明 MN∥ 平面 BCC1B1. (Ⅱ )将平面 A1B1BA 展开到与平面 C1B1BC 共面,A 到 A′的位置,此时 A′BCB1 为棱形, 证明 BB1⊥ PA,BB1⊥ PC,即可证明 BB1⊥ 平面 PAC.

解答:

解:(Ⅰ )证明:连接 AC1、BC1,则 AN=NC1,因为 AM=MB,所以 MN∥ BC1 又 BC1?平面 BCC1B1,所以 MN∥ 平面 BCC1B1

(Ⅱ )将平面 A1B1BA 展开到与平面 C1B1BC 共面,A 到 A′的位置,此时 A′BCB1 为棱形, 可知 PA+PC=PA′+PC, A′C 即为 PA+PC 的最小值, 此时,BB1⊥ A′C, 所以 BB1⊥ PA′,BB1⊥ PC,即 BB1⊥ PA,BB1⊥ PC,

15

点评:

所以 BB1⊥ 平面 PAC 本题主要考察了直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,恰当的做出辅助线是解题 的关键,属于中档题.

20.(12 分)(2015?衡水四模)已知点 A(﹣4,4)、B(4,4),直线 AM 与 BM 相交于点 M,且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率之差为﹣2,点 M 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ ) 求曲线 C 的轨迹方程; (Ⅱ ) Q 为直线 y=﹣1 上的动点,过 Q 做曲线 C 的切线,切点分别为 D、E,求△ QDE 的面积 S 的最小值. 考点: 专题: 分析: 直线与圆锥曲线的综合问题.

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圆锥曲线中的最值与范围问题. (I)设 M(x,y),由题意可得: x =4y 且(x≠±4). (II) 设Q (m, ﹣1) , 切线方程为 y+1=k (x﹣m) , 与抛物线方程联立化为 x ﹣4kx+4 (km+1) =0,由于直线与抛物线相切可得△ =0,即 k ﹣km﹣1=0.解得 x=2k.可得切点(2k,k ), 由 k ﹣km﹣1=0. 可得 k1+k2=m, k1?k2=﹣1. 得到切线 QD⊥ QE. 因此△ QDE 为直角三角形, |QD|?|QE|.令切点(2k,k )到 Q 的距离为 d,则 d =(2k﹣m) +(k +1) =(4+m ) (k +1),利用两点之间的距离公式可得|QD|= |QE|= ,代入即可得出. ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

,化简可得曲线 C 的轨迹方程为



解答:

解:(I)设 M(x,y),由题意可得: 化为 x =4y. ∴ 曲线 C 的轨迹方程为 x =4y 且(x≠±4). (II)设 Q(m,﹣1),切线方程为 y+1=k(x﹣m), 联立 ,化为 x ﹣4kx+4(km+1)=0,
2 2 2 2

由于直线与抛物线相切可得△ =0,即 k ﹣km﹣1=0. ∴ x ﹣4kx+4k =0,解得 x=2k.可得切点(2k,k ), 由 k ﹣km﹣1=0.∴ k1+k2=m,k1?k2=﹣1. ∴ 切线 QD⊥ QE. ∴ △ QDE 为直角三角形,
2 2 2 2 2

|QD|?|QE|.

令切点(2k,k )到 Q 的距离为 d, 则 d =(2k﹣m) +(k +1) =4(k ﹣km)+m +(km+2) =4(k ﹣km)+m +k m +4km+4= (4+m )(k +1), ∴ |QD|= ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

16

|QE|= ∴ (4+m )
2

, = ≥4,

当 m=0 时,即 Q(0,﹣1)时,△ QDE 的面积 S 取得最小值 4. 点评: 本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的 距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难 题.

21.(12 分)(2015?衡水四模)已知函数 f(x)=ax+ +c(a>0)的图象在点(1,f(1))处 的切线方程为 y=x﹣1. (1)试用 a 表示出 b,c; (2)若 f(x)≥lnx 在[1,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (3)证明:1+ + +…+ >ln(n+1)+ (n≥1).

考点: 专题: 分析:

数学归纳法;函数恒成立问题;利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点 切线方程.
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计算题;证明题;分类讨论. (1)通过函数的导数,利用导数值就是切线的斜率,切点在切线上,求出 b,c 即可. (2)利用 f(x)≥lnx,构造 g(x)=f(x)﹣lnx,问题转化为 g(x)=f(x)﹣lnx≥0 在[1, +∞)上恒成立, 利用导数求出函数在[1,+∞)上的最小值大于 0,求 a 的取值范围; (3) 由 (1) 可知 时, f (x ) ≥lnx 在[1, +∞) 上恒成立, 则当 时,

在[1,+∞)上恒成立,对不等式的左侧每一项裂项,然后求和,即可推出要证结论. 解法二:利用数学归纳法的证明步骤,证明不等式成立即可. 解答: 解:(1)∵ ∴ ∴ f(1)=a+a﹣1+c=2a﹣1+c. 又∵ 点(1,f(1))在切线 y=x﹣1 上, ∴ 2a﹣1+c=0?c=1﹣2a, ∴ . ,

(2)∵ f(x)≥lnx 在[1,+∞)上恒成立,



设 g(x)=f(x)﹣lnx,则 g(x)=f(x)﹣lnx≥0 在[1,+∞)上恒成立, ∴ g(x)min≥0, 又

17

∵ 而当 1° 当 时, 即 . 时,



g'(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立, ∴ 2° 当 g'(x)=0 时 且 当 则 又∵ 即 ; 时,g'(x)<0, 时,g'(x)>0; ① , 与① 矛盾,不符题意,故舍. 时, ;

∴ 综上所述,a 的取值范围为:[ ,+∞).

