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湖北省武汉市华中师大第一附中2015届高三上学期期中数学试卷(文科)


湖北省武汉市华中师大第一附中 2015 届高三上学期期中数学试 卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)设集合 M={1,2},N={a },则“a=1”是“N?M”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

2. (5 分)等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 S15 的值为() A.180 B.240 C.360 D.720 3. (5 分)已知圆的方程为 x +y ﹣6x﹣8y=0.设该圆过点(﹣1,4)的最长弦和最短弦分别 为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为() A.15 B.30 C.45 D.60 4. (5 分)若 l,m,n 是互不相同的空间直线,α,β 是不重合的平面,下列命题正确的是() A.若 α∥β,l?α,n?β,则 l∥n B. 若 α⊥β,l?α,则 l⊥β C. 若 l⊥n,m⊥n,则 l∥m D.若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β 5. (5 分)已知向量 =(2,3) , =(﹣1,2) ,若 m +n 与 ﹣2 共线,则 等于() A.﹣ B. C . ﹣2 D.2
2 2

6. (5 分)偶函数 f(x) (x∈R)满足:f(﹣4)=f(1)=0,且在区间[0,3]与[3,+∞)上分 3 别递减和递增,则不等式 x f(x)<0 的解集为() A.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞) B. (﹣4,﹣1)∪(1,4) C. (﹣∞,﹣4)∪(﹣1,0) D.(﹣∞,﹣4)∪(﹣1,0)∪(1,4) 7. (5 分)若 sin( A.﹣ ﹣θ)= ,则 cos( B. ﹣ +2θ)=() C. D.

8. (5 分)已知函数

,则函数 y=f(1﹣x)的图象是()

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)若不等式(﹣1) a<2+ () A.[﹣2, ) B.(﹣2, )

n

对任意 n∈N 恒成立,则实数 a 的取值范围是

*

C.[﹣3, )

D.(﹣3, )

10. (5 分)如图,A 地在高压线 l (不计高度)的东侧 0.50km 处,B 地在 A 地东北方向 1.00km 处,公路沿线 PQ 上任意一点到 A 地与高压线 l 的距离相等.现要在公路旁建一配电房向 A、 B 两地降压供电(分别向两地进线) .经协商,架设低压线路部分的费用由 A、B 两地用户分 摊,为了使分摊费用总和最小,配电房应距高压线 l()

A.1.21km

B.0.50km

C.0.75km

D.0.96km

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 2 11. (5 分)lg25+lg2?lg50+(lg2) =. 12. (5 分)若 x,y∈R,且 x+2y=16,则 xy 的最大值为. 13. (5 分)已知五个实数 1,a,b,c,16 依次成等比数列,则 a+b+c=.

14. (5 分)若不等式组 则 k 的值是.

所表示的平面区域被直线

分为面积相等的两部分,

15. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.

16. (5 分)把边长为 1 的正方形 ABCD 如图放置,A、D 别在 x 轴、y 轴的非负半轴上滑动. (1)当 A 点与原点重合时, (2) ? 的最大值是. ? =;

17. (5 分)用[x]表示不超过 x 的最大整数,例如[﹣2.5]=﹣3,[2.5]=2,设函数 f(x)=[x[x]]. (1)f(3.6)=; (2)若函数 f(x)的定义域是[0,n) ,n∈N ,则其值域中元素个数为.
+

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 18. (12 分)已知函数 f(x)=sin2x﹣2 cos x+ +a. (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)设 x∈[0, ]时,f(x)的最小值是﹣2,求 f(x)的最大值.

19. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,ABCD 是矩形,E 是棱 PD 的中 点,PA=AD=4,AB=3. (1)证明 PB∥底面 ACE; (2)求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值.

20. (13 分) 若 Sn 和 Tn 分别表示数列{an}和{bn}的前 n 项和, 对任意正整数 n, 有 an=﹣ 4Tn﹣12Sn=13n. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)设 cn=bn+ ,若 + + …+ > ,求 n 的最小值.



