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(第九章直线、平面、简单几何体)


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9.1 平面
教学目标 1.掌握平面的基本性质,会画图表示平面; 2.能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形,能够根据图形想象它们 的位置关系; 3.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理,能用公理及推论解决有关问 题; 4.通过对公理、推论的理解和应用及三个推论的证明,提高学生的逻辑推理能力; 5.通过画图,逐步培养学生的空间想象能力,使他们在已有的平面图形知识的基础上, 建立空间观念; 6.通过对平面基本性质的三个公理、三个推论的学习,认识我们所处的世界是一个三维 空间,由此培养学生的辨证唯物主义世界观 教学建议 (一)教材分析 1. 知识结构

2.重点难点分析 重点:平面的有关概念和基本性质;难点:建立空间概念,正确应用符号语言. (1)平面和点、直线一样是构成空间图形的基本要素之一,是一个只描述而不定义的原 始概念.本节内容主要介绍了平面的有关概念及其基本性质(三个公理和三个推论).平面 的基本性质是研究空间图形的基本理论基础,是立体几何的基础核心,因而是本节内容的重 点.本节的难点是准确理解平面的有关概念及其基本性质,建立空间概念,正确使用图形、 符号、文字三种数学语言并能互译. (2)如何理解“平面四边形表示的平面是无限延展的”?这是因为立体几何中表示平面 是采用“用有限的图形表示无限的平面”的方法.事实上,如果一条直线上有两个点在一个 用平行四边形表示的平面内,根据公理 1,这条直线上所有的点都落在这个平面内.而直线是 无限延伸的, 倘若这个平面是有限的, 那么无限的直线上的所有点怎么能都在有限平面内呢? 对于平面的概念注意从三个方面加深理解:无边界性、无限延展性、无厚薄性. (3)平面的基本性质是研究立体几何的基本理论基础,学习时应切实注意以下几点:

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①会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理; ②熟悉三个公理的作用.公理 1 是判定直线在平面内的依据,亦作为判定点在平面内的 方法使用;公理 2 是判定两个平面相交的依据,亦作为判定几个点在两个相交平面的交线上 (共线)的方法使用;公理 3 是确定一个平面的依据,亦作为判定几个点共面的依据. ③学习公理 3 及三个推论时务必透彻理解“有且只有一个”的含义.“有且只有一个” 是由“有一个”和“只有一个”复合而成的,其中前者说明对象是存在的,后者说明对象是 唯一的.“有且只有一个”说明对象具有存在性和唯一性两个方面.数学中的一些对象具有 存在性和唯一,也有一些对象具有存在性而无唯一性,如与给定的三角形 相似的三角 形是存在的,但不是唯一的.当然,还有一些对象没有存在性,从而也就谈不上有唯一性.因 此切不可用“只有一个”代替“有且只有一个”. (4)共面问题的证明常用同一法,同一法指的两个互逆命题,若其中一个成立,则另一 个也成立,即两个互逆命题是等价的,例如,我们要证明“某个图形具有某种特性”只要证 明“具有某种特征的图形是某个图形”即可.同一法是间接证题方法. (二)教法建议 (1)本节是立体几何学习的基础.学习时应充分联系生活中的实例,充分利用实物,尽 快建立空间观念. 联系实际提出问题和引入概念,合理运用教具,加强由模型到图形,再由图形返回模型 的基本训练.由对照模型画直观图入手,逐步培养由图形想象出空间位置关系的能力. (2)教学中应注意借助学生已有的平面图形知识基础,引入新知识,提出新问题,使学 生自然地进入新的学习阶段. 联系平面图形的知识,利用对比、引申、联想等方法,找出平面图形和立体图形的异同, 以及两者的内在联系,逐步培养学生将立体图形转化为平面图形的能力. (3)在学习平面概念时,对平面的无限延展性,可以让学生联系直线的无限延伸性理解, 平面是向四周无限延展的,平面把空间分成两部分; 在画平面时,有时根据具体需要,也可用其他的平面图形,如菱形、封闭的曲线图形等 表示; (4)从图形入手,有序地建立图形、文字、符号这三种数学语言的联系. 用文字和符号描述对象时,必须紧密联系图形,使抽象与直观结合起来,即在图形的基 础上发展其他数学语言.在阐述定义、定理、公式等重要内容时,先结合图形,再用文字和 符号进行描述,综合运用几种数学语言,使其优势互补,就有可能收到更好的效果,给学生 留下的印象更为深刻. (5)对于公理 1,可先讨论直线与平面的公共点的个数的各种情况,以区分直线与平面的 三种位置关系:相交、平行、直线在平面内,并用直线的伸展性理解平面的延展性;对于公

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理 2,可先讨论两个平面的公共点个数的各种情况,以区分两平面的两种位置关系:相交和平 面,并体会直线与平面的关联;对于公理 3 及其 3 个推论,应从“有一个(至少有一个)平 面”和“只有一个(至多有一个)平面”两方面去理解. 教学设计示例(一) 9.1 平面 第一课时 教学目标: 1.理解平面的概念,掌握平面的画法及记法. 2.理解并记住平面的基本性质. 3.初步掌握用符号表示点、线、面间的关系. 教具准备:投影胶片、三角板、模型. 教学过程: [设置情境]日常生活中,哪些东西给我们以平面的形象?平面是如何定义的,怎么画?平 面有哪些基本性质呢? [探索研究] 1.平面的概念 常见的桌面、黑板面、平静的水面等,都给我们以平面的形象,几何里的平面就是从这 样的一些物体中抽象出来的.与之不同的是几何里的平面是无限延展的. 注意:平面的概念是用描述性的语言进行说明的. 2.平面的画法及表示 通常我们画出直线的一部分来表示直线.同样地,我们也可以画出平面的一部分来表示 平面.当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时,感到它们都很像平行四边形.因此, 通常画平行四边形来表示平面(图 1).当平面是水平放置的时候,通常把平行四边形的锐角 画成 ,横边画成邻边的 2 倍长.当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮部 分的线段画成虚线或不画(图 2).有时根据需要也可用其他平面图形(例如三角形等)表示 平面.

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平面通常用一个希腊字母





等来表示,如平面

、平面

、平面

等,也

可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示,如平面

(图 1).

平面内有无数个点,平面可以认为是由它内部的所有的点组成的点集,其中每个点都是 它的元素,点 在平面 内,记作 里的平面看作是集合,而点看作是元素. ;点 在平面 外,记作 (图 3),这

3.平面的基本性质 我们下面学习平面的基本性质的三个公理.所谓公理,就是不必证明而直接被承认的真 命题,它们是进一步推理的出发点和根据. 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

从集合的角度看,这个公理就是说,如果一条直线(点集)中有两个元素(点)属于一 个平面(点集),那么这条直线就是这个平面的真子集. 直线也是由无数个点组成的集合,点 作 , 如果直线 上所有的点都在平面 外,记作 . 则,就说直线 在平面 在直线 上,记作 内, 或者说平面 ;点 在直线 外,记 . 否

经过直线 , 记作

公理 1 的含义如图 4 所示,也可以用符号表示为 , , , .

公理 1 为证明直线在平面内提供了依据.

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公理 2 如果两个平面有一个公共点, 那么它们还有其他公共点, 且所有这些公共点的集 合是一条过这个公共点的直线. 注意:没有特别说明的“两个平面”,以后均指不重合的两个平面. 两个不重合的平面,只要它们有公共点,它们就是相交的位置关系,交集是一条直线. 如果平面 . 公理 2 的含义如图 5 所示,也可以用符号表示为 且 公理 2 为证明若干点共线提供了一条新的途径. . 和 有一条公共直线 ,就说平面 和 相交,交线是 ,记作

公理 3

经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(图 6).

老师问学生:经过一点、两点或同一直线上的三点有多少个平面?过不在同一直线上的 四点呢?前一问有无数个平面,后一问不一定有平面.

公理中, “有且只有一个”的含义: “有”是说图形存在, “只有一个”是说图形惟一.不 能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”,否则未表达出存在性的含义. 过 、 、 三点的平面可记作“平面 ”.

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[演练反馈] 1.举例说明生活中本节公理的应用. 2.填空: 正方体的各顶点如图 7 所示,正方体的三个面所在平面 、 号填空. (1) 、 分别记作 、 、 ,试用适当的符

, .

(2) (3) (4) (5)

, , , ,

. . . , .

3.根据下列符号表示的语句,说出有关点、线、面的关系,并画出图形. (1) (2) (3) (4) [参考答案] 1.(略) 2.(1) 3.(1)点 ; (2) 在平面 ; 内,点 (3) 不在平面 ; 内. (4) ; (5) ; ; , , , , ,

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(2)直线 在平面 (3)平面 与

内,直线 交于直线 . 外一点

不在平面

内.

(4)直线 经过平面 图形略. [总结提炼]

和平面

内一点



[学生回答,教师补充完善.] 本节课主要学习了: 1.平面的概念、画法及记法. 2.平面的基本性质:公理,公理 2,公理 3. 3.点在(不在)平面内,直线在(不在)平面内,两个平面交于一条直线等的符号的表 示. (四)布置作业 课本 P7~P8 习题 9.1 [参考答案] 略. (五)板书设计 1.平面的概念 2.公理 1 公理 2 公理 3 教学设计示例(二) 9.1 平面 第二课时 教学目标:理解掌握公理 3 的三个推论. 教具准备:投影仪、胶片、三角板. 3.练习 1,2(1),3,4.

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教学过程: [设置情境] 我们知道, 不共线三点确定一个平面, 那么还有其他的确定一个平面的情况吗? [探索研究] 推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面(图 1(1)). 不在直线 、 , 上, 在直线 上任取两点 和 , 于是有 、 、 , 三点

证明: (存在性) 设点 , 有一个平面 和点 ,即 ,因为 的平面. 、

为不共线的三点.根据公理 3,经过 ,所以由公理 1 可知

,即平面

是经过直线

(惟一性)又根据公理 3,经过不共线的三点 直线 和点 的平面只有一个.





的平面只有一个,所以经过

推论 1 的证明分两部分来证,即第一要证存在一个平面,第二要证这个平面是惟一的. 推论 1 可以用符号表示为 有且只有一个平面 ,使 , .

推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面(图 1(2)). 推论 2 的证明可口头讲一下,详细过程可见“教参”.

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我们规定:直线



相交于点 .

,记作

,不可以只写

,需将交点

字母写出来,也不能记作 推 2 可以用符号表示为 有且只有一个平面 推论 3

,使





经过两条平行直线,有且只有一个平面(图 1(3)).

推论 3 的证明分两步进行,第一步证存在性,要利用平行线的定义,即在一个平面内, 两条没有公共点的直线叫做平行线,第二步证惟一性,与推论 1 类似,也可见“教参”. 推论 3 可以用符号表示为 有且只有一个平面 ,使 , .

“有且只有一个平”也可以说成“确定一个平面”. 公理 3 及它的三个推论给出了确定一个平面时经常使用的一些条件,下面通过一道例题 来学习基本性质的应用. 例题 如图 2,直线 , 三条直线是否共面并说明理由. , 两两相交,交点分别为 、 、 ,判断这

解:这三条直线共面.理由如下: ∵直线 ∴直线 ∵ ∴ ∴ 和 和 , , . (公理 1). 相交于点 . (推论 2).

确定一个平面 .

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因此,直线





都在平面

内,即它们共面.

由上可知,证明三条直线共面,可以先证其中两条直线共面,再证第三条直线也在这个 平面内. [演练反馈] 1.两个不重合的平面有公共点,则公共点的个数是( A.2 个 C.一个或无数个 2.点 A. C. 3.若 A. B.有无数个且在一条直线上 D.1 个 外,用符号表示正确的是( , , , C. D. ,则( ) ) )

在直线 上, 在平面 , , , B. , B. D.

4.三条直线相交于一点,过每两条相交直线作一个平面,最少可作几个平面?最多可作几个 平面?若三条直线相交于三点呢? 5.已知直线 [参考答案] 1.B 2.B 3.A ,且 , ,求证: 、 、 三线共面.

4.答:相交于一点时,最少一个面,最多三个平面;相交于在三点时,只有一种情况,即为 一个平面. 5.证明:∵ ∴ 又∵ ∴ 、 确定一个平面 , , (推论 3)

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∴ ∴ 、

,即

(公理 1)

、 三线共面.

[总结提炼] [学生回答,教师完善.] 本节课主要学习了: 1.公理 3 的三个推论:推论 1,推论 2,推论 3. 2.证明若干个点、线共面的方法. (先证其中某些点、线确定一个平面,再证剩余点、线落在此平面内.) (四)布置作业 (1)课本 P8 习题 9.1 2.(2),5,6,7,8. ,且直线 与 、 、 分别交于 、 、 三

(2)思考题:已知三直线 点,求证: 、 、

、 四条直线共面.

(五)板书设计 推论 1 推论 2 推论 3 例题 画图 练习 教学设计示例(三) 9.1 平面 第三课时 教学目标: 1.巩固复习平面的基本性质. 2.会应用 3 个公理及推论证明三点共线和若干个点、线共面. 教具准备:投影仪(胶片)、三角板.

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教学过程 [基本知识加顾] 平面基本性质小结 名 称 作 判断直线在平面内的依据 两个平面相交以及它们的交点共线的依据 确定一个平面的依据 三个推论 [探索研究] 例1 交于 在正方体 ,求证: 、 、 中 (如图 1) , 三点共线. 与截面 交于 点, 、 用

公理 1 公理 2 公理 3 及

分析:三点共线问题的证法是:证明此三点同在两个相交平面内,显然 平面 证明:∵ 又∵ ,且 、 、 、 、 、 、 、 平面 平面 、 在平面 平面 . . 与平面 的交线上,即 ,故可证得三点共线.





据公理 2, 知 三点共线





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例2

已知直线 与三条平行线 , , 确定平面 , . , ,设





都相交(如图 2),求证: 与





共面.

证明:∵ ∴ ∴ ∴







同理,



确定平面



,则平面



都过两相交直线

与 ,而过

和 有且只有一个平面. ∴ 故 与 、 重合. 、 、 共面.

教师点评:证共面问题,可先由公理 3(或推论)证某些元素确定一个平面,再证其余元素都 在此平面内;或者指出给定的元素中的某些元素在一个平面内,再证两个平面重合. 例3 不共点的四条直线两两相交,求证:这四条直线在同一个平面内.

分析:此题要注意两种情况:一是无三条直线相交于一点;二是其中只有三条直线交于 一点.教师讲第一种情况,第二种情况由学生来证,可以由一学生上台板演. 已知:直线 求证:直线 、 、 、 、 、 、 两两相交,且不过同一点. 共面.

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证明:如图 3, 设 ∴ 又∵ ∴ 、 、 、 、

、 交于点

、 ,

、 、 .

两两相交,且无三条直线相交于一点. 交于点 .

确定一个平面 , 、 、 、 、 、 、 , .





由公理 1,知 故 如图 4, 、 、

. 四条直线共面. 两两相交,且有三直线交于一点 .

∵ ∴ 又∵ , 、

. 确定一个平面 , ,∴ ,∴ . . ,

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∴ ∴ [演练反馈] 1.两个平面重合的条件是( A.有两个公共点 ) 、

, 、 、

(公理 1). 四直线共面.

B.有无数个公共点 D.有一条公共直线 )

C.存在不共线的三个公共点 2.下列命题中,真命题是(

A.空间不同三点确定一个平面 B.空间两两相交的三条直线确定一个平面 C.两组对边相等的四边形是平行四边形 D.和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内 3.在空间四点中,无三点共线是四点共面的( A.充分不必要条件 C.充分条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

4.空间有四个点,其中无三点共线,可确__________个平面.若将此四点两两相连,再以所 得线段中点为顶点构成一个几何体,则这个几何体至多有______个面. 5.一直线和直线外不在同一直线上的三点,可以确定几个平面? 6.已知: , 求证: [参考答案] 1.C 2.D 3.D , , , .

