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广铁一中高一第一学期期末模拟试题


广铁一中高一第一学期期末模拟试题
姓名_____________ 班级_________
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)
2 1 1 ? 则 a-b 值是( 1、若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集 ? ?x | ? ? x ? ?

学号__________

成绩__________

___


?

2

3?

A、-10

B、-14

C、10

D、14;

2.已知函数 f ( x) ? ? A. 27

?3 x ( x ? 0) ?log2 x( x ? 0)
B.

,那么 f [ f ( )] 的值为( C. ?27 C. D. ?

1 8



1 27

1 27
D.

3、下列各式错误的是( ). 0.8 0.7 A. 3 ? 3 B. log0..5 0.4 ? log0..5 0.6

0.75?0.1 ? 0.750.1

lg1.6 ? lg1.4

4.已知 m,n 是两条不重合的直线,? , ? , ? 是三个两两不重合的平面,下列四个命题: ①若 m ? ? , m ? ? , 则 ? // ? ; ③若 m ? ? , n ? ? , m // n, 则 ? // ? ; ④若 m,n 是异面直线, m ? ? , m // ? , n ? ? , n // ? , 则 ? // ? .其中真命题是( A.①和④ B.①和③ C.③和④ D.①和② ) ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? // ? ;

5、向高为 H 的容器中注水直到注满为止,如果注水量 V 与水深 H 的函数关系如右图所示, 那么水瓶的形状应该是下图中的 V

O

H

h

A

B

C )

D

6、设 x0 是方程 ln x ? x ? 4 的解,则 x0 在下列哪个区间内( A.(3,4) B.(2,3)
2 2

C.(1,2)

D.(0,1) ).

7、直线 ?1 ? a ? x ? y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为( A. 1, ?1 B. ?2 C. ?1 D. 1

(2,4,7),且 AB ? 5 2 ,则实数 x 的值是( 8、已知点 A( x,1,3)和点B
A1 C1 B1



(A)–3 或 7 (B) -3 或 3 (C) 3 或-7

(D) 7 或-7

9.如图为一个几何体的三视图,其中俯视图为正三角形, A1B1=2,AA1=4,则该几何体的表面积为( A. 6+ 3 B. 24+ 3 ) D. 32
A C 正视图 B 侧视图 俯视图

C. 24+2 3

10、直线 l : y ? x ? b 与曲线 c : y ? 1 ? x 2 有两个公共点,则 b 的取值范围是( A. ? 2 ? b ?



2

B. 1 ? b ?

2

C. 1 ? b ?

2

D. 1 ? b ?

2

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11. 函数 y ?

log 5 (4 x ? 3) 的定义域是 ____________。

12、圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是 13 、 已 知 直 线 l 通 过 直 线 3x ? 5y ? 4? 0和 直 线 6 x ? y ? 3? 0的 交 点 , 且 与 直 线 垂直,则直线 l 的方程为 2 x ? 3y ? 5? 0 .

14、已知点 M (a, b) 在直线 3x ? 4 y ? 15上,则 a 2 ? b 2 的最小值为 三、解答题(共 6 小题,合计 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

5 2 (1)求 a ; (2)求 f ( x) 的表达式; (3)证明 f ( x) 在 [0,??) 是增函数
15、已知函数 f (loga x) ? x ? x?1 , (a ? 1) ;若 f (1) ?

2 2 16.已知,圆 C: x ? y ? 8 y ? 12 ? 0 ,直线 l : ax ? y ? 2a ? 0 .

(1) 当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2) 当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB ? 2 2 时,求直线 l 的方程.

E、 F 分别为 C1D1 、 AB ? 2a , 17. 如图, 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AA 1 ? AD ? a ,

A1 D1 的中点.
(Ⅰ)求证: DE ? 平面 BCE ; (Ⅱ)求证: AF // 平面 BDE .

D1
F

E

C1

A 1
D

B1
C
B

A

18、在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB= 3 ,B1B=BC=1, (1)求 D D1 与平面 ABD1 所成角的大小; (2)求面 B D1C 与面 A D1D 所成二面角的大小; (3)求 AD 的中点 M 到平面 D1B C 的距离. A A1 O

D1 B1

C1

D ?M B

C

19. (本题 14 分) 某商品在近 30 天内每件的销售价格 P 元和时间 t (t ? N ) 的关系如图所示. (1)请确定销售价格 P (元)和时间 t (天)的函数解析式; (2)该商品的日销售量 Q (件)与时间 t (天)的关系是 P(元) 75 70

Q ? ?t ? 40(0 ? t ? 30, t ? N ) ,求该商品的日销售金额
时间 t (天)的函数解析式;

y (元)与

44 19 O



(3)求该商品的日销售金额 y (元)的最大值,并指出日销售金额最大 的一天是 30 天中的哪一天? (注:日销售金额=日销售量 ? 销售价格)

25

30

t(天)

2 20.若圆 C 过点 P (1, 1) ,与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 3? ? r ( r >0)关于直线 x ? y ? 3 ? 0 对称. 2 2

(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 P 作两条直线分别与圆 C 相交于点 A 、 B ,且直线 PA 和直线 PB 的斜率互为 相反数, O 为坐标原点,判断直线 OP 与 AB 是否平行,并请说明理由.

