tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

函数的最值与导数5


导数练习(五)函数的最值与导数

一、选择题 1. 函数 y=f(x)在区间[a, b]上的最大值是 M, 最小值是 m, 若 M=m, 则 f′(x)() A.等于 0B.大于 0C.小于 0 D.以上都有可能

1 1 1 2.设 f(x)=4x4+3x3+2x2 在[-1,1]上的最小值为() A.0 B.-2C.-1 13 D.12



3.函数 y=x3+x2-x+1 在区间[-2,1]上的最小值为() 22 A.27 B.2 C.-1 D.-4

4.函数 f(x)=x2-x+1 在区间[-3,0]上的最值为() 3 A.最大值为 13,最小值为4B.最大值为 1,最小值为 4 C.最大值为 13,最小值为 1D.最大值为-1,最小值为-7 5.函数 y=+在(0,1)上的最大值为() A. B.1 C.0 D.不存在

6.函数 f(x)=x4-4x (|x|<1)() A.有最大值,无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,有最小值 D.既无最大值,也无最小值 7.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值和最小值分别是() A.5,-15 B.5,4C.-4,-15 D.5,-16
15 ,则 a 等于() 4

8.已知函数 y=-x2-2x+3 在[a,2]上的最大值为

第 1 页 共 1 页

3 A.-2

1 1 B.2C.-2

1 3 D.2或-2

9.若函数 f(x)=x3-12x 在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是() A.k≤-3 或-1≤k≤1 或 k≥3B.-3<k<-1 或 1<k<3 C.-2<k<2D.不存在这样的实数 10.函数 f(x)=x3+ax-2 在区间[1,+∞)上是增函数,则实数 a 的 取值范围是() A.[3,+∞) B.[-3,+∞)C.(-3,+∞) D.(-∞,-3) 二、填空题 3 3 11.函数 y=x2+(1-x)2,0≤x≤1 的最小值为______. 12 .函数 f(x) = 5 - 36x + 3x2 + 4x3 在区间 [ - 2 ,+∞ ) 上的最大值 ________,最小值为________. x 3 13.若函数 f(x)= (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 ,则 a 的 x2+a 3 值为________. 14.f(x)=x3-12x+8 在[-3,3]上的最大值为 M,最小值为 m,则 M -m=________. 三、解答题 15.求下列函数的最值: (1)f(x)=sin2x-x;x∈[-π/2,π/2] (2)f(x)=x+ 1? x2

第 2 页 共 2 页

1 16.设函数 f(x)=ln(2x+3)+x2.求 f(x)在区间4上的最大值和最小值.

17.(2010· 安徽理,17)设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间及极值; (2)求证:当 a>ln2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1.

18.已知函数 f(x)=

4x2 ? 7 ,x∈[0,1]. 2? x

(1)求 f(x)的单调区间和值域; (2)设 a≥1,函数 g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].若对于任意 x1∈[0,1],总存在 x0∈[0,1],使得 g(x0)=f(x1)成立,求 a 的取 值范围.

第 3 页 共 3 页

19 .已知函数 f ( x) ? log3

x 2 ? ax ? b ,是否存在实数 a、b、c,使 f ( x) 同时满足下列 x 2 ? cx ? 1

三个条件: (1) 定义域为 R 的奇函数; (2) 在 ?1,??? 上是增函数; (3) 最大值是 1. 若存在, 求出 a、b、c;若不存在,说明理由.

. 20. 有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位 于离河岸 40km 的 B 处,乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50km,两厂要在此岸边合建一个供 水站 C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元,问供水站 C 建在 岸边何处才能使水管费用最省?