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4.1 或 4;8 5.分三种情况:1 个或 3 个或 4 个. 6.提示:仿照例 2 证法. [总结提炼] 本节课我们发现了证明三点共线的新方法,即证明这些点都是某两个平面的交点,据公 理 2 它们必共线.证明共面问题一般有两种途径:①先证其中一部分点、线确定一个平面, 再证剩余点、线落在确定好的平面上.②先证其中一部分点、线确定一个平面,再证另一部 分点、线确定另一个平面,最后证明前后两个平面重合. (四)布置作业 课本 P8~P9 习题 9.1 9,10,11. 典型例题 例 1 三条直线两两相交,由这三条直线所确定平面的个数是( A.1 B.2 C.3 D .1 或 3 )

分析 本题显然是要应用推论 2 判断所能确定平面的个数,需要在空间想象出这三条直 线所有不同位置的图形,有如下图的三种情况(如图):

答案:D. 说明 惯. 例 2 一条直线与三条平行直线都相交,求证这四条直线共面. 分析 先将已知和求证改写成符号语言.证明诸线共面,可先由其中的两条直线确定一 个平面,然后证明其余的直线均在此平面内.也可先由其中两条确定一个平面 ,另两条确 定平面 ,再证平面 , 重合. 本题启发我们考虑问题不要只局限于平面图形,应养成在三维空间考虑问题的习

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已知: 求证:直线 证明 ∴ ∵ ∴ 又 ∵ , , ∴ . ,且 过两条相交直线 , , ∵ , , , , 确定一个平面 , ,故 , . ,

, , 共面.







. 确定一个平面 .

同理可证 ∴ ∵

. , 有且只有一个平面,故 与 重合

即直线

, 共面.

说明 本例是新教材第 9 页第 9 题的一个简单推广,还可推广到更一般的情形.本例证 明既采用了归一法,同时又采用了同一法.这两种方法是证明线共面问题的常用方法.在证 明 时,也可以用如下反证法证明: 假设直线 显然与 ,则 一定与 . 在平面 , 外,它的三边所在的直线分别交平面 于 , , 三 相交,此时直线 与 内的所有直线都不会平行,这

矛盾.故

例 3 已知 点,证明 分析 ,

三点在同一条直线上. , , , 三点共线,只须证 , , 在平面 和平面

如图所示,欲证 ,

的交线上,由 证明: ∵

都是两平面的公共点而得证.





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∴ 又 ∴ ∴ ∴ , 且 , , ∵

是平面

与平面 ,

的交线.

平面



三点共线.

说明 证明点共线的一般方法是证明这些点是某两个平面的公共点, 由公理 2, 这些点都 在这两平面的交线上. 例 4 如图所示, 两两相交,证明:三直线 与 、 、 不在同一个平面内, 如果三直线 交于一点. 、 、

分析 证明三线共点的一般思路是:先证明两条直线交于一点,再证明该点在第三条直 线上即可. 证明 . 取 又因 于是 故三直线 说明 、 、 ,则 ,则 , 共点. , . 由推论 2, 可设 与 , 与 , 与 分别确定平面 , ,

(公理 2),

空间中证三线共点有如下两种方法:

(1)先确定两直线交于一点,再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点,第三条直 线是这两个平面的交线,由公理 2,该点在它们的交线上,从而得三线共点. (2) 先将其中一条直线看做是某两个平面的交线, 证明该交线与另两直线分别交于两点, 再证这两点重合.从而得三线共点. 扩展资料

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空间图形的作图 在平面几何中, 一般的几何图形都能够利用适当的工具 (例如直尺、 圆规等),在平展的平面上实际作出,但是空间图形作图却与它不同.例如,在空间里“过 两点作一直线”不是可用直尺简单作图的,更何况空间图形作图还多了一个新元素—平面, 要在空间作平面,是不能像在平面内作直线那样,有方便的方法和工具的.不仅如此,在二 维的平面上,画出三维空间图形的真实形象,一般说来,是不可能的.因此,空间作图,并 不要求人们像制作模型那样完成实际的作图,而是进行所谓的逻辑作图. 逻辑作图 空间作图是否可行,取决于所求作元素能否归结为空间的可作元素类.所谓空间 的可作元素类,有: 1.在作图题中的所有已知元素. 2.在空间中的任意一点. 3.由不共线的三个可作点确定的平面. 4.两个可作平面的交线. 5.在一个可作平面内,所有的平面几何能作图的元素. 6.已知球心及半径的球面. 空间的几何作图是否可行,取决于所求作元素能否归结为上述的可作元素类,而且,作 图次数必须是有限的.在空间的作图题中,重要的是逻辑层次及推理. 以上六种可作元素类,实际上也是空间几何作图的规则,由这六条作图规则,又可导出 一系列可作的基本图形,作为更复杂的几何作困的逻辑依据.例如: (1)根据第五条有:连结空间任意两点的直线或线段可作. (2)根据第二条,自然可任取两点,任取不共线的三点,进而根据第五条、第三条有: 在空间任意作一条直线或任意作一个平面. (3)因为过一直线及线外一点、过两条相交直线、过两条平行直线作平面,都可归结为 过不共线的三点作平面,故有: 根据确定平面的条件,可作平面. 例 过异面直线中的一条直线 ,作一个平面平行于另一条直线 .

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如图所示, 在直线 与 作平面

上任取一点

(第二条规则) , 过直线 内作直线

与线外一点

作平面

(根据确定平面的条件作平面),在平面

(第五条规则),过相交直线 即为所求.

(根据确定平面的条件作平面).则平面

由此例可以看出,上述可作元素起着公理作用,有的书称为作图公法.空间作图中,重 要的是逻辑层次,每一作图问题,只要归结为可作元素的有限次结合,就认为作图已经完成, 这就是通常所说的逻辑作图或想象作图. 习题精选 一、选择题 1.设 ① ② ③ ④ , , 表示一个点, , , , , ). C.①,④ D.③,④ ). , . , 表示两条直线, ; ; ; , 表示两个平面,给出下述四个命题:

其中正确的命题是( A.①,②

B.②,③

2.三条直线两两相交,可以确定平面的个数是( A.1 B.1 或 2 C.1 或 3 D .3

3.两两相交的三个平面,最多能将空间划分 A.6 B.7 C .8 D.9 ,

部分,则

的值为(

).

4.在空间四边形 点,如果直线 A.点 B.点 ,

的各边 交于一点 上 上



, ).

上分别取









,则(

一定在直线 一定在直线

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C.点 D.点 二、填空题

在直线



上 上也不在直线 上

既不在直线

5.四条线段顺次首尾连接,能确定_____________个不同的平面;长方体中各个面上的对角 线可确定___________个不同平面. 6.空间三条直线两两相交,点 不在这三条直线上,那么由点 定______________个不同平面. 7.给出下述五个命题: ①一条直线和一个点可以确定一个平面; ②个平面两两相交得到三条交线,这三条交线最多只能交于一个点; ③两个平面有无数个公共点,那么这两个平面一定重合; ④三条两两相交但不交于同一点的直线在同一平面内; ⑤与不共线的三个点的距离都相等的点共有一个或三个. 其中正确命题的序号是___________. 三、解答题 8.设四条直线 , , , 和 .若 ,直线 与 , , 分别相交于点 , 和这三条直线最多可以确

,求证:这四线共面. 不在同一个平面内,求证:直线 和 既不相交也不

9.已知空间四点 平行。 10.已知 , 线在同一平面内。 参考答案: 一、1.D 2.C 3.B 4.B 6.6





。求证:

四条直

二、5.1 或 4;20

7.②、④

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三、8.提示:设 者又设 , 确定平面 ,再证 , 和



确定平面

,然后证



都在

内;或

重合; 相交或平行。由公理 3 的推论 2,3 知,这两条直

9.证明:用反证法。假设直线 线确定一个平面。 设这个平面为 。则有 ,

, ,

。 ,即点 同在平面 内。

于是, , 与已知条件矛盾。 因此假设不成立。直线 10.证明:如图, ∴



既不相交也不平行。 确定平面 。

同理 又由 同理, 而 又 , 与 与 与 即在平面

。 ,由公理 1 知 确定平面 。 。 。 确定一个平面。 ,又在平面 内。 共面。 。

必重合,故

9.2 空间直线
教学目标

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1.了解空间两条直线的位置关系,能够画出空间两条直线的各种位置关系的图形; 2.掌握公理 4,理解掌握等角定理,能应用公理 4 及等角定理解决简单问题; 3.理解异面直线的定义,掌握两条直线所成的角和距离的概念; 4. 能利用异面直线所成的角及异面直线间的距离等概念去求两条异面直线所成的角及两 条异面直线间的距离; 5.通过将平面几何中的平行公理推广到空间,培养学生类比、论证的能力; 6.通过对空间两条直线的学习,特别是对异面直线的研究,培养学生的空间想象能力, 进一步培养将空间问题转化为平面问题的数学思想;培养分析问题、解决问题的能力. 教学建议 (一)教材分析 1. 知识结构

2.重点难点分析 重点是公理 4 和异面直线的概念,难点是空间异面直线的定义及其所成的角. (1)空间两条直线的位置关系,既是研究直线和直线、直线和平面、平面和平面各种位 置关系的开始,又是学习这些关系的基础,必须予以足够的重视.同时要摆脱以往平面的局 限性,处处从空间来考虑问题. (2)公理 4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”,说明把平行线的传递性推广到 空间也能成立.这个公理是判断两直线平行的重要方法之一,其关键在于寻找联系所证两条 平行直线的第三条直线. (3)由于空间想象能力的水平不高,学生开始往往想象不出异面直线是什么样子,或者 画不出图来.再加上异面直线这一概念容易和分别处于两个平面内的两条直线相混淆,所以 异面直线的概念是学习中的难点. 理解异面直线的概念要特别注意“不同在任何一个平面内的两条直线”与“不在同一平 面内的两条直线”的本质区别:“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平

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面内的两条直线”的含义是有根本区别的.如图,虽然 过 、 可以作一个平面 ,使 、 在同一平面

、 内.

分别在



内,



对于异面直线的概念这个重点和难点要着重明确如下几点: ①两条直线若异面,则必不能同在任何一个平面内.因此它们不相交也不平行. ②分别在某两个平面内的两条直线,不一定是异面直线. ③画异面直线时,以辅助平面作衬托,更为直观. (4)常把定理“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两 个角相等”叫做等角定理,这个定理的内容,在初中平面几何中已经介绍过.在这里又给出 定理的证明,是告诉大家,凡是研究对象不共面时,平面几何的定理不再适用;反之,如果 我们所研究的对象在同一平面内,那么平面几何的所有规定依然适用.等角定理主要解决了 角在空间中的平移问题,这为后面建立异面直线所成角打下基础,并为解决异面直线角的问 题提供了解题方法. 在学习等角定理时要注意:①如果一个角的两边与另一角的两边分别平行,但方向相反, 那么这两角相等;②如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,有一组对边方向相同, 有一组对边方向相反,那么这两个角互补. (5)两条异面直线既然不相交,但它们之间又有一个角,这对于初学立体几何者来说, 是较难理解的. 实际上这个角是指这两条直线经过平移后处于相交位置时所成的锐角或直角,

因此异面直线所成的角的范围是 ,要注意其中不含 0 弧度,课本上为避免初学者误认 为此角是两异面直线相交而得,故不提“交角”而特别用了“所成的角”. 两条异面直线所成角的大小只由异面直线的位置来决定,而与 了便于计算出异面直线所成角的大小,常根据题目的需要把 的直线上. 点的位置无关.所以为

点选在具有特殊的点上或特殊

异面直线是相对于共面直线而言的.学习了异面直线的概念,就把对两直线间位置关系 的研究推广到了更广阔的领域――空间,而异面直线的夹角又是对空间两直线位置关系进行 精确描述的重要工具. (6) 两条异面直线的公垂线的定义要明确三点:即一垂直, 二相交, 三有且只有一条. 若 不相交,便没有交点,也就没有公垂线段,距离也就无从定义了. (二)教法建议 (1)在引入异面直线这一概念时应充分联系生活中的实例,例如教室里天花板上和地板 上两条不平行的墙的交线的位置关系;操场里跳高架上的横杆与竖直的电线杆的位置关系,

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等等,然后启发学生发现它们位置关系的特点是既不平行,也不相交,从而引出异面直线的 概念. (2)教师在讲解异面直线的概念时,为了让学生更好地理解“不同在任何一个平面内的 两条直”,可以通过画图举例来说明,如下图,图 1,2,3 中两直线是异面直线,而图 4 中两 条直线就不是异面直线,这样就比较容易与“不在同一平面内的两条直线”相区分. 在讲解概念中注意培养学生的图形语言理解和表达能力.(画异面直线除通常用一个或 两个平面作衬托)

图1

图2

图3

图4

所以两条异面直线等价于这两条直线既不平行也不相交,因此异面直线的定义又可理解 为“经过这两条直线无法作出一个平面”. (3)教师要注意把直观印象与逻辑推理统一起来,并在平面几何的公理、定理的基础上,运 用类比的方法,延拓得出相应的结论,再加以论证. ①平面几何中的平行线的传递性可推广到空间. ②讲解等角定理,可从平面几何的平行等角定理的结论和论证出发,来理解空间的等角 定理的结论和论证. (4)关于两条异面直线所成的角,讲解时要突出以下几点: ①将角的概念从“交角”拓广为“两直线的方向(或倾斜度)之间的差异”.如铁路桥 上列车的奔驰方向与穿梭在大桥下的船队航行方向之间的差异就是很好的实例; ②利用空间平移的不变性,将异面直线平移到一个平面内,再用平移得到的锐角(或直 角)的大小反映二异面直线方向上的差异,其大小与点 的位置无关;

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③计算异面直线 在 或



所成角的大小,按照定义法平移角,实际计算时,常将点



上,往往只需平移一条直线即可. 教学设计示例一 9.2 空间直线 第一课时

教学目标 1.了解空间两条直线的位置关系. 2.学习掌握公理 4. 3.理解掌握等角定理. 4.能应用公理 4 及等角定理解决简单问题. 教具准备:投影仪(胶片)、三角板. 教学过程 [设置情景] (1)在同一平面内,两条直线有几种位置关系?(两种:平行、相交),那么在空间, 两条直线有几种位置关系呢? (2)在同一平面内,平行于同一条直线的两直线平行,在空间中此结论仍成立吗? [探索研究] 1.空间两条直线的位置关系 空间直线的三种位置关系在现实中大量存在,在初中几何里已经介绍了空间的两条直线 有以下三种位置关系: (1)相交直线—有且仅有一个公共点. (2)平行直线—在同一个平面内,没有公共点. (3)异面直线—不同在任何一个平面内,没有公共点. 教师可出示立体几何模型,例如正方体模型,指出空间两条直线的各种位置关系.也可 以教室内墙与墙的交线为例. 2.平行直线

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(1)复习引入 在初中几何里我们已知道,在同一个平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么 这两条直线也互相平行. 教师提问:对于空间的三条直线,是否也有这样的规律? (2)导入新课 在教室内,大家一起找一找墙的交线有无不在同一平面内的三条直线两两平行的?在教 师指导下找出. 我们把上述规律作为本章的第 4 个公理. 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.

公理 4 也可以用符号表示为:设 、 例1 、 、





为直线, .

三条直线两两平行,可以记为

已知四边形 分别是边 、

是空间四边形(四个顶点不共面的四边形叫做空间四边形), 的中点, 分别是边 上的点,且

,求证:四边形

有一组对边平行但不相等.

证明:如图 1,连结 ∵ 是

. 的中位线.







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又在

中,



∴ 根据公理 4, 又 ∴四边形 , .





的一组对边平行但不相等.

由公理 4,我们可以推出下面的结论. 定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等. 例2 向量 已知: 与 求证: , 和 与 . 的边 的方向相同). , ,并且方向相同(即

证明:对于 和 都在同一平面内的情况,用初中几何知识可证明,下面 我们证明两个角不在同一平面内的情况. 如图 2, 在 、 ∵ ∴四边形 、 、 、 , 、 . . 是平行四边形. 、 上分别取 、 , 连结 、





同理

. . ,

根据公理 4,可得 又可得

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∴四边形 ∴ ∴

是平行四边形. .于是 .

把上面两个角的两边反向延长,就得出下面的推论: 推论 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或 直角)相等. 注意:对于由平面图形得出的结论,有些可以推广到立体图形中,例如上面的定理和推 论对于平面图形都成立,现在经证明可知对于立体图形也成立.但是,并非所有关于平面图 形成立的结论,对于立体图形都适用.例如,在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线 互相平行,但在空间里没有这样的结论.因此,一般地说,要把关于平面图形的结论推广到 立体图形中,必须经过证明. [演练反馈] 1.空间两直线平行是指它们( A.无交点 C.和同一条直线垂直 ) B.共面且无交点 D.以上都不对 )

2.在空间,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角( A.相等 C.相等或互补 3.如图 3, A.3 条 4.设直线 A.平行 C.是异面直线 、 B.互补 D.既不相等也不互补 异面的棱共有(

是长方体的一条棱,这个长方体中与 B.4 条 C.5 条 D.6 条



分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则 B.相交 D.可能相交,可能异面







5.一条直线与两条平行线中的一条是异面直线,那么它与另一条的位置关系是( A.相交 B.异面 C.平行 D.相交或异面



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6.两条异面直线是指(



A.空间两条没有公共点的直线 B.平面内一直线与这个平面外的一直线 C.分别在两个平面内的两条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线 7.课本 P11 练习 1. 8.课本 P12 练习 2. [参考答案] 1.B 2.C 3.B 4.D 5.D 6.D

7.理由依据为公理 4.

