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2012年江苏高考模拟汇编第九部分 三角


(2012 年栟茶高级中学高三阶段考试)已知等比数列 { a n } 的公比 q ? 3 , 3 项和 S 3 ? 前 数 f ( x ) ? A sin ( 2 x ? ? )( A ? 0, 0 ? ? ? ? ) 在 x ?
f ( x ) 的解析式为

13 3

. 函

?
6


处取得最大值,且最大值为 a 3 ,则函数


?
6

.
)。

答案: f ( x ) ? 3 sin ( 2 x ?

(2012 年兴化)为了得到函数 y ? sin 2 x 的图像, 可以将函数 y ? cos 2 x 的图像向右平移 m 个 单位长度,则 m 的最小值是 ▲ . 答案:
?
4

(2012 年兴化) tan 20 ? 4 sin 20 的值为_______▲_______.
?
3

?

?

答案: 3

(江苏高考最后 1 卷)1.若函数 y ? c o s ( ? x ? ▲ .

) (? ? 0 )

的最小正周期是 ? ,则 ? ?

答案:2 ( 南 通 一 模 ) 若 a1 x ? sin x ? a 2 x 对 任 意 的 x ? [0 , 为 【答案】 1 ? 2 π 解:当过原点的直线过点 时, a 2 取得最小值 1 .
2 ? ? ,1 ? 时, a 取得最大值 ? ;当过原点的直线为点 ? ?,0 ? 处的切线 ?
1

?
2

] 都 成 立 , 则 a 2 ? a1 的 最 小 值



( 南 师 大 信 息 卷 ) 如 图 所 示 , 点

P

是 函 数

y ? 2 sin ( ? x ? ? )( x ? R , ? ? 0 )

图象的最高点, M 、 N 是图象与 x 轴的交点,若

???? ???? ? PM ? PN ? 0

,则 ? =

?
4

. ,所以 ? P M N 是等腰直
2?

提示:依题意得 P M

? PN , PM ? PN

角三角形,又斜边 M N 上的高为 2,因此有 M N =4, 即 该函数的最小正周期的一半为 4,所以
?
?8

,?

?

?
4

.
2

(南师大信息卷) ? A B C 中, 为 B C 中点, B A D 在 D ? 则 AD =
3 ?1 2

? 4 5 ? , ? C A D ? 3 0 ? , AB ?

,

A

.

提示:在 ? A B C 和 ? ACD 中分别使用正弦定理即可.

C

D

B

(泰州期末)1.在 ? ABC 中, a ? 1, c ? 2 , B ? 60 ,则 b =
0



.

答案: 3

(泰州期末)9.将 y ? sin 2 x 的图像向右平移 ? 单位( ? ? 0 ) ,使得平移后的图像仍过点
?
3 3 2

(

,

), 则 ? 的最小值为



.

?

答案: 6

(盐城二模)函数 f ( x ) ? s in 2 x ? s in ▲ .
? ? 5? 12 12 ? ? ,

?
6

? cos 2 x ? cos

5? 6

在 ??
?

?

? ? ?
, 2 2? ?

上的单调递增区间为

答案: ? ?

? ?

(苏锡常二模)已知钝角 ? 满足 cos ? ? ?

3 5

,则 tan(

?
2

?

?
4

) 的值为

.

答案: ? 3

(南京二模) 已知函数 y ? A sin( ? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? 的值为___

?
2

) 的部分图像如图所示, ? 则

答案:3

(苏州期末)已知 答案:
2 3 2

?
2

? ? ? ? , 3 sin 2 ? ? 2 co s ? ,则 co s(? ? ? ) ? __________.

(苏州期末)如图,,测量河对岸的塔高 AB 时,选与塔底 B 在同一水平面 内的两个测点 C 与 D,测得 ? B D C ? 1 2 0 , C D ? 1 0 米,并在点 C 测得塔
?

顶 A 的仰角为 6 0 ,则塔高 AB=_______. 答案:30

?

(天一)1.已知 c o s ? 答案:
1 7

? ?

4 5

且?

?(

?
2

,? )

,则 ta n (?

?

?
4

)?



.

(常州期末)函数 f ( x ) ? c o s ( x ? 答案: ?

?
2

) ? cos( x ?

?
6

) 的最小正周期为



(常州期末)已知△ABC 中,AB 边上的高与 AB 边的长相等,则 最大值为 答案: 2 2 。

AC BC

?

BC AC

?