21.已知 x、 y 为正实数,且满足关系式 x ? 2 x ? 4 y ? 0 ,求 x ? y 的最大值.
2 2

第 4 页 共 4 页

导数练习(五)函数的最值与导数 一、选择题 1.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值 是 m,若 M=m,则 f′(x)( A.等于 0 [答案] [解析] A ∵M=m,∴y=f(x)是常数函数 ) D.以上都有可能

B.大于 0C.小于 0

∴f′(x)=0,故应选 A. 1 1 1 2 .设 f(x) = x4 + x3 + x2 在 [ - 1,1] 上的最小值为 4 3 2 ( ) A.0 [答案] [解析] A y′=x3+x2+x=x(x2+x+1) B.-2 C.-1 13 D. 12

令 y′=0,解得 x=0. ∴f(-1)= 5 13 ,f(0)=0,f(1)= 12 12

∴f(x)在[-1,1]上最小值为 0.故应选 A. 3.函数 y=x3+x2-x+1 在区间[-2,1]上的最小值为 ( A. ) 22 27 B.2 C.-1
第 5 页 共 5 页

D.-4

[答案] [解析]

C y′=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)

1 令 y′=0 解得 x= 或 x=-1 3 当 x=-2 时,y=-1;当 x=-1 时,y=2; 1 22 当 x= 时,y= ;当 x=1 时,y=2. 3 27 所以函数的最小值为-1,故应选 C. 4 .函数 f(x) = x2 - x + 1 在区间 [ - 3,0] 上的最值为 ( ) 3 A.最大值为 13,最小值为 B.最大值为 1,最小值为 4 4 C.最大值为 13,最小值为 1D 最大值为-1,最小值为-7 [答案] [解析] A ∵y=x2-x+1,∴y′=2x-1,

?1? 3 1 ? 令 y′=0,∴x= ,f(-3)=13,f? ? ?= ,f(0)=1. 2 ?2? 4

5.函数 y= x+ 1-x在(0,1)上的最大值为( A. 2 [答案] [解析] A y′= 1 2 x - 1 1 1 -x - x = · 2 1-x 2 x· 1-x B.1 C.0 D.不存在

)

? ?1 ? 1? 1 ? ? ? 由 y′=0 得 x= ,在?0, ?上 y′>0,在? ,1? ?上 2? 2 ? ?2 ?

第 6 页 共 6 页

1 y′<0.∴x= 时 y 极大= 2, 2 又 x∈(0,1),∴ymax= 2. 6.函数 f(x)=x4-4x (|x|<1)( )

A.有最大值,无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,有最小值 D.既无最大值,也无最小值 [答案] [解析] D f′(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).

令 f′(x)=0,得 x=1.又 x∈(-1,1) ∴该方程无解, 故函数 f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值.故选 D. 7.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值和最 小值分别是( A.5,-15 [答案] [解析] A y′=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1), ) B.5,4C.-4,-15 D.5,-16

令 y′=0,得 x=2 或 x=-1(舍). ∵f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4, ∴ymax=5,ymin=-15,故选 A. 8.已知函数 y=-x2-2x+3 在[a,2]上的最大值为 则 a 等于( ) 15 , 4

第 7 页 共 7 页

3 A.- 2 [答案] [解析] C

1 1 B. C.- 2 2

1 3 D. 或- 2 2

y′=-2x-2,令 y′=0 得 x=-1.

当 a≤-1 时,最大值为 f(-1)=4,不合题意. 当-1<a<2 时,f(x)在[a,2]上单调递减, 最大值为 f(a)=-a2-2a+3= 1 3 解得 a=- 或 a=- (舍去). 2 2 9.若函数 f(x)=x3-12x 在区间(k-1,k+1)上不是单 调函数,则实数 k 的取值范围是 ( ) 15 , 4

A.k≤-3 或-1≤k≤1 或 k≥3B.-3<k<-1 或 1<k<3 C.-2<k<2D.不存在这样的实数 [答案] [解析] B 因为 y′=3x2-12,由 y′>0 得函数的增区间

是(-∞, -2)和(2, +∞), 由 y′<0, 得函数的减区间是(- 2,2),由于函数在(k-1,k+1)上不是单调函数,所以有 k -1<-2<k+1 或 k-1<2<k+1,解得-3<k<-1 或 1<k<3, 故选 B. 10. 函数 f(x)=x3+ax-2 在区间[1, +∞)上是增函数, 则实数 a 的取值范围是( A . [3 , + ∞ ) )