8.利用平行关系的传递性证明 , [总结提炼] [学生回答,教师补充完善.] ,故得

,然后由平行四边形的性质得 .



1.两条直线的空间位置关系及它们的定义. 2.公理 4. 3.等角定理及其推论. (四)布置作业 课本 P14 习题 9.2 1,2,3,4,5. [参考答案] 略. (五)板书设计

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1.位置关系 2.公理 4 3.例题

定理 推论

练习

教学设计示例二 9.2 空间直线 教学目标 1.理解异面的定义,会画出两条异面直线. 2.理解异面直线所成的角,异面直线的公垂线及距离等概念. 3. 能利用异面直线所成的角及异面直线间的距离等概念去求两条异面直线所成的角及两 条异面直线间的距离. 4.初步了解反证法. 教具准备:投影仪(胶片)、三角板. 教学过程: [设置情境] 两条平行线之间可以用距离度量它们的位置关系,两条相交直线可以用夹角来描述它们 的位置关系,那么怎么描述两条异面直线的关系呢,它们之间存在着夹角和距离吗? [探索研究] 1.异面直线的定义 不同在任何一个平面内的两条直线,叫做异面直线. 异面直线是指两条直线不能同在任何一个平面内, 而不能由 一定是异面直线,这是因为在上述情况下,还可能有 线,等价于两条直线既不相交也不平行. 2.异面直线的画法 表示异面直线时,以一个或两个平面衬托以显示出它们不共面的特点.如图 1 且 、 就说 第二课时

.两条直线是异面直

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3.两异面直线所成的角 过空间任意一点,分别作两条异面直线的平行线,则这两条相交直线所成的锐角(或直 角)叫做这两条异面直线所成的角. 如图 2(l),直线 和 、 是异面直线,图 2(2)中 、 所成的角. , , .则

所成的锐角(或直角)就是

4.异面直线互相垂直

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如果两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.异面直线 互相垂直,也记作 .



以后,我们讲两条直线垂直时,有时交垂直与异面垂直两种情况.异面直线所成的角范

围是:



5.两条异面直线的公垂线与距离 和两条异面直线都垂直相交的直线,叫做两条异面直线的公垂线. 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度,叫做两条异面 直线的距离. 6.例题分析 例1 设图 3 中的正方体的棱长为 和 的距离. ,(1)求直线 和 所成的角的大小;(2)

求异面直线

解:(1)∵ ∴ ∵ ∴ 和 所成的角是 . 和 所成的锐角就是 和 所成的角.

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(2)

. 对于任意两条异面直线,它们的公垂线有且仅有一条(证明略).高考中,求异面直线 的距离,只要求会已给出公垂线的距离的计算. 例2 求证:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线. 已知: 求证:直线 , 和 , , (图 4).

是异面直线. 和 共面,即有平面 使 , ,于是

证明:用反证法证明.假设直线 , ∵ ∴过 和 , . , .

有且仅有一个平面,即平面 ,可知 和 是异面直线. ,这与已知

.于是,



是同一平面,即



由假设知 ∴直线 [演练反馈] 1.若 、

矛盾.

是异面直线,



是异面直线,则



的位置关系不可能是(



A.相交直线 C.异面直线

B.平行直线 D.以上结论都不对 )

2.没有公共点的两条直线的位置关系是( A.异面 C.异面或平行 3.下列说法中正确的是( B.平行 D.不确定 )

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A. B. C. D. 与 、 、 异面,

,则 与



是异面直线 与 与 异面 异面 与 异面 ,则直线 必定( )

异面,则 内,则

不同在平面

不同在任何一个平面内, 、 、 分别在平面 相交 和

4.异面直线 A.分别与 B.与

内,若



都不相交 、 、 中的一条相交 中的一条相交 中,与对角线 ,则 与 异面的棱共有______条.

C.至多与 D.至少与 5.在正方体 6. 、

是异面直线,

的位置关系是__________.

[参考答案] 1.D 2.C 3.D 4.D 5.6 6.相交或异面

[总结提炼] 画两条异面直线必须用一个平面去衬托,异面直线所成角的定义的合理性是由等角定理 保证的,要求两条异面直线间的距离必须先找到这两条异面直线的公垂线,考纲中只要求会 计算已经给出公垂线段的两异面直线间的距离,反证法一般都是在正面证明不方便的情况下 使用的. (四)布置作业 课本 P15 习题 9.2 (五)板书设计 1.复习 例1 例2 6,7,8,9,10.

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2.异面直线 (1)定义 (2)画法 (3)所成的角 (4)垂直 (5)公垂线和距离 教学设计示例三 9.2 空间直线 第三课时 教学目标: 1.巩固复习异面直线,异面直线所成的角及异面直线间的距离等概念 2.会根据概念求异面直线所成的角以及两条异面直线间的距离. 教具准备:投影仪(胶片)、三角板. 教学过程: [复习引入] (1)空间两直线的位置关系,公理 4. (2)异面直线的概念. (3)异面直线所成的角和异面直线间的距离的概念. (4)空间等角定理及推论. [探索研究]

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例1

如图 1,已知平面 , ,求证: 和



, 是异面直线.



证明:(反证法) 假设 ∵ 共线. ∴ 又 与 、 重合. 、 与 既在 重合. 相矛盾,所以假设不成立. 内又在 内. 、 、 既在 内又在 、 内,且 在同一平面 、 、 内. 三点不

同理, ∴ 故 例2 (1) (2) (3) 与 与

重合.但这与已知 是异面直线. 中,

如图 2,在正方体 与 与 与 ; ; .

为上底面中心,求下列异面直线所成的角:

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解:(1)平移 角形,∴ (2)平移 证明 形,进而发现是菱形,设 ∴ (3)平移 与 到 到 ,从而 与 所成角为 ,则

到 . (

,则

为所求.而

为等边三

分别为 ,再证



的中点,)用公理 4 为平行四边

,得证 与

交点 .

,则

所成的角为所求∵

为所求,解

,此三角形为等腰三角形(∵

),





∴ 例3

. 如图 3,空间四边形 , 、 分别为 边长均为 、 、 的距离 , ,连对角线 、 ,且

的中点. 的公垂线;

(1)证明: (2)求异面直线 解:(1)连 ∴ 在等腰 ∴ 、

是异面直线 与

,由题设,知

中, .



的中线,

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同理可证, ∴ 与 与异面直线 的公垂线.

. 、 相交且垂直, 即 是异面直线

(2)在

中,









因此, [演练反馈]



间的距离为



1.如图 4,在正方体中, 求 与



分别为



上的点,且



所成角的余弦值.

2. 如图 5, 的中点, 为

是异面直线 的中点, 中, 和

上的点, 线段 ,求异面直线

, 所成角的余弦值. ,



3. 如图 6, 在空间四边形 别是 和



的中点,求异面直线

所成角的余弦值.

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[参考答案] 1.提示:在棱 4 证明出 上取 ,得 (公理 4),则 2.提示:取 中点 ,连 ,取 中点 ,连结 ,再由 ,用公理 得到 . .则 ,而 与 与 所 所成的

为平行四边形,从而

即为所求,最后用余弦定理的 ,易证 中用余弦定理算出 . 、 ,则 ,∴ ,

成的角即为所求,在 角为

的补角,所以结果应为 ,取其中点 ,连

3.提示:连结

(或其补

角)为异面直线



所成的角,在

中,





, 角的余弦值为 [总结提炼] .

,∴

,即异面直线



所成

在作异面直线所成的角时,顶点往往选择在其中一条直线上,而且常常是该线段的端点 或中点,在构成角的过程中,常常让其中一条线不动,另一条线沿着某个平面滑动(平移), 直到两线相交,在计算异面直线所成的角时,要注意按“作→证→算”的步骤来进行. (四)布置作业 1.和两异面直线都垂直的直线( A.不一定存在 C.有两条 2. 空间四边形 的中点,求 3.在棱长为 与 的各边长均为 所成的角. 中, ) B.仅有一条 D.有无数条 且对角线 , 分别是

的正方体

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(1)求 (2)若 (3) [参考答案] 1.D 2. 与



所成的角; 分别是 的距离. 的中点,求 与 所成角的余弦值;

3. 略解: (1)





的夹角, 在

中,



∴ (2)取 中点

. ,连 ,则 ,∴ 为所求,在 中,







(3)



(五)板书设计 例1 例2 典型例题 例1 若 , ,则 , 的位置关系是( ) 例3 练习

A.异面直线 C.平行直线 分析 结论.

B.相交直线 D.相交直线或异面直线

判断两条直线的位置关系,可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确

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解: 如图所示, 在正方体 则 若设 故选 D. . ,则 与 相交.若设 ,则 与

中, 设





异面.

说明:利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解.一般以正方体、四面体 等为具体模型.例如, , 相交, , 相交,则 , , 的位置关系是相交、平行或异 面.类似地; , 异面, , 都可以用正方体模型来判断. 例 2 已知直线 和点 , 异面,则 的位置关系是平行、相交或异面.这些

,求证:过点

有且只有一条直线和

平行.

分析:“有且只有”的含义表明既有又惟一,因而这里要证明的有两个方面,即存在性 和惟一性. 存在性,即证明满足条件的对象是存在的,它常用构造法(即找到满足条件的对象来证 明);惟一性,即证明满足条件的对象只有一个,换句话说,说是不存在第二个满足条件的 对象. 因此,这是否定性命题,常用反证法. 证明:(1)存在性. ∵ ,∴ 和 可确定一个平面 内存在着过点 , 和 平行的直线.

由平面几何知识知,在 (2)惟一性 假设在空间过点 矛盾, ∴ 过点

有两条直线



满足



.根据公理 4,必有



有一条且只有一条直线和

平行.

说明:对于证明“有且只有”这类问题,一定要注意证明它的存在性和惟一性.

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例3

如图所示, 设 , ,





, ,



别是空间四边表

的边 上的点,且

, (1)当 (2)当 时,四边形 时,四边形

,求证: 是平行四边形; 是梯形. 即可.

分析:只需利用空间等角定理证明 证明:连结 ,



中,

,∴

,且



在 ∴ ∴ 顶点

中, , , , 时, 时, ,

,∴

,且



在由



确定的平面内. 为平行四边形; 是梯形.

(1)当 (2)当

,故四边形 ,故四边形

说明:显然,课本第 11 页的例题就是本题(2)的特殊情况.

特别地,当 的四边形是平行四边形. 如果再加上条件 例4 已知

时,







是空间四边形各边中点,以它们为顶点

,这时,平行四边形 上的两点 且

是菱形. 的距离为 6,直线 ,求异面直线 上的两点 所成

是两条异面直线,直线

的距离为 8, 的角.

的中点分别为

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分析: 解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造成和异面 直线 解. 平行的两条相交直线, 然后把它们归纳到某一三角形中求

解:如图,连结 ∵ ∴ 分别是 , , ∴ 又∵ ∴ 在 ∴ ∴ 故异面直线 . 所成的角是 . , 中,又∵ , . 所成的锐角或直角是异面直线 , . , , 和 ,即

,并取 的中位线,

的中点

,连结



所成的角.

评注:在求两条异面直线所成的角时,一般要依据已知条件,找出与两条异面直线分别 平行并且相交于一点的两条直线.但是,异面直线所成角的定义中的点 一般是在图形中存 在着的,需要认真观察分析图形的性质,从而找出这一点和过这一点与两异面直线平行的直 线,以得到两条异面直线所成的角,在求这个角的大小时,一般是根据平面图形中解三角形 的知识求解的. 例5 已知四面体 (1)异面直线 (2)异面直线 和 的所有棱长均为 的公垂线段 所成的角. 的公垂线段,进而求出其距离;对 .求: 及 的长;

分析:依异面直线的公垂线的概念求作异面直线 于异面直线所成的角可采取平移构造法求解.

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解:(1)如图,分别取 由已知,得 ∴ ∴ 同理可证 ∴ 是 的公垂线段. , . ≌ 是 .

的中点

,连结



的中点,



中,







. (2)取 ∴ 和 的中点 ,连结 ,则 . 和 所成的角.

所成的锐角或直角就是异面直线

连结

,在

中,







由余弦定理,得

. ∴ 故异面直线 . 和 所成的角为 .

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评注:对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决,同时要将转化过程简要地写出 来,然后再求值. 扩展资料 数学思想与解题发现 数学思想的重要意义在于指导解题者进行有序的科学的探索活动,避免盲目性,为顺利 发现解题方法提供保障.下述为课堂上学生对一道立体几何命题的解题方法的探求过程,也 许有助于提高对该问题的认识,现录如下: 命题:对边平方和相等的空间四边形的对角线互相垂直. 探索一:回归定义,所成角为 ,则有 , ,作角计算,如图(1)分别取 ,这样问题就演变为证明 的各边长来解决,记 ,则 和 的长, 再进一步在 , 中 为 的中点 .因为

题设为数量关系,故可考虑通过计算

的长分别为 . 在 求出中线 和 中分别求出中线

的长,比较

的关系即可解决问题.

图 探索二:遵循化归思想,该问题也可考虑构造平行四边形 (如图(2)),通过证

来证明其为矩形.遵循条件集中的原则取各棱中点并顺次连结(如图(2))构造 四边形 和四边形 ,使已知量—四边形边条边,与求解对象— 和四边形 和 中 均为平行四边形. 和 建

立联系.可证四边形 在平行四边形

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∴ ∴ ∴平行四边形 为矩形?

师评:该解法思维跨度大,实属不易,可见功底不凡. 探索三: 遵循化归思想, 该问题也可以转化为线面垂直来证明, 作 图(3)),只要证明 在 中 即可. , 连结 (如

∴ 在 中,

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∴ ∴ 师评:思路很好,但该法未能回避繁琐的运算. 探索四:遵循特殊化思想,该问题如特殊化即为如下平面几何问题:对边平方和相等的四边 形的对角线互相垂直(如图(4)).遵循反证思想,这一命题的反命题利用勾股定理很容易 证得.受此启发,对于原命题,如图(5)作 重合,运用方程思想构造关于 的方程,求出 、 的值即可. ,只要证明

图 设 , , , , ,

由已知得 化简得 ∴ 相应的立体几何命题同样得证. 师评:漂亮. 习题精选

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一、选择题 1. 已知二直线 A.平行 2.正方体 ( ). A.4 B.6 C .8 , 都和第三条直线 B.相交 C.异面 垂直并相交, 则直线 , 的位置关系是 ( ) .

D.平行或相交或异面 成异面直线的棱的条数是

的 12 条棱中,与体对角线

D.12 上有 5 个点,直线 上有 8 个点,则由这 13 个点能确

3.已知 , 是异面直线,直线 定的平面的个数是( ). A.5 4.已知 , B.8 C.13

D.220 ,那么直线 与直线 ( ).

是异面直线,且直线

A.一定是异面直线 C.不可能是相交直线 5.已知 A.相交直线 C.平行直线 6.空间四边形 是边 A. 7.棱长为 A.4 条 和

B.一定是相交直线 D.不可能是平行直线 是 的公垂线,则 与 是( )

是两两垂直的异面直线, B.互不垂直的异面直线 D.互相垂直的异面直线 中, 的中点,则异面直线 B. C.

,且异面直线 和 D.





的角, )

分别

所成角等于( 或

的正方体中,与其中一条棱所在直线异面且距离为 B.5 条 与 成 C.6 条 的角, ). C.3 条 D.4 条 D.7 条 为空间一定点,则过点

的棱共有(

).

8.已知异面直线



所成的角都是

的直线有且仅有( A.1 条 B.2 条

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二、填空题 1.设 , 是异面直线, 是 , 共点的个数是_________________. 2.设 , 是两个相交平面,直线 是_________________. 3.给出下列四个命题: ①既不平行又不相交的两条直线是异面直线 ②条直线与两平行直线中的一条直线异面, 那么它与二平行直线中的另一条直线也异面; ③条直线与二异面直线中的一条直线相交,那么它和二异面直线中的另一条直线可能相 交或平行或异面; ④两条异面直线的距离,是分别在两直线上的两点间的最短距离. 其中,正确命题的序号是_________________. 4. 长方体 中, 已知 与 , , 则异面直线 与 的公垂线,且直线 ,则直线 与 , 的公

,直线

,那么直线



的位置关系

的距离是___________;异面直线 5.棱长为 异面直线 的正方体 和

的距离是____________. 中,异面直线 与 的距离等于________;

的距离等于____________.