AB

2

BC ? AC



(苏锡常一模) 已知角 ?( 0 ? ? ? 2 ? ) 的终边过点 P (sin 答案:
11 6

2? 3

, cos

2? 3

), ? ? 则

.

?

(南通三模) 已知角 ? 的终边经过点 P (1, ? 2 ) , 函数 f ( x ) ? sin (? x ? ? )( ? ? 0 ) 图象的相邻 两条对称轴之间的距离等于
?
3

,则 f (

?
12

)=



.

解析:考查三角函数定义、图像、性质及两角和公式。由角 ? 的终边过点 p (1, ? 2 ) 得知:
sin ? ? ? 2 5 , cos ? ? 1 5
2? 3

,由函数 f ( x ) ? sin( ? x ? ? )( ? ? 0 ) 图像相邻对称抽之间的距
?
12

离为

?
3

得知此函数的周期为

,从而获得 ? ? 3 ,所以 f (

) ? sin(

?
4

? ? ) .再用两角和

公式进行运算。答案: ?

10 10

(盐城二模)设 ? A B C 的内角 A , B , C 的对边长分别为 a , b , c , 且 b ?
2

1 2

ac .

(1) 求证: c o s B ?

3 4



(2) 若 co s( A ? C ) ? co s B ? 1 , 求角 B 的大小. 16.解: (1)因为
cos B ? a ?c ?b
2 2 2

a ?c ?
2 2

1 2

ac

? 2ac 3 4

……………………………………………………3 分

2ac 2ac ? ?
cos B ? 3 4

1

ac ?

2 2ac

, 所以

…………………………………………………………………… 6 分

(2)因为 co s( A ? C ) ? co s B ? co s( A ? C ) ? co s( A ? C ) ? 2 sin A sin C ? 1 , 所以 s in A s in C ?
s in B ?
2

1 2

…………9 分
1 4

又由 b ?
2

1 2

a c ,得

1 2

s in A s in C ?
1 2

, 由(1),得

所以 s in B ?
B ?

………………12 分

?
6

…………………………………14 分

(南通一模) 在斜三角形 A B C 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1)若 2 sin
A cos C ? sin B

,求 a 的值;
c

(2)若 sin(2 A ?

B ) ? 3 sin B

,求 ta n

A ta n C

的值.

解: (1)由正弦定理,得 s in 从而 2 sin

A a ? s in B b


?b

A cos C ? sin B
2

可化为 2 a co s C
2 2



由余弦定理,得 2 a ? 整理得 a
? c

a ?b ?c 2ab

? b



,即 a
c

?1.
B ?C ? ?

(2)在斜三角形 A B C 中, A ? 所以 sin(2 A ?
B ) ? 3 sin B


? 3 sin ? ? ? ? A ? C ? ? ? ?

可化为 sin ? ? ? ? A ? C ? ? ? ?



即 ? sin ? A ? C ? ? 故 ? sin

3 sin ? A ? C

?.


A co s C ? co s A sin C ? 3(sin A co s C ? co s A sin C )
A co s C ? ? 2 co s A sin C

整理,得 4 sin


0

因为△ABC 是斜三角形,所以 sinAcosAcosC ? 所以 tan
A 1 ? ? tan C 2





(天一)2.已知函数

f (x) ?

3 2 1 sin 2 x ? c o s x ? , 2 2

x? R



]

(1)求函数

f (x)

的最小值和最小正周期;
? 3

(2)设 ? A B C 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a , b , c ,且 c sin B ? 2 sin A ,求 a , b 的值.
解: (1) f ( x ) ?
3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin ( 2 x ? ) ? 1 , 2 2 2 6



f (C ) ? 0

,若

则 f ( x ) 的最小值是-2,
2? ? ? ; 最小正周期是 T ? 2

? ? (2) f ( C ) ? sin ( 2 C ? ) ? 1 ? 0 ,则 sin ( 2 C ? ) ? 1 ,
6 6
Q 0 ? C ? ? ? 0 ? 2C ? 2 ?

??

?
6

? 2C ?

?
6

?

1 1? , 6

? 2C ?

?
6

?

?
2

,? C ? ? ,
3 a 1 ? ,① b 2 3

Q sin B ? 2 sin A ,由正弦定理,得
2 2 2

2 2 由余弦定理,得 c ? a ? b ? 2 a b c o s ? ,即 a ? b ? a b ? 3 , ②

由①②解得 a ? 1, b ? 2 .