21. (14 分)已知椭圆的中心为原点,焦点在 x 轴上,离心率为

,且经过点 M(4,1) ,直

线 l:y=x+m 交椭圆于异于 M 的不同两点 A,B.直线 MA、MB 与 x 轴分别交于点 E、F. (1)求椭圆标准方程; (2)求 m 的取值范围; (3)证明△ MEF 是等腰三角形. 22. (14 分)已知函数 f(x)=alnx+bx(a,b∈R) ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线 方程为 x﹣2y﹣2=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)当 x>1 时,f(x)+ <0 恒成立,求实数 k 的取值范围;

(3)设 n 是正整数,用 n!表示前 n 个正整数的积,即 n!=1?2?3…n.求证:n!<e



湖北省武汉市华中师大第一附中 2015 届高三上学期期中 数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)设集合 M={1,2},N={a },则“a=1”是“N?M”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 集合. 分析: 先由 a=1 判断是否能推出“N?M”;再由“N?M”判断是否能推出“a=1”,利用充要条件 的定义得到结论. 解答: 解:当 a=1 时,M={1,2},N={1}有 N?M 当 N?M 时,a =1 或 a =2 有 所以“a=1”是“N?M”的充分不必要条件. 故选 A. 点评: 本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的条件问题. 2. (5 分)等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 S15 的值为() A.180 B.240 C.360 D.720 考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 由条件可得 5a8 =120,a8 =24,根据 S15= 解答: 解:∵等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120, ∴5a8 =120,a8 =24. 故 S15= =15a8 =360. =15a8 运算求得结果.
2 2

故选 C. 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的通项公式,前 n 项和公式的应用, 属于中档题. 3. (5 分)已知圆的方程为 x +y ﹣6x﹣8y=0.设该圆过点(﹣1,4)的最长弦和最短弦分别 为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为() A.15 B.30 C.45 D.60 考点: 圆的一般方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 先把圆的方程化为标准方程,求出圆心和半径,过定点(﹣1,4)的最长弦是圆的 直径,最短弦是过该点与最长弦垂直的直线与圆相交得到的弦. 2 2 解答: 解:圆的方程可化为: (x﹣3) +(y﹣4) =25…① 则圆心 O(3,4) ,半径 r=5 AC 长为过点(﹣1,4)和点 O 的圆的直径 d=2×5=10,斜率 k=0, BD 为最短弦,所以应与 AC 垂直为 x=﹣1…② 2 ②代入①得:y ﹣8y+7=0 解得:x=1 或 x=7
2 2

∴BD=7﹣1=6,则四边形 ABCD 面积=

AC×BD= ×10×6=30.

点评: 解决本题的关键是结合图形判断最长弦与最短弦的位置. 4. (5 分)若 l,m,n 是互不相同的空间直线,α,β 是不重合的平面,下列命题正确的是() A.若 α∥β,l?α,n?β,则 l∥n B. 若 α⊥β,l?α,则 l⊥β C. 若 l⊥n,m⊥n,则 l∥m D.若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:若 α∥β,l?α,n?β, 则 l 与 n 平行、相交或异面,故 A 不正确; 若 α⊥β,l?α,则 l∥β 或 l 与 β 相交,故 B 不正确; 若 l⊥n,m⊥n,则 l 与 m 相交、平行或异面,故 C 不正确; 若 l⊥α,l∥β,则由平面与平面垂直的判定定理知 α⊥β,故 D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查命题的真假判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养.

5. (5 分)已知向量 =(2,3) , =(﹣1,2) ,若 m +n 与 ﹣2 共线,则 等于() A.﹣ B. C . ﹣2 D.2

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 计算题. 分析: 求出 m +n 与 ﹣2 的坐标,根据 m +n 与 ﹣2 共线可得(2m﹣n) (﹣1)﹣4 (3m+2n)=0,化简求得 的值.

