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2013年4月杭州市重点高中2013高考命题比赛参赛试题高中数学13


2013年高考模拟试卷数学卷
学科:高三数学(理科)满分:150分 考试时间:120分钟 一、选择题。 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.)
x 1、 (原创)已知集合 U ? R ,集合 M ? { y y ? 2 , x ? R} ,集合 N ? {x y ? lg(3 ? x)},



则 ?CU M ? ? N ? ( A y y ?3



?

?

B

?y y ? 0?

C

?y 0 ? y ? 3?

D ?

2、 (原创) 0 ? a ? “

1 ”是“函数 f ( x) ? ax2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (??,4] 上为减函数” 5

的( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3、 (原创)右图是某程序的流程图,则其输出结果为( )[来 源:Zxxk.Com] A

开始

2010 2011

B

1 2011

C

2011 2012

D

1 2012

S=0 k=1 k>2011


4、 (原创)已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面, 下列命题中正确的是( ) B. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n



A. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? C. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n

S?S?

1 k (k ? 1)
输出 S

‖ ‖ D. 若m ? , m ? , 则?‖ ?
k = k+1

( 5、(原创) 把函数 y ? sin 2 x ?

?
3

) 的图像上向右平移

? , 再把图 6

结束

第 3 题图

像上各点的横坐标变为原来的 2 倍,则所得的图像的一条对称轴 方程为 ( ) A、 x ?

?
2

B、 x ?

?
3

C、 x ?

?
4

D、 x ?

?
6

8 2 8 6、 (原创)设 x ? a) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? a8 x ,若 a5 ? a8 ? ?6 ,则实数 a 的值为 (



) A.

1 2

B.

1 3

C. 2

D. 3
第 1 页( 共 10 页)

2013 年高考模拟试卷数学卷(理科) 1

7、 (2012 全国卷改编) 数列 {a n} 满足 an?1 ? (?1) n an ? n , {a n} 的前 60 项和等于 则 ( A、960 B、1920 C、930 D、1830
2



8、 (原创)已知函数 f ( x) ?| lg x | ,若 0 ? b ? a, 且f (a) ? f (b) ,则 4b ? a 的取值范围 是( ) A. [3,5) B. [3, ? ? ) C. (0,3] D. [2,3) 9 、 2012 年 江 苏 一检 卷改 编 ) 已 知函 数 f ( x) 满 足 :① 定 义 域为 R ; ② ?x ? R , 有 (

f ( x ? 2) ? f ( x) ; ③当 x ?[0, 2] 时, f ( x) ? 2 | x ? 1 | ,设 ? ( x) ? f ( x) ? | x |( x ?[?8,8]) 根 ,
据以上信息,可以得到函数 ? ( x) 的零点个数为( A、4 B、5 C、9 ) D、8

10、(2013 年高考自测样卷改编)已知向量 a, b , c 满足 | a | ? 2 , a与b 的夹角为

? ? ?

? , 6

? ? (a ? c) ? (b ? c) ? 0 。若对每一个确定的 b , c 的最大值和最小值分别为 m, n ,则对任何
的 b , m ? n 的最小值是 ( A.

?

) C.2 D. 1

1 4

B.

1 2

二、填空题。 (本大题共 7 小题,共 28 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上。 )
2 11、 (原创)复数 z ? 1 ? ai , a ? R ,若 z 为纯虚数,则 a 的值为________

12、 (原创)已知某几何体的三视图如下,则该几何体的体积是 . 13、 (2010· 江苏,4)某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽测了 100 根棉花纤维的 长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标).所得数据均在区间[5,40]中,其频率分布直 方图如图所示,则在抽测的 100 根中,有________根棉花纤维的长度小于 20 mm

4 4 正视图 3 侧视图

(13 题图)

俯视图

(12 题图) .