(泰州期末) (本题满分 14 分)某学校需要一批一个锐角为 θ 的直角三角形硬纸板作为教学 5π π 用具( ≤θ≤ ),现准备定制长与宽分别为 a、b(a>b)的硬纸板截成三个符合要求的△AED、 24 3 △BAE、△EBC.(如图所示) (1)当 θ=
?
6

E 时,求定制的硬纸板的长与宽的比值; D θ

C

(2)现有三种规格的硬纸板可供选择,A 规格长 80cm,宽 30cm,B 规格长 60cm,宽 40cm,C 规格长 72cm,宽 32cm, 可以选择哪种规格的硬纸板使用. 16.解:(1)由题意∠AED=∠CBE=θ ∵b=BE·cos30 =AB·sin30 ·cos30 = a 4 3 ∴ = b 3
0 0 0

A

B

3 4

a

…………………………4′ ∴ b 1 = sin2θ a 2 1 , ]…………………10′ 2

1 (2)∵b=BE·cosθ =AB·sinθ ·cosθ = AB·sin2θ 2 5π π ∵ ≤θ ≤ 24 3 5π 2π ∴ ≤2θ ≤ 12 3 ∴

b 3 ∈[ a 4

30 3 3 A 规格: = < , 不符合条件. …………………………11′ 80 8 4 40 2 1 B 规格: = > 60 3 2 , 不符合条件. …………………………12′

32 4 3 1 C 规格: = ∈[ , ],符合条件. …………………………13′ 72 9 4 2 ∴选择买进 C 规格的硬纸板. …………………………14′ (南京三模)11.已知 s in (? ?
?
3 ) ? s in ? ? ? 4 3 5 3 2 ,?

?
2 3 2

? ? ? 0 ,则 cos ? =





解答: sin ? c o s

?
3

? c o s ? sin

?
3

? sin ? ?

sin ? ?

cos ? ?

3 sin ( ? ?

?
6

)? ?

4 3 5



sin (? ?

?
6

)? ?

4 5

,又 ?
?
6

?
3

?? ?

?
6

?

?
6

,所以 c o s (? ?
4 5 1 2 3 3?4 10

?
6

)?

3 5



c o s ? ? c o s [( ? ?

)?

?
6

]?

3 5

?

3 2

? (?

)?

?



(南京三模)15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c .已知向量 m ? ( b , a ? 2 c ) ,
?? ? ? n ? (co s A ? 2 co s C , co s B ) ,且 m ? n .
??

(1)求

sin C sin A

的值;

(2)若 a ? 2, | m | ? 3 5 ,求△ABC 的面积 S.

(南师大信息卷)在一个六角形体育馆的一角 MAN 内,用长为 a 的围栏设置一 个运动器材储存区域(如图所示) ,已知 ? A 点,C 是墙角线 AN 上的一点. (1) 若 BC=a=20, 求储存区域面积的最大值; (2) 若 AB=AC=10,在折线 M B C N 内选一点 D ,使 BD 存区域 DBAC 的最大面积.
? DC ? 20
? 120
?

,B 是墙角线 AM 上的一

,求四边形储

解:(1)设 A B 由 20 得 xy
2

? x , A C ? y , x ? 0, y ? 0 .
? ?

? x 2 ? y 2 ? 2 xy co s 1 2 0 ? 2 xy ? 2 xy co s 1 2 0
20
2 ?



?

2 ? 2 cos 120
1

?

20
2

2 ?

.
2 ? 2 ?

4 s in 6 0
20
2 2 ?

?S ?

1 2

x y s in 1 2 0 ?

?

?

? 2 s in 6 0 c o s 6 0 ?

?

?

20 cos 60 4 s in 6 0
?

?

20

?

100 3 3

.

2 4 s in 6 0

4 ta n 6 0

即四 边 形 D B A C 面 积 的 最 大 值 为 (2) 由 DB
? DC ? 20
? 1 2

100 3 3

, 当 且 仅 当 x = y时 取 到 .

,知点 D 在以 B , C 为焦点的椭圆上,
3 2 ? 25 3

∵ S ? ABC

? 10 ? 10 ?

, ∴要使四边形 DBAC 面积最大, 只需 ? D B C

的面积最大,此时点 D 到 B C 的距离最大, 即 D 必为椭圆短轴顶点.由
BC ? 10 3

,得短半轴长 b

? 5, S ? B C D

面积的最大值为
3

1 2

? 10 3 ? 5 ? 25 3

.