解答: 解:∵m +n =(2m﹣n,3m+2n) , ﹣2 =(4,﹣1) ,m +n 与 ﹣2 共线, ∴(2m﹣n) (﹣1)﹣4(3m+2n)=0,∴﹣14m=7n,则 =﹣ , 故选 A. 点评: 本题考查两个向量的加减法的法则,两个向量共线的性质,两个向量坐标形式的运 算,得到 (2m﹣n) (﹣1)﹣4(3m+2n)=0,是解题的关键. 6. (5 分)偶函数 f(x) (x∈R)满足:f(﹣4)=f(1)=0,且在区间[0,3]与[3,+∞)上分 3 别递减和递增,则不等式 x f(x)<0 的解集为() A.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞) B. (﹣4,﹣1)∪(1,4) C. (﹣∞,﹣4)∪(﹣1,0) D.(﹣∞,﹣4)∪(﹣1,0)∪(1,4)

考点: 奇偶性与单调性的综合;不等式. 分析: 利用偶函数关于 y 轴对称的性质并结合题中给出函数的单调区间画出函数 f(x)的 3 3 图象,再由 x f(x)<0 得到 x 与 f(x)异号得出结论. 解答: 解:∵f(x)是偶函数 ∴f(﹣x)=f(x)即 f(4)=f(﹣1)=0 又∵f(x)在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减和递增得到图象如图: 由图可知,当 x>0 时 x >0 要 x f(x)<0 只需 f(x)<0 即 x∈(1,4) 当 x<0 时同理可得 x∈(﹣∞,﹣4)∪(﹣1,0)故答案选 D.
3 3

点评: 本题考查了利用函数的奇偶性和单调性做出函数图象,并利用数形结合求解.

7. (5 分)若 sin( A.﹣

﹣θ)= ,则 cos( B. ﹣

+2θ)=() C. D.

考点: 二倍角的余弦. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 首先运用 的诱导公式,再由二倍角的余弦公式:cos2α=2cos α﹣1,即可得到. ﹣θ)= , ﹣θ)= , +θ)
2 2

解答: 解:由于 sin( 则 cos( 则有 cos( =2cos (
2

+θ)=sin(

+2θ)=cos2(

+θ)﹣1=2×( ) ﹣1=﹣ .

故选:A. 点评: 本题考查诱导公式和二倍角的余弦公式及运用,考查运算能力,属于中档题.

8. (5 分)已知函数

,则函数 y=f(1﹣x)的图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的图象;对数函数的图像与性质. 专题: 数形结合. 分析: 按 x<0,与 x>0 分别得出相关区间上的函数解析式,然后由解析式的类型判断出图 象的形状.

解答: 解:由已知函数



当 1﹣x≤1 即 x≥0 时,y=f(1﹣x)=2

1﹣x,当

1﹣x>1,即 x<0 时,y=f(1﹣x)=

在两个区间上都是减函数,当 x=0 代入求出对应的点,验证知,应选 D. 点评: 解决本题的关键是分段求出解析式,依据解析式的特征找到对应的函数图象.

9. (5 分)若不等式(﹣1) a<2+ () A.[﹣2, ) B.(﹣2, )

n

对任意 n∈N 恒成立,则实数 a 的取值范围是

*

C.[﹣3, )

D.(﹣3, )

考点: 专题: 分析: 解答:

不等式的证明. 计算题;压轴题. 对 n 进行分类讨论,分离出参数 a,将原问题转化为求函数的最小值问题解决. 解:当 n 为正偶数时,

a<2﹣ 恒成立,又 2﹣ 为增函数,其最小值为 2﹣ = ∴a< . 当 n 为正奇数时,﹣a<2+ ,即 a>﹣2﹣ 恒成立. 而﹣2﹣ 为增函数,对任意的正整数 n,有﹣2﹣ <﹣2, ∴a≥﹣2.

