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四川省乐山外国语学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)


四川省乐山外国语学校 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
一、选择题(每题 5 分,共计 50 分) 1. (5 分)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

2. (5 分)在空间,下

列命题正确的是() A.平行直线的平行投影重合 B. 平行于同一直线的两个平面平行 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 3. (5 分)如图,ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是()

A.BD∥平面 CB1D1 B. AC1⊥BD C. AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60° 4. (5 分)已知直线 l 的倾斜角为 π,直线 l1 经过点 A(3,2) 、B(a,﹣1) ,且 l1 与 l 垂 直,直线 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行,则 a+b 等于() A.﹣4 B.﹣2 C. 0
2 2

D.2

5. (5 分)若方程 x +(a+2)y +2ax+a=0 表示圆,则 a 的值为() A.﹣1 B. 2 C.﹣1 或 2 D.不存在

6. (5 分)如图,正三棱锥 SABC 的侧棱与底面边长相等,如果 E、F 分别为 SC、AB 的中 点,那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于()

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

7. (5 分)如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直圆 O 所在的平面 ABC,点 C 是圆上的任意一 点,图中有()对平面与平面垂直.

A.1

B. 2

C. 3
2 2

D.4

8. (5 分) P 在直线 2x+y+10=0 上, PA、 PB 与圆 x +y =4 相切于 A、 B 两点, 则四边形 PAOB 面积的最小值为() A.24 B.16 C. 8 D.4 9. (5 分)如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 为 A1D1 的中点,Q 为 A1B1 上任意一点,E、F 为 CD 上两点,且 EF 的长为定值,则下面四个值中不是定值的是()

A.点 P 到平面 QEF 的距离 C. 三棱锥 P﹣QEF 的体积

B. 直线 PQ 与平面 PEF 所成的角 D.△ QEF 的面积

10. (5 分)三棱锥 P﹣ABC 中,△ ABC 是底面,PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC,且这四个顶 点都在半径为 2 的球面上,PA=2PB,则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为() A.16 B. C. D.32

二、填空题(每题 5 分,共 25 分)请将答案填在答题卡上 11. (5 分)与直线 7x+24y=5 平行,并且距离等于 3 的直线方程是. 12. (5 分)圆心在直线 x﹣2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 ,则圆 C 的标准方程为. 13. (5 分)某几何体的三视图如图所示,它的体积为.

14. (5 分)相交成 90°的两条直线与一个平面所成的角分别是 30°与 45°,则这两条直线在该 平面内的射影所成角的正弦值为. 15. (5 分)正三棱锥 P﹣ABC 中,CM=2PM,CN=2NB,对于以下结论: ①二面角 B﹣PA﹣C 大小的取值范围是( ,π) ; ;

②若 MN⊥AM,则 PC 与平面 PAB 所成角的大小为 ③过点 M 与异面直线 PA 和 BC 都成 ④若二面角 B﹣PA﹣C 大小为 条. 正确的序号是.

的直线有 3 条; 的直线有 3

,则过点 N 与平面 PAC 和平面 PAB 都成

二、解答题(每题 5 分,共 25 分) 16. (12 分)如图,空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点, 且 AB=AD,BC=DC. (1)求证:BD∥平面 EFGH; (2)求证:四边形 EFGH 是矩形.

17. (13 分)已知直线 l:kx﹣y+1+2k=0(k∈R) . (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△ AOB 的面 积为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程. 18. (12 分)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是弧 AB 的中点,点 V 是圆 O 所在平面外一 点,D 是 AC 的中点,已知 AB=2,VA=VB=VC=2. (1)求证:AC⊥平面 VOD; (2)VD 与平面 ABC 所成角的正弦值; (3)求三棱锥 C﹣ABV 的体积.

19. (12 分)如图,已知二面角 α﹣AB﹣β 的大小为 120°,PC⊥α 于 C,PD⊥β 于 D,且 PC=2,PD=3. (1)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; (2)求点 P 到直线 AB 的距离.