15.(1)解:由条件得 1 ? loga x , x ? a

5 ……………(4 分) 2 1 解得 a ? 2 或 a ? (舍去)……………(7 分) 2
?1 得a ? a ?

(2)函数 f ( x) ?

2 ?2

x

?x

(3)由单调性定义证明

x ?x
1

2

? 0, f ( x1) ? f ( x2) ? 2x1 ?
? 1)

2

1 1 , ? 2x 2 ? x1 x2

2

x ? 2x )(2x ? 2x ( 2 ? 2x ? 2x
1 2 1 1 2

2

……………………………(10 分)

因为

x ?x
1

2

x ? 0, (2 1 ? 2x2) ? 0, 2x1 ? 2x2 ? 1

故 f ( x1) ? f ( x2) ,所以 f ( x) 在 [0,??) 是增函数.(14 分) 16、解:将圆 C 的方程 x ? y ? 8 y ? 12 ? 0 配方得标准方程为 x ? ( y ? 4) ? 4 ,则此 圆的圆心为(0 , 4) ,半径为 2.
2 2 2 2

(1) 若直线 l 与圆 C 相切,则有 解得 a ? ?

| 4 ? 2a | a2 ?1

? 2.

………………………………………………3

分 分

3 . 4

……………………………………………………………………………………………………5

(2) 解法一:过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,得 | 4 ? 2a | ? , ?CD ? 2 a ? 1 ? ? 2 2 2 2 ……………………………………………………………………………8 分 ?CD ? DA ? AC ? 2 , ? 1 ? DA ? AB ? 2 . 2 ? ? 解得 a ? ?7 , ? 1 . ………………………………………………………………………………………………10 分 (解法二:联立方程 ?

?ax ? y ? 2a ? 0,

2 2 ? x ? y ? 8 y ? 12 ? 0 (a 2 ? 1) x 2 ? 4(a 2 ? 2) x 2 ? 4(a 2 ? 4a ? 3) ? 0 .

并消去 y ,得

设此方程的两根分别为 x1 、 x2 ,则用 AB ? 2 2 ? 求出 a.) ∴直线 l 的方程是 7 x ? y ? 14 ? 0 和 x ? y ? 2 ? 0 .

(a 2 ? 1)[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] 即可
………………………………………12



17、Ⅰ)证明:? BC ? 侧面 CDD1C1 , DE ? 侧面 CDD1C1 ,? DE ? BC , ……3 分

在 ?CDE 中, CD ? 2a, CE ? DE ?

2a ,则有 CD 2 ? CE 2 ? DE 2 ,
………………………6 分 …………………………7 分

? ?DEC ? 90? ,? DE ? EC , 又 BC ? EC ? C ? DE ? 平面 BDE .
(Ⅱ)证明:连 EF 、 A1C1 ,连 AC 交 BD 于 O ,

1 1 A1C1 , AO // A1C1 ,? 四边形 AOEF 是平行四边形, ……………10 分 2 2 ? AF // OE …………………………11 分 BDE BDE ? OE ? AF ? 又 平面 , 平面 , ? AF // 平面 BDE . …………………………14 分 E D1 C1 F ? EF //

A 1
D

B1
C
O
B

A

18、解: (1)连接 A1D 交 AD1 于 O,∵ABCD-A1B1C1D1 为长方体,而 B1B=BC,则四边形
A1ADD1 为正方形,∴A1D?AD1, 又∵AB?面 A1ADD1,A1D ? 面 A1ADD1,∴AB?A1D,∴A1D?面 ABD1, ∴?DD1O 是 D D1 与平面 ABD1 所成角,
0

2分
0

∵四边形 A1ADD1 为正方形,∴?DD1O=45 ,则 D D1 与平面 ABD1 所成角为 45 .4 分 (2)连接 A1B,∵A1A?面 D1DCC1,D1D、DC ? 面 D1DCC1,∴A1A? D1D、A1A?DC, ∴?DD1C 是面 B D1C 与面 A D1D 所成二面角的平面角, 在直角三角形 D1DC 中,∵DC=AB= 3 ,D1D=B1B =1,∴?DD1C=60 ,
0

