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导数综合题集锦1


导数综合题集锦 1.已知函数 f ( x) ? x ? a ln x, 其中 a 为常数,且 a ? ?1 . (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求 f ( x) 在 [e,e2 ] (e=2.718 28…)上的值域; (Ⅱ)若 f ( x) ? e ? 1 对任意 x ? [e,e2 ] 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2. 已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 , a ? R. x

(I)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,求 a 的值; (II)求函数 f ( x) 的单调区间; (III)当 a=1,且 x ? 2 时,证明: f ( x ? 1) ? 2 x ? 5. 3. 已知 f ( x) ? x3 ? 6ax 2 ? 9a 2 x ( a ? R ) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若对 ?x ??0,3? 有 f ( x) ? 4 恒成立,求实数 a 的取值范围. 4.已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? b(a, b ? R ). 3

(I)若 x=1 为 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (II)若 y ? f ( x) 的图象在点(1, f (1) )处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 , (i)求 f ( x) 在区间[-2,4]上的最大值; (ii)求函数 G( x) ? [ f ' ( x) ? (m ? 2) x ? m]e (m ? R) 的单调区间 5 .已知函数 f ( x ) ? ln x ?
?x

a . x

(I)当 a<0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (II)若函数 f(x)在[1,e]上的最小值是 , 求 a 的值. 6.已知函数 f ( x) ?

3 2

m x3 ? ax2 ? (1 ? b 2 ) x, m, a, b ? R 3

(1)求函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) ; (2)当 m ? 1 时,若函数 f ( x) 是 R 上的增函数,求 z ? a ? b 的最小值; (3)当 a ? 1, b ? 2 时,函数 f ( x) 在(2,+∞)上存在单调递增区间,求 m 的取值范 围.

7.已知函数 f ( x) ? px ?

p ? 2 ln x. x

(1)若 p ? 2 ,求曲线 f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线; (2)若函数 f ( x ) 在其定义域内为增函数,求正实数 p 的取值范围; (3)设函数 g ( x) ?

2e , 若在[1, e] 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实 x 1 x

数 p 的取值范围。
2 8.设函数 f ( x) ? p ( x ? ) ? 2 ln x, g ( x) ? x .

(I)若直线 l 与函数 f ( x), g ( x) 的图象都相切,且与函数 f ( x) 的图象相切于点 (1, 0) , 求实数 p 的值; (II)若 f ( x) 在其定义域内为单调函数,求实数 p 的取值范围。 9. 已 知 函 数 f ( x) ?

1 2 x ? 2 x, g ( x) ? log a x(a ? 0, 且a ? 1), 其中 a为常数 , 如 果 2

h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域上是增函数,且 h?( x) 存在零点( h?( x)为h( x) 的导函
数) 。 (I)求 a 的值; ( II ) 设 A( m, g ( m) ) , B n ( , g ? ( n )m )是 ( 函 n 数 ) y ? g ( x) 的 图 象 上 两 点 ,

g ?( x0 ) ?

g ( n) ? g ( m) ( g?( x)为g ( x)的导函数), 证明: m ? x0 ? n. n?m
2 2

10. 设函数 f ( x) ? x m ln x , h( x) ? x ? x ? a 。 (Ⅰ)当 a=0 时, f ( x) ? h( x) 在(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)当 m=2 时,若函数 k ( x) ? f ( x) ? h( x) 在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ) 是否存在实数 m, 使函数 f ( x ) 和函数 h( x) 在公共定义域上具有相同的单调性?若存 在,求出 m 的值,若不存在,说明理由. 11. 已知函数

f ( x) ? ( x 2 ? 3x ? 3) ? e x定义域为 [?2, t ](t ? ?2),设f (?2) ? m, f (t ) ? n.
(I)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x)在[?2, t ] 上为单调函数; (II)求证: n ? m ; (III)求证:对于任意的 t ? ?2, 总存在x0 ? (?2, t ), 满足

f ?( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 ,并确定 x0 3 e

这样的 x0 的个数。 12. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x 在 (1, 2] 是增函数, g ( x) ? x ? a x 在(0,1)为减函数. (1)求 f ( x) 、 g ( x) 的表达式; (2)求证:当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解; (3)当 b ? ?1 时,若 f ( x) ? 2bx ?

1 在 x ∈ (0,1] 内恒成立,求 b 的取值范围. x2

13. 已知函数 f ' (1) ? 0, 且f ' ( x) ? 0在R 上恒成立. (1)求 a, c, d 的值; (2)若 h( x) ?

3 2 b 1 x ? bx ? ? , 解不等式 f ' ( x) ? h( x) ? 0; 4 2 4

[m, m ? 2] 上有最小值-5?若 (3)是否存在实数 m,使函数 g ( x) ? f ' ( x) ? mx在区间
存在,请求出实数 m 的值;若不存在,请说明理由. 14. 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围. 15. 设函数 f ( x) ?

? 2 ? 3

1? 3?

ln x ? ln x ? ln( x ? 1) . 1? x

(Ⅰ)求 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)是否存在实数 a,使得关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集为(0,+ ? )?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,试说明理由. 16. 某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,CB =10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界) ,且 A,B 与等距 离的一点 O 处建造一个污水处理厂, 并铺设排污管道 AO,BO,OP , 设排污管道的总长为 y km.

(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO= ? (rad),将 y 表示成 ? 的函数关系式; ②设 OP ? x (km) ,将 y 表示成 x x 的函数关系式. (Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定 污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短. 17.已知函数 f ( x ) ?

D O

P

C

A

B

ln x ? a (a ? R) x

(Ⅰ)求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的图象与函数 g ( x) =1 的图象在区间 (0, e 2 ] 上有公共点,求实数 a 的取 值范围。 18.已知函数 f ( x) ?

ln( ax ) ? ln( ax ) ? ln( x ? 1) , (a ? 0, a ? R) x ?1

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 a >0 时,若存在 x 使得 f ( x) ? ln(2a) 成立,求 a 的取值范围. 19.某种商品的成本为 5 元/ 件,开始按 8 元/件销售,销售量为 50 件,为了获得最大利润, 商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。 经试销发现: 销售价每上涨 1 元每天销售量 就减少 10 件;而降价后,日销售量 Q(件)与实际销售价 x(元)满足关系:

39(2x2 ? 29x ? 107) (5 ? x ? 7)
Q=

198 ? 6 x (7 ? x ? 8) x?5

(1)求总利润(利润=销售额-成本)y(元)与销售价 x(件)的函数关系式; (2)试问:当实际销售价为多少元时,总利润最大. 20.已知函数 g ( x) ?
2 x2 ? 1 的图像关于原点成中心对称 ,设函数 f ( x) ? x ? cx ? 1 . x?c g ( x) ln x

(1)求 f ( x) 的单调区间;
x m (2)已知 e ? x 对任意 x ? (1, ??) 恒成立. 求实数 m 的取值范围(其中 e 是自然对数的

底数). 21.设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? b ln x ,其中 b 为常数.
2

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; 2 (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的有极值点,求 b 的取值范围及 f ( x ) 的极值点;
(Ⅰ)当 b ?

(Ⅲ)若 b ? ?1 ,试利用(II)求证:n ? 3 时,恒有
2 22.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1), g ( x) ?

1 1 ? ln ? n ? 1? ? ln n ? 。 2 n n

1 ? a. x ?1
2

(1) 求 g ( x) 在 P( 2, g ( 2)) 处的切线方程 l ; (2) 若 f ( x ) 的一个极值点到直线 l 的距离为 1,求 a 的值;
N

y

(3) 求方程 f ( x) ? g ( x) 的根的个数. 23.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影 部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),
O

P

M

x

公共设施边界为曲线 f ( x) ? 1 ? ax2 (a ? 0) 的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点 M、N, 交曲线于点 P,设 P(t , f (t )) (1)将 ?OMN (O 为坐标原点)的面积 S 表示成 t 的函数 S (t ) ; (2)若在 t ?

1 处, S (t ) 取得最小值,求此时 a 的值及 S (t ) 的最小值. 2
?2x ? b 是奇函数. 2x ?1 ? a

24.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

, 4 (1) 求 a , b 的值; , (2)若对任意的 t ? R , 不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立, 求 k 的取值范围. 6 25.已知函数 f ( x ) 对任意实数 x 均有 f ( x) ? kf ( x ? 2) ,其中常数 k 为负数,且 f ( x ) 在区 间 0, 2 上有表达式 f ( x) ? x( x ? 2) . (1)求 f (?1) , f (2.5) 的值; (2)写出 f ( x ) 在 ?3,3 上的表达式,并讨论函数 f ( x ) 在 ?3,3 上的单调性; (3)求出 f ( x ) 在 ?3,3 上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. 26.已知函数 f ( x) ?
3

? ?

? ?

? ?

?

?

x ( x ? a) ( x ? 0 , a ?R)

求函数 f ( x) 的单调区间; 求函数 f ( x) 在 1,8 上的最大值和最小值. 27 . 已 知 函 数 f ?x ? 为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x?0 时 ,

? ?

f ?x? ? ?sin x ? cos x? ? 2 cos2 x ,
2

求 x ? 0 时 f ?x ? 的表达式; 若关于 x 的方程 f ?x ? ? a ? o 有解,求实数 a 的范围。 28 . 已 知 函 数 y ? f ( x), x ? N ? , 满 足 : ① 对 任 意 a, b ? N ? , 都 有

af (a) ? bf (b) ? af (b) ? bf (a) ;
②对任意 n∈N 都有 f [ f (n)] ? 3n .
*

(Ⅰ)试证明: f ( x ) 为 N ? 上的单调增函数; (Ⅱ)求 f (1) ? f (6) ? f (28) ; (Ⅲ)令 an ? f (3n ), n ? N? ,试证明:

n 1 1 ? ? ? 4n ? 2 a1 a2

?

1 1 ? . an 4

29.已知函数 f ( x) ? ln( ax ? 1) ? x 3 ? x 2 ? ax . (Ⅰ)若 x ?

2 为 y ? f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; 3

(Ⅱ)若 y ? f ( x) 在 [1,??) 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若 a ? ?1时,方程 f (1 ? x) ? (1 ? x) 3 ?

b 有实根,求实数 b 的取值范围. x

30.已知函数 y ? f ( x), x ? R 满足 f ( x ? 1) ? af ( x) , a 是不为 0 的实常数。 (1)若当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,求函数 y ? f ( x), x ? ?0,1?的值域; (2)在(1)的条件下,求函数 y ? f ( x), x ? ?n, n ? 1?, n ? N 的解析式; (3)若当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 3 x ,试研究函数 y ? f (x) 在区间 ?0,??? 上是否可能是单调 函数? 若可能,求出 a 的取值范围;若不可能,请说明理由。 31.已知函数 f ? x ? ? ?x ? ax ? bx ? c 在 ? ??,0? 上是减函数,在 ? 0,1? 上是增函数,函数
3 2

f ? x ? 在 R 上有三个零点,且 1 是其中一个零点.
(1)求 b 的值; (2)求 f ? 2 ? 的取值范围;

(3)试探究直线 y ? x ? 1 与函数 y ? f ? x ? 的图像交点个数的情况,并说明理由. 32.定义在 R 上的函 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx(a, b 为常数)在 x=-1 处取得极值,且 f ( x) 的 图像在 P 1, f ?1? 数处的切线平行与直线 y ? 8 x . (1)求函数 f ? x ? 的解析式及极值; (2)设 k ? 0 ,求不等式 f ? x ? ? kx 的解集;

?

?

f ? sin ? ? ? f ? cos ? ? ? (3)对任意 ? , ? ? R, 求证:

112 . 27

33.已知函数 f ( x) ? ln( “若 1 ? e x ) ? x( x ? R) 有下列性质:

x ? [a, b],则存在x0 ? (a, b) ,使得

f (b) ? f (a) ? f ?( x0 ) ”成立。 b?a

(1)利用这个性质证明 x0 唯一; (2)设 A、B、C 是函数 f ( x) 图象上三个不同的点,试判断△ABC 的形状,并说明理 由。 34.已知函数 f ( x) ? ax(a ? R), g ( x) ? ln x ? 1. (1)若函数 h( x) ? g ( x) ? 1 ?

x f ( x) ? 2 x 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; 2

(2)当 a>0 时,试讨论这两个函数图象的交点个数. 35 .设函数 f(x) 的定义域 D 关于原点对称, 0 ∈ D ,且存在常数 a>0 ,使 f(a)=1 ,又
f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) ,

(1)写出 f(x)的一个函数解析式,并说明其符合题设条件; (2)判断并证明函数 f(x)的奇偶性; (3)若存在正常数 T,使得等式 f(x)=f(x+T)或者 f(x)=f(x-T)对于 x∈D 都成立,则都称 f(x) 是周期函数,T 为周期;试问 f(x)是不是周期函数?若是,则求出它的一个周期 T;若不是, 则说明理由。

? 36. 设 对 于 任 意 的 实 数 x, y , 函 数 f ( x) , g ( x) 满 足 f ( x? 1 )

1 f (x, ) 3



f (0) ? 3 , g ( x ? y) ? g ( x) ? 2 y , g (5) ? 13 , n ? N *
(Ⅰ)求数列 { f (n)} 和 {g (n)} 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? g[

n f (n)] ,求数列 {cn } 的前项和 S n ; 2

(Ⅲ)设 F (n) ? Sn ? 3n ,存在整数 m 和 M ,使得对任意正整数 n 不等式 m ? F (n) ? M 恒 成立,求 M

? m 的最小值.

37.对于定义在区间 D 上的函数 f ( x) ,若存在闭区间 [a, b] ? D 和常数 c ,使得对任意

x1 ? [a, b] ,都有 f ( x1 ) ? c ,且对任意 x2 ∈D,当 x2 ?[a, b] 时, f ( x2 ) ? c 恒成立,则称
函数 f ( x) 为区间 D 上的“平底型”函数. (Ⅰ)判断函数 f1 ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | 和 f 2 ( x) ? x ? | x ? 2 | 是否为 R 上的“平底 型”函 数? 并说明理由;

(Ⅱ) 设 f ( x) 是 (Ⅰ) 中的 “平底型” 函数, k 为非零常数, 若不等式 | t ? k | ? | t ? k |?| k | ? f ( x) 对一切 t ?R 恒成立,求实数 x 的取值范围; (Ⅲ)若函数 g ( x) ? mx ?

x 2 ? 2 x ? n 是区间 [?2, ??) 上的“平底型”函数,求 m 和 n 的

值. . 38.设函数 f(x)的定义域为 R,若|f(x)|≤|x|对任意的实数 x 均成立,则称函数 f(x)为 ? 函数。 (1)试判断函数 f 1 ( x ) = x sin x

f 2 ( x) =
2

e?x 中哪些是 ? 函数,并说明理由; ex ?1

(2)求证:若 a>1,则函数 f(x)=ln(x +a)-lna 是 ? 函数。 39.集合 A 是由具备下列性质的函数 f ( x) 组成的: (1) 函数 f ( x) 的定义域是 [0, ??) ; (2) 函数 f ( x) 的值域是 [?2, 4) ; (3) 函数 f ( x) 在 [0, ??) 上是增函数.试分别探究下列两小题: (Ⅰ) 判断函数 f1 ( x) ? x ? 2( x ? 0) , 及 f 2 (x) ? 4? 6( ? ) ( x x0 ? ) 说明理由. (Ⅱ)对于(I)中你认为属于集合 A 的函数 f ( x) ,不等式 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) , 是否对于任意的 x ? 0 总成立?若不成立,为什么?若成立,请证明你的结论.

1 2

是否属于集合 A?并简要

n?N . 40. 已知 f ( x ) 是定义在 ?0, ?∞? 的函数, 满足 f ( x) ? 2 f ( x ? 1) . 设 I n ? ?n, n ?1? , 当

x ??1 0 ,

? 时, f ( x) ? x ? x2 .分别求当 x ? I1 、 x ? I2 、 x ? In ? ?n, n ?1? 时, f ( x) 的表

达式 f1 ( x) 、 f 2 ( x) 、 f n ( x) . 41. 已知函数 f ( x) ?

3 3 x ? x(a ? R, a ? 0 ). a

(I)求 f ( x) 的单调区间; (II)曲线 y ? f ( x)在点(3 a , ( f 3 a ) )处的切线恒过 y 轴上一个定点,求此定点坐标; ( III )若 a ? 0, x1 ?

a ,曲线 y ? f ( x)在点( x1 , f ( x1 )) 处的切线与 x 轴的交点为 3 ( x2 ,0 ) ,试比较 x1与x2 的大小,并加以证明.
a ? x2 1 ? ? ? ln x ? a ? R , x ?[ , 2] ? x 2 ? ?

42. 已知函数 f(x)=

1 4 (Ⅱ) 设 g ( x) ? [ f ( x) ? ln x] ? x2 , k 是 g ( x) 图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数 a ,
(Ⅰ)当 a ?[?2, ) 时, 求 f ( x) 的最大值; 使得 k ? 1 恒成立?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 43..已知函数 f(x)=

1 ? ln? x ? 1? x

(1)求函数的定义域; (2)确定函数 f(x)在定义域上的单调性,并证明你的结论;

k 恒成立, 求正整数 k 的最大值。 x ?1 44. 已 知 函 数 f ( x) ? loga x 和 g ( x) ? 2loga (2x ? t ? 2),(a ? 0, a ? 1, t ? R) 的 图 象 在 x ? 2 处的切线互相平行.
(3)若当x>0时,f(x)> (Ⅰ) 求 t 的值; (Ⅱ)设 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ,当 x ? 1, 4 时, F ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围. 45. 已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ?

? ?

2x ? b 的图象与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切于点 (0, c) 。 x ?1

(1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间和极小值。 46. 已知函数. f ( x) ? 2 x ? ax 与 g ( x) ? bx ? cx 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处有公 共切线. (1)求 f(x)和 g(x)的表达式及在点 P 处的公切线方程; (2)设 F ( x) ? mg ( x) ? ln( x ? 1) ,其中 m ? 0 ,求 F(x)的单调区间.
3 2

8x

47. 已知函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln( 1 ? x) , h( x ) ? (1)证明:当 x ? 0 时,恒有 f ( x) ? g ( x); (2)当 x ? 0 时,不等式 g ( x) ?
3 2

x . 1? x

kx (k ? 0) 恒成立,求实数 k 的取值范围; k?x

48. 已知函数 f(x)=x +bx +cx+d 有两个极值点 x1=1, x2=2,且直线 y=6x+1 与曲线 y=f(x) 相切于 P 点. (1)求 b 和 c 郝进制作 (2)求函数 y=f(x)的解析式;

(3)在 d 为整数时, 求过 P 点和 y=f(x)相切于一异于 P 点的直线方程.

49. 已知函数 f(x)=x3-3ax(a∈R). (I)当 a=l 时,求 f(x)的极小值; (Ⅱ)若直线菇 x+y+m=0 对任意的 m∈R 都不是曲线 y=f(x)的切线,求 a 的取值范围; (Ⅲ)设 g(x)=|f(x)|,x∈[-l,1],求 g(x)的最大值 F(a)的解析式. 50. 已知函数 y ?| x | ?1 , y ?

1 1? t ) ( x ? 0) 的最小值恰好是 x2 ? 2 x ? 2 ? t , y ? ( x ? 2 x

方程 x3 ? ax2 ? bx ? c ? 0 的三个根,其中 0 ? t ? 1 . (Ⅰ)求证: a2 ? 2b ? 3 ; (Ⅱ)设 ( x1 , M ) , ( x2 , N ) 是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的两个极值点.

2 ,求函数 f ( x ) 的解析式;②求 | M ? N | 的取值范围. 3 1 1 51.已知函数 f(x)= x3+ ax2+ax-2(a∈R), 3 2
①若 | x1 ? x2 |? (1)若函数 f(x)在区间(-∞,+∞)上为单调增函数,求实数 a 的取值范围; (2)设 A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2))是函数 f(x)的两个极值点,若直线 AB 的斜率不小于的取值范围. 52. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 2bx2 ? 3cx (a, b, c ? R) 的图象关于原点对称,且当 x ? 1 时,

5 求实数 a 6

2 . 3 (1)求 a,b,c 的值; f ( x)取极小值-

, 1 ?时,图象上是否存在两点,使得在这两点处的切线互相垂直?证明你的 (2)当 x ? ?? 1
结论. 53. 对于 x 的三次函数 f(x)= x3 +(m2-4m + 2)x + m3-6m2 + 9m-1. (Ⅰ)若 f(x)有极值,求 m 的取值范围; (Ⅱ)当 m 在(1)的取值范围内变化时,求 f(x)的极大值和极小值之和 g(m) ,并 求 g(m)的最大值和最小值.
3 54. 已知函数 f ( x) ? ax ?