20. (12 分)如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,BC=6,AC=3,D,E 分别是 AC,AB 上的 点,且 DE∥BC,DE=4,将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)过点 E 作截面 EFH∥平面 A1CD,分别交 CB 于 F,A1B 于 H,求截面 EFH 的面积; 0 (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 成 60 的角?说明理由.

21. (14 分) 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 已知 AB=AC=AA1= , BC=4, 在 A1 在底面 ABC 的投影是线段 BC 的中点 O. (1)求点 C 到平面 A1ABB1 的距离; (2)求二面角 A﹣BC1﹣B1 的余弦值; (3)若 M,N 分别为直线 AA1,B1C 上动点,求 MN 的最小值.

四川省乐山外国语学校 2014-2015 学年高二上学期期中 数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分,共计 50 分) 1. (5 分)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 阅读型. 分析: 利用三视图的作图法则,对选项判断,A 的三视图相同,圆锥,四棱锥的两个三视 图相同,棱台都不相同,推出选项即可. 解答: 解:正方体的三视图都相同,而三棱台的三视图各不相同,圆锥和正四棱锥的,正 视图和侧视图相同, 所以,正确答案为 D. 故选 D

点评: 本题是基础题,考查几何体的三视图的识别能力,作图能力,三视图的投影规则是 主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等. 2. (5 分)在空间,下列命题正确的是() A.平行直线的平行投影重合 B. 平行于同一直线的两个平面平行 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理, 可以很容易得 出答案. 解答: 解:平行直线的平行投影重合,还可能平行,A 错误. 平行于同一直线的两个平面平行,两个平面可能相交,B 错误. 垂直于同一平面的两个平面平行,可能相交,C 错误. 故选 D. 点评: 本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质,属基础题. 3. (5 分)如图,ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是()

A.BD∥平面 CB1D1 B. AC1⊥BD C. AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60° 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系; 棱柱的结构特征; 空间中直线与平面之间的位 置关系. 分析: A 中因为 BD∥B1D1 可判,B 和 C 中可由三垂线定理进行证明;而 D 中因为 CB1∥D1A,所以∠D1AD 即为异面直线所成的角,∠D1AD=45°. 解答: 解:A 中因为 BD∥B1D1,正确;B 中因为 AC⊥BD,由三垂线定理知正确; C 中有三垂线定理可知 AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,故正确; D 中显然异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 45° 故选 D 点评: 本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角,考查逻辑推理能力.

4. (5 分)已知直线 l 的倾斜角为 π,直线 l1 经过点 A(3,2) 、B(a,﹣1) ,且 l1 与 l 垂 直,直线 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行,则 a+b 等于() A.﹣4 B.﹣2 C. 0

D.2

考点: 两条直线垂直的判定;直线的倾斜角;两条直线平行的判定. 专题: 计算题. 分析: 先求出 l 的斜率,利用垂直关系可得 l1 的斜率,由斜率公式求出 a 的值,由 l1∥ l2 得,﹣ =1,解得 b 值,可得结果. 解答: 解:∵l 的斜率为﹣1,则 l1 的斜率为 1, ∴kAB= =1,∴a=0.

由 l1∥l2 得,﹣ =1,得 b=﹣2, 所以,a+b=﹣2. 故选 B. 点评: 本题考查两直线平行、垂直的性质,斜率公式的应用. 5. (5 分)若方程 x +(a+2)y +2ax+a=0 表示圆,则 a 的值为() A.﹣1 B. 2 C.﹣1 或 2 D.不存在 考点: 二元二次方程表示圆的条件. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 由二元二次 方程表示出圆的条件,列出关系式,即可求出 a 的值. 解答: 解:∵方程 x +(a+2)y +2ax+a=0 表示一个圆, ∴A=C≠0,即 1=a+2, 解得:a=﹣1. 2 2 2 2 此时方程 x +(a+2)y +2ax+a=0 为方程 x +y ﹣2x﹣1=0 表示圆. 故选:A. 点评: 此题考查了圆的一般方程,熟练掌握二元二次方程表示圆的条件是解本题的关键. 6. (5 分)如图,正三棱锥 SABC 的侧棱与底面边长相等,如果 E、F 分别为 SC、AB 的中 点,那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于()
2 2 2 2

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 AC 的中点 D, 得到的锐角或直角就 是异面直线所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可. 解答: 解:如图,取 AC 的中点 D,连接 DE、DF,∠DEF 为异面直线 EF 与 SA 所成的 角 设棱长为 2,则 DE=1,DF=1,根据 SA⊥BC,则 ED⊥DF ∴∠DEF=45°, 故选 C.