B . [ - 3 , + ∞ )C . ( - 3 , + ∞ )
第 8 页 共 8 页

D.(-∞,-3) [答案] [解析] B ∵f(x)=x3+ax-2 在[1,+∞)上是增函数,

∴f′(x)=3x2+a≥0 在[1,+∞)上恒成立 即 a≥-3x2 在[1,+∞)上恒成立 又∵在[1,+∞)上(-3x2)max=-3 ∴a≥-3,故应选 B. 二、填空题 3 3 11. 函数 y=x +(1-x) , 0≤x≤1 的最小值为______. 2 2 [答案] 2 2

1 1 由 y′>0 得 x> ,由 y′<0 得 x< . 2 2
? ?1 ? 1? ? ? ? 此函数在 ?0, ?上为减函数,在 ? ,1? ? 上为增函数,∴最 2? ? ?2 ?

1 2 小值在 x= 时取得,ymin= . 2 2 12.函数 f(x)=5-36x+3x2+4x3 在区间[-2,+∞) 上的最大值________,最小值为________. [答案] [解析] 不存在;-28 3 4

f′(x)=-36+6x+12x2,

第 9 页 共 9 页

3 3 令 f′(x)=0 得 x1=-2,x2= ;当 x> 时,函数为增 2 2 3 函数,当-2≤x≤ 时,函数为减函数,所以无最大值,又 2
?3? 3 3 ? 因为 f(-2)=57,f? ?2?=-284,所以最小值为-284. ? ?

13.若函数 f(x)=

x (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 x2+a

3 ,则 a 的值为________. 3 [答案] [解析] 3 -1 f′(x)= x2+a-2x2 a-x2 = (x2+a)2 (x2+a)2

令 f′(x)=0,解得 x= a或 x=- a(舍去) 当 x> a时,f′(x)<0;当 0<x< a时,f′(x)>0; 当 x= a时,f(x)= ∴f(x)max=f(1)= a 3 3 = , a= <1,不合题意. 2a 3 2

1 3 = ,解得 a= 3-1. 1+a 3

14.f(x)=x3-12x+8 在[-3,3]上的最大值为 M,最小 值为 m,则 M-m=________. [答案] [解析] 32 f′(x)=3x2-12

由 f′(x)>0 得 x>2 或 x<-2, 由 f′(x)<0 得-2<x<2. ∴f(x)在[-3, -2]上单调递增, 在[-2,2]上单调递减,
第 10 页 共 10 页

在[2,3]上单调递增. 又 f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8, f(3)=-1, ∴最大值 M=24,最小值 m=-8, ∴M-m=32. 三、解答题 15.求下列函数的最值:
? π (1)f(x)=sin2x-x? ?- 2 ?

π? ≤x ≤ ? ; 2? ?

(2)f(x)=x+ 1-x2. [解析] (1)f′(x)=2cos2x-1.

1 令 f′(x)=0,得 cos2x= . 2 又
? π x∈? ?- 2 ?

π? , ? ,∴2x∈[-π ,π ], 2? ?

π π ∴2x=± ,∴x=± . 3 6 ∴函数
?π f? ?6 ? ? ? ?= ? ? π f(x)在? ?- 2 ?

π? , ? 上的两个极值分别为 2? ?

? π? 3 π 3 π ? - - , f? =- + . ? 6? 2 6 2 6 ? ?

又 f(x)在区间端点的取值为
?π f? ?2 ? ? π ? =- ? 2 ? ? π , f? ?- 2 ? ? π ? ?= 2 ?

. π π ,f(x)min=- . 2 2

比较以上函数值可得 f(x)max=

第 11 页 共 11 页

(2)∵函数 f(x)有意义, ∴必须满足 1-x2≥0,即-1≤x≤1, ∴函数 f(x)的定义域为[-1,1]. 1 1 x f′(x)=1+ (1-x2)- ·(1-x2)′=1- . 2 2 1-x2 令 f′(x)=0,得 x= 2 . 2

∴f(x)在[-1,1]上的极值为
? f? ? ?

2 2? ? = + 2 2 ? ?

? 1 -? ? ?