3 (a ? 2) x 2 ? 6 x ? 3. 2

(I)当 a > 2 时,求 f(x)的极小值; (II)讨论方程 f(x) = 0 的根的个数. 55. 设函数 f ( x) ? x( x ? 1)(x ? a)(a ? 1) (1)求导数 f ( x) ,并证明 f ( x) 有两个不同的极值点; (2)若对于(1)中的 x1、x2 不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,求 a 的取值范围。 56. 已知 t ? R ,函数 f ( x) ? ?
'

1 3 x ? tx. 2

(Ⅰ)当 t=1 时,求函数 y ? f ( x) 在区间[0,2]的最值; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间[-2,2]上是单调函数,求 t 的取值范围; (Ⅲ) )是否存在常数 t,使得任意 x ? [?2,2]都有 | f ( x) |? 6 恒成立,若存在,请求出 t, 若不存在请说明理由. 57. 设 x1、 x2 ( x1 ? x2 )是函数f ( x) ? ax3 ? bx2 ? a 2 x(a ? 0) 的两个极值点. (1)若 x1 ? ?1, x2 ? 2 ,求函数 f(x)的解析式; (2)若 | x1 | ? | x2 |? 2 2, 求b 的最大值; (3) 若 x1 ? x ? x2 , 且x2 ? a,函数g ( x) ? f ?( x) ? a( x ? x1 ) , 求证: | g ( x) |?

1 a (3a ? 2) 2 . 12

58. 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 6ax ? 11, g ( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 12 ,和直线 m : y ? kx ? 9 , 又 f ?(?1) ? 0 . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)是否存在 k 的值,使直线 m 既是曲线 y ? f ( x) 的切线,又是 y ? g ( x) 的切线;如果 存在,求出 k 的值;如果不存在,说明理由. (Ⅲ)如果对于所有 x ? ?2 的 x ,都有 f ( x) ? kx ? 9 ? g ( x) 成立,求 k 的取值范围. 59. 设函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ( x ? 0) 的图象与直线 y ? 4 相切于 M (1, 4) .
3 2

(Ⅰ)求 f ( x) ? x ? ax ? bx 在区间 (0, 4] 上的最大值与最小值;
3 2

(Ⅱ)是否存在两个不等正数 s , t ( s ? t ) ,当 x ? [ s, t ] 时,函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 的
3 2

值域也是 [ s, t ] ,若存在,求出所有这样的正数 s , t ;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)设存在两个不等正数 s , t ( s ? t ) ,当 x ? [ s, t ] 时,函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 的值域
3 2

是 [ks, kt ] ,求正数 k 的取值范围. 60. 已知函数 f(x)=x4+ax3+bx2+c,在 y 轴上的截距为-5,在区间[0,1]上单调递增,在 [1,2]上单调递减,又当 x=0,x=2 时取得极小值. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)能否找到函数 f(x)垂直于 x 轴的对称轴,并证明你的结论; (Ⅲ) 设使关于 x 的方程 f(x)=λ2x2-5 恰有三个不同实根的实数 λ 的取值范围为集合 A,且两 个非零实根为 x1、x2.试问:是否存在实数 m,使得不等式 m2+tm+2≤|x1-x2|对任意 t∈[-3,3], λ∈A 恒成立?若存在,求 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

61. 已知 f(x)=x3+bx2+cx+2. (Ⅰ)若 f(x)在 x=1 时,有极值-1,求 b、c 的值; (Ⅱ)当 b 为非零实数时,证明 f(x)的图像不存在与直线(b2-c)x+y+1=0 平行的切线; (Ⅲ)记函数|f′(x)|(-1≤x≤1)的最大值为 M,求证:M≥

3 . 2 1 1 ) = f ( ) (a∈R, a a

62. 设函数 f ( x) = | x + 1| + | ax + 1| ,已知 f (- 1) = f (1) ,且 f (-

且 a≠0) ,函数 g ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx (b∈R,c 为正整数)有两个不同的极值点,且该函 数图象上取得极值的两点 A、B 与坐标原点 O 在同一直线上。 (1)试求 a、b 的值; (2)若 x ? 0 时,函数 g ( x) 的图象恒在函数 f ( x ) 图象的下方,求正整数 c 的值。
3 63. 已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? 3cx ? 8 和 g ( x) ? x3 ? bx2 ? cx (其中 ? ? b ? 0 ) , 2
Fx () f ?x () 5() gx ?

, f ? (1) ? g ?(m) ? 0 .

(1)求 m 的取值范围; (2)方程 F ( x) ? 0 有几个实根?为什么? 64. 已知函数 f(x)= x3 ? bx2 ? cx ? d (b,c,d ? R 且都为常数)的导函数为 f′(x)=3x 2 ?4 x , 且 f(1)=7,设 F(x)=f(x)-ax (a∈R). (Ⅰ)当 a<2 时,求 F(x)的极小值;
2

? ? ? ,都有 F(x) ≥ 0 成立,求 a 的取值范围并证明不等式 ( Ⅱ ) 若对任意的 x ∈ ?0,
a 2 ? 13a ? 39 ? 1 . a?6

答案及解析 1.解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ? ln x,

1 得 f ?( x) ? 1 ? , x
令 f ?( x) ? 0 ,即 1 ?

………………2 分

1 ? 0 ,解得 x ? 1 ,所以函数 f ( x) 在 (1, ??) 上为增函数, x
………………4 分

据此,函数 f ( x) 在 [e,e2 ] 上为增函数,

而 f (e) ? e? 1 , f (e2 ) ? e2 ? 2 , 所以函数 f ( x) 在 [e,e2 ] 上的值域为 [e? 1,e2 ? 2] ………………6 分

a a (Ⅱ)由 f ?( x) ? 1 ? , 令 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? ? 0, 即 x ? ?a, x x

当 x ? (0, ?a) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ?a) 上单调递减; 当 x ? (?a, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (?a, ??) 上单调递增; ……………7 分 若 1 ? ? a ? e ,即 ? e ? a ? ?1 ,易得函数 f ( x) 在 [e,e2 ] 上为增函数, 此时, f ( x)max ? f (e2 ) , 要使 f ( x) ? e? 1 对 x ? [e,e2 ] 恒成立, 只需 f (e2 ) ? e? 1 即可, 所以有 e2 ? 2a ? e? 1 ,即 a ? 而

? e 2 ? e? 1 2

? e2 ? e? 1 ?(e2 ? 3e? 1) ? e2 ? e? 1 ? (? e) ? ? 0 ,即 ? ? e ,所以此时无解. 2 2 2 ………………8 分

若 e ? ?a ? e2 ,即 ? e ? a ? ? e2 ,易知函数 f ( x) 在 [e, ?a] 上为减函数,在 [?a,e2 ] 上为增函数,
a ? ?1 ? ? f (e) ? e? 1 ? 要使 f ( x) ? e? 1 对 x ? [e,e ] 恒成立,只需 ? ,即 ? ? e2 ? e? 1 , 2 ? f (e ) ? e? 1 ?a ? ? 2
2



? e2 ? e? 1 ? e2 ? e? 1 ? e2 ? e? 1 e2 ? e? 1 ? (?1) ? ?0和 ? (? e2 ) ? ?0 2 2 2 2
得 ? e2 ? a ?

? e2 ? e? 1 . 2

………………10 分

若 ?a ? e2 ,即 a ? ? e2 ,易得函数 f ( x) 在 [e,e2 ] 上为减函数, 此时, f ( x)max ? f (e) ,要使 f ( x) ? e? 1 对 x ? [e,e2 ] 恒成立,只需 f (e) ? e? 1 即可, 所以有 e? a ? e? 1 ,即 a ? ?1 ,又因为 a ? ? e2 ,所以 a ? ? e2 . 综合上述,实数 a 的取值范围是 (??, ……………12 分 ……………13 分

? e ? e? 1 ]. 2
2

2. 解: (I)函数 f ( x)的定义域为 {x | x ? 0} ,

f ?( x ) ?

a 1 ? . ??????????????????????????2 分 x x2

又曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直, 所以 f ?(1) ? a ? 1 ? 2. 即 a=1.??????????????????????????????4 分
Z_X_X_K] [来源:学科网][来源:学_科_网

(II)由于 f ?( x) ?

ax ? 1 . x2

当 a ? 0 时,对于 x ? (0,??), 有f ?( x) ? 0 在定义域上恒成立, 即 f ( x)在(0,??) 上是增函数.

当 a ? 0时,由f ?( x) ? 0, 得x ? ?

1 ? (0,?? ). a

当 x ? (0,? )时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增;

1 a

1 ,?? )时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减.??????????8 分 a 1 , x ? [2,?? ). (III)当 a=1 时, f ( x ? 1) ? ln( x ? 1) ? x ?1 1 ? 2 x ? 5. 令 g ( x) ? ln( x ? 1) ? x ?1
当 x ? (?

g ?( x) ?

1 1 (2 x ? 1)(x ? 2) ? ?2? . ??????10 分 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

当 x ? 2时, g ?x( x) ? 0, g ( x)在(2,??) 单调递减. 又 g (2) ? 0, 所以g ( x)时, g ( x) ? 0. 即 ln( x ? 1) ?

1 ? 2 x ? 5 ? 0. x ?1

故当 a=1,且 x ? 2时, f ( x ? 1) ? 2 x ? 5 成立.????????13 分 3 解: (Ⅰ) f '( x) ? 3x2 ?12ax ? 9a 2 ? 3( x ? a)( x ? 3a) ? 0
2 (1)当 a ? 3a ,即 a ? 0 时, f '( x) ? 3x ? 0 ,不成立.

(2)当 a ? 3a ,即 a ? 0 时,单调减区间为 (3a, a) . (3)当 a ? 3a ,即 a ? 0 时,单调减区间为 (a,3a) .-------------------5 分 (Ⅱ) f '( x) ? 3x ?12ax ? 9a ? 3( x ? a)( x ? 3a) ,
2 2

f ( x) 在 (0, a ) 上递增,在 (a,3a) 上递减,在 (3a, ??) 上递 增.
(1)当 a ? 3 时,函数 f ( x ) 在 [0,3] 上递增, 所以函数 f ( x ) 在 [0,3] 上的最大值是 f (3) , 若对 ?x ??0,3? 有 f ( x) ? 4 恒成立,需要有 ?

? f (3) ? 4, 解得 a ?? . ?a ? 3,

(2)当 1 ? a ? 3 时,有 a ? 3 ? 3a ,此时函数 f ( x ) 在 [0, a ] 上递增 ,在 [ a,3] 上递 减,所以函数 f ( x ) 在 [0,3] 上的最大值是 f ( a ) , 若对 ?x ??0,3? 有 f ( x) ? 4 恒成立,需要有 ?

? f (a) ? 4, 解得 a ? 1 . ?1 ? a ? 3,

(3)当 a ? 1 时,有 3 ? 3a ,此时函数 f ( x ) 在 [a,3a] 上递减,在 [3a,3] 上递增, 所以函数 f ( x ) 在 [0,3] 上的最大值是 f ( a ) 或者是 f (3) .

由 f (a) ? f (3) ? (a ? 3)2 (4a ? 3) , ①0 ? a ?

3 时, f (a) ? f (3) , 4

? f (3) ? 4, ? 若对 ?x ??0,3? 有 f ( x) ? 4 恒成立,需要有 ? 3 0?a? , ? ? 4
解得 a ? [1 ? ②

2 3 3 , ]. 9 4

3 ? a ? 1 时, f (a) ? f (3) , 4

? f ( a ) ? 4, 3 ? 若对 ?x ??0,3? 有 f ( x) ? 4 恒成立,需要有 ? 3 解得 a ? ( ,1) . 4 ? a ? 1, ? ?4
综上所述, a ? [1 ?

2 3 ,1] . 9

-------------14 分

4.解: (1) f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1.

? x ? 1 是极值点

? f ?(1) ? 0 ,即 a 2 ? 2a ? 0
? x ? 0 或 2.??????????????????????3 分
(2)? (1, f (1)) 在 x ? y ? 3 ? 0 上. ? f (1) ? 2 ∵(1,2)在 y ? f ( x) 上 又 f ?(1) ? k ? ?1

?2 ?

1 ? a ? a2 ?1? b 3

?1 ? 2a ? a 2 ? 1 ? ?1
a ? 1, b ? 8 3

? a 2 ? 2a ? 1 ? 0 ? f ( x) ?

1 2 8 x ? x 2 ? , f ?( x) ? x 2 ? 2 x. 3 3
[来源:Zxxk.Com]

(i)由 f ?( x) ? 0 可知 x=0 和 x=2 是 f ( x) 的极值点.

8 4 ? f (0) ? , f (2) ? , f (?2) ? ?4, f (4) ? 8, 3 3

? f ( x) 在区间[-2, 4]上的最大值为 8.??????????8 分
(ii) G( x) ? ( x ? mx ? m)e
2 ?x

G?( x) ? (2x ? m)e ? x ? e ? x ( x 2 ? mx ? m) ? e ? x [? x 2 ? (2 ? m) x]
令 G ?( x) ? 0 ,得 x ? 0, x ? 2 ? m 当 m=2 时, G ?( x) ? 0 ,此时 G ( x) 在 (??,??) 单调递减 当 m ? 2 时: x G′ (x) G(x) (-∞, 2,- m) - 减 2- m 0 (2-m,0) + 增 0 0 (0,+∞) - 减

当时 G(x)在(-∞,2,-m) , (0,+∞)单调递减,在(2-m,0)单调递增. 当 m ? 2 时: x G′ (x) G(x) (-∞,0) - 减 0 0 (0 ,2-m) + 增 2-m 0 (2-m+∞) - 减

此时 G(x)在(-∞,0) , (2-m+∞)单调递减,在(0,2-m)单调递增,综上所 述:当 m=2 时,G(x)在(-∞,+∞)单调递减; m ? 2 时,G(x)在(-∞,2-m) , (0,+∞)单调递减,在(2-m,0)单调递增; m ? 2 时,G(x)在(-∞,0) , (2-m,+∞)单调递减,在(0,2-m)单调递增. 5.解:函数 f ( x ) ? ln x ?

a 的定义域为 (0,??) x 1 a x?a f ' ( x) ? ? 2 ? 2 x x x

????1 分 ????3 分

(1)? a ? 0,? f ' ( x) ? 0. 故函数在其定义域 (0,??) 上是单调递增的. (II)在[1,e]上,发如下情况讨论: ①当 a<1 时, f ' ( x) ? 0, 函数 f ( x) 单调递增, 其 最小值为 f (1) ? a ? 1, 这与函数在[1,e]上的最小值是 ????5 分

3 相矛盾; 2

????6 分

②当 a=1 时,函数 f ( x)在?1, e? 单调递增, 其最小值为 f (1) ? 1, 同样与最小值是

3 相矛盾; 2

????7 分

③当 1 ? a ? e 时,函数 f ( x)在?1, a ? 上有 f ' ( x) ? 0 ,单调递减, 在 ?a, e? 上有 f ' ( x) ? 0, 单调递增,所以, 函数 f ( x) 满足最小值为 f (a) ? ln a ? 1 由 ln a ? 1 ?

3 , 得a ? e , 2

????9 分

④当 a=e 时,函数 f ( x)在? 1, e?上有f ' ( x) ? 0, 单调递减, 其最小值为 f (e) ? 2, 还与最小值是

3 相矛盾; 2

????10 分

⑤当 a>e 时,显然函数 f ( x)在[1, e] 上单调递减, 其最小值为 f (e) ? 1 ? 仍与最小值是

a ? 2, e
????12 分 ????13 分

3 相矛盾; 2

综上所述,a 的值为 e . 6. (I)解: f ?( x) ? mx2 ? 2ax ? (1 ? b2 ). ??3 分 (II)因为函数 f ( x ) 是 R 上的增函数, 所以 f ?( x) ? 0 在 R 上恒成立, 则有 ? ? 4a ? 4(1 ? b ) ? 0,即a ? b ? 1.
2 2 2 2

设?

?a ? r cos? , (? 为参数,0 ? r ? 1). ?b ? r sin ?
2r sin(? ?

则 z ? a ? b ? r (cos ? ? sin ? ) ? 当 sin(? ?

?
4

)

?
4

) ? ?1, 且 r=1 时, z ? a ? b 取得最小值 ? 2 .

(可用圆面的几何意义解得 z ? a ? b 的最小值 ?

2 )??????????8 分

2 (Ⅲ)①当 m ? 0 时 f ?(m) ? mx ? 2 x ? 1是开口向上的抛物线,显然 f ?( x) 在(2,+

∞)上存在子区间使得 f ?( x) ? 0 ,所以 m 的取值范围是(0,+∞). ②当 m=0 时,显然成立.
2 ③当 m ? 0 时, f ?(m) ? mx ? 2 x ? 1是开口向下的抛物线,要使 f ?( x) 在(2,+∞)

? ?m ? 0 ?m ? 0, ? ? 1 ? 1 ? 上存在子区间使 f ?( x) ? 0 ,应满足 ?? 或 ?? ? 2, ? 2, ? m ? m 1 ? ? f ?(2) ? 0. f ?(? ) ? 0, ? ? m ?
1 3 1 3 ? m ? 0, 或 ? ? m ? ,所以 m 的取值范围是 ( ? ,0). 2 4 2 4 3 则 m 的取值范围是 ( ? ,?? ). ????????????????????13 分 4
解得 ? 7.解: (1)当 p ? 2 时, 函数 f ( x) ? 2 x ?

2 ? 2 ln x, f (1) ? 2 ? 2 ? 2 ln1 ? 0 x 2 2 f ( x) ? 2 ? 2 ? x x

曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为

f ??(1) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2. 1 分
从而曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为

y ? 0 ? 2( x ? 1),
即 y ? 2x ? 2 (2) f ?( x) ? p ?

p 2 px 2 ? 2 x ? p ? ? . 3分 x2 x x2

2 令 h( x) ? px ? 2 x ? p ,要使 f ( x ) 在定义域(0,∞)内是增函

只需 h( x) ? 0 在(0,+∞)内恒成立
2

4分

由题意 p ? 0, h( x) ? px ? 2x ? p 的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为

x?

1 ? (0, ??) , p 1 , p

? h( x)min ? p ?

只需 p ?

1 ? 0, 即p ? 1 时, p

h( x) ? 0, f ?( x) ? 0 ? f ( x) 在 (0,+∞)内为增函数,正实数 p 的取值范围是 ?1, ?? ?
(3) 6分

g ( x) ?

? x ? e 时,
g ( x)min ? 2;

2e 在[1, e] 上是减函数, x

x ? 1时, g ( x)min ? 2e ,
即 g ( x) ?[2, 2e] 1分

①当 p ? 0 时, h( x) ? px2 ? 2 x ? p 其图象为开口向下的抛物线,对称轴 x ?

1 在 y 车的左侧, p

且 h(0) ? 0 ,所以 f ( x)在x ?[1, e] 内是减函数。 当 p ? 0 时,在 h( x) ? ?2 x 因为 x ? [1, e] , 所以 h( x) ? 0, f ?( x) ? ?

2x ? 0. x2

此时, f ( x)在x ?[1, e] 内是减函数。 故当 p ? 0 时, f ( x)在x ?[1, e] 上单调递减

? f ( x)max ? f (1) ? 0 ? 2 ,不合题意;
②当 0 ? p ? 1 时,由 x ? [1, e] ? x ? 所以 f ( x) ? p ( x ? ) ? 2 ln x ? x ?

1 ?0 x

1 x

1 ? 2 ln x. x

又由(2)知当 p ? 1 时, f ( x)在x ?[1, e] 上是增函数,

?x ?