点评: 本小题主要考查异面直线所成的角, 考查空间想象能力、 运算能力和推理论证能力, 属于基础题. 7. (5 分)如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直圆 O 所在的平面 ABC,点 C 是圆上的任意一 点,图中有()对平面与平面垂直.

A.1

B. 2

C. 3

D.4

考点: 平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中 PA⊥平面 ABC,结合面面垂直的判定定理可得平面 PAB⊥平面 ABC, 及平面 PAC⊥平面 ABC,由圆周角定理的推论,结合线面垂直的性质和判定定理可证得: BC⊥平面 PAC,进而可得平面 PBC⊥平面 PAC,综合上述讨论结果,可得结论. 解答: 解:∵PA⊥圆 O 所在平面 ABC,PA?平面 PAB ∴平面 PAB⊥平面 ABC, 同理可得:平面 PAC⊥平面 ABC, ∵AB 是圆 O 的直径 ∴BC⊥AC, 又∵PA⊥圆 O 所在平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴PA⊥BC 又∵PA∩AC=A,PA,AC?平面 PAC ∴BC⊥平面 PAC, 又∵BC?平面 PBC

∴平面 PBC⊥平面 PAC 综上相互垂直的平面共有 3 组. 故选:C 点评: 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定, 熟练掌握空间线面垂直, 线线垂直与 面面垂直之间的相互转化是解答的关键. 8. (5 分) P 在直线 2x+y+10=0 上, PA、 PB 与圆 x +y =4 相切于 A、 B 两点, 则四边形 PAOB 面积的最小值为() A.24 B.16 C. 8 D.4 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 由题意可得, PA=PB, PA⊥OA, PB⊥OB 则要求 SPAOB=2S△ PAO= 的最小值,转化为求 PA 最小值,由于 PA =PO ﹣4,当 PO 最小时,PA 最小,结合点到直 线的距离公式可知当 PO⊥l 时,PO 有最小值,由点到直线的距离公式可求. 解答: 解:由圆 x +y =4,得到圆心(0,0) ,半径 r=2, 由题意可得:PA=PB,PA⊥OA,PB⊥OB, ∴SPAOB=2 S△ PAO= ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

在 Rt△ PAO 中,由勾股定理可得:PA =PO ﹣r =PO ﹣4, 当 PO 最小时,PA 最小,此时所求的面积也最小, 点 P 是直线 l:2x+y+10=0 上的动点, 当 PO⊥l 时,PO 有最小值 d= ,PA=4,

所求四边形 PAOB 的面积的最小值为 8. 故选 C 点评: 本题考查了直线与圆的位置关系中的重要类型: 相切问题的处理方法, 解题中要注 意对性质的灵活应用, 体现了转化思想在解题中的应用. 根据题意得出 PO⊥l 时所求圆的面 积最小是解本题的关键. 9. (5 分)如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,P 为 A1D1 的中点,Q 为 A1B1 上任意一点,E、F 为 CD 上两点,且 EF 的长为定值,则下面四个值中不是定值的是()

A.点 P 到平面 QEF 的距离 C. 三棱锥 P﹣QEF 的体积

B. 直线 PQ 与平面 PEF 所成的角 D.△ QEF 的面积

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: A.由于平面 QEF 即为对角面 A1B1CD,点 P 为 A1D1 的中点,可得:点 P 到平面 QEF 即到对角面 A1B1CD 的距离= D. 由于点 Q 到直线 CD 的距离是定值 为定值; a, |EF|为定值, 因此△ QEF 的面积=