因此,四边形 ACDB 面积的最大值为 5 0
(南通三模)已知函数 f ( x ) ? m sin x ?



2 co s x ( m ? 0 ) 的最大值为 2.

(1)求函数 f ( x ) 在 [ 0 , ? ] 上的单调递减区间; (2)△ABC 中, f ( A ?
o

?
4

) ? f (B ?

?
4

) ? 4 6 s in A s in B ,角 A、B、C 所对的边分别是 a、

b、c,且 C= 6 0 ,c=3,求△ABC 的面积。 解: 由题意,f ( x ) 的最大值为 (1) 2分 而
f ( x ) ? 2 s in ( x ? π 4 )
m ?0

m ? 2
2

, 所以

m ? 2=2
2

. ……………………………







m ?

2



.………………………………………4 分
π 2 ≤ x? π 4 ≤ 2 kπ+ 3π 2

f (x)

为递减函数,则 x 满足 2 k π +

?k ? Z ? ,


2 kπ+ π 4 ≤ x ≤ 2 kπ+ 5π 4

? k ? Z ? .……………………………………………………6 分


?π ? ? 4,π? ? ?



f (x)



? 0, π ?



















. …………………………………7 分
? c sin C ? 3 sin 6 0
?

(2)设△ABC 的外接圆半径为 R ,由题意,得 2 R 化简
f (A ? π 4 ) ? f (B ? π 4 ) ? 4 6 sin A sin B

=2 3



,得

sin A ? sin B ? 2 6 sin A sin B

.………………………………………………………9 分
? b ? ? 2 6ab

由正弦定理,得 2 R ? a 由余弦定理, a 2 得 11 分
2

,a
? b

?b ?
2

2ab



① .② …………………

? b ? ab ? 9

, ?a 即

b ? ? a3 ?

? 0 9

将①式代入②,得 2 ? a b ? 解 得
ab ? 3

2

? 3ab ? 9 ? 0


ab ? ? 3 2









去) .…………………………………………………13 分

S ?ABC ?

1 2

a b sin C ?

3 3 4

.……………………………………………………………14 分

( 苏 锡 常 一 模 ) 在 ? ABC 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 向 量
m ? (2 c o s C 2 , ? s i nC ) , n ? (cos C 2 , 2 sin C ) ,且 m ? n .

(1)求角 C 的大小; (2)若 a ? 2 b ? c ,求 tan A 的值.
2 2 2

(南师附中最后 1 卷)如图,现有一个以∠AOB 为圆心角、湖岸 OA 与 OB 为半径的扇形 湖面 AOB.现欲在弧 AB 上取不同于 A、B 的点 C,用渔网沿着弧 AC(弧 AC 在扇形 AOB 的 弧 AB 上)、半径 OC 和线段 CD(其中 CD∥OA),在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养 π 殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若 OA=1 km,∠AOB= ,∠AOC=θ. 3 (1) 用 θ 表示 CD 的长度; (2) 求所需渔网长度(即图中弧 AC、半径 OC 和线段 CD 长度之和)的取值范围.

π 17. 解:(1) 由 CD∥OA,∠AOB= ,∠AOC=θ,得∠OCD=θ, 3

2π π ∠ODC= ,∠COD= -θ. 3 3 在△OCD 中,由正弦定理, π π 2 得 CD= sin? -θ?,θ∈?0, ?(6 分) 3? ?3 ? ? 3 (2) 设渔网的长度为 f(θ).由(1)可知, π 2 f(θ)=θ+1+ sin? -θ?.(8 分) ? 3 ?3 π π π π 2 所以 f′(θ)=1- cos? -θ?,因为 θ∈?0, ?,所以 -θ∈?0, ?, 3 3? 3? ? ? ? 3 ?3 π π π π 3 令 f′(θ)=0,得 cos? -θ?= ,所以 -θ= ,所以 θ= . 3 6 6 ?3 ? 2 π ?0,π ? ?π ,π ? θ 6? 6 ? ?6 3? 0 f′(θ) + - f(θ) ? 极大值 ?

? π +6+2 3?. 所以 f(θ)∈?2, ? 6 ? ? ? π +6+2 3?.(14 分) 故所需渔网长度的取值范围是?2, ? 6 ? ?
1? 2 3

(2012 年兴化)已知 sin ? ? cos ? ? (1)求 ? 的值;

,? ? ( 0 ,

?
4

),

(2)求函数 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? cos x 在 x ? [ 0 , ? ] 上的单调递增区间.
1? 2 4? 2 3 4 3 2 3

解:(1)由 sin ? ? cos ? ?