6.长方体 中, 所成角的余弦值为___________. 三、解答题 1. 已知 证,直线 2. 已知点 于 , , 是两个平面, 直线 . 与 相交. 是



,则异面直线



是异面直线, 且



. 求

中至少有一条直线与直线 平面 和 , , 是异面直线.



边上的中线, 且

,求证:

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3.如图 1,空间四边形 是边 , 上的点,且

中,



分别是边 ,求证:直线

, ,

的中点, ,



分别

交于一点.

4.已知 一点 ,使

是异面直线 到

的公垂线段, 到直线

, 的距离.



的角.在直线

上取

的距离为 4,求点

5.如图 2.

是空间四边形,且它的四条边和两条对角线都相等, 与 所成角的余弦值.

分别是

的中点,求异面直线

6.长方体 对角线 与侧面对角线

中,底面 所成角的余弦.

是边长为 4 的正方形,体高

,求体

参考答案 一、选择题 1.D 二、填空题 2.B 3.C 4.D 5.C 6 .D 7.A 8.C

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1.0 或 1;

2.平行或相交或异面;

3.①③④;

4.2,2;

5.





6.

三、解答题 1.提示:用反证法.假设 异面矛盾. , 都不与 相交,推出 , ,从而 与 ,

2. 提示: 用结论 “过平面外一点和平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线” . 3.提示: 证 (平面 且 平面 ,四边形 ). 为梯形.设 与 交于点 ,

4.

5.

6.

9.3 直线和平面平行的判定和性质
教学目标 1.了解空间直线和平面的位置关系; 2.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理;进一步熟悉反证法的实质及其一般解题 步骤. 3.通过探究线面平行定义、判定和性质定理及其应用,进一步培养学生观察、发现的能 力和空间想象能力. 4.通过有关定理的发现、证明及应用,提高学生的空间想象力和类比、转化的能力,提 高学生的逻辑推理能力. 5.通过本节课的教学,培养学生仔细、认真的学习态度,激发学生进一步探索和求知的 欲望. 教学建议 (一)教材分析 1.知识结构

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2.重点难点分析 重点:直线与平面平行的判定、性质定理的应用;难点:线面平行的判定定理的反证法 证明,线面平行的判定和性质定理的应用. (1)直线和平面的位置关系 研究直线与平面的位置关系的一般标准:①有无公共点;②直线是否在平面内.可列表 如下,见下表: 直线在平面外 直线和平面相交 直线与平面有且只有 一个公共点 直线和平面平行 直线和平面没有公共点

位置关系 定义

直线在平面内 直线和平面有无数个 公共点

图示 表示方法 直线 读法 于 和平面 相交 直线 平行于平面 直线 在平面 内

画直线和平面的位置关系示意图要注意: ①线在平面内,直线不要超出表示平面的四边形的各边; ②直线和平面平行,在画图时,平面外的直线要和表示平面的四边形一组对边平行. (2)直线和平面平行的判定定理 直线和平面平行的判定定理是研究直线与平面、平面与平面位置关系的基础,这个定理 是用直线与直线的平行来判定直线与平面平行的,可以简记为“线线平行,则线面平行”, 在这里线、线平行的条件是非常重要的,即一条直线在平面外,一条直线在平面内,不注意 这个条件,只注意到线、线平行,往往会发生判断错误. 要在理解的基础上记忆直线和平面平行的判定定理, 此定理是判定直线平行平面的依据, 用符号语言描述为:

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.要注意三个条件必须齐备. 利用直线和平面平行的判定定理证明问题时,一定要说明“平面外的一条直线和平面内 的一条直线平行”,若不注明和平面内的直线平行,证明过程不完备. (3)直线和平面平行的性质定理 直线和平面平行的性质定理的证明要抓住以下两点:其一是由于已知直线与已知平面平 行,则这条已知直线和已知平面内的所有直线都没有公共点,其二是过已知直线的平面与已 知平面的交线与已知直线在同一平面内.根据以上两点,就可以判定已知直线和交线互相平 行了.这个定理可以简记为“若线面平行,则交线平行”. 理解直线与平面平行的性质定理时,要强调条件“经过这条直线的平面与这个平面相 交”,防止误解为“一条直线平行于一个平面,就平行于这个平面内的一切直线”. (二)教法建议 (1)从实际生活入手,多举一些实例,引入直线和平面的位置关系,启发学生自己进行 线面位置关系的分类.可以以足球门和地面、教室里墙面的交线与地面等为例. (2)对于直线与平面平行的判定定理,可从学生的实际经验和直观感觉入手,如:怎样 放置跳高的跳高竿,使竿子与地面平行?实际经验启示:只需竿子与地面中的一条线平行, 由此揭示直线与平面平行的判定依赖于直线与直线平行.但这两直线必须一条在面内,另一 条在面外. (3)应用直线和平面平行的性质定理,学生较容易用错,教学中不妨采用“找错教学”, 学生练习证明时,将出错学生的解法投影出来,让其他的学生寻找错误,这样学生对于它的 应用印象要深一些. (4)注意采用多媒体教学手段,条件允许的学校,可以演示一些多媒体课件,帮助学生 理解. 教学设计示例一 9.3 教学目标 1.了解直线和平面的位置关系种类. 2.掌握直线和平面平行的判定、性质定理. 教具准备:投影仪(胶片)、三角板、自制模型等. 教学过程 [设置情境] 空间两直线有三种位置关系:平行、相交与异面.直线和平面有哪几种位置关系?教室 天花板边缘的一条棱所在的直线与地面所在平面的位置关系属于哪一种?怎么判定? [探索研究] 1.直线和平面的位置关系 天花板边缘的一条棱所在的直线与地面所在平面没有公共点,这就是线面的一种位置关 系:平行.另外还有两种:在平面内和相交. 直线与平面平行的判定和性质 第一课时

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如果一条直线和一个平面没有公共点,那么我们说这条直线和这个平 面平行. 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种: (1)直线在平面内—有无数个公共点. (2)直线和平面相交—有且只有一个公共点. (3)直线和平面平行—无公共点. 我们把直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. 2.线面位置关系的画法 如图 1 是表示三种位置关系的图形.一般地,直线 表示平面 平面 的平行四边形内;直线 在平面 的平行四边形外. 在平面 内时,应把直线 画在 外时,应把直线 或它的一部分画在表示

直线 平面

与平面

相交于点 .

, 规定记作:

, 不能写成

; 直线



平行,记作

直线与平面是否平行,可以直接用定义来检验,但“没有公共点”不好验证,所以我们 来寻找比较实用又便于验证的判定定理. 3.直线和平面平行的判定 直线和平面平行的判定定理 这条直线和这个平面平行. 已知: , , (图 2) 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么

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求证: 证明:∵ ∴经过 ∵ ∴ ∵ ∴ 与 ,而

. , 确定一个平面 , .

是两个不同的平面. ,且 . 与 没有公共点,假设 的公共点,这与 与 有公共点 ,则 , ,

下面用反证法证明 ,点 ∴ . 是

矛盾.

为便于记忆,我们通常把这个判定定理简单说成“线线平行,线面平行”. 例1 求证:空间四边形相邻两边中点的连线,平行于经过另外两边的平面. 中, 分别是 的中点(图 3)

已知:空间四边形

求证: 证明:连结

平面 .



. 4.直线和平面平行的性质

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直线和平面平行的性质定理

如果一条直

线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这 个平面相交,那么这条直线和交线平行. 已知: 4). 求证: 证明: . , , (图

. 我们常把这个性质定理简单说成“线面平行,交线平行”. 例2 在图 5 所示的一块木料中,棱 内的一点 和棱 平行于面 .

(1)要经过面 (2)所画的线和面

将木料据开,应怎样画线?

是什么位置关系? 和 各线,其中画 呢?显

分析:要画出锯木料时所用到的线,就是要画出图中的 出 然, 面 是关键,因为点 是截面 ,可知 (由点 和 确定后, 和棱 和

很容易画出,怎样画出

所确定的平面)与面

的交线.由已知 直接画与 是面 平行的直线不 与面 的 与

.由于受木料形状的限制,过点 画与 平行的直线,而

好画.注意到木料上容易过点

交线, 由已知和以上的性质定理, 容易推出 平行的直线来确定 .

. 于是, 我们可以通过画出过点

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解: (1 ) 在面 于点 、 ,连结

内, 过点

画直线

, 使



交棱



就是应画的线.

(2)

. 显然都和面 [演练反馈] 1.课本 P19 练习 1 至 3 2.课本 P19 习题 9.3 [参考答案] 1.略 2.提示:设书脊所在直线为 ∵ , . ,桌面所在平面为 ,则 或 , 1和2 相交.

3.提示: 4.提示:在面 内过点 作 即可.

同理



5.提示:错、错、错、对. [总结提炼] 利用线面平行的判定与性质定理必须记清条件,它们各有三个条件. 判定定理: 性质定理: , , , , 3,4,5.

布置作业:课本 P19~P20 习题 9.3 板书设计:

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1.线面位置关系 2.判定定理 3.例 1

4.性质定理 5.例 2

教学设计方案二 9.3 直线与平面的平行和判定 第二课时 教学目标 1.巩固复习直线和平面的位置关系. 2.巩固复习直线和平面平行的判定与性质定理. 教具准备:投影仪(胶片)、三角板. 教学过程: [复习引入] 1.直线和平面的位置关系: (1)相交;(2)平行;(3)在平面内. 2.直线和平面平行的判定定理. 3.直线和平面平行的性质定理. [探索研究] 例1 选择题: (1)直线 与平面 平行的充分条件是( A.直线 与平面 内一条直线平行 B.直线 与平面 内无数条直线平行 C.直线 与平面 内所有直线平行 D.直线 与平面 没有公共点 (2)过直线 外两点,作与 A.能作出无数个 C.不能作出 例2 且 如图 1,



平行的平面,这样的平面( B.只能作出一个 D.上述情况都有可能



是空间四边形, 平面 ,须证 ,

分别是四边上的点,它们共面 平面 .

是平行四边形,求证: 分析:欲证 即可. 证明:∵ ∴ 又平面 ∴ 又 ∴ 是平行四边形, ,可得 经过 . 平面 平面 . . 面 平面 且与平面 平面

平行于平面内一条直线,显然,只要证

, 交于 .

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同理可证: 平面 . 评析:直线和平面平行的判定定理及性质定理在解 题时往往交替使用. 证线面平行往往转化为证线线平行, 而证线线平行又将转化为证线面平行.循环往复直至证 得结论为止.证此类问题时一定要目标明确.由已知想 性质定理,由结论想判定定理. 例 3 求证:两个相交平面分别过两条平行直线,则它们的交线和这两条平行 直线平行. 此题可由一名学生上台板演,其他学生自己画图在下面证,教师巡回检查,观察他们的 证法,好的予以表扬,错误的指出来. 已知: 求证: 证明:∵ ∴ 又 , , , . , . , , .如图 2.

∴ . 例4 求证: 证明:作 如图 3,正方体 平面 , 中,点 . 分别交 和 于 ,连结 . 在 上,点 在 上,且 ,

由 与 又由已知 可证得 ∴ ∴ 又 . 平面 平面 ∴ 平面 , , 中找一条直 , , 是平行四边形. ,

评析:本题是将证“线面平行”转化为证“线线平行”,即在平面 线与 平行.从而证得 [演练反馈] 平面 .

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1.若直线 不平行于平面 ,且 ) A. 内所有直线与 异面 B. 内不存在与 平行的直线 C. 内存在惟一的直线与 平行 D. 内的所有直线与 都相交 是两条异面直线, ) 都平行 都平行 都平行 是不在

,则下列结论成立的是

2. 的是( A.过点 B.过点 C.过点

上的点,则下列结论成立

有且只有一个平面与 至少有一个平面与 有无数个平面与

D.过点 且平行于 的平面可能不存在 3.两条平行线中的一条平行于一个平面,那么另一条与此平面的位置关系是( A.平行 B.相交或平行 C.平行或在平面内 D.相交或平行或在平面内 4.已知直线 A.平行 C.相交 5.已知直线 A. C. 平行,则 与 且 且 平面 ,直线 ,则 B.异面 D.无公共点 及平面 B. D. , ,且 与 必定( )



,则下列条件中使

成立的是(



6.三条直线

两两异面,它们所成的角都相等且存在一个平面与这三条直线都 所成的角的度数为_____________. 中, , , 与 成 角,

7.空间四边形

分别是四边中点,则四边形 8.如图 4,正方体 . 9.正方体 (1)画出与 中 中,

的面积是_________. 是 的中点,求证: 平面

平行且仅过正方体三个顶点的截面;

(2)画出过 且和 平行的截面. 10.已知平面外的两条平行线中的一条和这个平面平行,求证另一条直线也和这个平面 平行. 参考答案 1.B 可. 9.提示:如图 5, (1)过顶点 或顶点 . (2)取 中点 2.D 3.C 交 4.D 5.C 于点 6. , 连 7. . 证明 , 面 即

8. 提示: 连

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连结



. 作平面 交 于直线 ,∵ 则 ,又 是

10.提示:如图 6,过 ∴ ∴ .

[总结提炼] 在应用线面平行的判定与性质定理时,要注意认清条件,另外这两个定理在证题时往往 需要在交替使用,但要注意这种交替不是循环,而是步步向前推进的. 布置作业: 1.课本 P20 习题 9.3 6. 2.课本 P20 习题 9.3 8. 3.求证:若一条直线与两相交平面平行,则此直线与它们的交线平行. 4. 空间四边形 于 参考答案 1.由 ,得 与 , 不相交,则 矛盾; 与 , 相交于 相交. ,过 , 作平面 . ∴ ,使 , 从而 ,由 , ∴ , ,于是 或 ,否则由 . 得 . ,否则由 或 , 2.由反证法证,假设 且 与已知 3.证明:设 得 ∴ , 同理过 . 4.证明:连 由已知得 又∵ ∴ 平面 ,则 ,见图 1. ,则 ,平面 , 为 平面 . 平面 的中点. . 作平面 ,得 ,与 矛盾,综上可知 , 与 ,求证:四边形 中, 分别为 为平行四边形. 的中点, 平面 交

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∵ ∴ ∴四边形 板书设计: 例1 例2





为平行四边形.

例3 例4 典型例题

例 1 简述下列问题的结论,并画图说明: (1)直线 (2)直线 平面 ,直线 ,则直线 或 或 . ,则 和 和 的位置关系如何?

,直线

的位置关系如何? ;

分析:(1)由图(1)可知: (2)由图(2)可知:

说明:此题是考查直线与平面位置关系的例题,要注意各种位置关系的画法与表示方法. 例2 是平行四边形 所在平面外一点, 是 的中点,求证: 平面

. 分析:要证明平面外的一条直线和该平面平行,只要在该平面内找到一条直线和已知直 线平行就可以了. 证明:如图所示,连结 ∵四边形 ∴ ∴ ∵ ,交 于点 , 是平行四边形 ,连结 . 在平面 外, ,则 在平面 内,且 是 的中位线,

∴ 平面 . 说明:应用线面平行的判定定理证明线面平行时,关键是在平面内找一条直线与已知直 线平行,怎样找这一直线呢?

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由于两条直线首先要保证共面, 因此常常设法过已知直线作一平面与 已知平面相交,如果能证明已知直线和交线平行,那么就能够马上得到 结论.这一个证明线面平行的步骤可以总结为: 过直线作平面,得交线,若线线平行,则线面平行. 例 3 经过两条异面直线 明你的结论. 分析:可考虑 解: (1)当 时,过 可过点 (2)当 作 , , 之外的一点 ,可以作几个平面都与 , 平行?并证

点的不同位置分两种情况讨论. 点所在位置使得 , , , (或 , (或 , , )本身确定的平面平行于 (或 (或 ) 都平行的平面; )本身确定的平面与 , )不平行时, .由于 .可作 .由于 确定的平面 异面,则 不重合且相交于 ,

点再作不出与 , ,

点所在位置

,则由线面平行判定定理知:

一个平面都与 , 平行. 故应作“0 个或 1 个”平面. 说明:本题解答容易忽视对 点的不同位置的讨论,漏掉第(1)种情况而得出可作一 个平面的错误结论.可见,考虑问题必须全面,应区别不同情形分别进行分类讨论. 例 4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,那么另一条直线也平行于这个平 面. 已知:直线 求证: . 及平面 内一点 作平面 . , 平面 , .

