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江苏省句容市第三中学2015届高三数学上学期 解析几何 11椭圆的几何性质(1)教学案(无答案)


椭圆的几何性质(1)
【教学目标】椭圆的简单几何性质,能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【教学重点】椭圆的几何性质(对称性、范围、顶点、离心率) 【教学难点】理解椭圆的定义,并能从图形的角度理解椭圆的几何性质. 【教学过程】 一、知识梳理: 1.椭圆的标准方程和几何性质: 标准方程

x2 y2 + =1(a>b>0

) a2 b2

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 性 顶点 轴 焦距 离心率 质 a,b,c 的关系 准线方程 2.椭圆的第二定义: 平面内动点 P 到 是椭圆, 二、基础自测:

≤x≤ ≤y≤

≤x≤ ≤y≤ ;对称中心: , , . ,A2 ,B2 . , ,

A1 B1

对称轴: ,A2 ,B2 长轴 A1A2 的长为

A1 B1
;短轴 B1B2 的长为

F1F2= c e= ∈ a c2=

. . .

距离与到 是焦点,

的距离之比等于常数 e ( e ? 是准线,常数 e 是椭圆的 .

)的点的轨迹

1 1. 已知椭圆的中心在原点, 焦点在 y 轴上, 若其离心率为 , 焦距为 8, 则该椭圆的方程是____________. 2 2.椭圆 2+y =1(a>4)的离心率的取值范围是________________. 3.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 3 ,且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之 2

x2 a

2

和为 12,则椭圆 G 的方程为



4.Rt△ABC 中,AB=AC=1,以点 C 为一个焦点作一个椭圆, 使这个椭圆的另一个焦点在 AB 边上,且这个椭圆过 A、B 两 点,则这个椭圆的焦距长为___________.

三、典型例题:

反思:

x2 y2 例 1.已知 F1、F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点, a b
且 PF 1 ? PF 2 ,若△PF1F2 的面积为 9,则 b=

????

???? ?



【变式拓展】已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的长轴的一个端点是 A(2,0).直线 l 经过椭圆的中心

x2 y 2 a b

O 且与椭圆相交于 B、C 两点, AC ? BC ? 0 , | OC ? OB |? 2 | BC ? BA | ,求椭圆的方程.

例 2.设 M 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的一点, F1、F2 是焦点. 9 0 (1) ?F1 MF2 ? 90 ,则 ?F1 PF2 面积为多少? 0 (2) ?F1 MF2 ? 60 ,求 ?F1 PF2 面积为多少?

例 3.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点, 若△ABF2 是正三角形,求这个椭圆的离心率.

2

x2 y 2 【变式拓展】 (1)设椭圆 2 + 2 =1 (a >b>0) 的左、右顶点分别为 A, B ,点 P 在椭圆上且异于 A, B 两 a b 1 点, O 为坐标原点.若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ? ,求椭圆的离心率_________. 2

(2)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F , P 点在椭圆上,以 P 点为圆心的圆与 y 轴相切, a 2 b2 y2 x2 且同时与 x 轴相切 于椭圆的右焦点 F ,则椭圆 2 ? 2 ? 1 的离心率为 . a b

四、课堂反馈:

x y 4 1.椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值为________. 9 4+k 5
2.椭圆

2

2

x2 y 2 + ? 1? a ? b ? 0 ? 的右焦点为 F1 ,右准线为 l1 ,若过点 F1 且垂直于 x 轴的弦的弦长等于点 F1 a2 b2

到 l1 的距离,则椭圆的离心率是_______. 3.椭圆 Γ : 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c,若直线 y= 3(x+c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.

x2 y2 a b

五、课后作业: 1.若椭圆

学生姓名:___________
2

x y 10 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 m 的值是_________. 5 m 5


2

2.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 3.若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该焦点到同侧长轴一端点距离的 3 倍, 则椭圆的离心率 e= .

4 4.已知椭圆 C 的短轴长为 6,离心率为 ,则椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离为______ _. 5 5.若椭圆短轴长的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率 e=_______. 6.已知 P 是椭圆 + =1 上的动点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,则 PF1 · PF2 的取值范围为________. 12 4

x2

y2

????

???? ?

7.已知正方形 ABCD 的四个顶点在椭圆 则该椭圆的离心率为 8.已知椭圆 .

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上, AB ∥ x 轴, AD 过左焦点 F , a2 b2

x2 y2 a2 ( a > b > 0 ),点 ? ? 1 A ( ,0) ,英才苑椭圆的上顶点为 B ,过它的右焦点 F 且垂 c a2 b2 直于长轴的直线交椭圆于点 P(在 x 轴上方),直线 AB 恰好经过线段 FP 的中点 D. (1)求椭圆的离心率; (2)设椭圆的左顶点分别是 A1,且 A1 B ? 5 ,求椭圆的方程.

9.设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右两个焦点分别为 F1 , F2 ,短轴的上端点为 B,短轴上的两 a 2 b2 个三等分点为 P,Q,且 F 1 PF2 Q 为正方形.
3 2 ,求此椭圆的方程. 4

(1)求椭圆的离心率; (2)若过点 B 作此正方形的外接圆的切线在 x 轴上的一个截距为 ?

x2 y 2 10.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A1,A2,B1,B2 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点,F 为其 a b
右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,求该椭圆 的离心率.

4


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