,两边平方,

得: 1 ? sin 2? ? 又? ? ( 0 ,
?
4

,解得, sin 2? ?
?
2 ) ,此时 2 ? ?

, ,? ?
?
6
3 2 ? cos x ? 1 2 ? cos x

) ,所以 2 ? ? ( 0 ,

?
3

. …………………………6 分

(2) f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? cos x ? sin( x ?
3 2 1 2

?
6

) ? cos x ? sin x ?

? sin x ?

? cos x ?

? sin( x ?

?
6

),

…………………………10 分

由?

?
2

? 2 k? ? x ? 2? 3

?
6

?

?
2

? 2 k? , k ? Z , ? 2 k? ,

解得 ?

? 2 k? ? x ?

?
3

而 x ? [ 0 , ? ] ,所以 x ? [ 0 ,

?
3

],

故所求的单调递增区间为 [ 0 ,
sin x ? cos x ?

?
3 1
5

].
, x ? ( 0 , ? ),

………………………… 14 分

(2012 年栟茶高级中学高三阶段考试) 如图所示, 一科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东 ? 角的射线 OZ 方向航行,而在离港口 13 a ( a 为正常数)海里的北偏东 ? 角的 A 处有一 个供给科考船物资的小岛,其中 tan ? ?
7 3
1 3

, cos ? ?

2 13

.现指挥部需要紧急征调沿海岸线

港口 O 正东 m( m ?

a )海里的 B 处的补给船,速往小岛 A 装运物资供给科考船,该船

沿 BA 方向全速追赶科考船,并在 C 处相遇.经测算当两船运行的航向与海岸线 OB 围成的 三角形 OBC 的面积最小时,这种补给最适宜. ⑴ 求 S 关于 m 的函数关系式 S ( m ) ; 北 Z ⑵ 应征调 m 为何值处的船只,补给最适宜. C A

O

B



【解】 ⑴以 O 为原点,OB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则直线 OZ 方程为 y ? 3x . …………………………2 分 设点 A ? x 0 , y 0 ? , 则 x 0 ? 13 a sin ? ? 13 a ?
3 13
2a 3a ? m

? 3a

, y 0 ? 13 a cos ? ? 13 a ?

2 13

? 2a



即 A ?3 a , 2 a ? ,又 B ? m , 0 ? ,所以直线 AB 的方程为 y ? 上 面
1 2

?x

? m?.






3 am
2



y ? 3x









C(

2 am

3m ? 7 a 3m ? 7 a

,

6 am

)

? S (m ) ?

OB ? | y C | ?

3m ? 7 a

(m ?

7 3

a)

? ? 2 ? 7 49 a 14 ? ? a ? ? a (2 ⑵ S (m ) ? a ?(m ? a ) ? 7 3 3 ? ? 9(m ? a ) ? ? 3 ? ?

49 a 9

2

?

14 3

a) ?

28 a 3

2

当且仅当 m ?

7 3

a ?

49 a 9(m ?

2

7 3

时,即 m ?
a)

14 3

a

时取等号,

答:S 关于 m 的函数关系式? S ( m ) ?

1 2

OB ? | y C | ?

3 am

2

3m ? 7 a

(m ?

7 3

a)

⑵ 应征调 m ?

14 3

a

为何值处的船只,补给最适宜.

(2012 年 栟 茶 高 级 中 学 高 三 阶 段 考 试 ) 设 ? ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为
a 、 b 、 c .已知 a ? 1 , b ? 2 , cos C ?

1 4

.

(Ⅰ)求 ? ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos ? A ? C ? 的值. 【解】(Ⅰ)∵ c ? a ? b ? 2 ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ? :
2 2 2

1 4

? 4

∴c ? 2 ∴ ? ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5 . (Ⅱ)∵ cos C ?
1 4

,∴ sin C ?

1 ? cos

2

C ?

?1? 1? ? ? ?4?

2

?

15 4



15

∴ sin A ?

a sin C c

?

4 2

?

15 8

∵ a ? c ,∴ A ? C ,故 A 为锐角, ∴ cos A ?
1 ? sin
2

A ?

? 1? ? ? ?

15 ? ? 8 ? ?

2

?

7 8
7 8 1 4 15 8 15 4 11 16

∴ cos ? A ? C ? ? cos A cos C ? sin A sin C ?

?

?

?

?

.


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