证明:如图所示,过 设 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ . , . , , . , ,

说明:根据判定定理,只要在

内找一条直线

,根据条件

,为了利用直线

和平面平行的性质定理,可以过 作平面 与 相交,我们常把平面 称为辅助平面,它 可以起到桥梁作用,把空间问题向平面问题转化. 和平面几何中添置辅助线一样,在构造辅助平面时,首先要确认这个平面是存在的,例 如,本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的. 例 5 如图 4 所示,已知平面 , ,求证, . 和 .又已知条件中有线面平行,这就要求我们 分析:要证 ,只须证明 将线面平行转化为线线平行. 平面 ,平面 平面 ,平面 平面

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证明:∵ , 是过 的平面, ,∴ 同理 ,∴ . 说明:直线和平面的平行问题,常常转化为直线和直线的平行问题,而直线和直线的平 行问题也可以转化为直线和平面的平行问题.如遇到线线平行的问题可以想想线面平行的问 题,要做出命题的正确转化,就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理的内容,明 确定理中的条件和结论.解题时,分析已知和结论,通过定理的恰当运用实现转化. 扩展资料 数学证明与解 1.数学证明 数学证明是数学中根据某些命题的真实性, 来推断另一个命题的真假的一种思维过程. 通 常推断命题为真,叫做证明为真,也称为证明;而推断命题为假,叫做证明为假,也称为反 驳. 关于证明应注意两点: (1)命题的“真假”总是相对于某个数学理论来说的,因为“真假”在数学中具有相对 性.在整数集中,无倍数关系的两个数的除法就已无意义,即是“假”的;在实数范围内负 数不能开偶次方;在初等数学看来,高等数学的一些命题是不真的.实际上,证明也总是在 一定的数学理论体系内进行的. (2)证明是一种逻辑推理过程,要求具有一定的逻辑性和严谨性,即数学推理的严格性, 重要的是推理要有依据(公理和已证定理)和要严格遵守逻辑规则.注意,这些逻辑规则是 假定先于数学而存在的. 数学证明所应遵守的一般逻辑规则是: (1)可以在一个证明的任何地方引入一个前提(依据). (2) 如果一个证明中有一些先引入的前提, 这些前提的合取可以逻辑地推出一个命题 那么就可以在这一证明中引入这个命题 (3)如果能从一个命题 本身推导出命题 2.解释 对于一个理论系统 概念指 ,若有一组具体事物 ,其性质是已知的,在规定 中都成立,则 中每一基本 称为理论系统 . . ,那么就可以从这个前提集合 ,

和一个前提集合推导出命题

中某一具体事物后,可验证

的每个公理在

的一个解释,或一个模型、一种应用. 解释的方法在数学中也是很常用的.例如中学立体几何课程的若干直观教具(正方体等

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模型),就是中学几何中提供的三维欧氏空间理论的一个解释.在证明一个公理系 统自身所必须满足的某些性质如无矛盾性、独立性和完全性等方面时,解释的方法 是惟一有效的.现代数学的形式系统中,所处理的只是各种符号和符号序列及其变 形,它们的数学意义是靠解释来给定的. 探究活动 已知空间四边形 ,并分别交边 所成的角, ①若 ②若 答案:定值 . 习题精选 一、选择题 1. , 是空间两条不相交的直线, 那么过直线 A.有且仅有一个 B.至少有一个 C.至多有一个别 D.有无数个 2. 设 “ , 是空间两条垂直的直线, 且 平面 且平行于直线 的平面 ( ) . 的对角线 , , 与 的值; ,求 的值.与问题①比较,你能得出什么结论? 于 相互垂直,一平面 , , .设 ,且平面 为异面直线 与

为异面直线 ,求

所成的角.

. 则在“ ).

”、 “ D .3 个

”、

”这三种情况中,能够出现的情况有( A.0 个 B.1 C .2 个

3.已知点 是两条异面直线 , 外一点,则过 点且与 , 都平行的平面 的个数是( ). A.0 B.1 C .0 或 1 D .2 4.一个面截空间四边形的四边得到四个交点,如果该空间四边形仅有一条对角线与这个 截面平行,那么此四个交点围成的四边形是( ). A.梯形 B.任意四边形 C.平行四边形 D.菱形 二、填空题 5.已知 , ___________. 6.已知直线 7.设 ①若 ②若 ③若 , , , , 与 是两条异面直线,且 在平面 是平面 ,则 ,则 相交,则 外,则 ; ; 与 也相交; 与 平面 ,则直线 与平面 的位置关系是

的位置关系是________________.

外的两条直线,给出下列四个命题:

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④若 与 异面, ,则 . 其中正确命题的序号是_________________. 三、解答题 8.都平行平面 两端点分别在 平面交于点 的对角线 求证: 10.已知 参考答案: 一、选择题:1.B 2 .D 3.C 二、填空题:5.平行或相交或在 三、解答题: 8.提示:连 9.提示:作 ,设 ,作 4.A 内; , , , , 的 , 是两异面直线且分居在平面 不同于 .求证: 不在同一平面内, . . 有且只有一个平面 与 平行. , 的两侧. 不同于 . 、 分别在它们 ),若 , 是 与 上的任意一条线段( 与 上,且 平面 平面交于点 和

9.已知两个全等的矩形

是异面直线,求证:过直线

6.平行或相交; ,证 ,证 还有一个平面 且 ;

7.①、③; ;

10.提示:证唯一性时用反证法:假设过 ,证得 与 ,

,由



异面矛盾.

9.4 直线和平面垂直的判定和性质
教学目标 1.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理;能应用线面垂直的定义及线面垂直的判定定理解 题. 2.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念;了解三垂线定理 及其逆定理. 3.通过对有关概念和定理的概括、证明和应用,使学生体会“转化”的观点,提高学生的空间想 象力和逻辑推理能力.” 4.激发学生的学习兴趣,培养学生不断发现、探索新知的精神;渗透事物间相互转化和理论联系 实际的辩证唯物主义观点,并通过图形的立体美、对称美,培养数学审美意识. 教学建议

数学驿站 (一)教材分析 1.知识结构

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2.重点难点分析 重点:直线和平面垂直的判定定理和性质定理、直线与平面间的距离以及直线和平面所成的角;难 点:线面垂直的判定定理的证明、直线与平面的距离以及直线和平面所成角的求法所渗透的转化思想、 三垂线定理的证明. (1)直线和平面垂直的判定定理 直线与平面垂直的判定定理的证明,是所有直接法证明中最难的之一,因为证明时,既要“用两条 相交直线”去代替“任何一条直线”,又要在空间进行三次三角形全等的证明,这种证明过程,其实是 由平面的轴对称转换为空间的镜面对称的过程,过去基本没有接触过,所以是教学的重点也是难点。 对线面垂直判定定理的证明,应先着力以对称的观点去认识垂直:对平面的垂线上以垂足为中点的 线段而言,平面上过垂足的直线都是它的对称轴,即线段的中垂面是到线段两端点距离相等的点的集 合.因此,线面的垂直即直线关于平面的镜面对称.有了镜面对称的概念,判定定理的证明就会显得自 然. 判定定理可以概括为“线线垂直 线面垂直”,但一定要注意“线线垂直”中第一个“线”表示 平面外的直线,第二个“线”表示平面内的两相交直线。 (2)射影的概念和方法是立体几何的重要内容之一,先要搞清各种射影的概念:点在平面上的射 影、任意图形在平面上的射影、直线在平面上的射影的各种情况. 在理解和掌握图形在平面上的射影的概念时,应该注意以下几点: ①一个点在一个平面内的射影就是从这点到这平面所作垂线的垂足. ②一条线在一个平面内的射影,就是这条线上所有的点在这平面内的射影的集合. ③当图形在平面上的射影是一个点时,这个图形不一定是一个点. ④当图形在平面上的射影是一条直线时,这个图形不一定是一条直线. (3)直线和平面所成角: 应当注意到,斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内经过斜线足的直线所成角中最小的角. 通过归纳,抽象出“直线和平面所成的角”的概念.即“直线和平面所成的角”有锐角、直角和零 角三种情况,亦是其的取值区间是 . (4)三垂线定理: 三垂线定理及其逆定理是研究空间直线与直线互相垂直的有力工具. 很多空间图形的问题都是通过 这两个定理转化为平面图形的问题而得到解决的.它是判断直线与直线垂直的重要方法之一。在学习三 垂线定理的过程中,感到困难的是分辨不清直线与直线之间的位置关系.为此要注意以下几个方面: ①如果平面 内的直线 垂直于斜线 在 内的射影 ,那么它必垂直于斜线, ,

且垂直于斜线 及其射影 所确定的平面 。 ②三垂线定理中确有一直线与三条直线相互垂直的位置关系. 即: 平面内的一条直线与平面的垂线、 斜线以及斜线在平面内的射影都垂直. ③三垂线定理实质上是平面内直线与平面的斜线互相垂直的判定定理.

数学驿站 ④关于三垂线定理及其逆定理的图形 (其中 如图 1 所示,直线 可能与 可能过

http://www.maths168.com 且 或 可能与 ) , 有以下四种情况: 相交;如图 3 所示,直线

点;如图 2 所示,直线 可能与

的延长线相交;如图 4 所示,直线

的延长线相交.

在运用三垂线定理时,切不要只习惯于某种情况的图形. (二)教法建议 (1)设置情境,观察生活中与线面垂直有关的现象。建议让学生观察、思考:教室内直立的墙角 线和地面的位置关系是什么?直立于地面的旗杆和地面的位置关系又是什么?还可以让学生看一个演 示实例:将书打开直立在桌面上,观察书脊和桌面上任何直线的位置关系.从而使学生在头脑中产生直 线和平面垂直的初步形象,并以此引出课题. (2)直线和平面垂直的判定定理证明过程比较复杂,在证明定理之前,建议注意复习以下几个知 识点:①平面几何中的线段垂直平分线的性质,②异面直线所成角的概念,③怎样证明两条直线互相垂 直. (3)设置问题,层层深入,启发学生思考。讲解线面垂直的判定定理时,可以让学生思考以下几 个问题:一条直线垂直于平面内的一条直线,可以推出怎样的结论?(垂直于平面内的一组平行线)一 条直线垂直于平面内的两条直线,又可推出怎样的结论?(如这两条直线相交,那么直线将垂直于平面 内所有直线即垂直于平面). (4)建议用三垂线定理及其逆定理深化射影的知识和方法,如讨论:怎样在正方体中找与一条对 角线垂直的面对角线?讨论当四面体的一个顶点在对面上的射影分别是垂心、外心、内心的情况. 教学设计方案一 9.4 直线与平面垂直的判定和性质 第一课时

教学目标 1.理解线面垂直的定义. 2.掌握线面垂直的判定定理并能简单进行应用. 教具准备:三角板. 教学过程: [设置情境] 复习“两条直线互相垂直的定义”并让学生观察、思考:教室内直立的墙角线和地面的位置关系是 什么?直立于地面的旗杆和地面的位置关系又是什么?从而使学生在头脑中产生直线和平面垂直的初 步形象,并以此引出课题. [探索研究] 1.直线和平面垂直的定义 为使学生从感性认识逐步上升到理性认识,展开以下问题: (1)阳光下,旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少? (2)随着时间的变化,影子的位置会移动,而旗杆与影子所成的角度是否会发生改变呢? (3)旗杆 与地面上任意一条不过点 的直线的位置关系又是什么?所成的角为多少? 再让学生看一个演示实例:将书打开直立在桌面上,观察书脊和桌面上任何直线的位置关系. 根据两个实例的结论,让学生归纳、概括出线面垂直的定义.

数学驿站 如果一条直线 和平面 做直线

http://www.maths168.com 和一个平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 ,直线 互相垂直,则 . 叫做平面 与 的垂线,平面 叫

互相垂直,记作 的垂面.若 与

一定相交,交点叫做垂足,

任意 ,都有 2.两个真命题 以下两个真命题,可以当作“定理”直接应用. (1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直. (2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 3.直线和平面垂直的判定

学习了线面垂直的定义,对于直线 和平面 , 垂直于 内的任意一条直线,用这 个定义,我们可以判定直线和平面垂直,先看一个例子. 例题 求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. 已知: 求证: 证明:设 是 , . 内的任意一条直线. ,图 1.

. 例 1 给出了判定直线和平面垂直的一个命题,以后我们可以直接利用它来判定直线和平面垂直. 在讲线面垂直的判定定理前,先提出以下两个问题让学生思考: (1)如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直,此直线是否和平面垂直? (2)如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直,此直线是否和平面垂直? 学生不难得出结论:如果一条直线和一个平面内的一条或两条平行直线垂直,那么此直线不一定和 平面垂直.紧接着,提问:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,那么此直线是否和平面垂 直?而后,引出直线和平面垂直的判定定理. 直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂 直于这个平面. 已知: , , , , .

求证: . 教师可从以下三个方面引导学生进行分析: (1)要证 ,根据定义,转化为证明垂直于平面内的任意一条直线 (第一次转化).接

下来应让学生清楚 之间的位置关系有哪几种(分类).通过提问,让学生思考,并鼓 励学生主动、踊跃来回答.之后,投影显示四种情况(图 2):

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图2 启发学生,只要证明了图(1)的情况,根据异面直线所成的角,其他三种情况也就得证了. 下面对图(1)进行分析 (2)构造平面图形解决问题(第二次转化): 先对直线 分类:(ⅰ)当 与 是 (或 )重合,命题即可得证.(ⅱ)当 与 、 都

不重合时,启迪学生:如果能证明 找到线段

上某条线段的中垂线,问题就解决了.根据对称性,让学生 上一点( 内作一条直线 点除外)到点 ,与直线 、 、 的距离相等.需 、 分别相交于

.接下来,证明的关键是:证明

要添加什么样的辅助线?提示学生:在平面 ,会怎样?由此,连结 得到 ,从而证得 是线段

,通过两次三角形全等 的中重线,即得 .(图(5))

(3)如果 中有一条或两条不经过点 次转化). 证明方法的书写可参照课本第 22 页. [演练反馈] 1. A. C. 与 垂直相交 , ,则 B. D. 与 与

(其他三种情况),由前面的分析容易得证(第三

的位置关系是(



垂直且异面 内( )

2.若直线 不垂直于平面

,那么在平面

A.不存在与 垂直的直线 C.存在无数条直线与 垂直 3.在正方体 A.平面 C.平面 4. 如图 3, 已知 平面

B.只存在一条与 垂直的直线 D.以上都不对 中,与 垂直的平面是( )

B.平面 D.平面 , 是⊙ 的直径, 是⊙ 上的任一点, 求证: .

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图3

5. 如图 4, 已知











于点

, 求证:



图4 6.如图 5,已知异面直线 , , , 是 的公垂线,求证 .

图5 7.课本 P23 练习 1.(1)(2)(3),2,3. [参考答案] 1.B 2.C 3.B 4.提示:证明 5.提示:连结 6.提示:令 与 ,先证 、 面 . ,得到 于直线 ,令 ,再证 与 平面 确定的平面交 . 于直线 ,由已

确定的平面交

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知可证 , 从而 , 7.1.(1)√ (2)× (3)√ 2.提示:利用线面垂直的判定定理证. 3.提示:利用 中直角边小于斜边证.

[总结提炼] 只有当直线和平面内任意一条直线都垂直时,才定义直线和平面垂直,但这种定义不方便证明线面 垂直,线面垂直的判定定理解决了这个问题,只要发现平面内两条相交直线都和某直线垂直就行了. 布置作业:课本 P28 习题 9.4 1.(1)(2)(4),2,3,4,5. 板书设计: 1.线面垂直的定义 例题 教学设计方案二 9.4 直线与平面垂直的判定和性质 第二课时 教学目标: 1.理解点到平面的距离,直线和平面平行时线面间距离的概念. 2.掌握直线和平面垂直的性质定理. 3.能应用线面垂直的定义及线面垂直的判定定理解题. 教具准备:三角板、投影胶片. 教学过程: [设置情境] 在 的前提下,当 时 ,那么它的逆命题成立吗? [探索研究] 1.直线和平面垂直的性质定理 直线和平面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 此定理是上一节课的例题的逆命题. 已知: , .求证: . 2.线面垂直的判定定理

证明:如图 1. 假设 ∵ ∴ 即经过同一点 的两条直线 、 都垂直于平面 ,而这是不可能的. , .设 , 是经过 与直线 平行的直线.