6分

即?DD1C 是面 B D1C 与面 A D1D 所成的二面角为 60 .
0

8分

(3)∵AD//BC,∴AD//面 BCD1,则 AD 的中点 M 到平面 D1B C 的距离即为 A 点到平 面 D1B C 的距离,∵BC?面 A1ABB1,∴面 BCD1A1?面 A1ABB1, 过 A 作 AH?A1B,垂足为 H,由 AH?面 BCD1A1 可得,AH 即为所求. 在直角三角形 A1AB 中,∵AB= 3 ,A1A=B1B =1,∴A1B =2, AH ? 10 分

A1 A ? AB 3 , ? A1B 2
12 分

∴AD 的中点 M 到平面 D1B C 的距离为

3 . 2

19(1)当 0 ? t ? 25, t ? N ,设 P=at+b,将(0,19),(25,44)代入,得 ?

?19 ? b ……1 分 ?44 ? 25a ? b

解之得 ?

?a ? 1 ,? P ? t ? 19 (0 ? t ? 25, t ? N ) ?b ? 19

……2 分

当 25 ? t ? 30, t ? N ,同理可得 P ? ?t ? 100, 综上所述:销售价格 P(元)和时间 t(天)的函数解析式为

……3 分

( 0 ? t ? 25, t ? N ) ?t ? 19, P?? ?? t ? 100, (25 ? t ? 30, t ? N )
(2)依题意,有 y ? P ? Q ,由(1)得

……4 分

(0 ? t ? 25, t ? N ) ??t ? 19??? t ? 40?, y?? ??? t ? 100?( ?t ? 40), (25 ? t ? 30, t ? N )
?? t 2 ? 21t ? 760, (0 ? t ? 25, t ? N ) 化简得 y ? ? 2 , ( 25 ? t ? 30, t ? N ) ?t ? 140t ? 4000
(3)由 y ? ?
2 ? ( 0 ? t ? 25, t ? N ) ?? ?t ? 10.5? ? 870.25, 2 ? ??t ? 70? ? 900, (25 ? t ? 30, t ? N )

……5 分

……6 分

……8 分

当 0 ? t ? 25, t ? N 时,由二次函数的性质知: t=10,或 t=11 时, y 有最大值 870 元 当 25 ? t ? 30, t ? N 时,? 70 ? 30,?y 在区间[25,30]上是减函数 因此 t=25 时, y 有最大值 1125 元 因为 1125>870,所以当 t=25 时,即在第 25 天, 日销售金额最大,最大值为 1125 元。
2 2

……9 分 ……10 分 ……11 分

……12 分

2 20 解: (Ⅰ)依题意,可设圆 C 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,且 a 、 b 满足方程组

?a ? 3 b ? 3 ? ? 3 ? 0, ? ? 2 2 ? ? b ? 3 ? ? ?1? ? ?1. ? ?a ? 3
由此解得 a ? b ? 0 . 又因为点 P (1, 1) 在圆 C 上,所以 …5 分

r 2 ? ?1 ? a ? ? ?1 ? b ? ? ?1 ? 0 ? ? ?1 ? 0 ? ? 2 .
2 2 2 2

故圆 C 的方程为 x ? y ? 2 .
2 2

…7 分

(Ⅱ)由题意可知,直线 PA 和直线 PB 的斜率存在且互为相反数,

故可设 PA 所在的直线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) , PB 所在的直线方程为 y ? 1 ? ?k ( x ? 1) .

由?

? y ?1 ? k ( x ?1),
2 2 ?x ? y ? 2

消去 y ,并整理得

(k 2 ? 1) x2 ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k )2 ? 2 ? 0 .



…10 分

设 A ? x1 , y1 ? ,又已知 P (1,1) ,则 x1 、1 为方程①的两相异实数根,由根与系数的关系得

?1 ? k ? x? 1?
1

?2 k 2 ? 2k ? 1 x ? ,即 . 1 k 2 ?1 k 2 ?1
k 2 ? 2k ? 1 k 2 ?1

2

同理,若设点 B ( x2 , y2 ) ,则可得 x2 ?

…12 分

于是

k AB ?

y1 ? y 2 k ( x 1 ? 1) ?k x (? 1 ) k ( x1 ? x2 ) ? 2k 2 = =1. ? x1 ? x 2 x1 ?x 2 x1 ? x2
…14 分

而直线 OP 的斜率也是 1,且两直线不重合,因此,直线 OP 与 AB 平行.


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