为定值; C.由 A.D 可知:三棱锥 P﹣QEF 的体积为定值; B.用排除法即可得出. 解答: 解:A.∵平面 QEF 即为对角面 A1B1CD,点 P 为 A1D1 的中点,∴点 P 到平面 QEF 即到对角面 A1B1CD 的距离= D.∵点 Q 到直线 CD 的距离是定值 为定值; a,|EF|为定值,∴△QEF 的面积= 为

定值; C.由 A.D 可知:三棱锥 P﹣QEF 的体积为定值; B.直线 PQ 与平面 PEF 所成的角与点 Q 的位置有关系,因此不是定值,或用排除法即可得 出. 综上可得:只有 B 中的值不是定值. 故选:B. 点评: 本题综合考查了正方体的性质、三棱锥的体积、点到平面的距离、异面直线所成的 角等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和空间想象能力,属于难题. 10. (5 分)三棱锥 P﹣ABC 中,△ ABC 是底面,PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC,且这四个顶 点都在半径为 2 的球面上,PA=2PB,则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为() A.16 B. C. D.32

考点: 棱台的结构特征;球内接多面体. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知,三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点均在半径为 2 的球面上,且 PA,PB,PC 两 2 2 两垂直,球直径等于以 PA,PB,PC 为棱的长方体的对角线,得到 5PB +PC =16,再结合 三角换元法,由三角函数的性质得 到这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值. 解答: 解:∵PA,PB,PC 两两垂 直, 又∵三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点均在半径为 2 的球面上, ∴以 PA,PB ,PC 为棱的长方体的对角线即为球的一条直径. 2 2 2 2 2 ∴16=PA +PB +PC ,又 PA=2PB,∴5PB +PC =16, 设 PB= ,PC=4sinα, cosα+4sinα= sin(α+?)

则这个三棱锥的三个侧棱长的和 PA+PB+PC=3PB+PC= ≤ .

则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为



故选 B. 点评: 本题考查的知识点是棱锥的侧面积,棱柱的外接球,其中根据已知条件,得到棱锥 的外接球直径等于以 PA,PB,PC 为棱的长方体的对角线,是解答本题的关键. 二、填空题(每题 5 分,共 25 分)请将答案填在答题卡上 11. (5 分)与直线 7x+24y=5 平行,并且距离等于 3 的直线方程是 7x+24y+70=0,或 7x+24y ﹣80=0. 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 待定系数法. 分析: 设出平行直线系方程, 根据两平行线间的距离等于 3 解出待定系数, 从而得到所求 的直线的方程. 解答: 解:设所求的直线方程为 7x+24y+c=0,d= =3,c=70,或﹣80,

故所求的直线的方程为 7x+24y+70=0,或 7x+24y﹣80=0, 故答案为 7x+24y+70=0,或 7x+24y﹣80=0. 点评: 本题考查求直线方程的方法, 利用平行直线系方程的形式, 待定系数法求出待定系 数,进而得到所求的直线方程. 12. (5 分)圆心在直线 x﹣2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 2 2 ,则圆 C 的标准方程为(x﹣2) +(y﹣1) =4. 考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由圆心在直线 x﹣2y=0 上,设出圆心坐标,再根据圆与 y 轴相切,得到圆心到 y 轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径,表示出半径 r,由弦长的一半,圆的半径 r 及表示出的 d 利用勾股定理列出关于 t 的方程,求出方程的解得到 t 的值,从而得到圆心坐 标和半径,根据圆心和半径写出圆的方程即可. 解答: 解:设圆心为(2t,t) ,半径为 r=|2t|, ∵圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 , 2 2 ∴t +3=4t , ∴t=±1, ∵圆 C 与 y 轴的正半轴相切, ∴t=﹣1 不符合题意,舍去, 故 t=1,2t=2, 2 2 ∴(x﹣2) +(y﹣1) =4. 2 2 故答案为: (x﹣2) +(y﹣1) =4. 点评: 此题综合考查了垂径定理, 勾股定理及点到直线的距离公式. 根据题意设出圆心坐 标,找出圆的半径是解本题的关键. 13. (5 分)某几何体的三视图如图所示,它的体积为 57π.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由三视图可知:原几何体是由上下两部分组成,其中下面是一个底面半径为 3,高 为 5 的圆柱;上面是一个与圆柱的上底面重合、母线长为 5 的圆锥.据此可计算 出答案. 解答: 解:由三视图可知:原几何体是由上下两部分组成:下面是一个底面半径为 3,高 为 5 的圆柱;上面是一个与圆柱的上底面重合、母线长为 5 的圆锥. 圆锥的高 h= ∴V= =4. =57π.