因此, . 2.点到平面的距离 从平面外一点引这个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线和平面的距离 一条直线和一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的 距离. 4.例题分析

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http://www.maths168.com 例 1 已知 一条

直线 到平面

和一个平面 的距离相等.(如图 2) 分别引平面 、 的垂线

平 各点

行,求证:直线 上 证明:过直线 上任意两点 、 ∵ ∴ 设经过直线 ∵ ∴ ∴ 由 例2 是直线 上任意的两点,可知直线 互相垂直,且 上各点到平面 , 的距离相等. , 为垂足. 和 的平面为 , ,垂足分别为 ,

已知:异面直线 .(图 3) 上任取一点

求证: 证明:在直线 过 则 ∴ 与 作直线 ,

(异于点





确定平面 点的直线

交于过

∵ 又 ∴ ,且 均在平面 内

. 例3 点. 求证: 证明:∵ ∴ 又 ∴ ≌ 即 , ≌ 平面 , . 为 中点 如图 4,直角 所在平面外有一点 , ,且 为斜边 的中

数学驿站 ∴ ∴ [演练反馈] 1. 是 所在平面外一点, 平面 .

http://www.maths168.com .即 , ,



平面

,垂足为

,则点

是 的____________心. 2.下列命题中正确的是( )

A.

B.

C. 3.下列条件中,能使直线 A. B. C. D. , 是 平面 , , , ,

D. 的是( , )

4.如图 1,已知 的垂心,求证:

所在平面外一点, .





两两互相垂直,



5.如图 2, .

为异面直线



的公垂线,

平面



平面



.求证:

6.图 3,在空间四边形 于 .求证: 平面

中, .









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7.课本 P23 练习 1.(3),4. [参考答案] 1.外 2.B 4.提示:先证 同理 5.提示:过点 又易证 6.证明:取 ∵ ∴ 故 又 又 ∴ 又 又 平面 平面 , ,则 平面 平面 , ,则 , 的中点 , , 作 , ,∴

3.D 面 ,得 . ,从而 也垂直于 、 ,则 所确定的平面. 垂直于直线 、 所确定的平面, ,又 ,从而 面 .∴

,连结

∴ 平面 . 7.1 (3)√ 4.提示:利用线面垂直的性质定理与线面平行的判定定理证. [总结提炼] [学生回答,教师补充完善.] 1.什么叫点到平面的距离,直线到平面的距离? 2.直线和平面垂直的性质定理是什么? 3.怎么证明线面垂直? 布置作业:课本 P28 习题 9.4 1.(3),6,7,8. [参考答案] 1.(3) 6.利用勾股定理的逆定理,知旗杆垂直于地面内的两条相交直线,再由直线和平面垂直的判定定理推 出的结论.

数学驿站 7.先证: 8.设 板书设计: 确定平面 , , ,

http://www.maths168.com 平面 . .

1.线面垂直的性质定理 2.点到平面距离 3.线面距离

例1 例2 例3

教学设计方案三 9.4 直线与平面垂直的判定和性质 第三课时 教学目标: 1.理解斜线、斜线段、斜足、射影等概念. 2.掌握射影定理. 3.理解斜线和平面所成的角是斜线和平面内一切直线所成的角中的最小角. 教具准备:三角板. 教学过程: [设置情境] 直线与直线相交,我们可以用夹角来描述它们的相对位置关系.两直线异面时,我们用所成角及距 离来描述它们的相对位置关系,那么直线与平面之间有夹角吗?怎样去定义直线和平面的夹角呢? [探索研究] 1.斜线在平面内的射影 这部分内容涉及的概念较多,为了便于学生理解记忆,可以边讲画图,同时在图上注出有关概念的 名称. (1)点的射影 如图 1,直线 线段. , ,点 是点 在 内的射影,线段 是点 到 的垂

图1

数学驿站 (2)斜线与斜线段 如图 2,直线 段是 是点 到 , 的斜线段.

http://www.maths168.com 不垂直于 ,直线 是 的一条斜线,点 是斜足,线

图2 (3)平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条,而这点到这个平面的斜线段有无数条(图 3).

图3 (4)斜线在平面内的射影 如图 4, 射影. ,直线 是斜线 在 内的射影,线段 是斜线段 在 内的

图4 (5)定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中: ①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长. ②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长. ③垂线段比任何一条斜线段都短.

数学驿站 如图 5,

http://www.maths168.com 是平面 的垂线段, 在平面 是平面 内的射影.这时有: 的斜线段,

分别是

图5 (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) 注意:在应用这个定理时,平面外只能是一点才行.如:若 是平面 的斜线段,它们

在平面 内的射影分别为 ,则若 ,不一定有 . 2.直线和平面所成的角 (1)斜线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 如图 6, 是平面 是垂足,所以直线 时 的一条斜线, (记作 )是 在 点是斜足, 内的射影, 是 上任意一点, (记作 )是 是 与 的垂线,点 所成的角.这

与 所成的角的范围是: .这是斜线与平面所成角的范围. 一条直线垂直于一个平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,我们说 的角.

它们所成的角是

一般地,一条直线与一个平面所成的角的范围是 . (2)一个重要结论 斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角. 如图 6,设直线 是 内与 不同的任意一条直线,过点 引 垂直于 ,垂足为

.因为 ,所以 ,即 .因经 . 根据异面直线所成的角的定义,我们可以进一步得出,斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平 面内的直线所成的一切角中最小的角. 证明: 设 是平面 的一条斜线 不平行的直线.如图 6. 若直线 若直线 成的角,从而 过点 不过点 与 是 在 与 内的射影, 点 是斜足, 是 内任意一条与 . 与 所

,则由上述所证, , 则过点

所成的角小于 与 , 使 ,

所成的角 与

作直线 .

所成的角等于

所成的角小于角

数学驿站 例题 如图 7,已知 , 解:作 ∴ ∴ ∵ 平面 , 于

http://www.maths168.com 垂直于直角三角形 , ,由 ,求直线 平面 得 所在的平面, 与平面 , 所成的角.

,连结 ,

,则

即为所求

∴ 在 中,



, , 在 中,







[演练反馈] 1.平面的一条斜线和这个平面所成的角的范围是( A. C. 2. 为 的( A.内心 3. B. D. 所在的平面外一点,且 ) B.外心 的斜边 C.重心 在平面 D.垂心 内, 直角顶点 在



,则

在平面

上的射影



外,



上的射影为

(不在

上),则 是( A.直角三角形 C.钝角三角形 4. 如图 1, 直角三角形 是斜边

) B.锐角三角形 D.锐角或钝角三角形 的斜边 在平面 内, 和 与 所成角分别为 、 ,

上的高,求

与平面

所成的角.

数学驿站 5.如图 2,正方体 弦值. 6.课本 P25 练习 1. 7.课本 P25 练习 2. [参考答案] 1.C 2.B 3.C 4.提示:作 为所求,令 ,在 5.提示:取 中点 ,连 于点 ,连 、 中,

http://www.maths168.com 是 的中点,求 与平面 所成角的余



,则 中算出 . 面 ,在 中计算



,分别在直角三角形 中算出 ,证明

. 6.不一定 7.作 与 的位置关系三种都可能,即平行,相交,异面. 交 于 , 即为所求, .

[总结提炼] 要注意比较点的射影、斜线的射影、斜线段的射影之间的关系,要注意射影定理中垂线段最短是对平面 外同一个点而言的,斜线和平面所成的角是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的,而且 其中“经过斜足”可以去掉. 布置作业: 1.课本 P29 习题 9.4 9. 2.课本 P29 习题 9.4 10. 3.正方体 的棱长为 ,求 与平面 所成角的大小.

[参考答案] 1.提示:分三种情况证,即第一,两平行线平行平面,或在平面内;第二,两平行线垂直平面; 第三,两平行线是平面的斜线. 2. 3.提示:连结 板书设计: 1.(1)点的射影 (2)斜线与斜线段 (3)垂线段 (5)定理 例题 . , ,则 即为所求, .

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(4)斜线在平面内的射影

2.线面所成的角 (1)线面所成的角定义 (2)结论 教学设计方案四

9.4 直线与平面垂直的判定和性质 第四课时 教学目标:掌握三垂线定理及其逆定理,并能运用它们解决简单问题. 教具准备:三角板. 教学过程: [设置情境] 教师提问:平面的一条斜线在平面内是否一定有射影?如果有,有几条?怎么确定? 学生对前两个问题能正确回答,如何确定,他们不一定能回答. 教师与学生一起用三角板比划,得这样的结论:当三角板所在的一条直角边与桌面垂直,另一直角 边与桌面重合时,平面内垂直于斜边的直线一定和三角板与桌面的交线垂直. 教师提问:从中我们能总结出什么规律吗? [探索研究] 1.三垂线定理 三垂线定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜 线垂直. 已知:如图 1, , .求证: 分别是平面 . 的垂线、斜线, 是 在平面 内的射影,且

证明: . 三垂线定理实质上是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理, 这两条直线可以是相交直 线,也可以是异面直线. 由学生根据三垂线定理,叙述三垂线定理的逆定理,并且由他们完成证明过程. 2.三垂线定理的逆定理 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜 线的射影垂直. 三垂线定理及其逆定理可以合起来表述如下: 设 是平面 的一条斜线, 是 在 内的射影, 是 内的一条直线,则有

这个定理及其逆定理是证明空间直线互相垂直时经常使用的, 因此要求学生牢固掌握这两个命题的 实质在于揭露了这样的规律:斜线和它在平面内的射影必定同时垂直于平面内的某条直线.也就是说,

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http://www.maths168.com 斜线和它在平 面内的射影, 在对平面内的 一条直线是否 有垂直关系上 3.例题分析 的两边距离相 , ,垂足分别

具有一致性. 例 1 求证:如果一个角所在平面外一点到角 等,那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线所在的直线上. 已知: 是 求证: 证明: 要证点 在 , 在平面 内,点 (图 2). . 的平分线上, 只需证明在平面 内的点 , ,

到这个角的两边距离相等.

教师提问:在上面的证明过程中,哪一步应用了三垂线定理或其逆定理? 例2 如图 3, , 解:可由已知得 ∴ 在 在 就是 到 中, 中, . 平面 , 平面 的距离 , , ,作 是平面 的两条斜线, ,求:点 于 到 是 在平面 的距离. . 内的射影,

,由三垂线定理有

[演练反馈] 1.课本 P27 练习 1. 2.课本 P27 练习 2. 3.课本 P28 练习 3. 4. 在 是 所在平面 是 B.内心 外一点, 的( 到 三边的距离相等, D.重心 , ,则 到对角线 的距 于点 ,

内,则 A.外心

) C.垂心 平面

5.正方形 离为( ) A. C. 6.如图 4,

的边长为 12,

B. D. 是平面 外一点, , ,求证: .

数学驿站 7.如图 5,在正方体 (1)求证: (2)求证: 8. 如图 6, 所成的角为 ,设 面 与平面 中, ; . 所成的角为 ,求证:

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在平面

内, .





内的射影

[参考答案] 1.连结 2.连结 3. 由 ∴ 4.B 5.D 面 的垂心,得 于点 ,连结 ,先证 、 , ,由三垂线定理,得出 , , , ,由三垂线定理知 , 得 ∴ , 又 . . . 平面 , ∴ , 又

6.提示:作 得 为

,再用三垂线定理证得结论. 、 . .

7.提示:(1)连 8.提示:作

用三垂线定理.(2)分别用三垂线定理证明 于点 ,连 用三垂线定理得证

[总结提炼] 用三垂线定理或其逆定理证明线线垂直要比用线面垂直来证明线线垂直简单, 三垂线定理本身就是 由线面垂直证得的.运用三垂线定理时要善于发现其结构,通常是先发现平面的垂线,进而发现斜线、 射影、面内的直线,这些直线都是相对于同一个平面的,这个参考平面尤其重要. 布置作业:课本 P29 习题 9.4 11,12. [参考答案] 11.提示:可仿课本第 26 页例 3 证. 12.提示:连结 板书设计: ,过 点在上底面内画 的垂线即得.

数学驿站 三垂线定理 三垂线定理的逆定理 例1

http://www.maths168.com 例2 练习 典型例题

例 1 下列图形中,满足唯一性的是( ). A.过直线外一点作与该直线垂直的直线 B.过直线外一点与该直线平行的平面 C.过平面外一点与平面平行的直线 D.过一点作已知平面的垂线 分析:本题考查的是空间线线关系和线面关系,对定义的准确理解是解本题的关键.要注意空间垂 直并非一定相关. 解:A.过直线外一点作与这条直线垂直的直线,由于并没有强调相交,所以这样的垂线可以作无 数条.事实上这无数条直线还在同一个平面内,这个平面为该直线的一个垂面. B.过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行,但可以作无数个平面和该直线平 行. C.过此点作平面内任一直线的平行线,这条平行线都平行于平面.所以过平面外一点与平面平行 的直线应有无数条. D. 过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条. 假设空间点 都垂直于 , 由于 、 , 为相交直线, 不妨设 ,又由于 、 、 平面 、 , 过点 有两条直线 , 与 内 、

所确定的平面为 、 都在平面

的交线为 ,则必有 经过 盾.

内,这样在

点就有两条直线和直线

垂直,与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛

故选 D. 说明: 有关 “唯一性” 结论的问题, 常用反证法, 或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明. 在 本书中, 过一点作已知平面的垂线有且仅有一条, 同时, 过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个. 它 们都是“唯一性”命题,在空间作图题中常常用到. 例 2 已知下列命题: (1)若一直线垂直于一个平面的一条斜线,则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影; (2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行; (3)若平面外的两条直线,在这个平面上的射影互相垂直,则这两条直线互相垂直; (4)若两条直线互相垂直,且其中的一条平行一个平面,另一条是这个平面的斜线,则这两条直 线在这个平面上的射影互相垂直. 上述命题正确的是( ). A.(1)、(2) B.(2)、(3) C.(3)、(4) D.(2)、(4) 分析:本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用.应用这两个定理时要特别注意“平面内”这 一条件,同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形. 解:(1)已知直线不一定在平面内,所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系; (2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直,所以它们之间也 平行; (3)根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直,但不能进一步说明直线和直线垂直; (4)根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念,不难证明此命题的正确性. 故选 D. 说明:(3)中若一直线与另一直线的射影垂直,则有另一直线必与这一直线的射影垂直.如在正 方体 中, 分别为棱 和 上的点, 为棱 上的点,且

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http://www.maths168.com , . 例 3 如图,在正方体 中, 点, 是底面正方形 是 的中 ,求

的中心,求

证:

平面

. 平面 ,

分析: 本题考查的是线面垂直的判定方法. 根据线面垂直的判定方法, 要证明 只要在平面 证明:连结 ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 同理可证, 又∵ ∴ ∵ ∴ 平面 平面 , . , , . 中易求出: ,设正方体 的棱长为 ,易证 . . , . 、 面 , 为 面 在面 , 分别是 . , 内的射影. 内找两条相交直线与 、 和 、 ,在△ 的中点, 垂直. 中,

另证:连结 又∵ ∴ 在正方体









数学驿站 ∵ ∴ ∵ . ,

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平面



∴ 平面 . 说明:要证线面垂直可找线线垂直,这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法.在证明线线垂 直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用,也要注意有时是从数量关系方面找垂直,即勾股定理或余 弦定理的应用. 例 4 如图,在△ 别为 中, , 平面 ,点 在 和 上的射影分

,求证: . 分析:本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理,以及线线垂直和线面垂直相互转化思想.欲证 ,可证 面 ,为此须证 ,进而可转化为证明 平面

,而已知 ,所以只要证 即可.由于图中线线垂直、线面垂直关系较多, 所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直. 证明:∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ 平面 平面 . 平面 . 内的射影. 平面 平面 , , . . , 面 . ,即 平面 平面 . , . , , . . , , , 平面 ,

另证:由上面可证 ∴ ∵ 为 在平面 ,

∴ . 说明:在上面的证题过程中我们可以看出,证明线线垂直常转化为证明线面垂直,而证明线面垂直 又转化为证明线线垂直.立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的.本题若改为下题, 想想如何证: 已知 不重合).过点 例 5 如图, 的直线, 作 ⊙ 所在平面, 、 为⊙ 于点 为斜足, 的直径, 为⊙ 上任意一点 ( . 于 点, 为平面 . 内 与

的垂面交 为平面 ,

,求证: 垂直平面 ,求证:

的斜线, ,

数学驿站

http://www.maths168.com 分析:本题考查的是线面角的定义和计 算.要证明三个角余弦值之间关系,可考虑 构造直角三角形,在直角三角形中求出三个 入验证证明,其中构造直角三角形则需要用

角的余弦值, 再代 三垂线定理或逆定理. 证明:过 ∵ ∴ ∵ ∴ 点作 , 在平面 , . 内射影为 , . 垂直 于 点,连







中有:







中有:







中有:



由①、②、③可得: . 说明:由此题结论易知:斜线与平面所成的角,是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最

小的角.若平面的斜线与平面所成角为 例 6 如图,已知正方形 中点,求点 . 到平面

,则斜线与平面内其它直线所成角 平面 ,

的范围为 ,

. 分别是

边长为 4, 的距离

分析:此题是 1991 年高考题,考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想 像能力.本题是求平面外一点到平面的距离,可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面 的距离.为此要寻找过点 相等. 证明: 连结 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∵ ∵ ∴ ∵ ∴ 平面 平面 . 面 平面 与平面 ,∴ ,∴ , . , 与平面 , 为正方形, , , . 的距离就是 . . 点到平面 的距离. 为 和 平行的直线,因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离 分别交 于 的中点, , 连 , 作 于 .