故 a∈[﹣2, ) . 点评: 本题主要考查了不等式的证明及恒成立问题,属于基础题. 10. (5 分)如图,A 地在高压线 l (不计高度)的东侧 0.50km 处,B 地在 A 地东北方向 1.00km 处,公路沿线 PQ 上任意一点到 A 地与高压线 l 的距离相等.现要在公路旁建一配电房向 A、 B 两地降压供电(分别向两地进线) .经协商,架设低压线路部分的费用由 A、B 两地用户分 摊,为了使分摊费用总和最小,配电房应距高压线 l()

A.1.21km

B.0.50km

C.0.75km

D.0.96km

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 应用题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 依题意知曲线 PQ 是以 A 为焦点、l 为准线的抛物线,配电房为 M,欲求分摊费用总 和最小,即求抛物线上的点到 A,B 的距离和最小,此时 BM⊥l. 解答: 解:依题意知曲线 PQ 是以 A 为焦点、l 为准线的抛物线,配电房为 M 2 建立如图所示的坐标系,则抛物线的方程为 y =x, 根据抛物线的定义知:欲求分摊费用总和最小,即求抛物线上的点到 A,B 的距离和最小,此 时 BM⊥l. ∵B 地在 A 地东北方向 1.00km 处, ∴B 的纵坐标为 , ) ,

∴BM⊥l 时,M 的坐标为( ,

∴配电房应距高压线 l:0.5+0.25=0.75km. 故选:C.

点评: 本题考查了抛物线方程的应用,考查了学生根据实际问题选择函数模型的能力,考 查了计算能力,是中档题.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 2 11. (5 分)lg25+lg2?lg50+(lg2) =2. 考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 我们对后两项提取公因式 lg2,根据对数的运算性质:lg25=lg(5 )=2lg5, lg50+lg2=lg100,我们可将原式化为 2(lg5+lg2)形式,进而得到答案. 2 2 解答: 解:lg25+lg2?lg50+(lg2) =lg25+lg2?(lg50+lg2)=lg(5 )+lg2?lg(50?2) 2 =lg(5 )+lg2?lg(100) =2(lg5+lg2) =2 故答案为:2 点评: 本题考查的知识点是对数的运算性质,其中熟练掌握对数的运算性质及常用对数的 运算性质,如 lg5+lg2=1,是解答本题的关键. 12. (5 分)若 x,y∈R,且 x+2y=16,则 xy 的最大值为 32. 考点: 专题: 分析: 解答: 基本不等式. 不等式的解法及应用. 考虑 x,y>0 即可.利用基本不等式的性质即可得出. 解:考虑 x,y>0 即可.
2

∵x+2y=16 , ∴xy≤32,当且仅当 x=2y=8 时取等号. 故答案为:32. 点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 13. (5 分)已知五个实数 1,a,b,c,16 依次成等比数列,则 a+b+c=﹣6 或 14. 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用五个实数 1,a,b,c,16 依次成等比数列,可得 b=4,a=2,c=8 或 b=4,a=﹣2, c=﹣8,即可求出 a+b+c. 解答: 解:∵五个实数 1,a,b,c,16 依次成等比数列, ∴b=4,a=2,c=8 或 b=4,a=﹣2,c=﹣8, ∴a+b+c=﹣6 或 14, 故答案为:﹣6 或 14. 点评: 本题考查等比数列的性质,考查学生的计算能力,比较基础.

14. (5 分)若不等式组 则 k 的值是 .

所表示的平面区域被直线

分为面积相等的两部分,

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域;直线的斜截式方程. 分析: 先由不等式组画出可行域,再根据直线 把△ ABC 面积等分可知该直线过线

段 AB 的中点,然后求出 AB 中点的坐标,最后通过两点确定斜率公式求得 k 值. 解答: 解:画出可行域△ ABC,如图所示 解得 A(1,1) 、B(0,4) 、C(0, ) , 又直线 过点 C 且把△ ABC 面积平分,

所以点 D 为 AB 的中点,则 D( , ) ,

所以 k=

= .

故答案为 .