2013 年高考模拟试卷数学卷(理科) 2

第 2 页( 共 10 页)

? 2x ? y ? 0 x2 ? y2 ? 14、(原创)已知实数 x , y 满足不等式 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 的取值范围是 xy ? x?3 ?
15、 (2012 年浙江五校联考卷)在 1,2,3,4,5,6,7 的任一排列错误!未找到引用源。 中,使相邻两数都互质的排列方式种数共有_______________ 16、艾青中学 2011 年模拟) ( 在平面直角坐标平面内,不难得到 “对于双曲线 xy ? k( k ? 0 ) 上任意一点 P,若点 P 在 x 轴、 y 轴上的射影分别为 M 、N , P ?P 则 M N 必为定值 k ”.

x2 y 2 类比于此, 对于双曲线 2 ? 2 ? 1 上任意一点 P,类似 的命题为:_______________ a b
17、 (原创) 过椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 做圆 x 2 ? y 2 ? b2 的切线, 切点为 B, 2 a b
2

延长 AB 交抛物线于 y ? 4ax 于点 C,若点 B 恰为 A、C 的中点,则

a 的值为 b

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18、 (原创) 在锐角△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c ,若

acsin C ? (a 2 ? c 2 ? b2) B , sin
(1) 若 ?C ?

?
4

,求 ? A 的大小。

(2) 若三角形为非等腰三角形,求

c 的取值范围。 b

19、(2011·山东理,18)红队队员甲、乙、丙 与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A、 乙对 B、丙对 C 各一盘,已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各 盘比赛结果相互独立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率; (2)用 ξ 表示红队队员获胜的总盘数,求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ .

20、(原创)如下图所示,平面四边形 PABC 中, ?PAB 为直角, ?ABC 为等边三角形,
2013 年高考模拟试卷数学卷(理科) 3 第 3 页( 共 10 页)

现把 ?PAB 沿着 AB 折起,使得 ?APB与?ABC 垂直,且点 M 为 AB 的中点。 (1)求证:平面 PAB⊥平面 PCM (2)若 2PA=AB,求直线 BC 与平面 PMC 所成角的余弦值。

A

C

P B

21、 (2011.镇海中学高三模拟.21)在平面直角坐标系 xoy 中,过定点 C ( p,0) 作直线 m 与 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 相交于 A 、 B 两点.
2

(I)设 N (? p,0) ,求 NA?NB 的最小值; (II)是否存在垂直于 x 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若 存在,求出 l 的方程;若不存在,请说明理由.

??? ??? ? ?

22、(2013.广东陆丰碣石中学.21)已知函数 f ( x ) ? (1)求函数 f(x)的极值; (2)如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x ) ?
2

1 ? ln x x

k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1

n?2 ? ! (3)求证 ? ( n ? 1) ? ? ( n ? 1) ? e ( n ? N ) .

2013 年高考模拟试卷数学卷(理科) 4

第 4 页( 共 10 页)

双向细目表
题 型 题 号 1 2 3 4 选 择 题 50 5 6 7 8 9 10 11 12 填 空 题 28 13 14 15 16 17 18 解 答 题 72 19 20 21 22 分 值 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 14 14 14 15 15 难易度 考察内容 简单 集合及其交并补运算 充要条件的判断 程序框图及数列求和运算 立体几何线面位置判断 三角函数图像伸缩平移变换 二项式展开以及系数运算 数列运算 函数图像,函数值域问题 函数零点个数判断 向量运算 复数及其运算 三视图求体积 统计初步 线性规划 排列组合计算 推理证明以及双曲线的特征推理 圆锥曲线综合问题 三角函数与解三角形 概率、分布列、数学期望 立体几何证明、求线面角 圆锥曲线综合应用 函数极值与恒成立问题及不等式证明 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 中等 较难

2013 年高考模拟试卷数学卷(理科) 5

第 5 页( 共 10 页)

2013年高考模拟试卷理科数学参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 A 6 A 7 A 8 B 9 D 10 D