2? ? 2= 2. 2 ? ?

又 f(x)在区间端点的函数值为 f(1)=1,f(-1)=-1, 比较以上函数值可得 f(x)max= 2,f(x)min=-1.
? 3 1? ? 16. 设函数 f(x)=ln(2x+3)+x2.求 f(x)在区间? ?-4,4? ? ?

上的最大值和最小值. [解析]
? 3 ? ? - ,+∞ f(x)的定义域为? ? 2 ?. ? ?

f′(x)=2x+ =

2 4x2+6x+2 = 2x+3 2x+3

2(2x+1)(x+1) . 2x+3

3 当- <x<-1 时,f′(x)>0; 2 1 当-1<x<- 时,f′(x)<0; 2

第 12 页 共 12 页

1 当 x>- 时,f′(x)>0, 2 所以
? 3 1? ? f(x)在? ?-4,4?上的最小值为 ? ?

? 1? 1 ? f? ?-2?=ln2+4. ? ?



? 3? ?1? 3 9 7 1 3 1 1 ? ? ? f ?- ? - f ? = ln + - ln - = ln + = ?4? 2 16 2 16 7 2 2 ? 4? ? ?

? 49? ? ? ?1-ln 9 ?<0, ? ?

所以

? 3 1? ? f(x)在区间? ?-4,4?上的最大值为 ? ?

?1? 7 1 ? f? ?4?=ln2+16. ? ?

17.(2010·安徽理,17)设 a 为实数,函数 f(x)=ex- 2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间及极值; (2)求证:当 a>ln2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1. [ 分析] 本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单

调区间,求函数的极值和证明函数不等式,考查运算能力、 综合分析和解决问题的能力. 解题思路是:(1)利用导数的符号判定函数的单调性,进 而求出函数的极值.(2)将不等式转化构造函数,再利用函 数的单调性证明. [解析] (1)解:由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R 知 f′(x)

=ex-2,x∈R. 令 f′(x)=0, 得 x=ln2.于是当 x 变化时, f′(x), f(x)
第 13 页 共 13 页

的变化情况如下表: x f ′ (x) f (x) 单 调 递 减 ? 2(1 - ln2+a) 单 调 递增 ? - 0 + ( - ∞,ln2) ln2 (ln2 ,+∞)

故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是 (ln2,+∞), f(x)在 x=ln2 处取得极小值,极小值为 f(ln2)=eln2 -2ln2+2a=2(1-ln2+a). (2)证明:设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是 g′(x) =ex-2x+2a,x∈R. 由(1)知当 a>ln2-1 时, g′(x)最小值为 g′(ln2)=2(1 -ln2+a)>0. 于是对任意 x∈R,都有 g′(x)>0,所以 g(x)在 R 内单调 递增. 于 是 当 a>ln2 - 1 时 , 对 任 意 x ∈ (0 , + ∞ ) , 都 有 g(x)>g(0). 而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞),g(x)>0.
第 14 页 共 14 页

即 ex-x2+2ax-1>0,故 ex>x2-2ax+1. 18.已知函数 f(x)= 4x2-7 ,x∈[0,1]. 2-x

(1)求 f(x)的单调区间和值域; (2)设 a≥1,函数 g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].若 对于任意 x1∈[0,1], 总存在 x0∈[0,1], 使得 g(x0)=f(x1) 成立,求 a 的取值范围. [解析] (1)对函数 f(x)求导,得 -4x2+16x-7 (2x-1)(2x-7) =- (2-x)2 (2-x)2

f′(x)=

1 7 令 f′(x)=0 解得 x= 或 x= . 2 2 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: (0 x f ′ (x) f (x) 7 2 - ? 4 - ? 3 - - 0 + 0 1 , ) 2
错误!

( ,1)

1 2

1

1 所以,当 x∈(0, )时,f(x)是减函数; 2

第 15 页 共 15 页



?1 ? ? x∈? ,1? ?时,f(x)是增函数. ?2 ?