点评: 本题主要考查二元一次不等式组对应的平面区域及直线的斜截式方程. 15. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 6π+4.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由三视图知几何体为半圆柱和直三棱柱,半圆柱的半径为 2,高为 3,体积为 6π,直 三棱柱的底面为直角三角形,面积为 4,高为 3,体积为 12,可得几何体的体积. 解答: 解: 由三视图知几何体为半圆柱和直三棱柱, 半圆柱的半径为 2, 高为 3, 体积为 6π, 直三棱柱的底面为直角三角形,面积为 4,高为 3,体积为 12,故几何体的体积为 6π+12. 故答案为:6π+12. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,解题的关键是由三视图判断几何体的形状及 数据所对应的几何量. 16. (5 分)把边长为 1 的正方形 ABCD 如图放置,A、D 别在 x 轴、y 轴的非负半轴上滑动. (1)当 A 点与原点重合时, (2) ? 的最大值是 2. ? =1;

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: (1)求出 B,C 的坐标,以及向量 OB,OC 的坐标,再由数量积的坐标公式即可得 到; (2)令∠OAD=θ,由边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴正半轴上,可 得出 B,C 的坐标,由此可以表示出两个向量,算出它们的内积. 解答: 解: (1)当 A 点与原点重合时,B 在 x 轴上,B(1,0) ,C(1,1) , 则 =(1,0)?(1,1)=1;

(2)如图令∠OAD=θ,由于 AD=1 故 0A=cosθ,OD=sinθ, 如图∠BAX= ﹣θ,AB=1,

故 xB=cosθ+cos( 故

﹣θ)=cosθ+sinθ,yB=sin(

﹣θ)=cosθ,

=(cosθ+sinθ,cosθ) =(sinθ,cosθ+sinθ) ,

同理可求得 C(sinθ,cosθ+sinθ) ,即 ∴

=(cosθ+sinθ,cosθ)?(sinθ,cosθ+sinθ)=1+sin2θ, 的最大值是 2.

当 θ=45°时,sin2θ 取最大 1,则

故答案为:1,2 点评: 本题考查平面向量及运用,考查向量的数量积的坐标运算,同时考查三角函数的最 值,属于中档题. 17. (5 分)用[x]表示不超过 x 的最大整数,例如[﹣2.5]=﹣3,[2.5]=2,设函数 f(x)=[x[x]]. (1)f(3.6)=10; (2)若函数 f(x)的定义域是[0,n) ,n∈N ,则其值域中元素个数为
+



考点: 函数的值;元素与集合关系的判断. 专题: 函数的性质及应用;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 本题(1)利用取整函数的规定,求出[3.6]的值,再求出[3.6[3.6]]的值,得到本题结 论; (2)利用取整函数的规定,根据 x∈[0,n) ,找出其函数值的取值规律,求出值域中元素 个数,得到本题结论. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=[x[x]], ∴f(3.6)=[3.6[3.6]]=[3.6×3]=[10.8]=10. (2)∵函数 f(x)的定义域是[0,n) ,n∈N , ∴当 0≤x<1 时,[x]=0,f(x)=[x[x]]=[x×0]=[0]=0,函数值有 1 个, 当 1≤x<2 时,[x]=1,f(x)=[x[x]]=[x×1]=[x]=1,函数值有 1 个, 当 2≤x<3 时,4≤2x<6 [x]=2,f(x)=[x[x]]=[x×2]=[2x],能取到 4,5,函数值有 2 个, 当 3≤x<4 时,9≤3x<12, [x]=3,f(x)=[x[x]]=[x×3]=[3x],能取到 9,10,11,函数值有 3 个, 当 4≤x<5 时,16≤4x<20, [x]=4,f(x)=[x[x]]=[x×4]=[4x],能取到 16,17,18,19,函数值有 4 个, … 当 n﹣1≤x<n 时, (n﹣1) ≤(n﹣1)x<n(n﹣1) , 2 2 [x]=n﹣1,f(x)=[x[x]]=[x×(n﹣1)]=[(n﹣1)x],能取到(n﹣1) , (n﹣1) +1, (n﹣1) 2 +2,…,n(n﹣1)﹣1,函数值有 n﹣1 个, ∴值域中元素个数为:1+1+2+3+…+(n﹣1)= .
2 +

故答案为:



点评: 本题考查了取整函数的定义及其应用,本题有一定的难度,属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (12 分)已知函数 f(x)=sin2x﹣2 (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)设 x∈[0, cos x+
2

+a.

