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§17.2复数的运算


§17.2 复数的代数运算

复习: 1.复数的形式:z ? a ? bi(a、b ? R)
实部 与 _____; 虚部 其中a、b分别是复数的_____
实部、虚部分别相等 ; 2.两个复数相等的充要条 件是 __________

Z ? a ? bi _ . 3.复数z ? a ? bi的共轭复数是__________

复习
4.指出下列复数的实部与虚部: z1=1+3i, z2=4-i,z3=-3+2i, z4=5-3i,

z5 ? 2 ? 3i.
5.计算 (1).(a+3b)+(4a-b);
(2).(a+3b)-(4a-b);

(3).(-3a+2b)+(5a-3b).

情境:
? 我们知道虚数不能像实数那样比较大小, 那么两个虚数能像实数那样进行加减等运 算吗? ? 思考: 如果z1=1+3i, z2=4-i, 那么z1+z2=? z1-z2=?
讨论猜测:复数加减法的运算法则

新课探究
一般地,我们把复数 z ? a ? bi (ab ? R) 叫做 复数的代数形式 .

1.复数的加法与减法 若z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di (a、b、c、d ? R) 则:z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i

z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i

即:
两个复数的和(或差)仍然是一个复数,它 们的实部是原来两个复数的实部的和(或 差),它的虚部是原来两个复数的虚部的 和(或差).

或:

实部和实部相加减作为实部, 虚部和虚部相加减作为虚部.

思考:
? 1.复数加减法的运算和多项式相加减有何关系? ? 2.复数的加法满足交换律和结合律吗? ? 即z1+z2=z2+z1吗?请举例说明

例题分析
? 例1 设复数z1=-3+2i,z2=5-3i,计算: (1)z1+z2 ; (2) z1-z2; (3) z2+z1; (4) z2-z1.

例题2

设复数z ? 2 ? 3i, 计算 z ? z 和 z ? z

说明:一般地,若z ? a ? bi (a, b ? R), 则z ? z ? 2a, z ? z ? 2bi.

课堂练习:
已知复数z1和z 2求z1 ? z2、z1 ? z 2、z1 ? z1、z1 ? z1 ( 1 )z1 ? 1 ? 2i、z 2 ? 2 ? i
(2) z1 ? ?3 ? 2i、z2 ? 2 ? 4i

(4) z1 ? 3.14、z2 ? 4
5 (5) z1 ? 5i、z2 ? ? i 2
1 1 (7) z1 ? ? 、z 2 ? 2 2

1 3 1 3 (3) z1 ? ? i、z2 ? ? i 2 2 2 2

(6) z1 ? 5、z 2 ? 5i

新课探究
1、计算:(a+3b)(4a-b);

解:原式=4a2-ab+12ab-3b2

=4a2+11ab-3b2
2、两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算 来进行,只是在遇到 i2 时,要把 i2 换成 -1,并把 最后的结果写成 : a ? bi (a, b ? R) 尝试:

计算:( 1 ? i) (3 ? i)

复数的乘法

设 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di
(a,b,c,d ? R)


? ac ? adi ? bci ? bdi
? (ac ? bd) ? (ad ? bc)i

z1 ? z2 ? (a ? bi) (c ? di)

2

显然,两个复数的乘积仍为复数!
类似多项式乘法哦!

易知,复数运算满足交换律、结合律、分配律。

?1 ? ? 2 ? ? 2 ? ?1

(?1 ? ?2) ? ?3 ? ?1 ? (?2 ? ?3)
?1 ? (?2 ? ?3) ? ?1 ? ?2 ? ?1 ? ?3

说明:
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立. 即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
m n m+n z z =z
m n mn (z ) =z

(z1z2)n=z1nz2n

例题分析
例1

已知?1 ? 2 ? i, ? 2 ? 3 ? 4i 计算 : (1) ?1 ? ? 2 ; (2) Z1
2

解 ?1 ? ? 2 ? (2 ? i) (3 ? 4i)

? 6 ? 8i ? 3i ? 4i

2

z ? (2 ? i ) 2 ? 4 ? 2? 2?i ? i
2

2 1

? 10 ? 5i

与完全平方 公式类似!

? 4 ? 4i ? 1 ? 3 ? 4i.

例题分析
例2、设Z=3+2i,计算

Z ? Z.

与平方差公 式类似哦! 练习:P66 T1(1)--(4) T2(1)-(2)

i 的指数变化规律
1 2

【探究活动】
3 4

i ? i , i ? ?1 , i ? ?i , i ? 1

- i , i ? __ 1 , i ? __ 1 i ? __ i , i ? -__
5 6 7 8

你能发现规律吗?有怎样的规律?

i

4n

?1 ,

i

4 n ?1

?i ,

i

4n?2

? ?1

, i

4 n ?3

? ?i

【练习1】求值:

i ? i ? i ? ?? ? i
2 3
2 3 4

2006

解:原式 ? (i ? i ? i ? i ) ? (i ? i ? i ? i ) ? ... ?
5 6 7 8

(i

2001

?i
1

2002 2

?i

2003

?i

2004

) ?i

2005

?i

2006

? 0 ? i ? i ? i ?1

例2 5.把复数z的共轭复数记作 z, i为虚数单位, 练习 若z ? 1 ? i则( 1 ? z) ?z ?? A
_ 解: ? z ? 1 ? i,
_

_

?
D.3

A.3 ? i

B.3 ? i

C.1 ? 3i

? 原式 ? (1 ? 1 ? i ) ? (1 ? i ) ? ( 2 ? i ) ? (1 ? i )

? 2 ? 2i ? i ? i ? 2 ? i ? 1 ? 3?i
2

小结
1、复数加法和减法的运算法则 2、复数加减法运算法则与多项式加减运算有 何联系? 3、复数乘法的运算法则 4、复数乘法运算法则与多项式乘法运算有何 联系?

作业

? P68习题


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