分别为 中点. 平面 ,

数学驿站 又∵ ∴ 即 平面 长就是点 , . 到平面 , , ,

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的距离.

∵正方形边长为 4, ∴ 在 △ , 中,

. .

在 △ 中, . 说明: 求点到平面的距离常用三种方法: 一是直接法. 由该点向平面引垂线, 直接计算垂线段的长. 用 此法的关键在于准确找到垂足位置.如本题可用下列证法:延长 ,作 于 ,作 交 于 ,连结 交 的延长线于 ,再作 ,连结 于 ,

可得 平面 , 长即为 点到平面 的距离.二是转移法.将该点到平面的距 离转化为直线到平面的距离.三是体积法.已知棱锥的体积和底面的面积.求顶点到底面的距离,可逆 用体积公式. 扩展资料 公理法 选取少数不加定义的原始概念(基本概念)和无条件承认的规定(公理)作为出发点,再加以严格 的逻辑推理,将某一数学分支建成演绎系统的方法,叫数学系统的公理化方法,简称“公理法”. 两千多年来,欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献,并一直被人们作为 标准的教科书使用.《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系,提出了几何学的“根据” 和它的逻辑结构问题.但是,随着时间的推移,人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏 洞, 例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义, 这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语, 也不能在逻辑推理中起作用;《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念,如“连续”的概念就未定义 而被使用.正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现,推动了几何学的不断发 展. 1899 年,德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中,首次用公理化的方法提出了一个比较完善 的几何学的公理系统,即希尔伯特公理体系,克服了《几何原本》中的一些缺点. 希尔伯特公理体系的主要思想包含: (1)把几何中的点、直线、平面等概念,作为不加定义的“原始”概念,叫基本对象. (2)给出几何元素的一些基本关系:结合关系、顺序关系、合同关系. (3)规定了五组公理,用它阐述基本对象的性质. 希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则,即在一个公理体系中,取哪些为公理,应包含多少公理, 必须考虑以下三点: 第一,相容性,即各公理必须是互相不矛盾的,同存于一个体系中. 第二,独立性,即每条公理都是各自独立的,不能由其他公理推出.

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第三,完备性,即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题. 欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形,常称之为古典公理体系. 公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点.在公理体系中,由于基本对 象不加以定义,因此就不必考虑研究对象的直观形象,只要研究抽象的对象之间的 关系、性质.凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释,或称几 何学的模型.因此,几何学的研究对象更广泛,其含义也更抽象. 20 世纪以来, 由于公理化方法在研究几何基础方面所取得的成就, 促使公理化 方法渗透到数学的其他分支,诸如代数、泛函、拓朴等比较抽象的数学分支的研 究.公理化方法对近代数学的发展所产生的巨大影响,已成为举世公认的事实,公 理化方法早已超过数学理论范围,进入其他自然科学的领域.如本世纪 40 年代波 兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化,物理学家还将相对论表述为公理体系等 等.当然,公理化方法若不与实验方法相结合,不与科学方法相结合,也不会更好 地解决和发现问题. 探究问题:正方体中直线与平面的垂直 正方体有 8 个顶点和 12 条棱,每条棱上均有一个中点,于是有棱的中点 12 个,顶点与中点合起来 共有 20 个(图 1).过其中的两点可作一条直线;过其中不在一直线上的三点可作一个平面,现在考 虑这些直线与平面的垂直关系. (1)试举出一直线与一平面相互垂直的例子(不少于 5 例); (2)若一直线与一平面相互垂直,我们就说这条直线与这个平面构成了一个“垂直关系组”,两 个“垂直关系组”当且仅当其中两条直线和两个平面不全同一时称为相异的(或不同的).试求与正方 体的棱相关的“垂直关系组”的个数; (3)图 2 中直线 ,直线 ,也就是说 都是相应的正方体的棱的 平行线,如果“垂直关系组”中的直线,不仅包含了正方体的 12 条棱,而且包含了全部每个面上相对 2 条棱的中点连线,那么我们就说,这是一个扩大了的与正方体的棱相关的“垂直关系组”,试求它的 个数; (4)试求扩大了的与正方体的对角线相关的“垂直关系组”的个数; (5)现在你能找出本题中所有垂直关系组的个数吗? 【分析与解】(1)例 1: 例 2: 平面 (图 3); ;

数学驿站 例 3: 例 4: 平面 平面

http://www.maths168.com (图 4); (图 5);

例 5: 平面 (图 6); 现在我们只略述例 5 之证明: 因为 平面 直于平面 在平面 上的射影是 上的射影是 ,而 ,而 . 平面 ,由三垂线定理得 ,所以 . 与平面 、平面 ;又 共面, 在 垂

上两条相交直线,所以

(2)正方体的棱有 12 条,而每一条棱都与 3 个平面垂直,如图 3 中棱

和平面 都垂直,所以与正方体的棱相关的“垂直关系组”的个数是 12×3=36. (3)正方体的棱有 12 条,每个面上有 2 条相对棱中点连线分别与棱平行,这些直线与棱相加共有 24 条,所以扩大了的与正方体的棱相关的“垂直关系组”的个数是 24×3=72. (4)正方体的对角线有 4 条,每一条对角线都与 4 个平面相垂直,如图 7 中,正方体的对角线 与平面 、平面 、平面 和平面 都垂直.而正方体的各面上没有与对角线平行 的直线.所以扩大了的正方体的对角线相关的“垂直关系组”的个数为 4×4=16. (5)只要我们正确地进行分类,找出全部不同的扩大了的“垂直关系组”,分别计算其个数,就 可得到本题的答案的个数,在这里,我们告诉你:这个数字是 430! 【说明】怎样通过正确的分类,找出全部不同的扩大了的“垂直关系组”?我们建议可以从两个不 同的方向思考:(1)直线在正方体的面上或不在面上;(2)由正方体的顶点引出的直线或由棱的中点 引出的直线.但无论从哪个方向思考,所得的扩大了的“垂直关系组”均为 6 类. 习题精选 一、选择题 1.设 , 表示两条直线, , , , ,则 , 则 ,则 表示平面,给出下列四个命题: ; ; ;

①若 ②若 ③若

④若 , ,则 . 其中正确命题的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 2.若平面外两条直线在平面内的射影是一个点和不经过这点的一条直线,那么这两条直线的位置关系

数学驿站 是( ). A.平行 B.异面 C.平行或异面

http://www.maths168.com D.相交或异面 的值是( ). ,则直线 与平

3.与不共面的四个点的距离都相等的平面共有 个,则 A.3 B.4 C.6 D.7 4. 面 , , 是从点

出发的三条射线,且每两条射线的夹角都是 ).

所成的角的余弦值是(

A. 二、填空题

B.

C.

D. ,则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的 的中点 ,设二直线 到 与 平面的距离为 所成的角为

5.一条直线和一个平面所成的角为 角是____________. 6.点 、 到平面 ______________. 7.已知直线 平面 ,那么 三、解答题 8.正三棱柱 9. 平面 10.设 ,使 达点 的位置,如果 成 是 的斜边 角,直线 中 分别交 中,已知 平面 与平面

的距离分别为 4 ㎝和 6 ㎝,则线段 ,直线 与 与平面 的所成的角为

的大小关系是______________.

,求证: 平面 成 , 在

. 平面内的射影为 的余弦值. ,使得 沿 . .过 作直线 到 ,直线 与



角.求 上取一点 ,

边上的高,在 , 于 ,求证:

,然后将 平面

折起,使

参考答案: 一、选择题:1.C 二、填空题:5. 三、解答题: 8.提示:取

2.B

3.D

4.C 7.=

6.1 ㎝或 5 ㎝

中点

,证

平面

9. 10.提示:证明

9.5 两个平面平行的判定和性质
教学目标 (1)了解两个平面的位 置关系. (2)理解并掌握两个平行平面和两个相交平面的画法.

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(3)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理以及它们的应用. (4)理解两个平行平面距离的概念,并会求两平行平面的距离. (5)通过本节教学,进一步理解掌握反证法;进一步发展空间想象能力、逻辑推理能力和三种数 学语言的转换能力;进一步加深对类比、转化、降维思想方法的理解. 教学建议 1.教材分析 (1)知识结构

(2)重点、难点分析 ①本节内容教学的重点是两个平面平行的判定定理和性质定理的证明与应用. ②本节的难点是两个平面平行判定定理的反证法证明. 两个平面平行的判定定理和性质定理的应 用 2.教法建议 (1)学习两个平面位置关系时,一方面要引导学生从生活实际中归纳得出相交与平行两种位置关 系; 另一方面更应该帮助学生分析为什么有且只有这两种位置关系, 这就必然涉及到公理 2 的深刻含义, 即两个平面是否有公共点.事实上,公理 2 也揭示了两个平面相交的概念. (2)充分发挥学生的主体作用,开展自学活动,通过类比,独立发现,独立证明.由于学生学习 立体几何已有一段时间了,对立体几何的逻辑体系(主要是线线、线面、面面的平行与垂直关系)已有 一定的了解,研究方法与前边有很大的相似性,所以可放手让学生去做.而且此时的定理和命题的证明 难度适中,证明方法往往不止一种,因此正适合引导学生动手实践、讨论交流,鼓励一题多解,激发思 维,掀起一个学习高潮,从而训练学生的发散思维能力和思维的灵活性. (3)教学中应注意联系实际.在学生的身边,生活实际中有关的实例大量存在.教师应引导学生 去发现、去体会. (4)用表格记忆知识点不但清晰,而且易用,还有利于培养学生三种数学语言的转化能力,例如 下表(仅仅示意):

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两个平面平行知识一览表 文字语言 定义 如果两个平面没有 公共点,就说这两 个平面平行 判定 定理 1 判定 定理 2 性质 定理 1 性质 定理 2 性质 定理 3 两个 平行 平面 的距 离 (5)注重反证法的教学.在学习两个平面平行的判定定理 1 时,教师通过问题设计,逐步深入, 引导学生自己发现结论.证明时,在学生提出用反证法之后,仍根据反证法的步骤,设置相应的问题, 引导学生思考、证明,使证明方法容易接受,判定定理 2 也可以用反证法证明,不妨由学生练习. (6)注意数学思想方法的教学.转化是重要的数学思想及数学思维方法.它在立体几何中处处体 现.实质上处理空间图形问题的基本思想方法就是把它转化为平面图形的问题,化繁为简,这也是降维 的思想.特别是在线线平行,线面平行,面面平行三种平行的关系上转化的思想有非常充分的体现. 教学设计示例一 9.5 两个平面平行的判定和性质 第一课时 教学目标: 1.掌握两平面的空间关系种类,会画两个平行平面. 2.掌握空间两个平面平行的判定定理与性质定理,并能简单应用. 3.理解两平行平面间的距离的概念. 教具准备:三角板. 教学过程: [设置情境] 教室里相对的两个墙面有什么特点?这种位置关系的平面怎么命名?如何证明两个平面具有这样 的位置关系呢? [探索研究] 1.两个平面的位置关系 图示语言 符号语言 作用 判定定理和性 质定理

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我们一起观察教室的墙壁、地面、屋顶,由观察结果归纳出两个平面的两 种不同的位置关系. (1)两个平面平行 如果两个平面没有公共点,我们就说这两个平面互相平行. (2)两个平面相交 如果两个平面有公共点,它们就相交于一条过该公共点的直线,就称这两个平面相交. (3)两个平面的位置关系只有两种 ①两个平面平行——没有公共点. ②两个平面相交——有一条公共直线. (4)两个平面平行的画法 画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行(图 1,而不应画成 图 2 那样.平面 和 平行,记作 .

2.两个平面平行的判定 两个平面平行的判定定理 平行. 已知:在平面

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面 、 相交且和平面 平行.

内,有两条直线

求证: . 证明:用反证法证明. 假设 ∵ ∴ 同理 ∴ 这与题设 , . . . 与 是相交直线矛盾. . ,

∴ . 以上是判定两个平面平行的一个定理,可让同学们想象一下是否还有其他的判定方法. 3.两个平面平行的性质 (1)一个结论 根据两个平面平行及直线和平面平行的定义,容易得出下面的结论.





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这就是说,如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个 平面. (2)两个平面平行的性质定理 教师提问:如果两个平面平行,并且它们都和第三个平面相交,交线有何 关系? 很容易得出结论:交线平行.这可以由两个平面平行及平行线定义得出. 两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那 么它们的交线平行. 即设 , , ,则 .图 1. 4.两个平行平面的距离 (1)两个平行平面的公垂线及公垂线段 和两个平行平面同时垂直的直线, 叫做这两个平行平面的公垂线, 它夹在这两个平行平面间的部分, 叫做这两个平行平面的公垂线段.

(2)两个平行平面的距离 如图 2, ,如果 、 都是它们的公垂线段,那么 .根据两个平面

平行的性质定理,有 ,所以四边形 是平行四边形,所以 . 因此,两个平行平面的公垂线段都相等.我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离. 5.例题分析 例 1 求证:垂直于同一条直线的两个平面平行. 已知: 求证: . 内有两条相交直线都平行于 的两个平面 .为此,要根据已知条件找出这样的直线. 交于直线 和 . , (图 3).

分析:可设法证明 证明:设经过直线 ∵ ∴ ∵ ∴ 于是 同理可证 又 , . . . , , ,

分别与平面

, ,

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∴ . 这个例题也可以当成两个平面平行的判定定理之二. 例 2 求证:如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面. 此性质的已知、求证、证明可以请一名学生上台板演,其他的学生在座位上自己画图完成证明过 程.教师在黑板上画出图形,如图 2,而后点评学生的证法. [演练反馈] 1.课本 P32 练习 1,2. 2.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( ) A.都平行 B.都相交 C.在这两个平面内 D.至少与其中一个平面平行 3.如果两个平面分别经过两条平行线中的一条,那么这两个平面( ) A.平行 B.相交 C.重合 D.平行或相交 4.已知平面 A. B. C. , , , 与 不重合,则 且 且 且 , 的一个充分条件是( )

D. , 且 5.下列命题:①平行于同一直线的两个平面平行.②垂直于同一直线的两个平面平行.③平行于 同一平面的两个平面平行.④与一直线成等角的两个平面平行,其中正确的命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6.若 行. 求证: . , , 则 与 的位置关系是_____________________. 过 且与 平行,平面 过 且与 平

7.如图 1,已知

是两条异面直线,平面

8.如图 2,在正方体 求证:平面 平面

中, .

分别是棱

的中点.

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[参考答案] 1.略 2.D 3.D 4.D , 令点 5.B 6.平行或异面 与直线 确定的平面 交平面 于直线 , 证明 . .

7. 提示: 任取点

8.提示:连 ,证明 [总结提炼] [学生回忆,教师补充完善.] 1.两个平面的空间位置关系种类. 2.两个平行平面的画法. 3.平行平面的判定定理. 4.平行平面的性质. 5.两平行平面的公垂线、公垂线段、距离. 布置作业:课本 P32 习题 9.5 1,2,3,4,5. 板书设计: 1.两个平面的位置关系 2.两个平面平行的判定 定理 4.两个平行平面的距离 3.两个平面平行的性质 (1)第一个性质 (2)定理

,同理再证

例1

例2

教学设计示例二 9.5 两个平面的平行和判定 第二课时 教学目标: 1.巩固复习两平面的位置关系. 2.巩固复习平行平面的判定与性质. 3.能应用平行平面的判定与性质解题. 教具准备:三角板、投影胶片. 教学过程:

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http://www.maths168.com [复习引入] 1.两个平面的位置关系. 2. 两个平面平行的判定 (两个判定) . 3. 两个平面平行的性质 (三个性质) . 4.两个平行平面的距离的概念. [探索研究]

例1 中点. (1)求证:平面 (2)若正方体棱长为

如图,

是正方体,

分别是



平面 ,求平面

; 与平面 间的距离.