故答案为 57π. 点评: 由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键. 14. (5 分)相交成 90°的两条直线与一个平面所成的角分别是 30°与 45°,则这两条直线在该 平面内的射影所成角的正弦值为 .

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间角. 分析: 已知 PA⊥PB,PO⊥平面 AOB,∠PAO=30°,∠PBO=45°,直线 PA,PB 这两条直 线在该平面内的射影所成角为∠AOB,由此能求出这两条直线在该平面内的射影所成角的 正弦值. 解答: 解:如图,已知 PA⊥PB,PO⊥平面 AOB, ∠PAO=30°,∠PBO=45°, 直线 PA,PB 这两条直线在该平面内的射影所成角为∠AOB, 设 PO=x,则 AO= AB= = ,BO=x,PA= , =2x,PB= = ,

∴cos ∴sin∠AOB=

=﹣ =

, .

∴这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为 故答案为: .



点评: 本题考查两条直线在平面内的射影所成角的正弦值的求法, 是中档题, 解题时要认 真审题,注意空间思维能力的培养. 15. (5 分)正三棱锥 P﹣ABC 中,CM=2PM,CN=2NB,对于以下结论: ①二面角 B﹣PA﹣C 大小的取值范围是( ,π) ; ;

②若 MN⊥AM,则 PC 与平面 PAB 所成角的大小为 ③过点 M 与异面直线 PA 和 BC 都成 ④若二面角 B﹣PA﹣C 大小为 条. 正确的序号是①②④.

的直线有 3 条; 的直线有 3

,则过点 N 与平面 PAC 和平面 PAB 都成

考点: 与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 空间角. 分析: ①利用二面角的大小区判断. ②利用线面角的定义去判断. ③利用异面直线的概 念去判断.④利用二面 角的大小进行判断. 解答: 解:①设底面正三角形的边长为 1,过 B 作 BD⊥PA,连结 CD,则∠BDC 是二面 角 B﹣PA﹣C 大小,因为底面三角形 ABC 是正三角形,所以∠CAB= 靠近点 O 时, 即高无限小时, ∠BDC 接近 ,所以当点 P 无限 ,

, 所以二面角 B﹣PA﹣C 大小的取值范围是 (

π) ,所以①正确. ②因为 CM=2PM,CN=2NB,所以 MN∥PB.若 MN⊥AM,则 PB⊥AM,因为 P﹣ABC 是正三棱锥,所以 P 在底面的射影是底面的中心,所以 PB⊥AC,因为 AM∩AC=A,所以

PB⊥面 PAC,因为 P﹣ABC 是正三棱锥,所以必有 PC⊥面 PAB,所以 PC 与平面 PAB 所 成角的大小为 ,所以②正确.

③因为因为 P﹣ABC 是正三棱锥,所以 P 在底面的射影是底面的中心,所以 PA⊥BC.所 以过点 M 与异面直线 PA 和 BC 都成 ④若二面角 B﹣PA﹣C 大小为 点) , 的直线有两条,所以③错误. ,此时∠EDC= , (其中 E 是 BC 的中 ,又因为平面 PAC 和

,则∠BDC=

,所以此时直线 BC 与平面 PAC 和平面 PAB 都成

平面 PAB 的法向量的夹角为 与平面 PAC 和平面 PAB 都成 有 3 条. 所以④正确. 故答案为:①②④.