]时,f(x)的最小值是﹣2,求 f(x)的最大值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1) 利用三角恒等变换, 将 y=f (x) 整理可得 f (x) =2sin (2x﹣ ﹣ ≤2kπ+ ,即可求得函数 f(x)的单调递减区间; ?﹣ ≤2x﹣ ≤ ?﹣ ≤sin(2x﹣ )≤1,依题意,即可求得 a 的值,继 ) +a, 令 2kπ+ ≤2x

(2)0≤x≤

而可得 f(x)的最大值. 解答: 解析: (1)f(x)=sin2x﹣ =sin2x﹣ cos2x+a =2sin(2x﹣ 令 2kπ+ )+a, ≤2kπ+ ,得 kπ+

(1+cos2x)+

+a

≤2x﹣

≤x≤kπ+

,k∈Z,

∴f(x)的单调递减区间[kπ+ (2)∵0≤x≤ ,﹣ ≤2x﹣ ≤

,kπ+ ,﹣

](k∈Z)…(6 分) ≤sin(2x﹣ )≤1,

∴f(x)min=﹣ +a;f(x)max=2+a,令﹣ +a=﹣2 得 a= ﹣2, 所以 f(x)max=2+ ﹣2. …(12 分) 点评: 本题考查三角函数中的恒等变换应用,着重考查正弦函数的单调性与最值,属于中 档题. 19. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,ABCD 是矩形,E 是棱 PD 的中 点,PA=AD=4,AB=3. (1)证明 PB∥底面 ACE; (2)求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)首先利用中位线得到线线平行,进一步转化为线面平行. (2)首先利用绵绵的垂直转化成线面的垂直,进一步得出线面的夹角,最后利用解直角三角 形知识求出结果.

解答: 证明: (1)连结 BD 交 AC 于 O,连结 EO, 则:EO 是△ PBD 的中位线, 所以:PB∥EO 因为 PB?平面 ACE,EO?平面 ACE 所以:PB∥平面 ACE (2)作 BH⊥AC 于 H,连结 PH 因为:PA⊥底面 ABCD, 所以:平面 PAC⊥平面 ABCD 由两平面垂直的性质定理得,BH⊥平面 PAC 所以:∠BPH 就是直线 PB 与平面 PAC 所成的角. 因为 PB=5,BH= 所以:sin∠BPH= , , .

即直线 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值为

点评: 本题考查的知识要点:线面平行的判定定理,线面的夹角,解直角三角形知识,属 于基础题型.

20. (13 分) 若 Sn 和 Tn 分别表示数列{an}和{bn}的前 n 项和, 对任意正整数 n, 有 an=﹣ 4Tn﹣12Sn=13n. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)设 cn=bn+ ,若 + + …+ > ,求 n 的最小值.



考点: 数列与不等式的综合;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用公式法,两式作差即可解得结论; (2)利用裂项相消法求得 ﹣ )= .令 + +…+ > = (1﹣ 解得即可. )= (1

解答: 解析: (1)当 n≥2,n∈N 时:

*



两式相减得:4bn﹣12an=13,∴bn=3an 又 b1=﹣

=﹣3n﹣ , .

也适合上式,∴数列{bn}的通项公式为

(2)由(1)得 cn=﹣3n, 于是 所以 令 + > = +…+ = ( = (1﹣ ) , ) = (1﹣ ) = .

,得 n>99.

所以 n 的最小值为 100. 点评: 本题主要考查数列通项公式的求法及利用裂项相消法求数列的和等知识,考查学生 的等价转化思想的运用能力及运算求解能力,属于中档题.