(3)证明:由(2)可知 则当 时,

时,f(x)≥lnx 在[1,+∞)上恒成立, 在[1,+∞)上恒成立, … , 时, ,

令 x 依次取 则有 …

, 由同向不等式可加性可得 , 即 也即 , ,

18

也即 1+ + +…+ >ln(n+1)+

(n≥1).

解法二:① 当 n=1 时左边=1,右边=ln2+ <1,不等式成立; ② 假设 n=k 时,不等式成立,就是 1+ + +…+ >ln(k+1)+ 那么 1+ + +…+ + =ln(k+1)+ 由(2)知:当 令 令 x= ∴ ∴ 1+ + +…+ + > 有 f(x)= 得 >ln(k+1)+ . 时,有 f(x)≥lnx (x≥1) (x≥1) + (k≥1).

这就是说,当 n=k+1 时,不等式也成立. 点评: 根据(1)和(2),可知不等式对任何 n∈N 都成立. 本题是难题,考查函数与导数的关系,曲线切线的斜率,恒成立问题的应用,累加法与裂项 法的应用,数学归纳法的应用等知识,知识综合能力强,方法多,思维量与运算良以及难度 大,需要仔细审题解答,还考查分类讨论思想. 请考生在第 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.【选修 4-1:几 何证明选讲】 22.(10 分)(2015?衡水四模)如图,AB 是☉ O 的直径,AC 是弦,∠ BAC 的平分线 AD 交☉ O 于点 D,DE⊥ AC,交 AC 的延长线于点 E,OE 交 AD 于点 F. (Ⅰ )求证:DE 是☉ O 的切线; (Ⅱ )若 = ,求 的值.
*

考点: 专题: 分析:

与圆有关的比例线段;圆的切线的判定定理的证明. 立体几何.

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(Ⅰ )连结 OD,由圆的性质得 OD∥ AE,由 AE⊥ DE,得 DE⊥ OD,由此能证明 DE 是⊙ O切 线.

19

(Ⅱ )过 D 作 DH⊥ AB 于 H,则有 cos∠ DOH=cos∠ CAB=

= ,设 OD=5x,则 AB=10x, .

OH=2x,AH=7x,由已知得△ AED≌ AHD,△ AEF∽ △ DOF,由此能求出 解答: (Ⅰ )证明:连结 OD,由圆的性质得∠ ODA=∠ OAD=∠ DAC, OD∥ AE,又 AE⊥ DE,∴ DE⊥ OD, 又 OD 为半径,∴ DE 是⊙ O 切线. (Ⅱ )解:过 D 作 DH⊥ AB 于 H,则有∠ DOH=∠ CAB, cos∠ DOH=cos∠ CAB= = ,

设 OD=5x,则 AB=10x,OH=2x,∴ AH=7x, ∵ ∠ BAC 的平分线 AD 交⊙ O 于点 D,DE⊥ AC, DH⊥ AB,交 AB 于 H, ∴ △ AED≌ AHD,∴ AE=AH=7x, 又 OD∥ AE,∴ △ AEF∽ △ DOF, ∴ 点评: = = = = .

本题考查圆的切线的证明,考查圆内两线段的比值的求法,是中档题,解题时要认真审题, 注意三角形全等和三角形相似的性质的合理运用.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】

23.(2015?衡水四模)已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是

(t

是参数),以原点 O 为极点,Ox 为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 p=2cos(θ+ (1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 考点: 专题: 分析: 参数方程化成普通方程. 坐标系和参数方程. (1) 由圆 C 的极坐标方程 ρ=2cos (θ+ 把 代入配方即可得出; ) , 展开化为 ρ =
2

).

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(2)利用勾股定理可得直线 l 上的点向圆 C 引切线长 = 出. 解答: 解:(1)由圆 C 的极坐标方程 ρ=2cos(θ+ 展开为 ρ =
2

,化简整理利用二次函数的单调性即可得

),化为 ,化为 x +y =
2 2

, .

20

平方为 ∴ 圆心为 .

=1,

(2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线长 = ∴ 由直线 l 上的点向圆 C 引切线长的最小值为 2 点评: = . ,

本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的标准方程、勾股定理、圆的切线的性质、二 次函数的单调性,考查了计算能力,属于基础题.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.(2015?衡水四模)已知 f(x)=|2x﹣1|+ax﹣5(a 是常数,a∈R) ① 当 a=1 时求不等式 f(x)≥0 的解集. ② 如果函数 y=f(x)恰有两个不同的零点,求 a 的取值范围. 考点: 专题: 分析: ① 当 a=1 时,f(x)= ,把 和 的解集取并 函数零点的判定定理;带绝对值的函数. 计算题.

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集,即得所求. ② 由 f(x)=0 得|2x﹣1|=﹣ax+5,作出 y=|2x﹣1|和 y=﹣ax+5 的图象,观察可以知道,当﹣2 <a<2 时,这两个函数的图象有两个不同的交点,由此得到 a 的取值范围. 解答: 解:① 当 a=1 时,f(x)=|2x﹣1|+x﹣5= .



解得 x≥2; 由

解得 x≤﹣4.

∴ f(x)≥0 的解为{x|x≥2 或 x≤﹣4}.(5 分) ② 由 f(x)=0 得|2x﹣1|=﹣ax+5.(7 分) 作出 y=|2x﹣1|和 y=﹣ax+5 的图象,观察可以知道,当﹣2<a<2 时,这两个函数的图象有两 个不同的交点, 函数 y=f(x)有两个不同的零点. 故 a 的取值范围是(﹣2,2).(10 分)

21

点评:

本题考查函数零点的判定定理,带有绝对值的函数,体现了转化的数学思想,属于基础题.

22


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