,此时适当调整过 N 的直线,可以得到两条直线使得过点 N ,所以满足过点 N 与平面 PAC 和平面 PAB 都成 的直线

点评: 本题综合考查了正三棱锥的性质以及利用正三棱锥研究线面角和二面角的大小, 综 合性强,难度大. 二、解答题(每题 5 分,共 25 分) 16. (12 分)如图,空间四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点, 且 AB=AD,BC=DC. (1)求证:BD∥平面 EFGH; (2)求证:四边形 EFGH 是矩形.

考点: 直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)E,H 分别为 AB,DA 的中点,可得 EH∥BD,又 BD?平面 EFGH,EH?平 面 EFGH,根据直线和平面平行的判定定理证得 BD∥平面 EFGH.…

(2) 取 BD 中点 O, 由条件利用等腰三角形的性质证得 AO⊥BD, CO⊥BD. 从而证得 BD⊥ 平面 AOC,BD⊥AC. 利用三角形的中位线的性质证得四边形 EFGH 是 平行四边形,再利用平行线的性质证得 EF⊥EH,可得四边形 EFGH 为矩形. 解答: 证明: (1)∵E,H 分别为 AB,DA 的中点, ∴EH∥BD,又 BD?平面 EFGH,EH?平面 EFGH, ∴BD∥平面 EFGH.…(4 分) (2)取 BD 中点 O,连续 OA,OC,∵AB=AD,BC=DC.∴AO⊥BD,CO⊥BD. 又 AO∩CO=0.∴BD⊥平面 AOC,∴BD⊥AC. …(7 分) ∵E,F,G,H 为 AB,BC,CD,DA 的中点. ∴EH∥BD,且 EH= BD;FG∥BD,且 FG= BD,EF∥AC. ∴EH∥FG,且 EH=FG,∴四边形 EFGH 是平行四边形.…(10 分) 由 AC⊥BD、EF∥AC、EH∥BD,∴EF⊥EH,∴四边形 EFGH 为矩形. …(12 分) 点评: 本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用, 直线和平面垂直的判定和性质的 应用,属于中档题. 17. (13 分)已知直线 l:kx﹣y+1+2k=0(k∈R) . (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△ AOB 的面 积为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程. 考点: 恒过定点的直线;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1,直线 l 过定点(﹣2,1) . (2)要使直线 l 不经过第四象限,则直线的斜率和直线在 y 轴上的截距都是非负数,解出 k 的取值范围. (3)先求出直线在两个坐标轴上的截距,代入三角形的面积公式,再使用基 本不等式可求 得面积的最小值. 解答: 解: (1)直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1, 故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(﹣2,1) . (2)直线 l 的方程可化为 y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1, 要使直线 l 不经过第四象限,则 解得 k 的取值范围是 k≥0. (3)依题意,直线 l 在 x 轴上的截距为﹣ ∴A(﹣ 又﹣ ,0) ,B(0,1+2k) , <0 且 1+2k>0, (1+2k) ,在 y 轴上的截距为 1+2k, ,

∴k>0,故 S= |OA||OB|= ×

= (4k+ +4)≥ (4+4)=4, 当且仅当 4k= ,即 k= 时,取等号, 故 S 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x﹣2y+4=0. 点评: 本题考查直线过定点问题,直线在坐标系中的位置,以及基本不等式的应用(注意 检验等号成立的条件) . 18. (12 分)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是弧 AB 的中点,点 V 是圆 O 所在平面外一 点,D 是 AC 的中点,已知 AB=2,VA=VB=VC=2. (1)求证:AC⊥平面 VOD; (2)VD 与平面 ABC 所成角的正弦值; (3)求三棱锥 C﹣ABV 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)得出 AC⊥VO,AC⊥VD 即可证明. (2)根据棱锥 V﹣ABC 的体积为 VV﹣
ABC=

S△ ABC?VO=

可求得.