二、填空题 ?1 11、 13、 15、 30 864

12、 14、

16

[ 2,

10 ] 3

16、 若 P 在直线 y ? ? 17、 三、解答题

b a 2b 2 x 上的射影分别为 M、N,则 | PM | ? | PN | 必为定值 2 a a ? b2

1? 5 2

18、解:(1)? acsin C ? (a 2 ? c 2 ? b2) B sin

sin C a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c2 ? b2 ? ?2 ? 2 cos B ····· 分 ·····2 ? sin B ac 2ac ···· 分 ····3 ? sin C ? sin 2 B 所以 C ? 2 B或C ? 2 B ? ? ·····4 分 ···· ? ? (a)若 C ? 2 B , ?C ? ,则 ?A ? . ···· 分 ····5 4 4 ? 3? (b)若 C ? 2 B ? ? , ?C ? ,则 ?A ? . ····· 分 ···· 6 4 8 (2) 若三角形为非等腰三角形,则 C ? 2 B 且 ?A ? ? ? B ? C ? ? ? 3B ···· ····8
分 又因为三角形为锐角三角形, 0 ? 2 B ? 故

?
2

,0 ? ? ? 3B ?

?
2

?

6 4 c sin C ? ? 2 cos B 而 b sin B c ? ( 2 , 3) 所以 b

? ?B ?

?

······10 分 ····· ····· ·····12 分 ······ ······14 分

19、解:(1)设甲胜 A 的事件为 D,乙胜 B 的事件为 E,丙胜 C 的事件为 F, 则 D, E, F 分别表示甲不胜 A、乙不胜 B、丙不胜 C 的事件. 因为 P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5 由对立事件的概率公式知 P( D )=0.4,P( E )=0.5,P( F )=0.5.
2013 年高考模拟试卷数学卷(理科) 6 第 6 页( 共 10 页)

红队至少两人获胜的事件有: DE F , D EF , DEF ,DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队至少两人获胜的概率为

···· 分 ····2

P=P( DE F )+P( D EF +P( DEF )+P(DEF)
=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55. ···· 分 ····6 (2)由题意知 ξ 可能的取值为 0,1,2,3. 又由(1)知 D E F 、 DE F 、 D EF 是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独立, 因此 P(ξ =0)=P( D E F )=0.4×0.5×0.5=0.1, 0.6×0.5×0.5=0.35. P(ξ =3)=P(DEF)=0.6×0.5×0.5=0.15. 由对立事件的概率公式得 P(ξ =2)=1-P(ξ =0)-P(ξ =1)-P(ξ =3)=0.4. 所以 ξ 的分布列为: ξ 0 0.1 1 0.35 2 0.4 ·····7 分 ···· ·····8 分 ···· ·····9 分 ···· · ····· ·····10 分 3 0.15 ·······12 分 ······ ·······14 分 ······

P(ξ =1)= P( D EF )+ P( DE F )+ P( D E F )=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+

P

因此 E(ξ )=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6. 20、

A

C

P B

(1)证明:? ?APB ? ?ABC 且交线为 AB 又? ?PAB 为直角 所以 AP ? 平面ABC AP ? CM 故 ?ABC 为等边三角形,点 M 为 AB 的中点 又? 所以 CM ? AB
2013 年高考模拟试卷数学卷(理科) 7

····· 分 ·····2 ·····3 分 ···· ····· 分 ·····4

第 7 页( 共 10 页)

又? PA ? AB ? A 所以 CM ? 平面PAB 又 CM ? ?ABC 所以平面 PAB⊥平面 PCM (2)假设 PA=a,则 AB=2a 方法一:(等体积法) ·····5 分 ···· ·····6 分 ····

VP?MBC ? VB? PMC 1 1 PA ? S MBC ? hB ? S PMC 3 3

······· 分 ·······8

而三角形 PMC 为直角三角形,故面积为 故 hB ?

6 2 ······ a ·······10 分 2

2 a 2

········· ·········12 分

所以直线 BC 与平面 PMC 所成角的正弦值 sin ? ? 所以余弦值为 cos? ?