1 1 1 ? 2 ln xe ? ? 2 ln e ? e ? ? 2 ? 2 ,不合题意; x e e

11 分

③当 p ? 1 时,由(2)知 f ( x)在x ?[1, e] 上是增函数,

f (1) ? 0 ? 2

又 g ( x)在x ?[1, e] 上是减函数, 故只需 f ( x)max ? g ( x)min , x ?[1, e] 而 f ( x) max ? f (e) ? p(e ? ) ? 2 ln e, g ( x) min ? 2 即 P(e ? ) ? 2 ln e ? 2, 解得 p ?

1 e

1 e

4e , e ?1
2 2

4e , ??) 。 13 分 e ?1 p 2 ' 8. 解: (Ⅰ)方法一:∵ f ( x )?p ? 2 ? ,………………………………2 分 x x ' ∴ f( 1 )? 2 (p ? 1 ). 设直线 ly , :? 2 ( p ? 1 ) ( x ? 1 )
所以实数 p 的取值范围是 ( 并设 l 与 g ( x) ? x2 相切于点 M( x0 , y0 ) ∵ ………………………………3 分

g ?( x) ? 2 x

∴2 x0 ? 2( p ? 1) ………………………………6 分

∴ x0 ? p ?1, y0 ? ( p ?1)2 代入直线 l 的方程,解得 p=1 或 p=3. 方法二: 将直线方程 l 代入 y ? x2 得

2( p ? 1)( x ? 1) ? 0
解得 p=1 或 p=3 .

∴ ? ? 4( p ?1)2 ? 8( p ?1) ? 0 ………………………………6 分

2 px ? 2 x ? p , 2 x ' ①要使 f (x) 为单调增函数,须 f (x ) ?0在 (0, ??) 恒成立, 2x 2 2 ? 即 px 在 (0, ??) 恒成立,即 p? 2 在 (0, ??) 恒成立, ? 2 x ? p ? 0 1 x ?1 x? x 2 ? 1 ,所以当 p ?1时, f (x) 在 (0, ??) 为单调增函数; …………9 分 又 1 x? x ' ②要使 f (x) 为单调减函数,须 f (x ) ?0在 (0, ??) 恒成立, 2x 2 2 ? ? 2 x ? p ? 0 即 px 在 (0, ??) 恒成立,即 p? 2 在 (0, ??) 恒成立, 1 x ?1 x? x 2 ? 0 ,所以当 p ? 0时, f (x) 在 (0, ??) 为单调减函数. …………11 分 又 1 x? x 综上,若 f (x) 在 (0, ??) 为单调函数,则 p的取值范围为 p ?1或 p ? 0.……12 分 1 2 9. 解: (I)因为 h( x) ? x ? 2 x ? log a x( x ? 0). 2

x )? (Ⅱ)∵ f (
'

所以 h ?( x ) ? x ? 2 ?

1 . x ln a

因为 h( x)在(0,??) 上是增函数。 所以 x ? 2 ?

1 ? 0在(0,??) 上恒成立 x ln a

……………………………1 分

当 x ? 0时, x ? 2 ?

1 1 ? 0 ? x 2 ? 2x ? ? . x ln a ln a

而 x 2 ? 2 x ? ( x ? 1) 2 ? 1在(0,??) 上的最小值是 ? 1。

1 1 , 即1 ? . (※) ln a ln a 1 1 ? 0.这与 ? 1矛盾 ) 可见 a ? 1(若0 ? a ? 1, 则 ln a ln a 从而由(※)式即得 ln a ? 1. ① ………………..………………………… 4 分
于是 ? 1 ? ? 同时, h?( x) ? x ? 2 ?

1 x 2 ln a ? 2 x ln a ? 1 ? ( x ? 0) x ln a x ln a

由 h?( x)存在(正)零点知? ? (?2ln a)2 ? 4ln a ? 0, 解得 ln a ? 1②,或 ln a ? 0(因为a ? 1, ln a ? 0, 这是不可能的 ). 由①②得 ln a ? 1. 此时, h?( x)存在正零点 x ? 1, 故a ? e 即为所求 ……………………………6 分

注:没有提到(验证) ln a ? 1 时, h?( x)存在正零点 x ? 1, 不扣分。 (II)由(I) , g ( x) ? ln x, g ?( x0 ) ?

1 , x0
……………………………7 分

于是

1 g (n) ? g (m) n?m ? , x0 ? . x0 n?m ln n ? ln m

n?m . (☆) ln n ? ln m (☆)等价于 m ln n ? m ln m ? n ? m ? 0.
以下证明 m ?

……………………………8 分

构造函数 r ( x) ? x ln n ? x ln x ? n ? x(0 ? x ? n), 则 r ?( x) ? ln n ? ln x,当x ? (0, n) 时,

r ?( x) ? 0, 所以r ( x)在(0, n] 上为增函数。
因此当 m ? n时, r (m) ? r (n) ? 0, 即 m ln n ? m ln m ? n ? m ? 0.

从而 x0 ? m 得到证明。 同理可证 n ?

……………………………11 分 ……………………………12 分

n?m .综上, m ? x0 ? n. ln n ? ln m

注:没有“综上”等字眼的结论,扣 1 分。 10. 解: (Ⅰ)由 a=0, f ( x) ? g ( x) 可得 ? m ln x ? ? x ,

x ┉┉┉┉┉┉┉┉1 分 ln x x 记? ? ,则 f ( x) ? g ( x) 在(1,+∞)上恒成立等价于 m ? ? ( x)min . ln x ln x ? 1 求得 ? '( x) ? ┉┉┉┉┉┉┉┉2 分 ln 2 x
即m ? 当 x ? (1, e) 时; ? '( x) ? 0 ;当 x ? (e, ??) 时, ? '( x) ? 0 ┉┉┉┉┉┉┉┉3 分 故 ? ( x) 在 x=e 处取得极小值,也是最小值, 即 ? ( x)min ? ? (e) ? e ,故 m ? e . ┉┉┉┉┉┉┉┉4 分 (Ⅱ)函数 k ( x) ? f ( x) ? h( x) 在 ?1,3? 上恰有两个不同的零点等价于方程 x ? 2 ln x ? a , 在 ?1,3? 上恰有两个相异实根.┉┉┉┉┉┉┉┉5 分 令 g ( x) ? x ? 2ln x ,则 g '( x ) ? 1 ?

2 ┉┉┉┉┉┉┉┉6 分 x

当 x ? [1, 2) 时, g '( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, g '( x) ? 0

? g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在 (2,3] 上是单调递增函数.
故 g ( x)min ? g (2) ? 2 ? 2ln 2 ┉┉┉┉┉┉┉┉8 分 又 g(1)=1,g(3)=3-2ln3 ∵g(1)>g(3) ,∴只需 g(2)<a≤g(3) , 故 a 的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3) ┉┉┉┉┉┉┉┉9 分 (Ⅲ)存在 m=

1 ,使得函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性. 2

f '( x) min ? 2 x ?

m 2x2 ? m ? ,函数 f(x)的定义域为(0,+∞) .┉┉┉┉┉┉10 分 x x

若 m ? 0 ,则 f ( x) ' ? 0 ,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意;┉┉┉11 分 若 m ? 0 ,由 f ( x) ' ? 0 可得 2x2-m>0,解得 x>

m m 或 x<(舍去) 2 2

故 m ? 0 时,函数的单调递增区间为(

m ,+∞) 2

单调递减区间为(0,

m ) ┉┉┉┉┉┉┉┉12 分 2
1 1 ) ,单调递增区间是( ,+∞) 2 2

而 h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,

故只需

1 m 1 = ,解之得 m= ┉┉┉┉┉┉┉┉13 分 2 2 2

即当 m=

1 时,函数 f(x)和函数 h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性.┉14 分. 2

11. 解: (I)因为 f ?( x) ? ( x 2 ? 3x ? 3) ? e x ? (2x ? 3) ? e x ? x( x ? 1) ? e x ??1 分

由f ?( x) ? 0 ? x ? 1或x ? 0;由f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1, 所以f ( x)在(??,0),(1, ??)上递增, 在(0,1)上递减 欲f ( x)在[?2, t ]上为单调函数, 则 ? 2 ? t ? 0 4分 3分

(II)证:因为 f ( x)在(??,0), (1,??)上递增 , 在(0,1)上递减, 所以f ( x)在x ? 1 处取得 极小值 e

又f (?2) ?

13 ? e, 所以f ( x)在[?2, ??]上的最小值为f ( ?2) e2

从而当t ? ?2时, f (?2) ? f (t ),即m ? n
(III)证:因为

7分

f ?( x0 ) f ?( x0 ) 2 2 2 2 ? x ? x , 所以 ? (t ? 1) 2 ,即为x0 ? x0 ? (t ? 1) 2 , 0 0 x0 x0 3 3 e e

2 2 令g ( x) ? x 2 ? x ? (t ? 1) 2 , 从而问题转化为证明方程g ( x) ? x 2 ? x ? (t ? 1) 2 ? 0 3 3

在(?2, t )上有解, 并讨论解的个数

9分

2 2 2 因为g (?2) ? 6 ? (t ? 1) 2 ? ? (t ? 2)(t ? 4), g (t ) ? t (t ? 1) ? (t ? 1) 2 3 3 3 1 ? (t ? 2)(t ? 1), 所以 3

时, g (?2) ? g (t ) ? 0, 所以g ( x) ? 0在(?2, t ) 上有解,且只有一 ①当 t ? 4或 ? 2 ? t ? 1
解 ??????11 分

②当 1 ? t ? 4时, g (?2) ? 0且g (t ) ? 0, 但由于 g (0) ? ? 所以 g ( x) ? 0在(?2, t ) 上有解,且有两解

2 (t ? 1) 2 ? 0 , 3

③当 t ? 1 时, g ( x) ? x 2 ? x ? 0 ? x ? 0或x ? 1, 所以g ( x) ? 0在(?2, t ) 上有且只有一 解;

当t ? 4时, g ( x) ? x2 ? x ? 6 ? 0 ? x ? ?2或x ? 3,
所以g ( x) ? 0在(?2, 4)上也只有一解 13分
f ?( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 , e x0 3

综上所述, 对于任意的t ? ?2, 总存在x0 ? (?2, t ), 满足

且当t ? 4或 ? 2 ? t ? 1时, 有唯一的x0适合题意;
12. 解: (1) f ?( x) ? 2x ? ∵上式恒成立,∴ a ? 2 又 g ?( x) ? 1 ?

a , 依题意 f ?( x) ? 0 , x ? (1,2] ,即 a ? 2 x 2 , x ? (1,2] . x
??????????1 分

① ,依题意 g ?( x) ? 0, x ? (0,1) ,即 a ? 2 x , x ? (0,1) . ② ??????????2 分

a 2 x

∵上式恒成立,∴ a ? 2 .

由①②得 a ? 2 . ??????????3 分 ∴ f ( x) ? x 2 ? 2 ln x, g ( x) ? x ? 2 x . ??????????4 分 (2)由(1)可知,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 , 即x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 x ? 2 ? 0. 设 h( x) ? x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 x ? 2 , 则h ?( x) ? 2 x ? 令

2 1 ?1? , x x
解 知

h?( x) ? 0

,





x ? 0,



( x ? 1)(2x x ? 2x ? x ? 2) ? 0,

x ? 1.

????????5 分 ??????????6 分

令 h ?( x) ? 0, 由 x ? 0, 解得0 ? x ? 1. 列表分析:

x
h?( x) h( x )

(0,1) 递减

1 0 0

(1,+?) + 递增

可知 h( x) 在 x ? 1 处有一个最小值 0, ??????????7 分

当 x ? 0且x ? 1 时, h( x) >0, ∴ h( x) ? 0 在(0,+?)上只有一个解. 即当 x>0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解. (3) 设 ? ( x) ? x ? 2 ln x ? 2bx ?
2

??????????8 分

1 2 2 则? ' ( x) ? 2 x ? ? 2b ? 3 ? 0 , 2 x x x
为 减 函 数

?????? 9



?? ( x )
b ? ?1



(0,1]

?? ( x

m

)? b ?) ? i ? n ? (? 1

1

又 2

1

0

?????11 分 ? 1 ? b ? 1 为所求范围. 所以:

??????????12 分

13. 解: (1)? f (0) ? 0, ? d ? 0

? f ' ( x) ? ax 2 ?

1 1 x ? c及f ' (1) ? 0, 有a ? c ? 2 2 1 ? f ' ( x) ? 0在R上恒成立 , 即ax 2 ? x ? c ? 0 恒成立 2 1 1 2 即 ax ? x ? ? a ? 0 恒成立 2 2 显然 a ? 0 时,上式不能恒成立 1 1 ? a ? 0, 函数 f ?( x) ? ax 2 ? x ? ? a 是二次函数 2 2
由于对一切 x ? R, 都有f ?( x) ? 0, 于是由二次函数的性质可得

?a ? 0, ?a ? 0, ? 即? 1 , ? 1 2 1 ? 2 1 (? ) ? 4a( ? a) ? 0. ?a ? a ? ? 0 ? 2 16 ? 2 ? 2

? ?a ? 0, 1 即? , (a ? ) 2 ? 0 ? 4 ?

解得 : a ?

1 4

a?c?

1 . 4

1 1 1 1 . ? f ?( x) ? x 2 ? x ? . 4 4 2 4 1 2 1 1 3 2 b 1 ?由f ?( x) ? h( x) ? 0, 即 x ? x ? ? x ? bx ? ? ? 0 4 2 4 4 2 4 1 b 1 2 即 x ? (b ? ) x ? ? 0, 即( x ? b)( x ? ) ? 0 2 2 2 1 1 1 1 1 当 b ? 时, 解集为 ( , b), 当b ? 时, 解集为 (b, ) ,当 b ? 时, 解集为 ? . 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 (3)? a ? c ? , ? f ?( x ) ? x ? x ? 4 4 2 4 1 2 1 1 ? g ( x) ? f ?( x) ? mx ? x ? ( ? m) x ? . 4 2 4 该函数图象开口向上,且对称轴为 x ? 2m ? 1.
(2)? a ? c ?

假设存在实数 m 使函数 g ( x) ? f ?( x) ? mx ? 有 最小值-5.

1 2 1 1 x ? ( ? m) x ? 区间 [m.m ? 2] 上 4 2 4

①当 m ? ?1 时,2m ? 1 ? m,函数g ( x)在区间 [m, n ? 2] 上是递增的.

1 1 1 ? g (m) ? ?5,即 m 2 ? ( ? m)m ? ? ?5. 4 2 4 7 7 7 解得 m ? ?3或m ? . ? ? ?1, ? m ? 舍去 3 3 3
②当 ? 1 ? m ? 1 而在 时, m ? 2m ? 1 ? m ? 2,函数g ( x)在区间 [m,2m ? 1] 上是递减的, 区间 [2m ? 1, m ? 2] 上是递增的,

? g (2m ? 1) ? ?5.
1 1 1 (2m ? 1) 2 ? ( ? m)( 2m ? 1) ? ? ?5 4 2 4 1 1 1 1 21或m ? ? ? 21, 均应舍去 解得 m ? ? ? 2 2 2 2
即 ③当 m ? 1 时, 2m ? 1 ? m ? 2,函数g ( x)在区间 [m, m ? 2] 上递减的

? g (m ? 2) ? ?5


1 1 1 (m ? 2) 2 ? ( ? m)( m ? 2) ? ? ?5. 4 2 4

解得 m ? ?1 ? 2 2或m ? 1 ? 2 2.其中m ? 1 ? 2 2 应舍去. 综上可得,当 m ? ?3或m ? ?1 ? 2 2 时, 函数 g ( x) ? f ?( x) ? mx在区间 [m, m ? 2]上有最小值? 5. 14. 解: (1) f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 求导: f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1
3 2 2

当a

2

≤ 3 时, ? ≤ 0 , f ?( x) ≥ 0 , f ( x) 在 R 上递增 ? 3 , f ?( x) ? 0 求得两根为 x ?
? ? ?

当a

2

?a ? a 2 ? 3 3

即 f ( x ) 在 ? ??,

? ?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? 递增, ? ? 递减, ? ? ? 3 3 3 ? ? ?

? ?a ? a 2 ? 3 ? , ? ? ? 递增 ? ? ? 3 ? ?
? ?a ? ? ? (2) ? ? ?a ? ? ? a2 ? 3 2 ≤? 3 3 a2 ? 3 1 ≥? 3 3
7 4

,且 a

2

? 3 解得: a ≥

15. 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

1 ln x 1 1 ln x . ········ 2 分 ? ? ? ?? 2 x(1 ? x) (1 ? x) x x ?1 (1 ? x)2

1) 时, f ?( x) ? 0 , 故当 x ? (0, x ? (1,∞ ? ) 时, f ?( x) ? 0

1) 单调递增,在 (1,∞ ? ) 单调递减. ·············· 4 分 所以 f ( x ) 在 (0,
? ) 的极大值为 f (1) ? ln 2 ,没有极小值. ·········· 6 分 由此知 f ( x ) 在 (0,∞
(Ⅱ) (ⅰ)当 a ≤ 0 时, 由于 f ( x) ?

(1 ? x) ln(1 ? x) ? x ln x ln(1 ? x) ? x ? ln(1 ? x) ? ln x ? ? ? 0, 1? x 1? x

? ) . ················ 10 分 故关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集为 (0,∞
(ⅱ)当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 正整数,且有
n n 1? a 1 ? ln ?1 ? n ? ? ? n ? e 2 ? 1 ? n ? ? log 2 (e 2 ? 1) . ············· 12 分 2 ? 2 ? 2

ln x ln 2n 1? ? 1? ? ? ln ? 1? ? 知 f (2n ) ? ? ln ?1 ? n ? ,其中 n 为 n 1? x 1? 2 ? x? ? 2 ?

又 n ≥ 2 时,

ln 2n n ln 2 n ln 2 2 ln 2 ? ? ? . n n n(n ? 1) n ? 1 1 ? 2 1 ? (1 ? 1) 2



2 ln 2 a 4 ln 2 ? ?n? ? 1. n ?1 2 n
n 2

取整数 n0 满足 n0 ? ? log2 (e ? 1) , n0 ?

4 ln 2 ? 1 ,且 n0 ≥ 2 , a

则 f (2 0 ) ?
n

n0 ln 2 1 ? ? ln ?1 ? n0 n0 1? 2 ? 2

? a a ? ? ? ? a, ? 2 2

? ). 即当 a ? 0 时,关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集不是 (0,∞ ? ) ,且 a 的取 综合(ⅰ) (ⅱ)知,存在 a ,使得关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集为 (0,∞
值范围为 ? ?∞, 0? . 14 分

16. (Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= ? (rad) ,则 OA ?

AQ 10 ? , 故 cos ? cos ?

10 ,又 OP= 10 ? 10 tan ? 10-10ta ? , cos ? 10 10 ? ? 10 ? 10 tan ? , 所以 y ? OA ? OB ? OP ? cos ? cos ? OB ?
所求函数关系式为 y ?

20 ? 10sin ? ?? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? cos ? 4? ?

②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB=
2

?10 ? x ?

2

? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200

所求函数关系式为 y ? x ? 2 x ? 20 x ? 200 ? 0 ? x ? 10 ? (Ⅱ)选择函数模型①, y ?
'

?10cos ? cos ? ? ? 20 ? 10sin? ?? ? sin ? ? 10 ? 2sin ? ? 1? ? cos 2 ? cos 2 ?

' 令 y ? 0 得 sin ? ?

? ? 1 ,因为 0 ? ? ? ,所以 ? = , 4 6 2

当 ? ? ? 0,

? ?

??

?? ? ? ' ' ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的减函数;当 ? ? ? , ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的增函 6? ?6 4?

