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北京市东城区2016-2017学年度第一学期期末考试高三数学(理)


试卷编号:1750

北京市东城区 2016-2017 学年度第一学期期末考试高三数学 (理)
班级:_____ 学号:_____ 姓名:_____ 成绩:_____ 一、选择题共 8 小题。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1. 已知集合 A = { x | ( x ? 1)( x ? 3) < 0}, B = { x | 2 < x < 4}, 则 A ∩ B = (   ) (A) { x | 1 < x < 3} (B) { x | 1 < x < 4} (C) { x | 2 < x < 3} (D) { x | 2 < x < 4}

2. 抛物线 y2 = 2 x 的准线方程是 (   ) (C) x = ?1 (D) x = ? 1 (A) y = ?1 (B) y = ? 1 2 2 √ 3. “k = 1” 是 “直线 kx ? y ? 3 2 = 0 与圆 x2 + y2 = 9 相切” 的 (   ) (A) 充分而不必要条件 (C) 充分必要条件 (B) 必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

4. 执行如图所示的程序框图, 输出的 k 值为 (   )

(A) 6

(B) 8

(C) 10

(D) 12

5. 已知 x, y ∈ R, 且 x > y > 0, 则 (   ) (A) tan x ? tan y > 0 (C) ln x + ln y > 0 (B) x sin x ? y sin y > 0 (D) 2 x ? 2y > 0 0 的解集

6. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且在 [0, +∞) 上是增函数, 则 f ( x + 1) 为 (   ) (A) (?∞, ?1] (B) (?∞, 1] (C) [?1, +∞) (D) [1, +∞)

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7. 某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的体积 为 (   )

(A) 2 3

(B) 4 2 3

(C) 2

(D) 8 3

8. 数 列 {an } 表 示 第 n 天 午 时 某 种 细 菌 的 数 量. 细 菌 在 理 想 条 件 下 第 n 天 的 日 增 长 率 rn = 0.6 (rn = an+1 ? an , n ∈ N? ). 当这种细菌在实际条件下生长时, 其日增长率 rn 会发生 an 变化. 下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量 Q 随时间的变化规律. 那么, 对 这种细菌在实际条件下日增长率 rn 的规律描述正确的是 (   )

(A)

(B)

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(C) 二、填空题共 6 小题。

(D)

9. 若复数 (2 ? i)(a + 2i) 是纯虚数, 则实数 a = _____ . ? ? ? ? x ? 2 0, ? ? ? ? ? 10. 若 x, y 满足 ? 则 x + 2y 的最大值为 _____ . x + y 0, ? ? ? ? ? ? ? x ? 3y + 4 0,
2 11. 若点 P(2, 0) 到双曲线 x2 ? y2 = 1(a > 0) 的一条渐近线的距离为 1, 则 a = _____ . a

12. 在 △ABC 中, 若 AB = 2, AC = 3, ∠A = 60? , 则 BC = _____ ; 若 AD ⊥ BC , 则 AD = _____ .

#– #– #– #– #– 13. 在 △ABC 所在平面内一点 P, 满足 AP = 2 AB+ 1 AC , 延长 BP 交 AC 于点 D, 若 AD = λAC , 5 5 则 λ = _____ .
14. 关于 x 的方程 g( x) = t (t ∈ R) 的实根个数记为 f (t). 若 g( x) = ln x, 则 f (t) = _____ ; ? ? ? ? x 0, ? x, (a ∈ R), 存在 t 使得 f (t + 2) > f (t) 成立, 则 a 的取值 若 g( x) = ? ? ? 2 ? ? x + 2ax + a, x > 0 范围是 _____ . 三、解答题共 6 小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15. 已知 {an } 是等比数列, 满足 a1 = 3, a4 = 24, 数列 {an + bn } 是首项为 4, 公差为 1 的等差数 列. (1) 求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2) 求数列 {bn } 的前 n 项和. 16. 已知函数 f ( x) = 2 sin(2 x + φ) (|φ| < π ) 部分图象如图所示. 2 (1) 求 f ( x) 的最小正周期及图中 x0 的值; (2) 求 f ( x) 在区间 [0, π ] 上的最大值和最小值. 2

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17. 如 图, 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中, 底 面 ABCD 为 矩 形, 平 面 PCD ⊥ 平 面 ABCD, BC = 1, AB = 2, √ PC = PD = 2, E 为 PA 中点. (1) 求证: PC ∥ 平面 BED; (2) 求二面角 A ? PC ? D 的余弦值; (3) 在棱 PC 上是否存在点 M , 使得 BM ⊥ AC ? 若 存在, 求 PM 的值; 若不存在, 说明理由. PC 18. 设函数 f ( x) = ln( x + 1) ? ax (a ∈ R). x+1 (1) 若 f (0) 为 f ( x) 的极小值, 求 a 的值; (2) 若 f ( x) > 0 对 x ∈ (0, +∞) 恒成立, 求 a 的最大值.
2 y2 19. 已知椭圆 C : x2 + 2 = 1 (a > b > 0) 经过点 M (2, 0), 离心率为 1 . A, B 是椭圆 C 上两点, 2 a b 且直线 OA, OB 的斜率之积为 ? 3 , O 为坐标原点. 4 (1) 求椭圆 C 的方程; | BP| (2) 若射线 OA 上的点 P 满足 |PO| = 3|OA|, 且 PB 与椭圆交于点 Q, 求 的值. | BQ|

20. 已知集合 An = {( x1 , x2 , · · · , xn ) | xi ∈ {?1, 1} (i = 1, 2, · · · , n)}. x, y ∈ An , x = ( x1 , x2 , · · · , xn ), y = (y1 , y2 , · · · , yn ), 其中 xi , yi ∈ {?1, 1} (i = 1, 2, · · · , n). 定义 x ⊙ y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn . 若 x ⊙ y = 0, 则称 x 与 y 正交. (1) 若 x = (1, 1, 1, 1), 写出 A4 中与 x 正交的所有元素; (2) 令 B = { x ⊙ y | x, y ∈ An }. 若 m ∈ B, 证明: m + n 为偶数; (3) 若 A ? An , 且 A 中任意两个元素均正交, 分别求出 n = 8, 14 时, A 中最多可以有多少个 元素.

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