解答: 解: (1)∵VA=VB,O 为 AB 中点, ∴VO⊥AB,连接 OC,在△ VOA 和△ VOC 中,OA=OC,VO=VO,VA=VC, ∴△VOA≌△VOC,∠VOA=∠VOC=90°, ∴VO⊥0C ∵AB∩OC=0,AB?平面 ABC,OC?平面 ABC, ∴VO⊥平面 ABC, ∵AC?平面 ABC, ∴AC⊥VO, 又∵VA=VC,D 是 AC 的中点,∴AC⊥VD, ∵VO?平面 VOD,VD?平面 VOD,VD∩VO=V, ∴AC⊥平面 VOD, (2)由(1)知 VO 是棱锥 V﹣ABC 的高,且 VO= 又∵点 C 是弧的中点,∴CO⊥AB,且 CO=1,AB=2, ∴三角形 ABC 的面积 S△ ABC= AB?CD= =1, = .

∴棱锥 V﹣ABC 的体积为 VV﹣ABC= S△ ABC?VO= 故棱锥 C﹣ABV 的体积为 ,

点评: 本题考查了直线与平面的垂直问题,体积计算问题,属于中档题,思路要清晰,认 真. 19. (12 分)如图,已知二面角 α﹣AB﹣β 的大小为 120°,PC⊥α 于 C,PD⊥β 于 D,且 PC=2,PD=3. (1)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; (2)求点 P 到直线 AB 的距离.

考点: 异面直线及其所成的角;点、线、面间的距离计算. 专题: 计算题;证明题;空间角. 分析: (1)根据题意,证出 AB⊥平面 PCD,从而得到 AB⊥CD,即得异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 90°. (2)设平面 PCD 与直线 AB 交于点 E,连结 CE,DE,PE.证出∠CED 为二面角 α﹣AB ﹣β 的平面角,从而∠CED=120°.然后在四边形 PCDE 中利用余弦定理解三角形,算出 CD= ,进而得到 PE= = ,得到 P 到直线 AB 的距离.

解答: 解: (1)∵PC⊥α 于 C,PD⊥β 于 D. ∴PC⊥AB,PD⊥AB.又 PC∩PD=P. ∴AB⊥平面 PCD. ∵CD?平面 PCD,∴AB⊥CD, 即异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 90°. …(6 分) (2)设平面 PCD 与直线 AB 交于点 E,连结 CE,DE,PE 由(1)可知,AB⊥平面 PCD. ∴AB⊥CE,AB⊥DE,AB⊥PE. ∴∠CED 为二面角 α﹣AB﹣β 的平面角,…(8 分) 从而∠CED=120°. ∵PC⊥α,PD⊥β.∴PC⊥CE,PD⊥DE. ∴∠CPD=60°.又 PC=2,PD=3. 2 ∴由余弦定理,得 CD =4+9﹣12cos60°=7,从而 CD= .…(10 分) ∵PE 为四边形 P CED 的外接圆直径. ∴由正弦定理,得 PE= = .

即点 P 到直线 AB 的距离等于



…(12 分)

点评: 本题在 120 度的二面角中,求异面直线所成角和点 P 到直线 AB 的距离,着重考查 了线面垂直的判定与性质、二面角的平面角定义和正余弦定理等知识,属于中档题. 20. (12 分)如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,BC=6,AC=3,D,E 分别是 AC,AB 上的 点,且 DE∥BC,DE=4,将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)过点 E 作截面 EFH∥平面 A1CD,分别交 CB 于 F,A1B 于 H,求截面 EFH 的面积; 0 (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 成 60 的角?说明理由.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)证明 DE⊥平面 A1CD,可得 A1C⊥DE,利用 A1C⊥CD,CD∩DE=D,即可 证明 A1C⊥平面 BCDE; (2)过点 E 作 EF∥CD 交 BC 于 F,过点 F 作 FH∥A1C 交 A1B 于 H,连结 EH,则截面 EFH∥平面 A1CD,从而可求截面 EFH 的面积; (3)假设线段 BC 上存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 成 60°的角,建立坐标系,利用 向量知识,结合向量的夹角公式,即可求出结论. 解答: (1)证明:∵CD⊥DE,A1D⊥DE,CD∩A1D=D, ∴DE⊥平面 A1CD. 又∵A1C?平面 A1CD,∴A1C⊥DE. 又 A1C⊥CD,CD∩DE=D, ∴A1C⊥平面 BCDE…(4 分) (2)解:过点 E 作 EF∥CD 交 BC 于 F,过点 F 作 FH∥A1C 交 A1B 于 H,连结 EH,则截 面 EFH∥平面 A1CD. 因为四边形 EFCD 为矩形,所以 EF=CD=1,CF=DE=4,从而 FB=2,HF= ∵A1C⊥平面 BCDE,FH∥A1C, ∴HF⊥平面 BCDE,∴HF⊥FE, .