数,所以当 ? =

? 时, ymin ? 10 ?10 3 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,且距离 AB 边 6

10 3 km 处。 3
17 解: (1) f ( x)的定义域为 (0,?? ), f ?( x) ? 令 f ?( x) ? 0得x ? e 当 x ? (0, e 当 x ? (e
1?a 1?a

1 ? (ln x ? a) x2

)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 是增函数

1?a

,??)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 是减函数
1?a

∴ f ( x)在x ? e (2) (i)当 e

处取得极大值 , f ( x)极大值 ? f (e1?a ) ? e a?1

1? a

? e 2 时, a ? ?1时 ,由(Ⅰ)知 f ( x)在(0, e1?a ) 上是增函数,在 (e1?a , e 2 ]

上是减函数

? f ( x)max ? f (e1?a ) ? ea?1
又当 x ? e ?a时, f ( x) ? 0,当x ? (0, e ?a ]时f ( x) ? 0.当x ? (e ?a , e 2 ] 时,f ( x) ? (0.e a?1 ) 所以

f ( x)与图象g ( x) ? 1的图象在 (0, e 2 ] 上有公共点,等价于 e a?1 ? 1
解得 a ? 1, 又a ? ?1, 所以a ? 1 (ii)当 e
1? a

? e 2即a ? ?1 时, f ( x)在(0, e 2 ] 上是增函数,
2?a e2

2 2 ∴ f ( x)在(0, e ]上的最大值为 f (e ) ?

所以原问题等价于

又? a ? ?1 ,∴无解

2?a ? 1, 解得 a ? e 2 ? 2. e2

18 解: (Ⅰ)当 a ? 0 时函数 f ( x ) 的定义域为 (0,??) ; 当 a ? 0 时函数 f ( x ) 的定义域为 (?1,0)

x ?1 ? ln(ax) 1 1 x ? ? ? (Ⅱ) f ( x) ? 2 x x ?1 ( x ? 1)

( x ? 1) ? x ln(ax) ? ( x ? 1) 2 ? x( x ? 1) ? ln(ax) ? ? x( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2
令 f ?( x) ? 0 时,得 ln ax ? 0 即 x ?

1 , a 1 a

①当 a ? 0 时, x ? (0, ) 时 f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 , 故当 a ? 0 时,函数的递增区间为 (0, ) ,递减区间为 ( , ??) ②当 ?1 ? a ? 0 时, ?1 ? ax ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 , 故当 ?1 ? a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? (?1, 0) 上单调递增. ③当 a ? ?1 时,若 x ? ( ?1, ) , f ?( x) ? 0 ;若 x ? ( , 0) , f ?( x) ? 0 , 故当 a ? ?1 时, f ( x ) 的单调递增区间为 ( , 0) ;单调递减区间为 ( ?1, ) . (Ⅲ)因为当 a ? 0 时,函数的递增区间为 (0, ) ;单调递减区间为 ( , ??)

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

1 a

若存在 x 使得 f ( x) ? ln(2a) 成立,只须 f ( ) ? ln(2 a ) ,

1 a

? a?0 a ?1 a ?1 ? ) ? ln 2a ? ? 2a ? ? 1 ? 0 ? a ?1 即 ln( a a ? ? a ?1 ? ? 2
19 解: (1)据题意的

39(2 x 2 ? 29 x ? 107)( x ? 5)...(5 ? x ? 7) 198 ? 6 x y ?{ ( x ? 5)....................(7 ? x ? 8) x ?5 ?50 ? 10( x ? 8)? ( x ? 5)...........( x ? 8)

39 ? (2 x3 ? 39 x 2 ? 252 x ? 535)...(5 ? x ? 7) ? { 6(33 ? x)..................................(7 ? x ? 8) ?10 x 2 ? 180 x ? 650.......................( x ? 8)
(2)由(1)得:当 5 ? x ? 7 时, y ? 39 ? (2 x3 ? 39 x2 ? 252 x ? 535)

y' ? 234( x2 ?13x ? 42) ? 234( x ? 6)( x ? 7)
当 5 ? x ? 6 时, y' ? 0 , y ? f ( x) 为增函数 当 6 ? x ? 7 时, y ' ? 0, y ? f ( x) 为减函数

? 当 x ? 6 时, f ( x)max ? f (16) ? 195
当 7 ? x ? 8 时, y ? 6(33 ? x) ? ?150,156? 当 x ? 8 时, y ? ?10( x ? 9) ? 160
2

当 x ? 9 时, ymax ? 160 综上知:当 x ? 6 时,总利润最大,最大值为 195 20 解: (1) 由已知可得 C=0, ∴ g ( x) ?

x2 ?1 x , f ( x) ? x , x ln

f ?( x) ?

ln x ? 1 , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? e .列表如下: ln 2 x

x
f ?( x ) f ( x)

(0,1) 单调减

(1, e)
单调减

(e, ??)
+ 单调增

所以 f ( x ) 的单调增区间为 (e, ??) ,单调减区间为 (0,1) 和 (1, e) (2)在 e ? x 两边取对数,得 x ? m ln x .而 x ? 1 .所以 m ?
x m

x ln x

由(1)知当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? f (e) ? e .所以 m ? e . 21 解: (1)由题意知, f ( x ) 的定义域为 (0,??) ,

1 1 2( x ? ) 2 ? b ? b 2x 2 ? 2x ? b 2 2 ( x ? 0) f ' ( x) ? 2 x ? 2 ? ? ? x x x 1 ? 当 b ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在定义域 (0,??) 上单调递增. 2
(2) ①由(Ⅰ)得,当 b ? ②当 b ?

1 时, f / ( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 无极值点. 2

1 1 1 ? 2b 1 1 ? 2b 时, f ?( x) ? 0 有两个不同解, x1 ? ? , x2 ? ? 2 2 2 2 2 1 1 ? 2b ? i) b ? 0 时 , x1 ? ? ? 0 ? (0,??),舍去 2 2 1 1 ? 2b 而x2 ? ? ? 1 ? (0,??) , 2 2 此时 f ?( x ) , f ( x ) 随 x 在定义域上的变化情况如下表:



x f ?( x )
f ( x)

(0, x2 )
?


x2
0
极小值

( x2, ? ?)

?


由此表可知: b ? 0 时, f ( x ) 有惟一极小值点 , x ? ii) 当0 ? b ?

1 1 ? 2b , ? 2 2

1 时,0< x1 ? x 2 <1 2

此时, f ?( x ) , f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

? 0, x1 ?
?


x1
0
极大值

( x1,x2 )
?


x2
0
极小值

( x2, ? ?)

?


由此表可知: 0?b?

1 1 1 ? 2b 时 , f ( x ) 有 一 个 极 大 值 x1 ? ? 和一个极小值点 2 2 2

x2 ?

1 1 ? 2b ; ? 2 2

1 1 ? 2b ? ; 2 2 1 1 1 ? 2b 1 1 ? 2b 当 0 ? b ? 时, f ( x ) 有一个极大值点 x ? ? 和一个极小值点 x ? ? 2 2 2 2 2 2 ( 3 )由(2 )可知当 b ? ?1 时,函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? ln x ,此时 f ( x ) 有惟一极小值点
综上所述:当 b ? 0 时, f ( x ) 有惟一最小值点 , x ?

x?

3 ?1 2

1? 3 1? 3 )时,f ' ( x) ? 0, f ( x)在(0, )为减函数 2 2 1 4 1? 3 ? 当 n ? 3 时, 0 ?1 ? 1? ? ? , n 3 2 1 1 1 ? 恒有 f(1) ? f (1 ? ),即恒有 0 ? 2 ? ln(1 ? ) n n n 1 ?当 n ? 3 时恒有ln(n ? 1) ? ln n ? 2 成立 n 1 x ?1 则 h' ( x ) ? 1 ? ? 令函数 h( x) ? ( x ? 1) ? ln x (x ? 0) x x
且 x ? (0,

? x ? 1 时,h' ( x) ? 0 ,又h( x)在x ? 1处连续? x ? [1,??)时h( x)为增函数 1 1 1 ? h(1 ? ) ? h(1) 即 ? ln(1 ? ) ? 0 n n n 1 1 ? ln(n ? 1) ? ln n ? ln(1 ? ) ? n n 1 1 综上述可知 n ? 3 时恒有 ? ln(n ? 1) ? ln n ? 2 n n ?n ? 3 时 1 ? 1?
22 解: (1)

1 n

g ' ( x) ?

?2 x ( x 2 ? 1)2

? g ' ( 2) ? ?2 2 且 g ( 2) ? 1 ? a

故 g ( x) 在点 P( 2, g ( 2)) 处的切线方程为: 2 2x ? y ? 5 ? a ? 0 (2)由 f ( x) ?
'

2x ?0得x ? 0, x ?1
2

故 f ( x ) 仅有一个极小值点 M (0,0) ,根据题意得:

d?

5? a ?1 3

? a ? ? 2 或 a ? ?8
2

(3)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln( x ?1) ?

1 ?a x ?1
2

h ' ( x) ?

? 1 2x 2x 1 ? ? 2 ? 2x ? 2 ? 2 2 2? x ? 1 ( x ? 1) ? x ? 1 ( x ? 1) ?
2

当 x ??0,1) ? (1, ??) 时, h ( x) ? 0
'

当 x ? (??, ?1) ? (?1,0) 时, h ( x) ? 0
'

因此, h( x) 在 (??, ?1), (?1, 0) 时, h( x) 单调递减,

在 (0,1), (1, ??) 时, h( x) 单调递增. 又 h( x) 为偶函数,当 x ? (?1,1) 时, h( x) 极小值为 h(0) ? 1 ? a 当 x ? ?1 时, h( x) ? ?? , 当 x ? ?1 时, h( x) ? ?? 当 x ??? 时, h( x) ? ?? , 当 x ??? 时, h( x) ? ?? 故 f ( x) ? g ( x) 的根的情况为: 当 1 ? a ? 0 时,即 a ? 1 时,原方程有 2 个根; 当 1 ? a ? 0 时,即 a ? 1 时,原方程有 3 个根; 当 1 ? a ? 0 时,即 a ? 1 时,原方程有 4 个根 23 解: (1) y? ? ?2ax ,切线的斜率为 ?2 at ,? 切线 l 的方程为 y ? (1 ? at 2 ) ? ?2at ( x ? t ) 令 y ? 0, 得 x ?
? ?

1 ? at 2 1 ? at 2 ? 2at 2 1 ? at 2 ?t ? ? 2at 2at 2at

1 ? at 2 ?M ( , 0) ,令 t ? 0 ,得 y ? 1 ? at 2 ? 2at 2 ? 1 ? at 2 ,? N (0,1 ? at 2 ) 2at 1 1 ? at 2 (1 ? at 2 )2 2 ??MON 的面积 S (t ) ? ? (1 ? at ) ? 2 2at 4at
(2) S ?(t ) ?

3a 2t 4 ? 2at 2 ? 1 (at 2 ? 1)(3at 2 ? 1) ? 4at 2 4at 2 1 3a

a ? 0, t ? 0 ,由 S ?(t ) ? 0 ,得 3at 2 ? 1 ? 0, 得t ?

当 3at ? 1 ? 0, 即t ?
2

1 时, S ?(t ) ? 0 3a 1 时, S ?(t ) ? 0 3a

当 3at ? 1 ? 0, 即0 ? t ?
2

?当t ?

1 时, S (t )有最小值 3a
1 1 1 4 ? ,? a ? 处, S (t )取得最小值 ,故有 2 3 3a 2

已知在 t ?

4 1 1 故当 a ? , t ? 时, S (t ) min ? S ( ) ? 3 2 2

4 1 (1 ? ? ) 2 3 4 ?2 4 1 3 4? ? 3 2
1 3

24.(1)

a , b 的值依次是 2、1,(2) k ? ? .
f ( x ) 是奇函数, 所以 f (0) =0, 即

?解析:(1)因为

b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x) ? a?2 a ? 2x ?1

1 1? 1? 2 2 ? a ? 2. ?? 又由 f (1) ? ? f ( ?1) 知 a?4 a ?1

(2) 解法一:由(1)知 f ( x) ?

1 ? 2x 1 1 , 易知 f ( x ) 在 ( ??, ??) 上为减函 ?? ? x 2 ? 2 x ?1 2 2 ?1

数。又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式: f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 等价于
f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) .因 f ( x ) 为减函数,由上式推得: t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 .

即对一切 t ? R 有: 3t 2 ? 2t ? k ? 0 , 从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? .
1 ? 2x .又由题设条件得: 2 ? 2x ?1
2

1 3

解法二:由(1)知 f ( x) ?
2

1 ? 2t 2?2

2

?2t

t 2 ? 2 t ?1

?

1 ? 22t 2?2

2

?k

2 t 2 ? k ?1

?0

即: 整理得:

(22t

?k ?1

? 2)(1 ? 2t
2

?2t

) ? (2t

2

?2t ?1

? 2)(1 ? 22t

2

?k

)?0

23t

? 2t ?k

? 1,因底数2>1,故: 3t 2 ? 2t ? k ? 0 . 上式对一切 t ? R 均成立, 从而判别式

1 ? ? 4 ? 12k ? 0 ? k ? ? . 3

?k 2 ( x ? 2)( x ? 4), ?3 ? x ? ?2; ? kx( x ? 2), ?2 ? x ? 0; ? 3 ? 25、(1) f (?1) ? ?k , f (2,5) ? ? (2) f ( x) ? ? x( x ? 2), 0 ? x ? 2; 4k ? ? 1 ( x ? 2)( x ? 4), 2 ? x ? 3. ? ?k
f ( x) 在 ??3, ?1? 与 ?1,3? 上为增函数,在 ??1,1? 上为减函数;
2 ( 3 )① k ? ?1 而 f ( x ) 在 x ? ?3 处取得最小值 f (?3) ? ?k ,在 x ? ?1 处取得最大值

f (?1) ? ?k .
② k ? ?1 时, f ( x ) 在 x ? ?3 与 x ? 1 处取得最小值 f (?3) ? f (1) ? ?1 ,在 x ? ?1 与 x ? 3 处取得最大值 f (?1) ? f (3) ? 1 .

③ ?1 ? k ? 0 时 , f ( x ) 在 x ? 1 处 取 得 最 小 值 f (1) ? ?1 , 在 x ? 3 处 取 得 最 大 值

1 f (3) ? ? . k

?解析:(1) f (?1) ? kf (1) ? ?k ,
? f (2,5) ?
(2)

f (0.5) ? kf (2,5) ,

1 1 3 f (0.5) ? (0.5 ? 2) ? 0.5 ? ? . k k 4k

对任意实数 xf ( x) ? kf ( x ? 2) ,

? f ( x ? 2) ? kf ( x),? f ( x) ?

1 f ( x ? 2) . k

当 ?2 ? x ? 0 时, 0 ? x ? 2 ? 2, f ( x) ? kf ( x ? 2) ? kx( x ? 2) ; 当 ?3 ? x ? ?2 时, ?1 ? x ? 2 ? 1, f ( x) ?

1 1 f ( x ? 2) ? ( x ? 2)( x ? 4) . k k

?k 2 ( x ? 2)( x ? 4), ?3 ? x ? ?2; ? kx( x ? 2), ?2 ? x ? 0; ? ? 故 f ( x) ? ? x( x ? 2), 0 ? x ? 2; ? ? 1 ( x ? 2)( x ? 4), 2 ? x ? 3. ? ?k
k ? 0,? f ( x) 在 ??3, ?1? 与 ?1,3? 上为增函数,在 ??1,1? 上为减函数;
(3)由函数 f ( x ) 在 ? ?3,3? 上的单调性可知,

f ( x) 在 x ? ?3 或 x ? 1 处取得最小值 f (?3) ? ?k 2 或 f (1) ? ?1 ,而在 x ? ?1 或 x ? 3 处取
得最大值 f (?1) ? ?k 或 f (3) ? ?

1 . k

2 故 有 ① k ? ?1 而 f ( x ) 在 x ? ?3 处 取 得 最 小值 f (?3) ? ?k , 在 x ? ?1 处 取 得 最大 值

f (?1) ? ?k .
② k ? ?1 时, f ( x ) 在 x ? ?3 与 x ? 1 处取得最小值 f (?3) ? f (1) ? ?1 ,在 x ? ?1 与 x ? 3 处取得最大值 f (?1) ? f (3) ? 1 . ③ ?1 ? k ? 0 时 , f ( x ) 在 x ? 1 处 取 得 最 小 值 f (1) ? ?1 , 在 x ? 3 处 取 得 最 大 值

1 f (3) ? ? . k

26.若 a ? 0 ,则 f ? ? x ? ? 0 ,因此 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上是增函数.

若 a ? 0 ,则由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? ?

a ? a ? ,因此 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ? , ?? ? ,单调递减 4 ? 4 ?
时, 最大值是 2a ? 16 .

区间是 ? 0, ?

? ?

a? ?32 ? a ? ?15 时, 5? ? a ? 4 最大值是 a ? 1 ; 当 ?1 ?. 4?
4 3 1 3 ,故

?解析: 解:(1) f ? x ? ? x ? ax

f ?? x? ?

2 4 1 1 ?3 4x ? a 3 x ? ax ? 3 3 3 3 x2

若 a ? 0 ,则 f ? ? x ? ? 0 ,因此 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上是增函数. 若 a ? 0 ,则由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? ?

a ? a ? ,因此 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ? , ?? ? ,单调递减 4 ? 4 ?

区间是 ? 0, ? 数.

? ?

a? ,因此 f ? x ? 在 ?1,8? 上是增函 ? .(2) 若 a ? ?4 ,则 f ? ? x ? ? 0 ( x ??1,8? ) 4?

那么 f ? x ? 在 x ??1,8? 上的最小值是 f ?1? ? a ? 1,最大值是 f ?8? ? 2a ?16 ; 若 a ? ?32 ,则 f ? ? x ? ? 0 ( x ??1,8? ) ,因此 f ? x ? 在 1,8 上是减函数. 那么 f ? x ? 在 x ??1,8? 上的最小值是 f ?8? ? 2a ?16 ,最大值是 f ?1? ? a ? 1. 若 ?32 ? a ? ?4 ,则 x 1

? ?

a? ? ?1, ? ? 4? ?
?

?
0

a 4

? a ? ? ? ,8 ? ? 4 ?
+ ↗

8

f ? ? x?
f ? x?

f ?1? ? a ? 1 ↘

极小值

f ?8? ? 2a ?16

所以 f ? x ? 在 x ??1,8? 上的最小值是 f ? ?

? a? 3 3 a ?? a ? , 4 ? 4? 4

当 f ?1? ? a ?1 ? f ?8? ? 2a ?16 ,即 ?32 ? a ? ? 15 时,最大值是 a ? 1 ;当 ?15 ? a ? ? 4 时,最大值是 2a ? 16 .

?? ? 27、f(x)= 2 sin ? 2 x ? ? ? 2 , a ? f ?x? ? ? 2 ? 2, 2 ? 2 ? ? 2 ? 2, 2 ? 2 ? ?0? 4? ?
?解析:(1)当 x ? 0 时,
f ?x? ? ?sin x ? cos x? ? 2 cos2 x ? sin 2x ? 2 cos2 x ? 1
2

?

? ?

?

? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin? 2 x ?

? ?

??

??2 4?

?? ? x ? 0 时, ? x ? 0 , f ?x ? ? ? f (? x) ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 2 (6 分) 4? ?
(2)若关于 x 的方程 f ?x ? ? a ? o 有解, a ? f ?x? ? ? 2 ? 2, 2 ? 2 ? ? 2 ? 2, 2 ? 2 ? ?0? (12 分)

?

? ?

?

28、 f (1) ? f (6) ? f (28) ? 2 ? 9 ? 55 ? 66 ?解析:解: (I) 由①知,对任意 a, b ? N* , a ? b ,都有 (a ? b)( f (a) ? f (b)) ? 0 ,
由于 a ? b ? 0 ,从而 f (a) ? f (b) ,所以函数 f ( x) 为 N* 上的单调增函数 (II)令 f (1) ? a ,则 a …1 ,显然 a ? 1 ,否则 f ( f (1)) ? f (1) ? 1 ,与 f ( f (1)) ? 3 矛盾. 从而 a ? 1 ,而由 f ( f (1)) ? 3 ,即得 f (a) ? 3 . 又由(I)知 f (a) ? f (1) ? a ,即 a ? 3 .
* 于是得 1 ? a ? 3 ,又 a ? N ,从而 a ? 2 ,即 f (1) ? 2 .

