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2015-2016高中数学 1.3.2第1课时 函数奇偶性的概念课时作业 新人教A版必修1


活页作业(十二)
知识点及角度

函数奇偶性的概念
难易度及题号 中档 7、8 9 稍难 10、12 11

基础 奇偶函数的判断 奇偶函数的图象及应用 1、3、5 2、4、6

1.下列函数中,是偶函数的是( A.y=x (x>0) C.y= 2
2

) B.y=|x+1| D.y=3x-1

x2+1
2

解析:y=x (x>0)定义域不关于原点对称, ∴不是偶函数;对 y=|x+1|取两个自变量的值-1 与 1,它们的函数值 0 与 2 不相等, ∴也不是偶函数;同理,可验证 y=3x-1 不是偶函数. 答案:C 2.如图,给出了奇函数 y=f(x)的局部图象,则 f(-2)的值为( )

A. C.

3 2 1 2

3 B.- 2 1 D.- 2

解析:奇函数的图象关于原点对称, 3 因此,f(-2)=-f(2)=- . 2 答案:B 3.函数 f(x)=x + x的奇偶性为( A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数
2

) B.偶函数 D.非奇非偶函数

解析:函数的定义域为[0,+∞),不关于原点对称, ∴f(x)为非奇非偶函数. 答案:D 4.奇函数 y=f(x)(x∈R)的图象必定经过点( )
1

A.(a,f(-a)) C.(-a,-f(a)) 解析:∵y=f(x)是奇函数, ∴f(-a)=-f(a).∴选 C. 答案:C

B.(-a,f(a))

? ?1?? D..?a,f? ?? a ? ? ??

5. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x>0 时, f(x)=x +1, 则 f(-2)+f(0)=________. 解析:由题意知 f(-2)=-f(2)=-(2 +1)=-5,
2

2

f(0)=0,
∴f(-2)+f(0)=-5. 答案:-5 6.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],当 x∈[0,5]时,函数 y=f(x)的图象如图,则 使函数值 y<0 的 x 的取值集合为________.

解析:利用奇函数图象的性质,画出函数在[-5,0]上的图象,直接从图象中读出信息. 由原函数是奇函数,所以 y=

f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称,由 y=f(x)在[0,5]上的图象,知它在[-
5,0]上的图象,如图所示,由图象知,使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(-2,0)∪(2,5).

答案:(-2,0)∪(2,5) 7.已知函数 f(x)=x+ ,且 f(1)=3. (1)求 m; (2)判断函数 f(x)的奇偶性. 解:(1)∵f(1)=3,即 1+m=3, ∴m=2. 2 (2)由(1)知,f(x)=x+ ,其定义域是

m x

x

{x|x≠0},关于原点对称, 2 ? 2? 又 f(-x)=-x+ =-?x+ ?=-f(x), -x ? x?
2

∴此函数是奇函数.

8.对于定义域是 R 的任意奇函数 f(x),都有( A.f(x)-f(-x)>0 C.f(x)·f(-x)≤0

)

B.f(x)-f(-x)≤0 D.f(x)·f(-x)>0

解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)·f(-x)=-[f(x)] , 又∵f(0)=0,∴-[f(x)] ≤0,故选 C. 答案:C 9.已知 y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域是[-3,3],且它们在 x∈ [0,3]上的图象如图所示,则不等式
2 2

f?x? <0 的解集是________. g?x?

解析:由于 y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,根据奇、偶函数图象对称性画出 y =f(x),y=g(x)在区间[-3,0]上的图象如图所示,

所以

? ?f?x?>0, f?x? <0 等价于? g?x? ?g?x?<0, ?

或?

? ?f?x?<0, ?g?x?>0, ?

由图可得其解集是{x|-2<x<-1 或 0<x<1 或 2<x<3}. 答案:{x|-2<x<-1 或 0<x<1 或 2<x<3} 10.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x +x ,x∈(-1,0)∪(0,1]; 1-x (2)f(x)= . |x+2|-2 解:(1)因为函数 f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1],不关于原点对称,故此函数为非奇 非偶函数. (2)由 1-x ≥0,得-1≤x≤1, 又|x+2|-2≠0,∴x≠0,∴-1≤x≤1 且 x≠0, ∴定义域关于原点对称,且 x+2>0,
2 2 -2 2

3

∴f(x)=

1-x 1-x = . x+2-2 x
2 2

2

2

1-?-x? 1-x ∴f(-x)= =- =-f(x), -x x ∴f(x)为奇函数. 11.如图是函数 f(x)=x -x 图象的一部分,你能根据 f(x)的奇偶性画出它在 y 轴左侧 的图象吗?
3

解:函数 f(x)=x -x 的定义域是 R,对任意的 x∈R,都有

3

f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x),

∴f(x)=x -x 是奇函数. 函数 f(x)=x -x 是奇函数,则函数的图象关于原点对称.将函数 f(x)=x -x 图象中 位于 y 轴右侧的部分作关于原点对称的对称图象,得函数
3 3

3

f(x)=x3-x 在 y 轴左侧的图象,如图所示.

12.已知函数 y=f(x)(x∈R)对任意实数 x,y,有

f(x)+f(y)=2f? f(0)≠0,

?x+y?·f?x-y?恒成立,且 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?

(1)求 f(0)的值; (2)试判断函数 y=f(x)(x∈R)的奇偶性. 解:(1)令 x=y=0, ∴2f(0)=2f(0)·f(0). ∴f(0)=0 或 f(0)=1,而 f(0)≠0, ∴f(0)=1.

(2)令 y=-x,

4

∴f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x). 由(1)知 f(0)=1, ∴f(-x)=f(x). ∵f(x)的定义域为 R, ∴f(x)为偶函数.

1.两个定义:对于 f(x)定义域内的任意一个 x,如果都有 f(-x)=-f(x)?f(-x)+

f(x)=0?f(x)为奇函数;如果都有 f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0?f(x)为偶函数.
2.两个性质:函数为奇函数?它的图象关于原点对称;函数为偶函数?它的图象关于

y 轴对称.
3. 函数 y=f(x)与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称; 函数 y=f(x)与函数 y=-f(x) 的图象关于 x 轴对称;函数 y=f(x)与函数 y=-f(-x)的图象关于原点对称.

5



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