当 x∈[0,1]时,f(x)的值域为[-4,-3]. (2)g′(x)=3(x2-a2). 因为 a≥1,当 x∈(0,1)时,g′(x)<0. 因此当 x∈(0,1)时,g(x)为减函数,从而当 x∈[0,1]时 有 g(x)∈[g(1),g(0)]. 又 g(1)=1-2a-3a2, g(0)=-2a, 即 x∈[0,1]时有 g(x) ∈[1-2a-3a2,-2a]. 任给 x1∈[0,1],f(x1)∈[-4,-3],存在 x0∈[0,1] 使得 g(x0)=f(x1)成立, 则[1-2a-3a2,-2a]? [-4,-3].
? ?1-2a-3a2≤-4,① 即? ? ?-2a≥-3.②

5 3 解①式得 a≥1 或 a≤- ;解②式得 a≤ . 3 2 3 又 a≥1,故 a 的取值范围为 1≤a≤ . 2

第 16 页 共 16 页

已知函数 f ( x) ? log3

x 2 ? ax ? b ,是否存在实数 a、b、c,使 f ( x) 同时满足下列三 x 2 ? cx ? 1

个条件: (1)定义域为 R 的奇函数; (2)在 ?1,??? 上是增函数; (3)最大值是 1.若存在, 求出 a、b、c;若不存在,说明理由. 分析:本题是解决存在性的问题,首先假设三个参数 a、b、c 存在,然后用三个已给条 件逐一确定 a、b、c 的值. 解: f ( x) 是奇函数 ? f (0) ? 0 ? log3 b ? 0,?b ? 1. 又? f (? x) ? ? f ( x) ,即 log3

x 2 ? ax ? 1 x 2 ? ax ? 1 ? ? log , 3 x 2 ? cx ? 1 x 2 ? cx ? 1



x 2 ? 1 ? ax x 2 ? 1 ? cx ? ? ( x 2 ? 1) 2 ? a 2 x 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? c 2 x 2 . x 2 ? 1 ? cx x 2 ? 1 ? ax
2 2

∴ a ? c ? a ? c 或 a ? ?c ,但 a ? c 时, f ( x) ? 0 ,不合题意;故 a ? ?c .这时

x 2 ? cx ? 1 f ( x) ? log3 2 在 ?1,??? 上是增函数,且最大值是 1. x ? cx ? 1
设 u ( x) ?

x 2 ? cx ? 1 在 ?1,??? 上是增函数,且最大值是 3. x 2 ? cx ? 1

? u?( x) ?
2

(2 x ? c)(x 2 ? cx ? 1) ? (2 x ? c)(x 2 ? cx ? 1) 2c( x 2 ? 1) 2c( x ? 1)(x ? 1) ? ? 2 2 2 2 ( x ? cx ? 1) ( x ? cx ? 1) ( x 2 ? cx ? 1) 2

, 当 x ? 1 时 x ? 1 ? 0 ? u?( x) ? 0 , 故c ? 0; 又当 x ? ?1 时,u?( x) ? 0 ; 当 x ? (?1,1) 时,

u?( x) ? 0 ;
故 c ? 0 ,又当 x ? ?1 时, u?( x) ? 0 ,当 x ? (?1,1) 时, u?( x) ? 0 . 所以 u ( x) 在 (??,?1) ? (1,??) 是增函数,在(-1,1)上是减函数. 又? x ? 1 时, x ? cx ? 1 ? x ? cx ? 1, u( x) ? 1,? x ? ?1时 u ( x) 最大值为 3.
2 2



1? c ?1 ? 3, c ? 1, a ? ?1. 经验证: a ? ?1, b ? 1, c ? 1 时, f ( x) 符合题设条件,所 1? c ?1

以存在满足条件的 a、b、c,即 a ? ?1, b ? 1, c ? 1. 说明:此题是综合性较强的存在性问题,对于拓宽思路,开阔视野很有指导意义. 此题若用相等方法解决是十分繁杂的,甚至无技可施.若用求导数的方法解决就迎刃 而解.