进而由 f (a) ? 3 知, f (2) ? 3 . 于 是

f (3) ? f ( f (2)) ? 3 ? 2 ? 6

,

f (6) ? f ( f (3)) ? 3 ? 3 ? 9

,

f (9) ? f ( f (6)) ? 3 ? 6 ? 18 , f (18) ? f ( f (9)) ? 3 ? 9 ? 27 , f (54) ? f ( f (27)) ? 3 ? 27 ? 81, f (27) ? f ( f (18)) ? 3 ? 18 ? 54 ,
由于 54 ? 27 ? 81 ? 54 ? 27 ,

而且由(I)知,函数 f ( x) 为单调增函数,因此 f (28) ? 54 ? 1 ? 55. 从而 f (1) ? f (6) ? f (28) ? 2 ? 9 ? 55 ? 66 . (Ⅲ) f (an ) ? f ( f (3n )) ? 3 ? 3n ? 3n?1 ,

an?1 ? f (3n?1 ) ? f ( f (an )) ? 3an , a1 ? f (3) ? 6 .
即数列 {an } 是以 6 为首项, 以 3 为公比的等比数列 . ∴ an ? 6 ? 3n ?1 ? 2 ? 3n (n ? 1,2,3 )

1 1 于是 ? ? a1 a2

1 1 1 1 ? ? ( ? 2? an 2 3 3

1 1 (1 ? n ) 1 1 3 1 1 1 1 1 3 ? n)? ? ? (1 ? n ) ,显然 (1 ? )? , n 1 3 2 4 3 4 4 3 1? 3

1 2 n 另一方面 3n ? (1 ? 2) n ? 1 ? Cn ? 2 ? Cn ? 22 ? ? ? Cn ? 2n ? 1 ? 2n ,

从而

1 1 1 1 n (1 ? n ) ? (1 ? )? . 4 4 2n ? 1 4n ? 2 3

综上所述,

n 1 1 1 1 ? ? ??? ? . 4n ? 2 a1 a 2 an 4

29、(Ⅰ) a ? 0
(Ⅱ) 0 ? a ? (Ⅲ) (??,0]

1? 5 2

?解析:(Ⅰ) f ?( x) ?

a ? 3x 2 ? 2 x ? a ax ? 1

x[3ax 2 ? (3 ? 2a) x ? (a 2 ? 2)] ? ax ? 1
∵x ?

2 2 为 f (x ) 的极值点,∴ f '( ) = 0 3 3 22 2 2 ) + (3 - 2a ) - (a 2 + 2) = 0 且 a ? 1 ? 0 3 3 3 2 为 f (x ) 的极值点成立。 3

∴ 3a(

∴a ? 0. 又当 a ? 0 时, f

'(x ) = x (3x - 2) ,从而 x =

(Ⅱ)因为 f (x ) 在 [1,??) 上为增函数,

所以

x[3ax 2 ? (3 ? 2a) x ? (a 2 ? 2)] ? 0 在 [1,??) 上恒成立. ax ? 1

若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? x(3x ? 2) , ∴ f (x ) 在 [1,??) 上为增函数不成立; 若 a ? 0 ,由 ax ? 1 ? 0 对 x ? 1恒成立知 a ? 0 。 所以 3ax ? (3 ? 2a) x ? (a ? 2) ? 0 对 x ? [1,??) 上恒成立。
2 2

令 g ( x) ? 3ax 2 ? (3 ? 2a) x ? (a 2 ? 2) ,其对称轴为 x ? 因为 a ? 0 ,所以

1 1 , ? 3 2a

1 1 1 ? ? ,从而 g(x ) 在 [1,??) 上为增函数。 3 2a 3

所以只要 g (1) ? 0 即可,即 ? a 2 ? a ? 1 ? 0

所以

1? 5 1? 5 ?a? 2 2

又因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ?

1? 5 . 2
b x

(Ⅲ)若 a ? ?1时,方程 f (1 ? x) ? (1 ? x) 3 ? 可得 ln x ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) ?
2

b x
2 3

即 b ? x ln x ? x(1 ? x) ? x(1 ? x) ? x ln x ? x ? x 在 x ? 0 上有解 即求函数 g ( x) ? x ln x ? x ? x 的值域.
2 3

b ? x(ln x ? x ? x 2 )
由 h?( x) ?

令 h( x) ? ln x ? x ? x

2

1 (2 x ? 1)(1 ? x) ? 1 ? 2x ? x x

∵x ?0

∴当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,从而 h( x) 在(0,1)上为增函数; 当 x ? 1时, h?( x) ? 0 ,从而 h( x) 在(1,+∞)上为减函数。 ∴ h( x) ? h(1) ? 0 ,而 h( x) 可以无穷小。 ∴ b 的取值范围为 (??,0] .

? 1? 30、(1) ?0, ? (2)? fn ? x ? ? an ? x ? n?? n ? 1? x ? (3) a ? 3 ? 4? 1 1 ? 1? ?解析:(1)? f ( x) ? ?( x ? ) 2 ? , x ? ?0,1?,? f ( x) ? ?0, ? 。 2 4 ? 4?
(2)当 n ? x ? n+1(n ? 0,n ? Z) 时 ,

fn ? x ? ? afn?1 ? x ?1? ? a2 fn?1 ? x ? 2? ? ? fn ? x ? ? an ? x ? n?? n ? 1? x ? 。
x ?n + 1 n ( n 0 , Z ? ) (3) 当n ? ?

? an f1 ? x ? n? ,

时 , fn ? x ? ? afn?1 ? x ?1? ? a2 fn?1 ? x ? 2? ?

? an f1 ? x ? n? ,

? f n ( x) ? a n ? 3x?n ;
显然 f n ( x) ? a n ? 3x?n , x ? ?n, n ? 1?, n ? 0, n ? Z 当 a ? 0 时是增函数, 此时? f n ( x) ? a n ,3a n , 若函数 y ? f (x) 在区间 ?0, ? ?? 上是是单调增函数,则必有 a n?1 ? 3a n ,解得: a ? 3 ; 显然当 a ? 0 时,函数 y ? f (x) 在区间 ?0, ? ?? 上不是单调函数; 所以 a ? 3 。

?

?

? 5 ? 31、(1)0(2) ? ? , ?? ? (3)见解析 ? 2 ?

?解析:(1)解:∵ f ? x ? ? ?x3 ? ax2 ? bx ? c ,∴ f ? ? x ? ? ?3x2 ? 2ax ? b .
∵ f ? x ? 在 ? ??,0? 上是减函数,在 ? 0,1? 上是增函数, ∴当 x ? 0 时, f ? x ? 取到极小值,即 f ? ? 0? ? 0 . ∴b ? 0. (2)解:由(1)知, f ? x ? ? ?x ? ax ? c ,
3 2

∵1 是函数 f ? x ? 的一个零点,即 f ?1? ? 0 ,∴ c ? 1 ? a . ∵ f ? ? x ? ? ?3x ? 2ax ? 0 的两个根分别为 x1 ? 0 , x2 ?
2

2a . 3

∵ f ? x ? 在 ? 0,1? 上是增函数,且函数 f ? x ? 在 R 上有三个零点, ∴ x2 ?

2a 3 5 ? 1 ,即 a ? .∴ f ? 2 ? ? ?8 ? 4a ? ?1 ? a ? ? 3a ? 7 ? ? . 3 2 2

故 f ? 2 ? 的取值范围为 ? ?

? 5 ? , ?? ? . ? 2 ?
3 2

(3)解:由(2)知 f ? x ? ? ?x ? ax ? 1 ? a ,且 a ?

3 . 2

要讨论直线 y ? x ? 1 与函数 y ? f ? x ? 图像的交点个数情况, 即求方程组 ?

? y ? x ? 1,
3 2 ? y ? ? x ? ax ? 1 ? a

解的个数情况.

3 2 3 2 由 ? x ? ax ? 1 ? a ? x ? 1 ,得 x ? 1 ? a x ? 1 ? ? x ? 1? ? 0 . 2 即 ? x ? 1? x ? x ? 1 ? a ? x ? 1?? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 0 .

?

? ?

?

?

?

2 即 ? x ? 1? ? ? x ? ?1 ? a ? x ? ? 2 ? a ? ? ??0.

∴ x ? 1 或 x ? ?1 ? a ? x ? ? 2 ? a ? ? 0 .
2

由方程 x ? ?1 ? a ? x ? ? 2 ? a ? ? 0 ,
2
2 得 ? ? ?1 ? a ? ? 4 ? 2 ? a ? ? a ? 2a ? 7 . 2

(*)

∵a ?

3 , 2 3 ? a ? 2 2 ? 1 .此时方程(*)无实数解. 2

若 ? ? 0 ,即 a 2 ? 2a ? 7 ? 0 ,解得

若 ? ? 0 ,即 a 2 ? 2a ? 7 ?0 ,解得 a ? 2 2 ? 1 .此时方程(*)有一个实数解 x ?

2 ?1.

若 ? ? 0 ,即 a 2 ? 2a ? 7 ? 0 ,解得 a ? 2 2 ? 1 .此时方程( *)有两个实数解,分别为

x1 ?

a ? 1 ? a 2 ? 2a ? 7 a ? 1 ? a 2 ? 2a ? 7 , x2 ? . 2 2

且当 a ? 2 时, x1 ? 0 , x2 ? 1 . 综上所述,当

3 ? a ? 2 2 ? 1 时,直线 y ? x ? 1 与函数 y ? f ? x ? 的图像有一个交点. 2

当 a ? 2 2 ? 1 或 a ? 2 时,直线 y ? x ? 1 与函数 y ? f ? x ? 的图像有二个交点. 当 a ? 2 2 ? 1 且 a ? 2 时,直线 y ? x ? 1 与函数 y ? f ? x ? 的图像有三个交点.

? ? f ' ? ?1? ? 0 ?3 ? 2a ? b ? 0 ?a ? 2 ?? ?? 32、1)由题设知: ? , 3 ? 2 a ? b ? 8 b ? 1 f ' 1 ? 8 ? ? ? ? ? ?
∴ f ( x) ? x ? 2x ? x
3 2

则 f ' ? x ? ? 3x ? 4x ?1
2

令 f ?( x) ? 0, 解得 x1 ? ? , x 2 ? ?1 当 x 变化时, f ? x ? , f ' ? x ?的变化情况如下表 :

1 3

x
f '? x?
f ? x?

? ??, ?1?
+

?1
0 0

1? ? ? ?1, ? ? 3? ?


?
0

1 3

? 1 ? ? ? , ?? ? ? 3 ?
+

?

?

?

4 27

?

所以 f ? x ? 的极大值为 f ? ?1? ? 0 ;极小值为 f ? ? ? ? ?
3 2 2 (2) x ? 2 x ? x ? kx ? x x ? 2 x ? 1 ? k ? 0

? 1? ? 3?

4 27

?????5 分

?

?

考虑方程 x x 2 ? 2 x ? 1 ? k ? 0 根的情况:

?

?

k ? 0 ,则方程 x ? x 2 ? 2 x ? 1 ? k ? ? 0的根为x1 ? 0, x2 ? ? k ? 1, x3 ? k ? 1

? k ?1 ? 0 ? 当 k ? 1时,

k ? 1, 解集为 x x ? k ? 1或 ? k ? 1 ? x ? 0

?

?

当 k ? 1时, 解集为 x x ? ?2

?

?
k ?1

当 0 ? k ? 1, 解集为 x x ? 0或 ? k ? 1 ? x ?

?

?

(3) ? , ? ? R, ∴? 1 ? sin ? ? 1,∴? 1 ? cos ? ? 1

? 4 ? 112 ∴ f ? sin ? ? ? f ? cos ? ? ? f ? ? ? ? ? 27 ? 27

33、(1)见解析(2)钝角三角形
? ? ?解析:证明:假设存在 x0 , x0 ? (a, b), 且x0 ? x0 , 使得
f (b) ? f (a) ? f ?( x0 ) b?a f (b) ? f (a ) ? ? f ?( x0 ) ∴ b?a
∵ f ?( x0 ) ? f ?( x0 ) ∴ f ?( x) ?

?

ex 1 1 ?1 ? , 记g ( x) ? f ?( x) ? ? , x x 1? e 1? e 1? ex

∴ g ?( x) ?

ex ? 0, f ?( x)是[a, b] 上的单调增函数。 (1 ? e x ) 2

? , 这与x? ? x0矛盾,即x0 是唯一的。 ∴ x0 ? x0
(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ),且x1 ? x2 ? x3 ∵ f ?( x) ?

?1 ? 0, 1? ex

∴ f ( x)是x ? R 上的单调减函数。 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ).

∵ BA ? ( x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x1 )), BC ? ( x3 ? x2 , f ( x3 ) ? f ( x2 )), ∴ BA ? BC ? ( x1 ? x2 )(x3 ? x2 ) ? ( f ( x1 ) ? f ( x2 ))( f ( x3 ) ? f ( x2 )), ∵ x1 ? x2 ? 0, x3 ? x2 ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? 0, ∴ BA ? BC ? 0 ∴ cos B ? 0, ?B 为钝角 ∴△ABC 为钝角三角形。

34、(1)a>1(2)有且仅有两个交点 a 1 ?解析:(1) h( x) ? ln x ? x 2 ? 2 x( x ? 0), h' ( x) ? ? ax ? 2. 2 x 1 若使 h( x) 存在单调递减区间,则 h' ( x) ? ? ax ? 2 ? 0在(0,?? ) 上有解. x 1 1 1 2 而当 x ? 0时, ? ax ? 2 ? 0 ? ax ? ? 2 ? a ? 2 ? x x x x 1 2 1 2 问题转化为 a ? 2 ? 在(0,?? ) 上有解,故 a 大于函数 2 ? 在(0,?? ) 上的最小值. x x x x


1 2 1 1 2 ? ? ( ? 1) 2 ? 1, 2 ? 在(0,?? ) 上的最小值为-1,所以 a>1. 2 x x x x x
(2)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ax ? ln x ? 1(a ? 0).

函数 f ( x) ? ax与g ( x) ? ln x ? 1的交点个数即为函数 F ( x) 的零点的个数.

1 ( x ? 0). x 1 1 令 F ' ( x) ? a ? ? 0, 解得 x ? . x a F ' ( x) ? a ?
随着 x 的变化, F ' ( x), F ( x) 的变化情况如下表:

x
F ' ( x)

1 (0, ) a
单调递减

1 a
0 极(最)小值 2+lna

1 ( ,?? ) a
+ 单调递增

F ( x)

?2 ① 当 F ( ) ? 2 ? ln a ? 0, 即a ? e 时, F ( x) 恒大于 0,函数 F ( x) 无零点. ?2 ② ②当 F ( ) ? 2 ? ln a ? 0, 即a ? e 时, 由上表,函数 F ( x) 有且仅有一个零点.

1 a

1 a

?2 ③ F ( ) ? 2 ? ln a ? 0, 即0 ? a ? e 时, 显然 1 ?

1 a

1 a

1 1 F (1) ? a ? 1 ? 0, 所以 F (1) ? F ( ) ? 0.又F ( x)在(0, ) 内单调递减, a a 1 所以 F ( x)在(0, ) 内有且仅有一个零点 a
当x ?

1 (e a ) x 时, F ( x) ? ln ? 1. a x
1 , a

由指数函数 y ? (e a ) x (e a ? 1) 与幂函数 y ? x 增长速度的快慢,知存在 x0 ? 使得

(e a ) x0 (e a ) x0 ? 1. 从而 F ( x0 ) ? ln ? 1 ? ln1 ? 1 ? 1 ? 0. x0 x0
1 a

因而 F ( ) ? F ( x 0 ) ? 0. 又 F ( x)在( ,?? ) 内单调递增, F ( x)在? ,?? ? 上的图象是连续不断的曲线, 所以 F ( x)在( ,?? ) 内有且仅有一个零点. 因此, 0 ? a ? e ?2时, F ( x) 有且仅有两个零点. 综上, a ? e 时, f ( x)与g ( x) 的图象无交点;当 a ? e 时, f ( x)与g ( x) 的图象有且仅有一 个交点; 0 ? a ? e 时, f ( x)与g ( x) 的图像有且仅有两个交点.
?2 ?2 ?2

1 a

?1 ?a

? ?

1 a

35、(1)见解析(2)奇函数(3)见解析
? ?解析:(1)取 f(x)=tanx,定义域为{x∣x≠kπ + 2 ,k∈Z}关于原点对称,且 0∈D;
a?

?
4 使得 f(a)=tana=1;

且存在常数

又由两角差的正切公式知,符合

f ( x1 ? x2 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) 。 f (0 ? x) ? f (0) ? f ( x) 1 ? f (0) f ( x) ,

(2)f(x)是 D 上的奇函数;证明如下:f(0)=0,取 x1=0,x2=x,由 得 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是 D 上的奇函数; (3)考察 f(x)=tanx 的最小正周期 T=π =4a,可猜测 4a 是 f(x)的一个周期。
f ( x ? a) ? f ( x) ? f (a ) f ( x) ? 1 ? 1 ? f ( x) f (a) 1 ? f ( x) ,则

证明:由已知

f ( x ? 2a) ? f [( x ? a) ? a] ?

f ( x ? a) ? 1 f ( x) ? 1 f ( x) ? 1 1 ?[ ? 1] ? [1 ? ]?? 1 ? f ( x ? a ) 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) f ( x) , 1 ? f ( x) f (x ? 2a ) 。

f ( x ? 4a) ? f [( x ? 2a)- 2a] ? ?

所以 f(x)是周期函数,4a 是 f(x)的一个周期。

36、(Ⅰ) f (n) ? ( 1 )n ?1 , g (n) ? 13 ? 2(n ? 5) ? 2n ? 3
3

(Ⅱ) Sn ? [1 ? ( )n ] ? (Ⅲ) (M ? m)min ? 3

9 4

1 3

3n 1 n 9 2n ? 3 1 n ?1 ( ) ? 3n ? ? 3n ? ?( ) 2 3 4 4 3

1 1 ?解析:. 解: (Ⅰ)取 x ? n ,得 f (n ? 1) ? f (n) ,取 x ? 0 , f (1) ? f (0) ? 1 3
3

故数列 { f (n)} 是首项是 1,公比为 的等比数列,所以 f (n) ? ( ) n ?1 取 x ? n , y ? 1 ,得 g (n ?1) ? g(n) ?2( n ?N )* ,即 g (n ?1) ? g(n) ?2 ,故数列 {g (n)} 是公差为 2 的等 差数列,又 g (5) ? 13 ,所以 g (n) ? 13 ? 2( n ? 5) ? 2 n ? 3 (Ⅱ) cn ? g[ f (n)] ? g[ ( ) n ?1 ] ? n( ) n ?1 ? 3
Sn ? c1 ? c2 ? 1 1 1 ? cn ? 1 ? 2( ) ? 3( )2 ? 4( )3 ? 3 3 3 1 1 ? (n ? 1)( ) n ? 2 ? n( ) n ?1 ? 3n 3 3 n 2 n 1 2 3 1 3

1 3

1 3

1 1 1 1 Sn ? ? 2( )2 ? 3( )3 ? 3 3 3 3

1 1 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? n( ) n ? n ,两式相减得 3 3

2 1 1 1 S n ? 1 ? ? ( ) 2 ? ( )3 ? 3 3 3 3
9 Sn ? [ ? 1 4
n

1 1 ? ( )n 1 n ?1 1 n 3 ? n( 1 ) n ? 2n ? 3 [1 ? ( 1 ) n ] ? n( 1 ) n ? 2n ? ( ) ? n( ) ? 2 n ? 1 3 3 3 2 3 3 1? 3
?1 3 n





1 n ?( 3

3 1 n? 9 ) ? nn ] ? ? n( ? ) ? 2 3 4 9 4

2 4

3

3 3

1

(

)

(Ⅲ) F (n) ? Sn ? 3n ? ?