PB 10 ? hB 10

···· ····13 分

3 10 10

·······14 分 ······

z

方法二: (向量坐标法) 以 M 点为坐标原点,以 MB 为 x 轴,以 MC 为 y 轴,且 设 PA=a,则 M(0,0,0), P(-a,0,a), B(a,0,0), C(0, 3a ,0) ········ 分 ········8 故 MC ? (0,3a,0), MP ? (?a,0, a), BP ? (?2a,0, a) · 假设 平面 PMC 的法向量为 n ? ( x, y, z) 则 y=0,x=z,令 x=1 故 ········ ········11 分 n ? (1,0,1) 则 直 线 BC 与 平 面 PMC 所 成 角 的 正 弦 值

y

sin ? ?


10 ,·· ··13 分 10
以 余 弦 值 为 x

cos? ?

3 10 10

········ ········14 分

21、解: (I)依题意,可设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为: x ? my ? p 由?

? x ? my ? p ? y 2 ? 2 pmy ? 2 p2 ? 0 2 ? y ? 2 px

····· 分 ·····2

? y ? y ? 2 pm ?? 1 2 2 ? y1 ? y2 ? ?2 p
2013 年高考模拟试卷数学卷(理科) 8 第 8 页( 共 10 页)

??? ??? ? ? ? NA ? NB ? ( x1 ? p, y1 ) ? ( x2 ? p, y2 ) ? ( x1 ? p)( x2 ? p) ? y1 y2 ? (my1 ? 2 p)(my2 ? 2 p) ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? 2 pm( y1 ? y2 ) ? 4 p 2 ? 2 p 2 m2 ? 2 p 2 ??? ??? ? ? 当 m=0 时 NA ? NB 的最小值为 2 p2 .· ······ 分 ······7 ' (II)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 x=a,AC 的中点为 o , l 与以 AC 为直径的圆 x ? p y1 ' , ). 相交于 P,Q,PQ 中点为 H,则 o' H ? PQ , o 的坐标为 ( 1 2 2 1 1 1 ? o ' P ? AC ? ( x1 ? p ) 2 ? y12 ? x12 ? p 2 ·······9 分 ······ 2 2 2 2 2 1 1 2 ? PH ? o ' P ? o ' H ? ( x12 ? p 2 ) ? (2a ? x1 ? p ) 2 4 4 1 ? (a ? p ) x1 ? a ( p ? a ) 2 1 2 ? ? ???????13 分 ? PQ ? (2 PH )2 ? 4 ?(a ? p) x1 ? a( p ? a) ? 2 ? ? 1 1 令 a ? p =0 得 a ? p .此时 PQ ? p 为定值.故满足条件的直线 l 存在, 2 2 1 p 其方程为 x= ???????15 分 2 1 ? ln x ln x 22、解: (1)因为 f ( x ) ? , x >0,则 f ?( x ) ? ? 2 , ???1 x x
分 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x ) 在(0,1)上单调递增;在 (1, ??) 上单调递减, 所以函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值 f(1)=1 ,无极小值。 (2)不等式 f ( x) ? ????3 分

k ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)(1 ? ln x) , 即为 ? k , 记 g ( x) ? , x ?1 x x ? x ?( x ? 1)(1? lnx )?? x ? (x ? 1)(1 ln )? x ? ln x 所以 g ?( x) ? ????7 2 x x2
令 h( x) ? x ? ln x ,则 h?( x ) ? 1 ?



故 g ( x) 在 ?1, ??) 上也单调递增, 分 (3)由(2)知: f ( x) ?

? h( x) 在 ?1, ??) 上单调递增,

1 ? x ? 1, ? h?( x) ? 0, , x ??h( x)?min ? h(1) ? 1 ? 0 ,从而 g ?( x) ? 0 ,

所以 ? g ( x)?min ? g (1) ? 2 ,所以 k ? 2 . ???9

2 x ?1 2 2 , 恒成立,即 ln x ? ? 1? ? 1? , x ?1 x ?1 x ?1 x
第 9 页( 共 10 页)

2013 年高考模拟试卷数学卷(理科) 9

令 x ? n(n ? 1) ,则 ln ? n(n ? 1)? ? 1 ?

2 n(n ? 1)

2013 年高考模拟试卷数学卷(理科) 10

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