21. (14 分)已知椭圆的中心为原点,焦点在 x 轴上,离心率为

,且经过点 M(4,1) ,直

线 l:y=x+m 交椭圆于异于 M 的不同两点 A,B.直线 MA、MB 与 x 轴分别交于点 E、F. (1)求椭圆标准方程; (2)求 m 的取值范围; (3)证明△ MEF 是等腰三角形. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (1)设椭圆的方程为 ﹣20=0, 2 2 利用 5x +8mx+4m ﹣20=0 求解即可. (3)转化为 k1+k2= 根据韦达定理求解. 解答: 解: (1)设椭圆的方程为 又因为椭圆过点 M(4,1) ,所以 =

=1,根据性质求解, (2)联立方程组得出 5x +8mx+4m

2

2

=0

=1,因为 e=
2

,所以 a =4b ,
2

2

2

=1,解得 b =5,a =20,

故椭圆标准方程为

=1,

(2)将 y=x+m 代入
2 2

=1,

并整理得 5x +8mx+4m ﹣20=0, 2 2 令△ =(8m) ﹣20(4m ﹣20)>0,解得﹣5<m<5. 又由题设知直线不过 M(4,1) ,所以 4+m≠1m≠﹣3, 所以 m 的取值范围是(﹣5,﹣3)∪(﹣3,5) . (3)设直线 AM,BM 的斜率分别为 k1 和 k2, 要证△ MEF 是等腰三角形,只要证明 k1+2=0 即可. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由(2)知 x1+x2= ,x1x2= ,

则 k1+k2=

=

即(y1﹣1) (x2﹣4)+(y2﹣1) (x1﹣4)=2x1x2+(m﹣5) (x1+x2)﹣8(m﹣1) = ﹣8(m﹣1)=0,

∴k1+k2=0, 所以△ AM 是等腰三角形. 点评: 本题综合考察了直线与椭圆的位置关系,韦达定理的运用,属于难题. 22. (14 分)已知函数 f(x)=alnx+bx(a,b∈R) ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线 方程为 x﹣2y﹣2=0. (1)求 f(x)的解析式;

(2)当 x>1 时,f(x)+ <0 恒成立,求实数 k 的取值范围;

(3)设 n 是正整数,用 n!表示前 n 个正整数的积,即 n!=1?2?3…n.求证:n!<e



考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先求出函数 f(x)的导函数,根据在 x=1 处的导数等于切线的斜率建立等量关 系,以及切点在曲线上建立等式关系,解之即可. (2)由题意可得 k< .令 g(x)= ,则利用导数判断函数的单调性,求

出函数 g(x)的最小值即可; (3)由(2)知,当 x>1 时,f(x)<0(k=0) ,又 x=1 时 f(x)<0 也成立,所以当 x≥1 时,lnx< ,于是 ln1 ,ln2< ,ln3< ,…,lnn< ,

上述各式相加即可得出结论. 解答: (1)解:∵f(x)=alnx+bx,∴f′(x)= .

∵直线 x﹣2y﹣2=0 的斜率为 ,且曲线 y=f(x)过点(1,﹣ ) ,



,即

,解得 a=1,b=﹣ .

所以 f(x)=lnx﹣ . (2)解:由(1)得当 x>1 时,f(x)+ <0 恒成立即 lnx﹣ 等价于 k< 令 g(x)= . ,则 g′(x)=x﹣(lnx+1)=x﹣1﹣lnx. . <0,

令 h(x)=x﹣1﹣lnx,则 h′(x)=1﹣ =

当 x>1 时,h′(x)>0,函数 h(x)在(1,+∞)上单调递增,故 h(x)>h(1)=0. 从而,当 x>1 时,g′(x)>0,即函数 g(x)在(1,+∞)上单调递增, 故 g(x)>g(1)= . 因此,当 x>1 时,k< ∴k 的取值范围是(﹣∞, ]. (3)证明:由(2)知,当 x>1 时,f(x)<0(k=0) , 又 x=1 时 f(x)<0 也成立, .恒成立,则 k .

所以当 x≥1 时,lnx< ,于是 ln1 ,ln2< ,ln3< ,…,lnn< , ,

上述各式相加得,ln(1×2×3×…×n)<

即 lnn!<

,∴n!<



点评: 本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、最值等知识,考查学 生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力,属于难题.


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