2n ? 3 1 n ?1 2n ? 3 1 n ?1 2n ? 5 1 n 1 ? ( ) , F (n ? 1) ? F (n) ? ( ) ? ( ) ? (n ? 1)( ) n ? 0 4 3 4 3 4 3 3

所以 F (n) 是增函数,那么 F (n)min ? F (1) ? 1 由于 n lim ??
2n ? 3 9 2n ? 3 1 n ?1 9 9 ? 0 ,则 lim F ( n) ? ,由于 ( ) ? 0 ,则 F (n) ? ,所以 1 ? F (n) ? n ?1 n ?? 3 4 4 3 4 4 9 4
, M ? 3,4,5,

因此当 m ? 1 且 M ? 时, m ? F (n) ? M 恒成立,所以存在正数 m ? 0, ?1, ?2, 使得对任意的正整数,不等式 m ? F (n) ? M 恒成立.此时, (M ? m)min ? 3



1 5 37、(1) f 2 ( x) 不是“平底型”函数(2)实数 x 的范围是 [ , ] ⑶m=1,n=1 2 2

?解析:(1)对于函数 f1 ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ,当 x ? [1, 2] 时, f1 ( x) ? 1 .
当 x ? 1或 x ? 2 时, f1 ( x) ?| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 1 恒成立,故 f1 ( x) 是“平底型”函数.

, 2] 对 于 函 数 f 2 ( x) ? x ? | x ? 2 | , 当 x ? ( ? ? 时 , f 2 ( x )? 2; 当 x ? ( 2 ,? ? ) 时,
f 2 ( x)? 2 x? 2? .2
所以不存在闭区间 [a, b ] ,使当 x ? [a, b] 时, f ( x) ? 2 恒成立.故 f 2 ( x) 不是“平底型”函 数.

| k| ?f( x ) (Ⅱ) 若 | t ?k | ?| t ?k |?

对一切 t ?R 恒成立, 则 (| t ? k | ? | t ? k |)min ?| k | ? f ( x) .

因为 (| t ? k | ? | t ? k |)min ? 2 | k | ,所以 2 | k |?| k | ? f ( x) .又 k ? 0 ,则 f ( x) ? 2 . 因为 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ,则 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 2 ,解得 故实数 x 的范围是 [ , ] . (Ⅲ)因为函数 g ( x) ? mx ?

1 5 ?x? . 2 2

1 5 2 2

x 2 ? 2 x ? n 是区间 [?2, ??) 上的“平底型”函数,则存在区
x 2 ? 2 x ? n ? c 恒成立.

间 [a, b] ? [?2, ??) 和常数 c ,使得 mx ?

?m2 ? 1 ?m ? 1 ?m ? ?1 ? ? ? 2 2 所以 x ? 2 x ? n ? (mx ? c) 恒成立,即 ? ?2mc ? 2 .解得 ?c ? ?1 或 ?c ? 1 . ?n ? 1 ?n ? 1 ?c 2 ? n ? ? ?
?m ? 1 ? 当 ?c ? ?1 时, g ( x) ? x ? | x ? 1| . ?n ? 1 ?
当 x ? [?2, ?1] 时, g ( x) ? ?1 ,当 x ? (?1, ??) 时, g ( x) ? 2 x ? 1 ? ?1 恒成立. 此时, g ( x ) 是区间 [?2, ??) 上的“平底型”函数.

?m ? ?1 ? 当 ?c ? 1 时, g ( x) ? ? x ? | x ? 1| . ?n ? 1 ?
当 x ? [?2, ?1] 时, g ( x) ? ?2 x ? 1 ? 1 ,当 x ? (?1, ??) 时, g ( x) ? 1 . 此时, g ( x ) 不是区间 [?2, ??) 上的“平底型”函数. 综上分析,m=1,n=1 为所求.

38、 (1) f 2 ( x) ?

e?x 不是 ? 函数; (2)在 R 上恒有|f(x)| ≤|x|成立,则函数 f(x) 是 ex ?1

? 函数. ?解析:1)∵|xsinx|≤|x|,∴f1(x)=xsinx 是 ? 函数;
∵ f 2 ( 0) ?

1 e?x ,∴不满足|f(0)|≤|0|,∴ f 2 ( x) ? x 不是 ? 函数; 2 e ?1
2x ?1 x ?a
2

(2)设 F(x) =f(x)-x,则 F′(x)= ①当 x>0 时,∵a>1, ∴

2x 2x 1 ? ? ?1 2 x ?a 2 x a a
2

当 x=0 时,F′(x)=-1<0 ∴当 x≥0 时,F′(x)=

2x ? 1 <0. x ?a
2

∴ F(x)在 ?0,??? 上是减函数 ∴F(x)≤F(0),又 F(0)=f(0)=0,∴F(x)=f(x)-x≤0 ∵x>0 时 f′(x)=

2x ?0 x ?a
2

∴函数 f(x)在 ?0,??? 上是增函数,∴f(x)≥f(0)=0 ∴0≤f(x)≤x,即|f(x)| ≤|x| ②当 x<0 时,-x>0, ∴|f(-x)|≤|-x|,显然 f(x)为偶函数 ∴|f(x)|≤|-x|即|f(x)| ≤|x| ∴在 R 上恒有|f(x)| ≤|x|成立,则函数 f(x) 是 ? 函数.

39、(1)见解析(2)成立 ?解析:(1)函数 f1 ( x) ? x ? 2 不属于集合 A. 因为 f1 ( x) 的值域是 [?2, ??) ,所以函数

f1 ( x) ? x ? 2 不属于集合 A.(或 当x ? 49 ? 0时, f1 (49) ? 5 ? 4 ,不满足条件.)
1 f 2 ( x) ? 4 ? 6 ? ( ) x ( x ? 0) 在集合 A 中, 因为: ① 函数 f 2 ( x) 的定义域是 [0, ??) ; 2
② 函数 f 2 ( x) 的值域是 [?2, 4) ;③ 函数 f 2 ( x) 在 [0, ??) 上是增函数.
x (2) f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) ? 6 ? ( ) (? ) ? 0 ,

1 2

1 4

?不等式f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 f ( x ? 1) 对于任意的 x ? 0 总成立

1 1 1 1 f ( x ? 1) ? ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? ( x ? 2) ? ( x ? 2) 2 ? ;f 2 ( x) ? f1 ( x ? 1) ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 1 1 ∴ f n ( x ) ? n f ( x ? n) ? ? ( x ? n) ? ( x ? n) 2 ? ? 2 2?

40、f1 ( x) ?

?解析:当 x ? I1 = ?1, 2? 时, x ?1??0,1? ,由题意
f1 ( x) ? 1 1 f ( x ? 1) ? ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? ? ?, 2 2

当 x ? I 2 ? ? 2,3? 时, x ?1??1,2? ,由题意

f 2 ( x) ?

1 1 f1 ( x ? 1) ? ? ( x ? 2) ? ( x ? 2) 2 ? ? ?. 2 2

∵ f ( x) ? 2 f ( x ? 1) ? 22 f ( x ? 20 ? … ? 2n f ( x ? n) , ∴ f ( x ? n) ? 2n f ( x) ,
当 x ? I n ? ?n, n ? 1? 时, x ? n ??0,1? ,

∴ f n ( x) ?

1 1 f ( x ? n) ? ? ( x ? n) ? ( x ? n) 2 ? n ? ?. 2 2 9 2 41. 解: (I) f ?( x ) ? x ? 1 a 9 2 当 a ? 0时, f ?( x) ? x ? 1 ? 0, 所以 f ( x) 在 R 上是减函数; a
当 a ? 0时, 解 9 x 2 ? 1 ? 0, 得x ? a 或x ? ? a ; 解 9 x 2 ? 1 ? 0, 得 ? a ? x ? a , a 3 3 a 3 3

a a , )为f ( x) 的减区间,区间 (??,? a )和( a ,??)为f ( x) 的增区间.?5 3 3 3 3 9 3 a2 ?1, 分 (II)在点 (3 a , f (3 a )) 处曲线切线的斜率为 a 9 3 a 2 ? 1)( x ? 3 a ), 切线方程 y ? (3 ? 3 a ) ? ( a
所以, 区间 (? 令 x=0,可得 y=-6, 所以切线恒守定点(0,-6)????9 分 (III)点 ( x1 , f ( x1 )) 处曲线的切线方程为 y ? ( 令 y ? 0, 得x2 ?

3 3 9 x1 ? x1 ) ? ( x12 ? 1)( x ? x1 ) , a a

6 x13 , 9 x12 ? a

x2 ? x1 ?

6 x13 x1 (a ? 3x12 ) , ? x ? 1 9 x12 ? a 9 x12 ? a

因为 a ? 0, x1 ? 所以

a , 所以x1 ? 0,9 x12 ? a ? 0, a ? 3x12 ? 0 , 3

x1 (a ? 3x12 ) ? 0, 所以x2 ? x1 9 x12 ? a

42. (Ⅰ)当-2≤ a < 显然-1≤x1<

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 1 , x2 ? . 时,由 f '( x ) =0 得 x1= 4 2 2

1 1 ?1 ? ?1 ? , <x2≤2,? x1 ? ? , 2? , x2 ? ? , 2? . 2 2 ?2 ? ?2 ?

又 f '( x ) =- 当

? x ? x1 ?? x ? x2 ?
x2

1 ≤x≤x2 时, f '( x ) ≥0, f ( x) 单调递增; 2

当 x2<x≤2 时, f '( x ) <0, f ( x) 单调递减, ∴ f ( x) max= f (x2)= =- 1 ? 4a ? ln

2a 1 ? 1 ? 4a

?

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ? ln 2 2

1 ? 1 ? 4a . 2 7 (Ⅱ)答: 存在 a ? (??, ] 符合条件 4 解: 因为 g ( x) ? [ f ( x) ? ln x] ? x 2 = ax ? x3
不妨设任意不同两点 p1 ( x1 , y1 ), p2 ( x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x2
3 y1 ? y2 a( x1 ? x2 ) ? ( x2 ? x13 ) 2 ? ? a ? ( x12 ? x1 x2 ? x2 ) x1 ? x2 x1 ? x2 2 2 由 k ? 1 知: a ? 1+ ( x1 ? x1x2 ? x2 )

则k ?

因为

3 ?7 ? 2 2 2 ? 3x12 ? x12 ? x1 x2 ? x2 ? 3x2 ? 12 ,所以 1+ ( x12 ? x1x2 ? x2 ) ? ? ,13 ? , 4 ?4 ?
7 4

故存在 a ? (??, ] 符合条件。 43. 解:(1)函数的定义域为 (?1,0) ? (0,??). (2)

f ?? x ? =

1 ? x 1 ? 1 ? ? ? 1 ? ln?x ? 1?? =- 2 ? ? ln?x ? 1?? 2 ? x ? x ?1 x ? x ?1 ? ?


1 >0.ln(x+1)>0。∴ f ?? x ? <0。 x ?1 因此函数 f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
∵x>0,∴x >0, 当 -1<x<0 时 , 记 g ( x) ?

1 1 1 x ? ln(x ? 1), g ' ( x) ? ? ? ? ? 0 ,故 2 x ?1 x ? 1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1)
1 ? 1 ? ? ln?x ? 1?? <0,因此, x2 ? x ? 1 ? ?

g(x)在(-1,0)上是减函数,即知 g(x)>g(0)=1>0,故此时 f ?? x ? =- 函数 f(x)在区间(-1,0)上也是减函数. 综上可知函数 f(x)在 (-1,0)和 (0,??) 上都是减函数 (3) 当x>0时,f(x)>

k 恒成立, 令x=1有k<2 ?1 ? ln 2? x ?1 k (x>0)恒成立. x ?1

又 k 为正整数.∴k 的最大值不大于3. ……..10 分 下面证明当k=3时,f(x)>

即证当x>0时, ?x ? 1? ln?x ? 1? +1-2x>0恒成立.

令g(x)= ?x ? 1? ln?x ? 1? +1-2x,则 g ?? x ? = ln?x ? 1? -1, 当x>e-1时, g ?? x ? >0;当0<x<e-1时, g ?? x ? <0.

∴当x=e-1时,g(x)取得最小值g(e-1)=3-e>0. ∴当x>0时, ?x ? 1? ln?x ? 1? +1-2x>0恒成立. 因此正整数 k 的最大值为3

1 4 log a e, g ?( x) ? log a e . x 2x ? t ? 2 ∵函数 f ( x ) 和 g ( x) 的图象在 x ? 2 处的切线互相平行, ? f ?(2) ? g ?(2) , 1 4 ? log a e ? log a e 2 t?2 ?t ? 6. (Ⅱ) t ? 6 ? F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? 2loga (2 x ? 4)-loga x
44. 解:(Ⅰ)

f ?( x) ?

(2 x ? 4)2 , x ? ?1, 4? x (2 x ? 4)2 16 ? 4 x ? ? 16, x ? ?1, 4? 令 h( x ) ? x x 16 4( x ? 2)( x ? 2) h?( x) ? 4 ? 2 ? , x ? ?1, 4? x x2 ∴当 1 ? x ? 2 时, h ?( x) ? 0 ,当 2 ? x ? 4 时, h ?( x) ? 0 . ? log a
∴ h( x) 在 ?1, 2 ? 是单调减函数,在 ? 2, 4? 是单调增函数.

? h( x)min ? h(2) ? 32 ,?h( x)max ? h(1) ? h(4) ? 36 . ∴当 0 ? a ? 1 时,有 F ( x)min ? log a 36 ,当 a ? 1 时,有 F ( x)min ? log a 32 .
∵当 x ??1, 4? 时, F ( x) ? 2 恒成立, ∴ F ( x)min ? 2 ∴满足条件的 a 的值满足下列不等式组

?0 ? a ? 1, ?a ? 1, ①,或 ? ② ? ?log a 36 ? 2; ?log a 32 ? 2.
不等式组①的解集为空集,解不等式组②得 1 ? a ? 4 2 . 综上所述,满足条件的 a 的取值范围是: 1 ? a ? 4 2 .

2x a 2 ? b ,∴ f ' ( x) ? ? , x ?1 x ? 1 ( x ? 1) 2 ∵函数 f ( x) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? ? x ? 2 , ∴ f ' (0) ? a ? 2 ? ?1 ,∴ a ? 1 (2)∵点 (0, c ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, ∴ c ? 2 ? 0 ,∴ c ? 2 , 2x ? b 的图象上,∴ f (0) ? b ? 2 , ∵ (0,2) 在 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x ?1 2x ? 2( x ? ?1) ∴ f ( x) ? ln( x ? 1) ? x ?1 1 2 x ?1 由(1)得: f ' ( x) ? ? ? ( x ? ?1) , 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2 令 f ' ( x) ? 0 ,则 x ? 1 ,因此函数 f ( x) 的单调递增区间为(1,+∞) , 令 f ' ( x) ? 0 ,则 ? 1 ? x ? 1 ,因此函数 f ( x) 的单调递减区间为(-1,1) ∴当 x ? 1 时,函数 f ( x) 取得极小值 1 ? ln 2
45. 解: (1)∵ f ( x) ? a ln( x ? 1) ?

46. 解:(1)∵ f ( x) ? 2 x3 ? ax 过点 P(2,0), ∴a=-8 f ( x) ? 2 x3 ? 8x ,

f ?( x) ? 6x2 ? 8x ∴切线的斜率 k ? f ?(2) ? 16
∵ g ( x) ? bx2 ? cx 的图像过点 P(2,0), ∴4b+2c=0, ∵ g ?( x) ? 2bx ? c, f ?(2) ? g ?(2) ? 4b ? c ? 16 ,解得:b=8,c=-16 ∴ g ( x) ? 8x2 ?16x

16 (x-2) 切线方程为 y= .即 16x-y-32=0 (2) ∵ F ( x)? m( x ? 2) ? l nx (? 1 )

x? (

1)

1 mx ? m ? 1 ? ( x ? 1) x ?1 x ?1 1 m[ x ? (1 ? )] m ∵m<0 ∴ 1 ? 1 ? 1 当 m<0 时, F ?( x) ? m x ?1 1 1 又 x>1 当 x ? (1,1 ? ) 时 F ?( x) ? 0 当 x ? (1 ? , ??) 时 F ?( x) ? 0 m m 1 ∴F(x)的单调减区间是 (1 ? , ??) m 1 ∴F(x)的单调增区间是(1, 1 ? ) m 1 1 即 m<0 时,F(x)的单调递增区间是(1, 1 ? ),单调减区间是( 1 ? , ?? ) 。 m m 1 x ? 47. 解: (1)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 F ' ( x) = 1 ? , 1? x 1? x ' 当 x ? 0 时, F ( x) ? 0 ,所以函数 F ( x) 在(0, ? ?) 单调递增,又 F ( x) 在 x ? 0 处连续,所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ? 0 , 所以 f ( x) ? g ( x) 。 kx (2)设 G ( x) ? g ( x) ? , k?x k2 则 G ( x) 在(0, ? ?) 恒大于 0, G ( x) ? ln(1 ? x) ? k ? , k?x 1 k2 x 2 ? (2k ? k 2 ) x , G ' ( x) ? ? ? 1 ? x ( k ? x) 2 (1 ? x)(k ? x) 2 F ?( x) ? m ?

x 2 ? (2k ? k 2 ) x ? 0 的根为 0 和 k 2 ? 2k , 2 即在区间(0, ? ?) 上, G' ( x) ? 0 的根为 0 和 k ? 2k , 2 2 若 k ? 2k ? 0 ,则 G ( x) 在 (0, k ? 2k ) 单调递减, 且 G (0) ? 0 ,与 G ( x) 在(0, ? ?) 恒大于 0 矛盾; 2 若 k ? 2k ? 0 , G ( x) 在(0, ? ?) 单调递增, 2 且 G (0) ? 0 ,满足题设条件,所以 k ? 2k ? 0 ,所以 0 ? k ? 2. 。
48. 解: (1)设直线 y=6x+1, 和 y=x +bx +cx+d 相切于点 P(x0,y0) ∵f(x)=x +bx +cx+d 有两个极值点 x1=1,x2=2, 于是 f '(x)=3x +2bx+c=3(x-1)(x-2)=3x -9x+6
2 2 3 2 3 2

9 从而 b=- , c=6 2 y0=6x0+1 ① 9 2 9 3 3 2 (2)又 f(x)=x - x +6x+d, 且 P(x0,y0)为切点, 则 y0=x0 - x0 +6x0+d ② 2 2 2 3x0 -9x0+6=6 ③ 9 2 3 由③求得 x0=0 或 x0=3, 由①②联立知 d=1+ x0 -x0 . 在 x0=0 时, d=1; 在 x0=3 2 时, d= 29 9 2 9 2 29 3 3 ∴f(x)= x - x +6x+1, 或 f(x)= x - x +6x+ 2 2 2 2

? ? ?

(3)当 d 为整数时,d=1 符合条件, 此时 P 为(0,1) 9 2 3 设过 P(0,1)的直线 l : y=kx+1 和 y= x - x +6x+1,相切于另一点(x1,y1).则 2

?y =kx +19④ ? y= x -2x +6x +1 ⑤ ?k=3x -9x +6 ⑥
1 1 3 2 1 1 1 2 1 1 2

9 2 9 3 2 由④⑤及 x1≠0, 可知: kx1=x1 - x1 +6x1 即 k=x1 - x1+6 2 2
2

再联立⑥可知 k=x1 -x1+6=3x1 -9x1+6,又 x1≠0, 9 15 ∴x1= , 此时 k= 4 16 故切线方程为: y= 15 x+1 . 16

49. 解:(1)∵当 a=1 时 f ? ? x ? ? 3x2 ? 3 ,令 f ? ? x ? =0,得 x=0 或 x=1?????????2 分 当 x ? ? 0,1? 时 f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? ??,0? ∴ f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,在 ? ??,0?

?1, ??? 时 f ? ? x ? ? 0

?1, ??? 上单调递增,

∴ f ? x ? 的极小值为 f ?1? =-2.????????????????????????4 分 (2)∵ f ? ? x ? ? 3x2 ? 3a ? ? 3a ????????????????????????6 分 ∴要使直线 x ? y ? m =0 对任意的 m ? R 总不是曲线 y ? f ( x) 的切线,当且仅当-1<-3a, ∴a?

1 .??????????????????????????????????8 分 3

(3)因 g ? x ? ? f ? x ? ? x3 ? 3ax 在[-1,1]上为偶函数,故只求在 [0,1]上最大值,????9 分 ① 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增且 f ? 0? ? 0 , ∴ g ? x ? ? f ? x ? ? f ? x ? ,∴ F ?a ? ? f ?1? ? 1? 3a .????????????????10 分 ② 当a ? 0 时 i
2 f ? ? x? ? 3 x ? 3 a? 3 x?

