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高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数的乘法和除法学案新人教B版选修1


3.2.2 明目标、知重点 复数的乘法和除法 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合 律和乘法对加法的分配律.3.进一步理解共轭复数的概念及性质. 1.复数的乘法法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则 z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数 z1、z2、z3∈C,有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3.复数的除法法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0), 则 = z1·z2=z2·z1 (z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 z1 a+bi ac+bd bc-ad = + i. z2 c+di c2+d2 c2+d2 [情境导学] 我们学习过实数的乘法运算及运算律,那么复数的乘法如何进行运算,复数的乘法满足运算 律吗? 探究点一 复数乘除法的运算 思考 1 怎样进行复数的乘法? 答 两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要把已得结果中的 i 换成-1,并且把实部 与虚部分别合并即可. 思考 2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同? 答 复数的乘法与多项式乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中把 i 换成-1. 例 1 计算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i); (2)(3+4i)(3-4i); (3)(1+i) . 1 2 2 2 解 (1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i) =-20+15i; (2)(3+4i)(3-4i)=3 -(4i) =9-(-16)=25; (3)(1+i) =1+2i+i =2i. 反思与感悟 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便 运算,例如平方差公式、完全平方公式等. 跟踪训练 1 计算:(1)(2+i)(2-i);(2)(1+2i) . 解 (1)(2+i)(2-i)=4-i =4-(-1)=5; (2)(1+2i) =1+4i+(2i) =1+4i+4i =-3+4i. 思考 3 如何理解复数的除法运算法则? 答 复数的除法先写成分式的形式, 再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭 复数,若分母是纯虚数,则只需同时乘以 i). 4-3i 4+3i 例 2 计算:(1) + ; 4+3i 4-3i 1+i 6 2+ 3i (2)( )+ . 1-i 3- 2i 解 (1) 原 式 = - + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - + + - 2 + = 16-9-24i 16-9+24i + = 2 2 2 2 4 +3 4 +3 7-24i 7+24i 14 + = ; 25 25 25 (2)方法一 原式=[ + 2 2 ]+ 6 2+ 3 3 2 3+ 2 + 2 2 =i + 6 6+2i+3i- 6 =-1+i. 5 方法二 (技巧解法) 原式=[ + 2 2+ 3 2+ 3i 2 ]+ 6 2+ 3 3- 2 =i + 6 =-1+i. 反思与感悟 复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数. 7+i -1+ 跟踪训练 2 计算:(1) ;(2) 3+4i -i 7+i 解 (1) = 3+4i (2) -1+ -i + + + = - - + . 25-25i = =1-i. 25 =-1-3i. -3+i -3+ = -i -i·i 2 探究点


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