第 17 页 共 17 页

因此用导数法解决有关单调性和最值问题是很重要的数学方法.切不可忘记. 有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂 位于离河岸 40km 的 B 处,乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50km,两厂要在此岸边合建一个 供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元,问供水站 C 建 在岸边何处才能使水管费用最省? 分析:根据题设条件作出图形,分析各已知条件之间的关系,借助图形的特征,合理 选择这些条件间的联系方式,适当选定变元,构造相应的函数关系,通过求导的方法或其他 方法求出函数的最小值,可确定点 C 的位置.

解:解法一:根据题意知,只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置,才能使总运费最省, 设 C 点距 D 点 x km,则

? BD ? 40, AC ? 50 ? x,? BC ? BD 2 ? CD 2 ? x 2 ? 40 2 又设总的水管费用为 y
元,依题意有

y ? 3a (50 ? x) ? 5a x 2 ? 40 2 (0 ? x ? 50).

y? ? ?3a ?

5ax x ? 40
2 2

.令 y? ? 0 ,解得 x ? 30 .

在(0,50)上,y 只有一个极值点,根据实际问题的意义, 函数在 x ? 30 (km)处取得最小值,此时 AC ? 50 ? x ? 20 (km) . ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20km 处,可使水管费用最省. 解法二:设 ?BCD ? ? ,则 BC ? ∴ AC ? 50 ? 40 ? cot ? .

40 ? , CD ? 40 ? cot ? , (0 ? ? ? ). sin ? 2

设总的水管费用为 f (? ) ,依题意,有

40 5 ? 3 cos ? ? 150 a ? 40 a ? sin ? sin ? (5 ? 3 cos ? )? ? sin ? ? (5 ? 3 cos ? ) ? (sin ? )? ∴ f ?(? ) ? 40 a ? sin 2 ? 3 ? 5 cos ? ? 40 a ? sin 2 ? 3 令 f ?(? ) ? 0 ,得 cos ? ? . 5 3 根 据 问 题 的 实 际 意 义 , 当 cos ? ? 时 , 函 数 取 得 最 小 值 , 此 时 5 f (? ) ? 3a(50 ? 40 ? cot ? ) ? 5a ?

第 18 页 共 18 页

4 3 sin ? ? ,? cot ? ? ,? AC ? 50 ? 40 cot ? ? 20 (km) ,即供水站建在 A、D 之间距甲厂 5 4
20km 处,可使水管费用最省. 说明:解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数 学语言,找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题,再 划归为常规问题,选择合适的数学方法求解.对于这类问题,学生往往忽视了数学语言和普 通语言的理解与转换,从而造成了解决应用问题的最大思维障碍. 运算不过关,得不到正确的答案,对数学思想方法不理解或理解不透彻,则找不到正 确的解题思路,在此正需要我们依据问题本身提供的信息,利用所谓的动态思维,去寻求有 利于问题解决的变换途径和方法,并从中进行一番选择. 已知 x、 y 为正实数,且满足关系式 x 2 ? 2 x ? 4 y 2 ? 0 ,求 x ? y 的最大值. 分析:题中有两个变量 x 和 y,首先应选择一个主要变量,将 x、 y 表示为某一变量(x 或 y 或其它变量)的函数关系,实现问题的转化,同时根据题设条件确定变量的取值范围, 再利用导数(或均值不等式等)求函数的最大值. 解:解法一: 4 y ? 2 x ? x ,? y ? 0,? y ?
2 2

1 2x ? x 2 , 2

∴ x? y ? 由?

1 x 2x ? x2 . 2
解得 0 ? x ? 2 .

?x ? 0
2 ?2 x ? x ? 0

设 f ( x) ? xy ?

1 x 2 x ? x 2 (0 ? x ? 2). 2
1? x(1 ? x) ? 2 ? 2x ? x ? ? 2? 2x ? x2 ?

当 0 ? x ? 2 时, f ?( x ) ?

?

x(3 ? 2 x) 2 2x ? x2



令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ∴ f? ??

3 或 x ? 0 (舍) . 2

?3? ?2?