?

??a

x ?

?

a

. 当 a ? 1 , 即 a ? 1 时 g ? x ? ? f ? x ? ? ? f ? x ? , ? f ? x ? 在 ?0,1? 上 单 调 递 增 , 此 时

F ? a ? ? ? f ?1? ? 3a ? 1 ??????????????????????????12 分

ii. 递增.

? ? ? 当 0 ? a ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时, g ? x ? ? f ? x ? 在 ? ? 0, a ? 上单调递减,在 ? a ,1? 上单调

1 ? 10 当 f ?1? ? 1 ? 3a ? 0 即 ? a ? 1 时, g ? x ? ? f ? x ? ? ? f ? x ? 在 ? ? 0, a ? 上单调递增,在 3
? a ,1? 上单调递减,故 F ? a ? ? ? f ? ?
20 当 f ?1? ? 1 ? 3a ? 0 即 0 ? a ? (ⅰ)当 ? f

? a ? ? 2a

a .??????????????14 分

1 时, 3
F ? a ? ? f ?1? ? 1 ? 3a
a

时, ? a ? ? f ?1? ? 1 ? 3a 即 0 ? a ? 1 4

(ⅱ) 当 ? f

1 ? a ? 时, F ? a ? ? ? f ? a ? ? 2a ? a ? ? f ?1? ? 1 ? 3a 即 1 4 3

1 ? ?1 ? 3a, ( a ? 4 ), ? 1 ? F a ? 综上 ? ? ? 2a a , ( ? a ? 1), ?????????????????? 4 ? ?3a ? 1,[1, ?? ). ? ?
50. 解: (Ⅰ)三个函数的最小值依次为 1 , 1 ? t , 1 ? t ,???????? ?3 分 由 f (1) ? 0 ,得 c ? ?a ? b ? 1 ∴

f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ? x3 ? ax2 ? bx ? (a ? b ? 1) ? ( x ?1)[ x2 ? (a ? 1) x ? (a ? b ? 1)] ,

故方程 x2 ? (a ? 1) x ? (a ? b ? 1) ? 0 的两根是 1 ? t , 1 ? t . 故 1 ? t ? 1 ? t ? ?(a ? 1) , 1 ? t ? 1 ? t ? a ? b ? 1.………………………4 分

( 1 ? t ? 1 ? t )2 ? (a ? 1)2 ,即 2 ? 2(a ? b ? 1) ? (a ? 1)2


a2 ? 2b ? 3 . …………………………………………………………5 分
2

(Ⅱ)①依题意 x1 , x2 是方程 f '( x) ? 3x ? 2ax ? b ? 0 的根, 故有 x1 ? x2 ? ?
2

2a b , x1 x2 ? , 3 3

且△ ? (2a) ?12b ? 0 ,得 b ? 3 .

2 a 2 ? 3b 2 3 ? b 由 | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ………………………7 分 ? 3 3
2

2 2 3?b ? ;得, b ? 2 , a2 ? 2b ? 3 ? 7 . 3 3
由(Ⅰ)知 1 ? t ? 1 ? t ? ?(a ? 1) ? 0 ,故 a ? ?1 , ∴ ∴

a ? ? 7 , c ? ?(a ? b ?1) ? 7 ? 3

f ( x) ? x3 ? 7 x2 ? 2x ? 7 ? 3 .…………………………………………9 分

3 3 2 ② | M ? N |?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ?| ( x1 ? x2 ) ? a( x12 ? x2 ) ? b( x1 ? x2 ) |

?| x1 ? x2 | ? | ( x1 ? x2 )2 ? x1x2 ? a( x1 ? x2 ) ? b |
? 2 3?b 2a b 2a | ( ? ) 2 ? ? a ? (? ) ? b | 3 3 3 3
3 4 4 9 ? a2 3 )2 ) (3 ? b) 2 (或 ( . 27 2 27

?

………………………………………11 分

由(Ⅰ) (a ? 1)2 ? ( 1 ? t ? 1 ? t )2 ? 2 ? 2 1 ? t 2 ∵ ∴

0 ? t ?1,

2 ? (a ? 1)2 ? 4 ,

又 a ? ?1 , ∴

?2 ? a ? 1 ? ? 2 ,

?3 ? a ? ? 2 ?1 , 3 ? 2 2 ? a2 ? 9 (或 2 ? b ? 3 ) …………………13 分

3 4 0 ?| M ? N |? (3 ? 2) 2 .…………………………………15 分 27

51. .解:(1)因为函数 f(x)在(-∞,+∞)上为单调递增函数, 所以 f′(x)=x2+ax+a>0 在(-∞,+∞)上恒成立. 由 Δ=a2-4a<0,解得 0<a<4.

4分

1 3 x -2 在(-∞,+∞)上为单调递增函数; 3 14 1 1 当 a=4 时,f(x)= x3+2x2+4x-2= (x+2)3在(-∞,+∞)上为单调递增函数, 3 3 3
又当 a=0 时,f(x)= 所以 0≤a≤4. (2)依题意,方程 f′(x)=0 有两个不同的实数根 x1、x2, 由 Δ=a2-4a>0,解得 a<0 或 a>4,且 x1+x2=-a,x1x2=a. 所以 f(x1)-f(x2)=[ 6分 8分

1 2 1 (x1 +x1x2+x22)+ a(x1+x2)+a](x1-x2). 3 2

所以

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 1 1 1 1 2 5 = [(x1+x2)2-x1x2]+ a(x1+x2)+a= (a2-a)+ a(-a)+a=- a2+ a≥- . 3 2 3 2 6 3 6 x1 ? x2

解之,得-1≤a≤5. 所以实数 a 的取值范围是-1≤a<0 或 4<a≤5. 52. 解: (1)依题意,对任意实数 x 都有: f (? x) ? ? f ( x) , 可得: f (0) ? 0 ,b=0;?(2 分) ? f ( x) ? ax3 ? 3cx, f / ( x) ? 3ax2 ? 3c ?(3 分) 又当 x ? 1 时, f ( x)取极小值- 2 , 3 所以: f ?(1) ? 3a ? 3c ? 0 , f (1) ? a ? 3c ? ? 解得: a ?

2 .?(5 分) 3

1 1 1 1 , c ? ? ,故 a ? , b ? 0, c ? ? .?(6 分) 3 3 3 3

(2)当 x ? ?? 1 , 1 ?时,图象上不存在两点,使得在这两点处的切线互相垂直. 假设当 x ? ?? 1 , 1 ?时,图象存在两点 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,使得在这两点处的切线互相 垂直.设这两条切线的斜率分别为 k 1 和 k 2 ,则有 k1k 2 ? ?1 .?(8 分) 则由 f ( x) ? x ? 1知这两点处的切线的斜率分别为: k1 ? x12 ?1, k2 ? x22 ?1 ,且
/ 2

k1k2 ? ( x12 ?1)( x22 ?1) ? ?1

(?) ?(10 分)

x1, x2 ???1 , 1 ?, ? x12 ?1 ? 0, x22 ?1 ? 0, ?( x12 ?1)( x22 ?1) ? 0
这与(*)相矛盾,故假设不成立.?(13 分) 所以当 x ? ?? 1 , 1 ?时,图象上不存在两点,使得在这两点处的切线互相垂直.?(14 分) 53. 解: (Ⅰ) ∵ f(x)= x3 +(m2-4m + 2)x + m3-6m2 + 9m-1, ∴ f ′(x)= 3x2 +(m2-4m + 2) . 因为 f(x)有极值,故 f ′(x)= 0 有两个不同的实数根, ∴ m2-4m + 2<0, ∴ 2 ? 2 ? m ? 2 ? 2 . ?????? 4 分 (Ⅱ)设 f ′(x)= 0 的实数根为?,?(?<?) ,则 ? +? = 0. 于是 g(m)= f(?)+ f(?) = ?3 + ?3 +(m2-4m + 2) (? + ?)+ 2(m3-6m2 + 9m-1) =(? + ?) (?2-?? + ?2)+(m2-4m-2) (? + ?)+ 2(m3-6m2 + 9m-1) , 由 ? +? = 0 得 g ( m ) = 2 ( m3 - 6m2 + 9m - 1 ) , (2? 2 ? m ? 2? 2 ) . 8分 ∴ g ′(m)= 6(m2-4m + 3) ,由 g ′(m)= 0,得 m = 1,3. m 1 3 ? ? ? 2? 2 g ′(m) + 0 0 + - g(m) ??????

2? 2

2(1 ? 2 )

6

-2

2(1 ? 2 )

由上表得,最大值 g(1)= 6,最小值 g(3)=-2. ????12 分
2 54. 解(I) f ?( x) ? 3ax ? 3(a ? 2) x ? 6 ? 3a( x ? )( x ? 1) ,??????2 分

3 2

? a ? 2,?
当x ?

2 ?1 a

2 2 或x ? 1时, f ?( x) ? 0, 当 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0. ??????4 分 a a 2 2 ? f ( x)在(?? , ), (1,?? )内单调递增 , 在( ,1) 内单调递减, a a a 故 f ( x)的极小值为 f (1) ? ? . ????????????????6 分 2
(II)①当 a ? 0时,?3( x ? 1) 2 ? 0 ,只有一根;??????????7 分 ②当 a ? 0时, 当

2 2 ? 1, 当x ? 或x ? 1时, f ?( x) ? 0 , a a

2 a ? x ? 1时, f ?( x) ? 0. ? f ( x)极大值为 f (1) ? ? ? 0 , a 2 2 极小值 f ( ) ? 0,? f ( x ) ? 0 有三个根;????????????9 分 a 2 2 ③当 0 ? a ? 2时, ? 1, 当x ? 1或x ? 时, f ?( x) ? 0 , a a 2 当 1 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 , a a ? f ( x)极 大 值 为 f (1) ? ? ? 0,? f ( x) ? 0 有一个根;??????10 分 2
④当 a ? 2时, f ?( x) ? 6( x ? 1) 2 ? 0. ? f ( x) ? 0 有一个根??????11 分 ⑤当 a ? 2时 ,由(I) f ( x)极大值为 f ( ) ? ?4(

2 a

1 3 2 3 ? ) ? ? 0, a 4 4

f ( x) ? 0 有一个根
综上:当 a ? 0时, f ( x) ? 0 有一根; 当 a ? 0时, f ( x) ? 0 有三个根. ???????????????12 分 55. 解:(1) f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? ax
3 2

1 3 (a ? ) 2 ? 1? a 2 (1 ? a) 1? a 2 2 4 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a ? 3( x ? ) ?a? ? 3( x ? ) ? 3 3 3 3
2

所以方程 f ( x) ? 0 有两个不同的实数解 x1 , x 2 , f ( x) ? 3( x ? x1 )(x ? x2 )
' '

不妨设 x1 ? x 2 ,则在区间 (??, x1 ) 和 ( x2 ,??) 上, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 是增函数;在区间

( x1 , x2 ) 上, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 是减函数;
故 x1 是极大值点, x2 是极小值点。
3 3 2 (2) 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 得: x1 ? x2 ? (1 ? a)(x12 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 0

即 ( x1 ? x2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 3x1 x2 ] ? (1 ? a)[(x1 ? x2 ) 2 ? 2x1 x2 ] ? a( x1 ? x2 ) ? 0

2 ? x1 ? x 2 ? (1 ? a ) ? ? 3 又 ? 且a ?1 ?x x ? a 1 2 ? 3 ?
所以

2 4 4 2a 2(1 ? a)a (1 ? a )[ (1 ? a) 2 ? a] ? (1 ? a)[ (1 ? a) 2 ? ] ? ?0 3 9 9 3 3

整理得

2a 2 ? 5a ? 2 ? 0

解得 a ? 2

所以当 a ? 2 时,不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立。 56. 解 : ( Ⅰ )

1 3 f ( x) ? ? x 3 ? x, f ?( x) ? ? x 2 ? 1 ? 0 2 2



?x ?

6 3

??????2 分

当 x ? [0,2] 时, f ( x) max ? f ( 4分 (Ⅱ) f ?( x) ? ? 6分 由 f ?( x) ? ? 8分

6 2 6 )? , f ( x) min ? f (2) ? ?2 , 3 9

????

3 2 3 x ? t ? 0得t ? x 2 , ? t ? 6, f ( x) 是单调增函数; 2 2

??????

3 2 3 x ? t ? 0得t ? x 2 , ? t ? 0, f ( x) 是单调减函数; 2 2

??????

(Ⅲ) | f ( x) | 是偶函数,对任意 x ? [?2,2] 都有 | f ( x) |? 6 成立

? 对任意 x ? [0,2] 都有 | f ( x) |? 6 成立
1°由(Ⅱ)知当 t ? 0 或 t ? 6 时, f ( x) 是定义域上的单调函数, 对任意 x ? [0,2] 都有 | f ( x) |? 6 成立 ?| f (2) |? 6 ?| 2t ? 4 |? 6 ? ?1 ? t ? 5

? ?1 ? t ? 0 时,对任意 x ? [?2,2] 都有 | f ( x) |? 6 成立
10 分 2 ° 当

????

0?t ?6





f ( x) ? tx ?

1 3 1 x ? ? x( x 2 ? 2t ) 2 2





3 6t f ?( x) ? ? x 2 ? t ? 0得x ? ?2 2 3
? ? 6t ? 6t ? ? f ( x)在?0, ,2? 在上是单调减函数,∴对任意 x ? [0,2] 都 ? 上是单调增函数 ? 3 3 ? ? ? ?

?? 1 ? t ? 5 ?? 1 ? t ? 5 ?| f (2) |? 6 ? ? ? ? ? 2 6t 3 ?? 有 | f ( x) |? 6成立 ? ? 243 6t )?6 ?6 ?f( ? ?0 ? t ? 3 2 3 ? ? ? 9

?0 ? t ? 3


243 2











x ? [?2,2]





| f ( x) |? 6



??????12 分 综 上 可 知 , 当 ?1 ? t ?
3

243 时 , 对 任 意 x ? [?2,2] 都 有 | f ( x) |? 6 成 2



.??14 分 57.解: f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? a (a ? 0). ???1 分
2 2

(1)? x1 ? ?1, x2 ? 2 是函数 f(x)的两个极值点,

? f ?(?1) ? 0, f ?(2) ? 0. ????????????????????????2 分

?3a ? 2b ? a 2 ? 0,12a ? 4b ? a 2 ? 0, 解得a ? 6, b ? ?9. ?????????3 分 ? f ( x) ? 6x 3 ? 9x 2 ? 36x. ??????????????????????4 分
(2)∵x1、x2 是 f(x)是两个极值点,? f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 0. ∴x1、x2 是方程 3ax ? 2bx ? a ? 0 的两根.
2 2

∵△= 4b2 + 12a3, ∴△>0 对一切 a > 0, b ? R 恒成立.

x1 ? x 2 ? ? ? a ? 0,

2b a , x1 ? x 2 ? ? , 3a 3 ? x1 ? x 2 ? 0.

? | x1 | ? | x2 |?| x1 ? x2 |? (?

2b 2 a 4b 2 4 ) ? 4(? ) ? ? a . ????????6 分 3a 3 9a 2 3

4b 2 4 由 | x1 | ? | x2 |? 2 2 得 ? a ? 2 2 , ? b 2 ? 3a 2 (6 ? a). ?????? 7 2 3 9a


? b 2 ? 0, ? 3a 2 (6 ? a) ? 0, 0 ? a ? 6. ???????????????? 8 分
令 h(a) ? 3a 2 (6 ? a),则h?(a) ? ?9a 2 ? 36a.

0 ? a ? 4时, h?(a) ? 0 ? h(a) 在(0,4)内是增函数; 4 ? a ? 6时, h?(a) ? 0
∴h (a)在(4,6)内是减函数.

∴a = 4 时,h(a)有极大值为 96,? h(a)在?0,6? 上的最大值是 96, ∴b 的最大值是 4 6. ?????????????????????????10 分 (3)证法一:∵x1、x2 是方程 f ?( x) ? 0 的两根,

? f ?( x) ? 3a( x ? x1 )(x ? x2 ) ,???????????????????? 12 分

1 ? | g ( x) |? 3a | x ? x1 | ? | x ? x2 ? |? 3a( 3
? x1 ? x ? x 2 ,? x ? x1 ? 0, x ? x 2 ? 0,

1 | x ? x1 | ? | x ? x2 ? | 3 ) 2 ???? 14 分 2

3a 1 3a 1 [(x ? x1 ) ? ( x ? x 2 ? )]2 ? ( x 2 ? x1 ? ) 2 . 4 3 4 3 a 1 ? x1 ? x 2 ? ? , x 2 ? a, ? x1 ? ? . 3 3 ?| g ( x) |?
?| g ( x) |? 3a 1 1 1 ? (a ? ? ) 2 ? a(3a ? 2) 2 . ??????????????16 分 4 3 3 12

证法二:∵x1、x2 是方程 f ?( x) ? 0 的两根,

? f ?( x) ? 3a( x ? x1 )(x ? x2 ) .???????????????????? 12 分
a 1 ? x1 ? x 2 ? ? , x 2 ? a, ? x1 ? ? . 3 3 1 1 1 ?| g ( x) |?| 3a( x ? )( x ? a) ? a( x ? ) | . ?| a( x ? )[ 3( x ? a) ? 1] | 3 3 3
∵x1 < x < x2,

1 ?| g ( x) |? a ( x ? )( ?3 x ? 3a ? 1) ??????????????????? 14 分 3

1 3a ? 1 ? ?3a ( x ? )(x ? ) 3 3 a 3a 3 1 ? ?3a ( x ? ) 2 ? ? a2 ? a 2 4 3
? 3a 3 1 a(3a ? 2) 2 ? a2 ? a ? ?????????????????16 分 4 3 12

58. 解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? 3ax 2 ? 6 x ? 6a ,所以 f ?(?1) ? 0 即 3a ? 6 ? 6a ? 0 ,所以 a=-2. (Ⅱ)因为直线 m 恒过点(0,9). 2 先求直线 m 是 y=g(x) 的切线.设切点为 ( x0 ,3x0 ? 6x0 ? 12) ,因为 g ?( x0 ) ? 6 x0 ? 6 .
2 所以切线方程为 y ? (3x0 ? 6x0 ? 12) ? (6x0 ? 6)( x ? x0 ) ,将点(0,9)代入得 x 0 ? ?1 . 当 x 0 ? ?1 时,切线方程为 y=9, 当 x 0 ? 1 时,切线方程为 y=12x+9.

由 f / ( x) ? 0 得 ? 6 x ? 6 x ? 12 ? 0 ,即有 x ? ?1, x ? 2 当 x ? ?1 时, y ? f ( x) 的切线 y ? ?18 ,
2

当 x ? 2 时, y ? f ( x) 的切线方程为 y ? 9 ? y ? 9 是公切线,
2 又由 f / ( x) ? 12得 ? 6 x ? 6 x ? 12 ? 12 ? x ? 0 或 x ? 1 , 当 x ? 0 时 y ? f ( x) 的切线为 y ? 12x ? 11,

当 x ? 1 时 y ? f ( x) 的切线为 y ? 12x ? 10,? y ? 12x ? 9 ,不是公切线 综上所述 k ? 0 时 y ? 9 是两曲线的公切线
2 (Ⅲ).(1) kx ? 9 ? g ( x) 得 kx ? 3x ? 6 x ? 3 ,当 x ? 0 ,不等式恒成立, k ? R .

当 ? 2 ? x ? 0 时,不等式为 k ? 3( x ? 而 3( x ?

1 ) ? 6, x

1 1 ) ? 6 ? ?3[(? x) ? ] ? 6 ? ?3 ? 2 ? 6 ? 0 ? k ? 0 x (? x) 1 1 当 x ? 0 时,不等式为 k ? 3( x ? ) ? 6 ,? 3( x ? ) ? 6 ? 12 ? k ? 12 x x ? 当 x ? ?2 时, kx ? 9 ? g ( x) 恒成立,则 0 ? k ? 12
(2)由 f ( x) ? kx ? 9 得 kx ? 9 ? ?2 x ? 3x ? 12x ? 11
3 2
2 当 x ? 0 时, 9 ? ?11 恒成立, k ? R ,当 ? 2 ? x ? 0 时有 k ? ?2 x ? 3 x ? 12 ?