.…(8 分)

(3)解:假设线段 BC 上存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 成 60°的角. 设 P 点坐标为(a,0,0) ,则 a∈. 如图建系 C﹣xyz,则 D(0,1,0) ,A1(0,0, ) ,B(6,0,0) ,E(4,1,

0) . ∴ 设平面 A1BE 法向量为 , , .







,∴



设平面 A1DP 法向量为 .

,因为





,∴

,∴



则 cos<

, >=

=

= ,∴5656a ﹣96a﹣141=0,

2

解得 ∵0<a<6,∴ 所以存在线段 BC 上存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 成 60°的角.…(12 分) 点评: 本题考查线面平行,考查线面角,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 21. (14 分) 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 已知 AB=AC=AA1= , BC=4, 在 A1 在底面 ABC 的投影是线段 BC 的中点 O. (1)求点 C 到平面 A1ABB1 的距离; (2)求二面角 A﹣BC1﹣B1 的余弦值; (3)若 M,N 分别为直线 AA1,B1C 上动点,求 MN 的最小值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)利用点到平面的距离公式求距离. (2)建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角的大小. (3)利用向量法求线段的长度. 解答: 解: (1) 连接 AO, 因为 A1O⊥平面 ABC, 所以 A1O⊥BC, 因为 AB=AC, OB=OC, 得 AO⊥BC, 在△ BOA1 中, ,则 ,在△ AOA1 中,A1O=2, .又 S△ CAB=2.

设点 C 到平面 A1ABB1 的距离为 h, 则由 得, = .从而 .…(4 分)

(2)如图所示,分别以 OA,OB,OA1 所在的直线 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A(1,0,0) ,C(0,﹣2,0) ,A1(0.0,2) ,B(0,2,0) ,B1(﹣1,2,2) ,C1(﹣ 1,﹣2,2) . 设平面 BCC1B1 的法向量 又 , , .



,得



令 z=1,得 x=2,y=0,即 设平面 ABC1 的法向量 .

. ,又 ,



,得

,令 b=1,得 a=2,c=3,即



所以

,…(7 分)

由图形观察可知,二面角 A﹣BC1﹣B1 为钝角,

所以二面角 A﹣BC1﹣B1 的余弦值是

.…(9 分)

(3)方法 1.在△ AOA1 中,作 OE⊥AA1 于点 E,因为 AA1∥BB1,得 OE⊥BB1. 因为 A1O⊥平面 ABC,所以 A1O⊥BC,因为 AB=AC, OB=OC, 得 AO⊥BC,所以 BC⊥平面 AA1O,所以 BC⊥OE, 所以 OE⊥平面 BB1C1C.从而 OE⊥B1C 在△ AOA1 中, 方法 2.设向量 ∵ ∴ 令 z1=1,得 x1=2,y1=0,即 ∵ . . , 为异面直线 AA1,B1C 的距离,即为 MN 的最小值.…(14 分) ,且 . .

所以异面直线 AA1,B1C 的距离

,即为 MN 的最小值.…(14 分)

点评: 本题主要考查利用向量法求二面角的大小和线段长度问题, 要求熟练掌握相关的定 理和公式.


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