3 3 3 3 ,又 f (2) ? 0 ,∴函数 f ( x) 的最大值为 . 8 8 3 3 . 8
2 2 2

即 x ? y 的最大值为
2

解法二:由 x ? 2 x ? 4 y ? 0 得 ( x ?1) ? 4 y ? 1( x ? 0, y ? 0) ,

1 sin ? (0 ? ? ? ? ) , 2 1 1 ∴ x ? y ? sin ? (1 ? cos ? ) ,设 f (? ) ? sin ? (1 ? cos ? ) , 2 2
设 x ? 1 ? cos ? , y ?
第 19 页 共 19 页

则 f ?(? ) ?

1 ? sin 2 ? ? (1 ? cos ? ) ? cos ? 2

?

?

?

1 1? ? (2 cos2 ? ? cos? ? 1) ? (cos? ? 1)? cos? ? ?. 2 2? ?
1 . 2

令 f ?(? ) ? 0 ,得 cos ? ? ?1或 cos ? ?

? 0 ? ? ? ? ,?? ?

?
3

,此时 x ?

3 3 ,y? . 2 4

∴ f?

3 3 ? ? ? 3 3 ? ? ? ?? ,? ? f ? ?? ? . ?? 8 8 ?3? ? ? 3 ?? max

即当 x ?

3 3 3 3 时, ?x ? y ?max ? ,y ? . 2 4 8

说明:进行一题多解训练,是一种打开思路,激发思维,巩固基础,沟通联系的重要 途径,但要明确解决问题的策略、指向和思考方法,需要抓住问题的本质,领悟真谛,巧施 转化,方可快捷地与熟悉的问题接轨,在实现转化的过程中,关键是要注意变量的取值范围 必须满足题设条件,以免解题陷于困境,功亏一篑.

第 20 页 共 20 页


推荐相关:

题目024f96717fd5360cba1adbeb

填空题 数学 函数的最值与导数的关系 将长为52 cm的铁丝剪成2段,各围成一个长与宽之比为2:1及3:2的矩形,那么面积之和的最小值为 ___. 正确答案及...


题目cd4cb8c69ec3d5bbfd0a744c

简答题 数学 函数的极值与导数的关系、函数的最值与导数的关系 设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R (Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;并求该曲线在x=1处的切线方程...


题目5fd3e3da50e2524de5187ec8

简答题 数学 函数的极值与导数的关系、函数的最值与导数的关系 求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值. 正确答案及相关解析 正确答案 当x...


题目f04168d184254b35eefd344a

简答题 数学 函数的最值与导数 已知函数,a为常数. (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+2y-5=0垂直,求实数a的值; (2)求f(x)的单调...


题目b575db0a79563c1ec5da71cb

简答题 数学 函数的最值与导数的关系、函数的单调性与导数的关系 设f(x)=x3+mx2+nx, (1)如果g(x)=f′(x)-2x-3在x=-2处取得最小值-5,求f(x)...


2017年高考数学基础突破——导数与积分第5讲 导数与函数的极值、最值

2017 年高考数学基础突破——导数与积分第 5 讲 导数与函数的极值、最值(学生版,后附教师版) 【知识梳理】 1.函数的极值 一般地,当函数 f ( x ) 在点 ...


题目98f291360b4c2e3f572763e8

简答题 数学 函数的极值与导数的关系、函数的最值与导数的关系 (本题满分为...是极大值点还是极小值点;(Ⅱ)若f(x)在区间上最大值是5,最小值是-11,...


2017届高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 计时双基练5 函数的单调性与最值 文

2017届高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 计时双基练5 函数的单调性与最值 文_数学_高中教育_教育专区。计时双基练 函数的单调性与最值 A 组...


2015高考数学二轮复习热点题型专题十五 导数与函数的最值及在实际生活中的应用

2015高考数学二轮复习热点题型专题十五 导数与函数的最值及在实际生活中的应用_...元与每个玩具的出厂价 x 元之间的函数关系式; (2)若 t=5,则每个玩具的...


题目42d78500a6c30c2259019ece

简答题 数学 函数的极值与导数的关系、函数的最值与导数的关系 设x=4是函数f...)2x,若存在ξ1,ξ2∈[0,5]使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<4成立,求a的取值...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com