20 x

20 3 2 105 20 ? = ? 2( x ? ) ? , x 4 8 x 3 2 105 20 当 ? 2 ? x ? 0 时 ? 2( x ? ) ? 为增函数, ? 也为增函数? h( x) ? h(?2) ? 8 4 8 x ? 要使 f ( x) ? kx ? 9 在 ? 2 ? x ? 0 上恒成立,则 k ? 8 由上述过程只要考虑 0 ? k ? 8 , / 2 则当 x ? 0 时 f ( x) ? ?6 x ? 16x ? 12 = ? 6( x ? 1)(x ? 2) ? 在 x ? (0,2] 时 f / ( x) ? 0 ,在 (2,??) 时 f / ( x) ? 0 ? f ( x) 在 x ? 2 时有极大值即 f ( x) 在 (0,??) 上 的 最 大 值 , 又 f (2) ? 9 , 即 f ( x) ? 9 而 当 x ? 0 , k ? 0 时 kx ? 9 ? 9 , ? f ( x) ? kx ? 9 一定成立
设 h( x) ? ?2 x ? 3 x ? 12 ?
2

综上所述 0 ? k ? 8 .

59. 解: (Ⅰ) f '( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 。依题意则有:

? f (1) ? 4 ?1 ? a ? b ? 4 ?a ? ?6 ,所以 ? ,解得 ? ,所以 f ( x) ? x3 ? 6 x2 ? 9 x ; ? f '(1) ? 0 3 ? 2 a ? b ? 0 b ? 9 ? ? ?
f '( x) ? 3x2 ?12x ? 9 ? 3( x ?1)( x ? 3) ,由 f '( x) ? 0 可得 x ? 1 或 x ? 3 。
f '( x), f ( x) 在区间 (0, 4] 上的变化情况为:

x
f '( x)

0

(0,1)

1

(1,3)

3

(3, 4)

4

+

0



0

+

f ( x)

0

增 函数

4

减 函数

0

增 函数

4

所以函数 f ( x) ? x3 ? 6 x2 ? 9 x 在区间 [0, 4] 上的最大值是 4,最小值是 0。 (Ⅱ)由函数的定义域是正数知, s ? 0 ,故极值点 (3, 0) 不在区间 [ s, t ] 上;

1≤t ? 3 ,在此区间上 f ( x) 的最大值 (1)若极值点 M (1, 4) 在区间 [ s, t ] ,此时 0 ? s≤
是 4,不可能等于 t ;故在区间 [ s, t ] 上没有极值点; (2)若 f ( x) ? x3 ? 6 x2 ? 9 x 在 [ s, t ] 上单调增,即 0 ? s ? t≤1 或 3 ? s ? t ,
3 2 ? ? f ( s) ? s ?s ? 2 ? s ? 6s ? 9s ? s 则? ,即 ? 3 ,解得 ? 不合要求; 2 ? ? f (t ) ? t ?t ? 4 ?t ? 6t ? 9t ? t

(3)若 f ( x) ? x3 ? 6 x2 ? 9 x 在 [ s, t ] 上单调减,即 1≤s ? t≤3 ,则 ? 两式相减并除 s ? t 得: (s ? t ) ? 6(s ? t ) ? st ? 10 ? 0 ,
2

? f ( s) ? t , ? f (t ) ? s


两式相除并开方可得 [s(s ? 3)] ? [t (t ? 3)] ,
2 2

即 s(3 ? s) ? t (3 ? t ) ,整理并除以 s ? t 得: s ? t ? 3 , 则①、②可得 ?



?s ? t ? 3 2 ,即 s , t 是方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的两根, ?st ? 1

即存在 s ?

3? 5 3? 5 ,t ? 满足要求; 2 2

(Ⅲ)同(Ⅱ) ,极值点 (3, 0) 不可能在区间 [ s, t ] 上;

1≤t ? 3 , (1)若极值点 M (1, 4) 在区间 [ s, t ] ,此时 0 ? s≤

? ? ? 故有① ? ? ? ?

0 ? s≤1≤t ? 3 kt ? 4 ks ? f ( s) f ( s)≤f (t )

? ? ? 或② ? ? ? ?

0 ? s≤1≤t ? 3 kt ? 4 ks ? f (t ) f ( s)≥f (t )

①由 k ?

4 4 , 1≤t ? 3 知, k ? ( , 4] ,当且仅当 t ? 1 时, k ? 4 ; t 3

再由 k ? (s ? 3)2 , 0 ? s≤1 知, k ? [4,9] ,当且仅当 s ? 1 时, k ? 4 由于 s ? t ,故不存在满足要求的 k 值。 ②由 s ?

1 t t (3 ? t ) 2 f (t ) ? f (t ) ? [ ] ,及 0 ? s≤1 可解得 2≤t ? 3 , k 4 2 4 4 所以 k ? , 2≤t ? 3 知, k ? ( , 2] ; t 3 4 4 1 t t (3 ? t ) 2 ] ? (0,1] , 即当 k ? ( , 2] 时,存在 t ? ? [2,3) , s ? f (t ) ? f (t ) ? [ 3 k k 4 2 4 且 f ( s )≥4 s ? f (t ) ? f (t ) ,满足要求。 k

(2)若函数 f ( x ) 在区间 [ s, t ] 单调递增,则 0 ? s ? t≤1 或 3 ? s ? t ,

且?

? f ( s) ? ks 2 ,故 s , t 是方程 x ? 6 x ? 9 ? k 的两根, ? f (t ) ? kt

由于此方程两根之和为 3,故 [ s, t ] 不可能同在一个单调增区间; (3)若函数 f ( x ) 在区间 [ s, t ] 单调递减,即 1≤s ? t≤3 , ? 两式相除并整理得 s (s ? 3) ? t (t ? 3) ,
2 2 2 2

? f ( s ) ? kt , ? f (t ) ? ks

由 1 ? s ? t ? 3 知 s(s ? 3) ? t (t ? 3) ,即 s ? t ? 3 , 再将两式相减并除以 s ? t 得,

?k ? (s 2 ? st ? t 2 ) ? 6(s ? t ) ? 9 ? (s ? t )2 ? 6(s ? t ) ? 9 ? st ? ?st ,
即 k ? st ? (

s?t 2 9 ) ? 。 2 4

2 即 k ? (0, ) , s , t 是方程 x ? 3x ? k ? 0 的两根,

9 4

即存在 s ?

3 ? 9 ? 4k 3 ? 9 ? 4k ,s ? 满足要求。 2 2
9 时 , 存 在 两 个 不 等 正 数 s , t ( s ? t ) , 使 x ? [ s, t ] 时 , 函 数 4

综上可得,当 0 ? k ?

f ( x) ? x3 ? 6x2 ? 9x 的值域恰好是 [ks, kt ] 。
60. (Ⅰ)解:∵函数 f(x)=x4+ax3+bx2+c,在 y 轴上的截距为-5, ∴c=-5. ∵函数 f(x)在区间[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减, ∴x=1 时取得极大值,又当 x=0,x=2 时函数 f(x)取得极小值. ∴x=0,x=1, x=2 为函数 f(x)的三个极值点, 即 f'(x)=0 的三个根为 0,1,2, ∴f '(x)=4x3+3ax2+2bx=4x(x-1)(x-2))=4x3-12x2+8x. ∴a=-4,b=4, ∴函数 f(x)的解析式: f(x)=x4-4x3+4x2-5. (Ⅱ)解:若函数 f(x)存在垂直于 x 轴的对称轴,设对称轴方程为 x=t, 则 f(t +x)=f(t-x)对 x∈R 恒成立. 即: (t +x)4-4(t +x)3+4(t +x)2-5=(t-x)4-4(t-x)3+4(t-x)2-5. 化简得(t-1)x3+( t2-3 t +2)x=0 对 x∈R 恒成立. ?t-1=0, ∴? 2 ∴t=1 ?t -3 t +2=0. 即函数 f(x)存在垂直于 x 轴的对称轴 x=1. (Ⅲ)解:x4-4x3+4x2-5=λ2x2-5 恰好有三个不同的根, 即 x4-4x3+4x2-λ2x2=0 恰好有三个不同的根, 即 x2(x2-4x+4-λ2)=0,∵x=0 是一个根, ∴方程 x2-4x+4-λ2=0 应有两个非零的不相等的实数根, ∴△=16-4(4-λ2)=4λ2>0,且 x1x2=4-?2≠0,∴?≠0,-2,2. 若存在实数 m,使得不等式 m2+tm+2≤|x1-x2|对任意 t∈[-3,3], λ∈A 恒成立. ∵|x1-x2|= (x1-x2)2-4 x1x2=2|?|>0, 要使 m2+tm+2≤|x1-x2|对任意 t∈[-3,3], λ∈A 恒成立, 只要 m2+tm+2≤0 对任意 t∈[-3,3] 恒成立, 令 g(t)=tm +m2+2 , 则 g(t)是关于 t 的线性函数.
?g(-3) ≤ 0, ?1≤m≤2, ∴只要? 解得? g (3) ≤ 0 . ? ?-2≤m≤-1.

∴不存在实数 m,使得不等式 m2+tm+2≤|x1-x2|对任意 t∈[-3,3], λ∈A 恒成立. 61. (Ⅰ)∵f′(x)=3x2+2bx+c, 由 f(x)在 x=1 时,有极值-1 得 ?

? f ' (1) ? 0, ? f (1) ? ?1.
(3 分)

(2 分)

即?

?3 ? 2b ? c ? 0, ?b ? 1, 解得? ?1 ? b ? c ? 2 ? ?1. ?c ? ?5.

当 b=1,c=-5 时, f′(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-1),

当 x>1 时,f′(x)>0, 当-

5 <x<1 时,f′(x)<0. 3

从而符合在 x=1 时,f(x)有极值,∴ ?

?b ? 1, (4 分) ?c ? ?5.

(Ⅱ)假设 f(x)图像在 x=t 处的切线与直线 (b2-c)x+y+1=0 平行, ∵f′(t)=3t2+2bt+c, 直线(b2-c)x+y+1=0 的斜率为 c-b2, ∴3t2+2bt+c=c-b2,(7 分) 即 3t2+2bt+b2=0. ∵Δ=4(b2-3b2)=-8b2, 又∵b≠0, ∴Δ<0. 从而方程 3t2+2bt+b2=0 无解, 因此不存在 t,使 f′(t)=c-b2, 却 f(x)的图像不存在与直线(b2-c)x+y+1=0 平行的切线.(9 分) (Ⅲ)证法一:∵|f'(x)|=|3(x+

b 2 b2 ) +c|, 3 3

①若|-

b |>1,则 M 应是|f′(-1)|和|f′(1)|中最大的一个, 3 3 . (11 分) 2
b )| 3

∴2M|≥f′(-1)|+|f′(1)|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥|4b|>12, ∴M>6,从而 M≥

②当-3≤b≤0 时,2M≥|f′(-1)+|f′(-

=|3-2b+c|+|c-

1 3 b2 b2 |≥| -2b+3|=| (b-3)2|≥3,所以 M≥ . 3 2 3 3 b b2 b2 )|=|3+2b+c|+|c|≥| +2b+3| 3 3 3

③当 0<b≤3 时,2M≥|f′(1)|+|f′(-

1 3 (b+3)2|>3,∴M≥ . 3 2 3 综上所述,M≥ . (14 分) 2
=| 证法二:f′(x)=3x2+2bx+c 的顶点坐标是( ?

b 3c ? b 2 , ), 3 3

①若|-

b |>1,则 M 应是|f′(-1)|和|f′(1)|中最大的一个, 3

∴2M≥|f′(-1)|+|f′(1)|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥4|b|>12,

∴M>6,从而 M≥

3 . (11 分) 2

②若|-

b 3c ? b 2 |≤1,则 M 是|f′(-1)|、|f′(1)|、| |中最大的一个. 3 3

(i)当 c≥-

3 3 时,2M≥|f′(1)|+|f′(-1))|≥|f′(1)|+f′(-1)|=|6+2c|≥3,∴M≥ . 2 2
3 3 3c ? b 2 b 2 |? 时,M≥ | -c≥-c> , 2 2 3 3

(2)当 c<-

综上所述,M≥

3 成立. (14 分) 2

证法三:∵M 是|f′(x)|,x∈[-1,1]的最大值, ∴M≥|f′(0)|,M≥|f′(1)|,M≥|f′(-1)|.(11 分) ∴4M≥2|f′(0)|+|f′(1)|+|f′(-1)|≥|f′(1)+f′(-1)-2f′(0)|=6,即 M≥ 62. 解: (1)

3 . (14 分) 2


f (?1) ? f (1) ,∴ 1 ? a ? 2 ? a ?1
1 a

又 f ( ? ) ? f ( ) ,∴ 1 ?

1 a

1 1 ? ? 1 ? 2 ,即 1 ? a ? 2 a ? a ?1 a a



由①②得 a ? 1 ,? a ? ?1 .又
3 2

a ? 1 时,①、②不成立,故? a ? ?1 .------2 分

∴ g ( x) ? ? x ? bx ? cx ,设 x1 、 x2 是函数 g ( x) 的两个极值点,则 x1 、 x2 是方程

g / ( x) ? ?3x2 ? 2bx ? c =0 的两个根, ? ? 4b2 ? 12c ? 0(c为正整数) ,
∴x1+x2=
3 2 2b ? x3 ? bx12 ? cx1 ? x2 ? bx2 ? cx2 ,又∵ A、O、B 三点共线, ? 1 = , 3 x1 x2

∴ ( x1 ? x2 )[?( x1 ? x2 ) ? b] =0,又∵x1≠x2,∴b= x1+x2= (2)

2b ,∴b=0. ----------------6 分 3
-----------------------7 分

x ? 0 时, f ( x)min ? 2 ,
/ 2

由 g ( x) ? ?3x ? c ? 0 得 x ?

c c c ,可知 g ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( , ??) 3 3 3

上单调递减, g ( x)极大值 ? g (

c c c c 2c c . ---------------------9 分 )?? ?c ? 3 3 3 3 3 3

? c ?1 ? ? 3 ①由 ? 得 c ? 3, ?c 的值为 1 或 2.(∵ c 为正整数) 2 c c ? ?2 ? ?3 3


-----------------11 分

c c ? 1 时,记 g ( x) 在 x ? [1, ] 上切线斜率为 2 的切点的横坐标为 x0 , 3 3 c?2 ,依题意得 g ( x0 ) ? f ( x0 ) , 3
c?2 ? c ? 2, 得 c ? 2, 与 c ? 3 矛盾. 3

则由 g / ( x) ? ?3x2 ? c ? 2 得 x0 ?

?? x03 ? cx0 ? 2 x0 , ? x0 2 ? c ? 2, ?

(或构造函数 h ? x ? ? 2x ? g ? x ? 在 x ? 1 上恒正) 综上,所求 c 的值为 1 或 2.
2 63. 解: (1) ∵ f ?x () 3 ? x 2 ? b x c 3 ?

-----------------------14 分
2 b3 ? 0 c? , ,f ? (1) ? 0 , ∴3? ∴c ? ?

2b ? 3 .1 3



2b ? 3 g? (m) ? 3m2 ? 2bm ? c ? 0 ,即 3m2 ? 2bm ? ? 0 ,∴ 3
(2 ? 6m)b ? 9m2 ? 3 . ?3 分

1 ①当 2 ? 6m ? 0 ,即 m ? 时,上式不成 3 立.??????????????????4 分
②当 2 ? 6m ? 0 ,即 m ?

1 3 9m2 ? 3 时, b ? .由条件 ? ? b ? 0 ,得到 3 2 2 ? 6m

3 9m2 ? 3 ? ? ? 0. 2 2 ? 6m


9m2 ? 3 3 ? ? ,解得 m ? 0 或 2 ? 6m 2

1 ? m ? 1 . ?????????????????5 分 3

m?

3 1 9m2 ? 3 ?m? 或 ? 0 ,解得 ? 3 3 2 ? 6m

3 .????????????????6 分 3

? m 的取值范围是 ?

3 ?m?0或 3

3 ? m ? 1 . ???????????????7 分 3 (2)有一个实

根.??????????????????????????????9 分

F ( x) ? 0 ,即 3x3 ? 3bx 2 ? 4cx ? 4 ? 0 .

记 Q( x) ? 3x3 ? 3bx2 ? 4cx ? 4 ,则 Q?( x) ? 9 x2 ? 6bx ? 4c .

3 2b ? 3 ∵? ?b?0,c ? ? ,? ?1 ? c ? 0 . ?????????10 分 2 3

? △>0,故 Q?( x) ? 0 有相异两实根 x1,x2 ( x1 ? x2 ) .
?0 ? x1 ? x2 ? 1, 4 2 4 ? 显然 x1 ? 0 ? x2 , x1 ? ? , x1 ? x2 ? ? b, x1 ? x2 ? c ,∴ ? 4 9 x2 3 9 ? ? x1 x2 ? 0. ? ? 9 ?4 4 2 ? x2 ,∴ 9x2 ∴ 1 ? x1 ? x2 ? ? 9 x2 ? 4 ? 0 ,∴ 0 ? x2 ? . ????12 分 9 x2 3

1 8 8 16 32 2 2 于是 Q( x2 ) ? x2 ? Q?( x2 ) ? bx2 ? cx2 ? 4 ? 0 ? bx2 ? cx2 ? 4 ? b ? c ? 4 3 3 3 9 9 8 8 ?32 ? (2b ? 4c) ? 4 ? (c ? 3) ? 4 ? ?4?0. 9 9 9
而 x 2 为三次函数 Q( x) 的极小值点,故 Q( x) 与 x 轴只有一个交点. ∴ 方程 F ( x) ? 0 只有一个实根.??????????15 分 64. 解:(Ⅰ)∵ f ?( x) ? 3x 2 ? 4 x ? 3x 2 ? 2bx ? c , ∴ b ? 2,c ? 0 . ∴ f ( x) ? x ? 2 x ? d .
3 2

又∵ f (1) ? 7,? d ? 4 , ∴ f ( x) ? x ? 2x ? 4.
3 2

∴ F ( x) ? f ( x) ? ax ? x ? 2x ? 4 ? ax ? x ? (2 ? a) x ? 4 .
2 3 2 2 3 2

则 F ?( x) ? 3x ? 2(2 ? a) x .
2

由 F ?( x) ? 0求得 x1 ? ?

2(2 ? a) , x2 ? 0 。 3

? x1 ? x2 .当 x 变化时,F′(x)、F(x)的变化情况如下: ∵ a ? 0,
x F′(x) F(x) (-∞,-

2( 2 ? a ) ) 3
+

-

2( 2 ? a ) 3
0 极大值

(-

2( 2 ? a ) ,0) 3
减函数

0 0 极小值

(0,+∞) + 增函数

增函数

∴当 x=0 时,F(x)取得极小值 4. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 F(x)=x3+(2-a)x2+4. ∵F(x)≥0 在 ?0,??? 恒成立 ? 当 x∈ ?0,??? 时,F(x) min ≥0. (1)若 2-a>0,即 a<2 时,由(Ⅰ)可知 F(x) min =F(0)=4>0,符号题意; (2)若 2-a≤0,即 a≥2 时,由 F′(x)=0 求得 x 1 =∴当 x ? ?0, ? ??时,F(x) min =F(即(

2( 2 ? a ) , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 . 3

2( 2 ? a ) ? 0 ), 3

2a ? 4 3 2a ? 4 2 ) -(a-2)( ) +4≥0,解不等式得 2≤a≤5. 3 3 1 1 2 , 只需证 6 ? a ? ? ?(a ? 6) 2 ? 3. 要证不等式 a ? 13a ? 39 ? 6?a 6?a 1 ? 2 ,- (a ? 6) 2 ? 3 ? 2. (当 a=5 时, ∵ a ? 5 ,∴ 6 ? a ? “=”号成立) 6?a 1 2 故 a ? 13a ? 39 ? 成立(当 a=5 时, “=”号成立) a?6



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