证明:(1)取 ∵ ∴ ∴ 又 ∴ 又 ∴平面 (2) 取 得 的距离.

的中点

,连结

是正方体 是平行四边形

也是平行四边形 ,∴ 且 平面 中点 ,∴ , . 中点 平面 , 作 ,即 于 , 由 平面 与 间

的长是两个平行平面







于是

. 平面 , 平面 , 得出面

评析: 第 (1 ) 问还可以通过证明 面 例2 在平面 平面

,这也是证明两个平面平行的重要方法. 如图,已知夹在两个平行平面 内的射影长分别为 2 和 12,且 间的两条异面线段 和平面 所成角为 ,它们

所成的角之差为

,求两个平行

与 之间的距离. 分析:首先将已知条件用图形表示出来,即作出有关的角和距离,再通过解平面图形求解. 解:过 点在 与 所确定的平面内作 交 于 ,则 是异面直

数学驿站 线 作 , ∵ 为 . ,∴ 和

http://www.maths168.com 所成的角,所以 于 , , ,设 于 . ,连结 . ,即设 间距离 ,则



中,

,在

中,









即 即平面 例3 且 点. 与

,解得:

或 6.

之间的距离为 4 或 6. 平面 , , ; , , , 是 分别是 的公垂线, 和 的中

如图,平面 ,

是斜线,若 平面 的长. ,取 是 平面 的中点 的中点

(1)求证: (2)求

(1)证明:连结 在△ ∴ ∴ 同理 ∵ ∴ 又 ∴平面 ∴ 平面 中,

,连结





是两相交直线 平面 . ,在△ 与△ 中, 是 的公垂线 平面

(2)解:连结 ∴ 是 的中点 ,又 ∴△ 是 ≌△ 的中点,∴

,于是

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在△

中,





在△

中,

∴ [演练反馈] 1. A. B. C. D. 2.若平面 是不重合的两个平面,则下列条件中,可推出 都与直线 成等角 的距离相等 , , ,点 , ,则在 内过点 的是(

. )

内有不共线的三点到 是

内的两条直线且 ,

是异面直线且 ,直线

的所有直线中(



A.不一定存在与 B.只有两条与 C.存在无数条与

平行的直线 平行的直线 平行的直线

D.有且只有一条与 平行的直线 3.命题:①与三角形两边平行的平面平行于这个三角形的第三边.②与三角形两边垂直的直线垂 直于第三边.③与三角形三顶点等距离的平面平行于这个三角形所在的平面.其中假命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.设 ① A.1 种 ② 是两条互不垂直的异面直线,过 ③ B.2 种 ④ C.3 种 之间的线段 , , 分别作平面 可能的情况有( D.4 种 ,且 , 直线 与 ) 成 角,则 , 若 与 之 , ,对于下列 4 种情况:

5.夹在两个平行平面 间的距离为_____________. 6. 设平面 , 7.如图 1,已知平面 交 于 、 、 . ~△ , 平面 ,则

外一点

,三条射线

分别交





(1)求证:△ (2)若

; , ,求 的长.

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8. 如图 2, 直线 于 两点.直线 ,且

分别交两平行平面 分别平于面 ,求 . 于



两点, 直线 两点.若

分别交平面 , ,

[参考答案]

1.D

2.D

3.B

4.B

5.

6.

或 68

7.提示:通过证明



、 ,

,得到



8.解:由平面与平面平行的性质先证

数学驿站 ∴

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[总结提炼] 要证面面平行,通常先证线面平行,而通过线面平行的判定定理又转化为证线线平行.线线平行的 发现途径很广泛:利用比例相等、平行四边形对边、梯形两底边、公理 4 等均可得到,做题时应灵活应 用. 布置作业:课本 P33 习题 9.5 6,7,8,9. 板书设计: 1.复习 例1 练习 例2 典型例题 例3

例 1:已知正方体 求证:平面 证明:∵ ∴ 又 故 同理 又 ∴ 平面 平面 平面 平面 平面 , . , , . . 平面

. .

为正方体,

说明:上述证明是根据判定定理 1 实现的.本题也可根据判定定理 2 证明,只需连接 此法还可以求出这两个平行平面的距离.

即可,

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例 2: 如图, 已知 , 求证: 证明:过直线 ∵ 又 .

, .

作一平面 ∴ ∴

,设





在同一个平面

内过同一点

有两条直线

与直线

平行

∴ 与 重合,即 . 说明:本题也可以用反证法进行证明.

例 3:如果一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么它和另一个也相交. 已知:如图, 证明:在 共点 ∴ 设 ∵ ∴ 又 ∵ 所以 、 与 与 、 都在平面 内,且 和 交于 . . 与 、 , 都相交. . 上取一点 , ,过 和 .求证: 作平面 与 相交. 与 α 有公共点 , 与 有公

,由于

相交. 相交.

例 4: 已知平面 的中点. 求证: 证明:连接

, , 并延长交

, . 于

为夹在



间的异面线段,



分别为





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http://www.maths168.com ∵ ∴ 平面 ,且 , . , 确定

∵ ∴ 又 ∴ △ ∴ 又 ∴ 故 ≌△ . , , . . , .

,所以 , ,



同理 说明:本题还有其它证法,要点是对异面直线的处理.

例 5: 如图, 已知 △ 的重心. 求证:平面

为△

所在平面外一点,





分别是△

、 △



平面



分析:本题的思路在于如何找到三点 重心的性质易知应该连接 、 、





或它们的三边与平面

的关系.根据 的三边分别与△

,再根据相似比可知△

的三边平行,进而可得结论.

例 6:如图,已知矩形 、 、

的四个顶点在平面上的射影分别为







,且



互不重合,也无三点共线. 是平行四边形.

求证:四边形

证明:∵ ∴ 不妨设 同理 又 ∴ 和 和



确定平面 确定平面 ,且 .



数学驿站 同理 又 ∴ 又 ∴ 同理 ∴四边形 . . ,

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是平行四边形. 扩展资料 印数最多的科技书

几何学既然舍弃了物体的所有其他性质而只保留了空间形式和关系作为自己研究的对象, 因此它是 抽象的.这种抽象决定了几何的思辨方法,这就决定必须用推理的方法从一些结论导出另一些新结论; 或者说,定理如果不是用演绎的方式来证明,便不属于几何学. 这种论证几何学的代表作,便是公元前三世纪欧几里得的《几何原本》.在绵延两千余年的时间里, 它长久地控制着几何学的传授,至今仍被奉为几何论证的楷模.它先以手抄本流传,在印刷术传入欧洲 后又以一千多种版本流传于世.在西方出版物中,发行量仅次于《圣经》而居第二位.这在教育史和出 版史上都是空前的. 我国最早的译本是徐光启与意大利人利玛窦 (Matteo, Ricci, 1552—1610) 于 1607 年合译的前六卷,至今已有 390 余年. 《几何原本》共十三卷,一至四卷为平面几何学,包括线和角的最简单的性质、三角形全等的条件、 三角形的边与角的关系、平行线理论、三角形与多边形等积的条件、勾股定理(第一卷)、与已知长方 形等积的正方形作法、“黄金分割”(第二卷)、圆(第三卷)以及内接和外切”多边形(第四卷); 第五、六两卷是以纯粹几何形式表现的欧多克斯的比例论及其在相似多边形研究中的应用,它们安排得 如此靠后,是《几何原本》与现代平面几何的重大区别之一;第七至第九卷主要是数论——整数的可除 性(求一组数的最大公约数的“欧几里得算法”——辗转相除法)、等比级数求和法以及素数的某些性 质(如存在无穷多个素数的“欧几里得定理”).这几卷似乎脱离开了几何,但如果称它们为数论或代 数学的话,也只能称为“几何数论”和“几何代数”,因为它们全都是以完全的几何形式给出的.第十 卷讨论了形如 的二次无理式的几何分类;第十一至十三卷为立体几何学,从立体角、抛物 线体、锥体和角锥体的体积,引导到球和正面体的讨论. 《几何原本》详尽地总结了在它之前几何学领域中的一切成就,欧几里得对它们进行了重要的逻辑 加工,把这些原来十分分散的知识,系以逻辑推理的链子,从而编排成系统的理论.欧几里得还示范式 地给出了几何证明的方法,主要是解析法、综合法和归谬法.解析法是先假设终结已经得到,分析它得 以成立的条件,由此得到证明的步骤.综合法是从假设开始,运用公理和已证明过的定理,逐步得到终 结.归谬法则是在保留假设的前提下否定终结,导出与假设相背或与已知事实相谬的结论.这些我们现 在已能应用自如的方法,也是始于欧几里得.正是由于欧几里得的总结和提炼,才使几何学这一重要的 数学分支构成了如此严密的系统,以至直到非欧几何产生之前的两千多年的时间内,原则上已不能再对 它的原理增添什么新的内容,更不要说去动摇它的权威了.仅这一点,也不能不使后世人赞叹不已了. 这种论证几何学之所以使人女。此确信不疑,首先在于他的基础——公理的准确性.这些公理来 自人类千百年的实践,与客观实际完全相符.它虽然最初是由人们的感性认识所得,但又绝不停留在认 识论的这一初级阶段.人们经过不断地用实践检验之后,剔除了错误的东西,保留了正确的部分,感性 认识会带来错觉的例子如图 1 所示,如果只依靠视觉,你一定会觉得(1)中的三角形三条边均向内弯 曲;(2)中两线段之长 .其实,这是你的眼睛欺骗了你,只消借助于一把直尺,你很容易就能

判断:(1)中三角形三条边都是直线段;(2)中两线段 .而公理之所以正确,恰是因为它经 得起人类实践的检验. 例如, 正是由于人们在生产和生活的实际需要中千百万次地画直线, 才得到了 “通

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过任意两点可以画一条直线”这个公理. 几何中的概念的产生也同样是如此.人们把各种物体搬移挪动和迭合许多次,然后才概括出几何图 形叠加的概念,并把它应用于定理的证明中(例如两个三角形全等).对于每一概念的特殊性质的解释, 便是它的定义.几何中的最基本的概念是构成一切几何图形的基本元素:点、线、面. 欧几里得的体系受亚里士多德的影响很大,但他并没有全盘接受.在《几何原本》中,他似乎是以 几何图形的性质作为公设,而以量与量之间的关系作为公理的.他一共给出了二十三个定义、五条公设 和五条公理,现摘记如下: 定义: (1)点是没有部分的. (2)线有长度但是没有宽度. (3)线的各端是点. (4)直线是这样的线,它上面的点是一样放置着的. (5)面只有长度和宽度. (6)面的端(或边缘)是线. (7)平面是这样的面,它上面的直线是一样放置着的. ?? (23)平行的直线是同在一个平面上,而且尽量向两侧延长也不会相交的直线. 公设: (1)从任意的一个点到另一个点可以作直线. (2)有限的直线可以无限地延长. (3)以任意一点为中心,可以用任意的长度当作半径作圆. (4)所有的直角都相等. (5)如两条直线被第三条直线所截,在截线一侧的两个同侧内角的和小于两个直角,则这两条直 线在这一侧无止境地延长之后,一定会相交. 公理: (1)与一个量相等的量相互相等. (2)从相等的量上加上相等的量,所得的整体相等. (3)从相等的量上减去相等的量,所余的部分相等. (4)相互合同的,就是相互相等的. (5)全体大于部分. 欧几里得为他的几何体系打下的这种基础尽管是牢靠的,但绝不是无懈可击的,因为他年竟处在人 类文化的初级阶段.就以定义(4)和定义(7)而言,都使用了一个在《几何原本》中未曾解释过的“一 样放置着”的概念.这种用一个未知意义的概念来解释另一个未知意义的定义,显然是不科学的.欧几 里得本人或许也意识到了这一点, 在他后来的全部内容中, 从来就没有使用过点、 直线和平面的定义. 为 以后下一种更好的定义做尝试,以至产生了阿基米德的五条公理. 欧几里得的第五公设在数学史上占有特殊的地位.后世的数学家早就注意到,与论述直线和目的基 本性质的前四条公设相比,第五公设的性质显得太复杂了.它更像一条定理而不是公设;它在《几何原 本》中出现得也很晚,第一次出现是在证明第 29 个定理时,而且欧几里得在以后也似乎总是尽量避免 使用它.因此人们开始怀疑第五公设作为公理的地位,并探索用其他公理来证明它,从而使它变成一条 定理. 在两千余年中, 进行这种求索试探并有案可夫的就这两千人以上, 其中包括许多知名的数学家. 但 是,所有这一切几乎都失败了.而在这些失败的教训中,一种崭新的几何学体系——非欧几何学,却应 运而生了. 几何学逻辑基础的彻底整理,是在十九世纪末期由德国著名数学家希尔伯特完成的.这出现了一门 新课程——《几何基础》. 扩展资料 “面面平行判定定理”教学的新构思 ——建构主义学习理论下的课例及点评

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一、教学目标 1.认知目标 引导学生在“线线平行”或“线面平行”的知识基础上“同化”和“索引”出“面面平行”的判 定定理及其变式,并能运用它们解决相关的实际问题.同时,进一步熟悉类比转化和。观察—猜想—论 证”的认知方法. 2.元认知目标 引导学生反思新旧知识间的联系,促进学生养成善于联系地思考问题,提炼思想观点,获取知识、 方法、思想等应用时机的元认知知识. [点评:建构主义学习理论认为,学生对知识与经验的获取是以己有知识经验为依托的;贮存在头脑中 的知识与经验如何提取是以知识间的联系为基础的; 知识与经验如何与来自各方面的信息产生作用是由 情境来激发的.只有在平时的课堂教学中,随时运用问题的情境,培养学生的认知和元认知能力,他才 能积蓄问题解决的能量,完成对当前所学知识意义的建构.因此,建构主义学习理论下的教学目标主要 是培养和发展学生的认知和元认知能力.] 二、教学过程 1.创设情境 师:如图,观察教室的天花板与地面所在的两个平面,它们有怎样的位置关系? 生:平行. 师:你能说出为什么平行的道理来吗? 生:用定义. 师:试试看! 生:?(欲证不能,欲罢不忍) 师:以前,见过类似于这样的问题吗? 生:在“用定义证明直线与平面平行”中见过. [点评:建构主义学习理论认为,学习总与一定的知识背景即情境相联系,在实际情境下进行学习, 可以使学生利用已有知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识,这样获取的知识,不但便于保持, 而且易于迁移到陌生的问题情境中. 这里,教者充分运用学生熟知的实例,既激活了学生要学习的“面面平行”的判定定理,又引发出 了学生长时记忆中的“线面平行判定定理”之间的关系, 为“面面平行判定定理”意义的建构建立了一 个稳固的支撑点.] 2.提供背景材料 师:那时,用“直线与平面平行的定义”证明直线与平面的平行,而不易证时,我们是怎样处理这 个问题的? 生:寻找便于证明的判定定理,即寻找判定“线面平行”的条件. 师:照这样分析,我们现在要探寻的是“面面平行”判定的条件,那么条件又是什么呢? 生:?(一时想不到) 师:还要像探寻“线面平行判定的条件”那样,从实际问题中去提炼吗? 生:?(还是拿不准) 师:从实际问题中去提炼是一种办法,但现在我们已有线面平行的判定定理作基础,我们能否从分 析“线面平行判定定理”的条件与结论入手,去获得有益的启示呢? :“线面平行判定定理”的条件是“线线平行”,结论是“线面平行”. :我明白了,“线面平行”的条件是“线线平行”,即证明“线面平行”的问题可转化为证 明“线线平行”的问题.照这样,判定“面面平行”的问题可转化为判定“线面平行”的问题. :按照 题. 师:大家的分析都很有道理,并且集中地揭示了解立体几何问题的一个重要的思想方法,这个思想 方法是什么? 生(齐):高维向低维转化. 师:究竟 、 的想法是否正确,下面我们一起来逐个验证. [点评:建构主义学习理论认为,学生对问题解决思想方法意义的建构,是从熟知的相类似的问题 的想法,我认为,判定“画面平行”的问题也可转化为:判定“线线平行”的问

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情境中“同化”和“索引”出来的.当然,如果不这样,经过反复学习,也可以获取这一思想方法,可 是这样的思想方法不可能与长期记忆中相关的思想方法产生联系,因而是孤立的,很难用来解决实际问 题. 这里,教者为学生探索“面面平行”判定的条件提供了熟知的背景材料,引导学生先从熟知的问题 情境中感受体验出探索“线面平行”判定条件的方法, 然后类比地迁移到探寻“面面平行”判定的条件 中,有效地实现了学生对思想方法意义的建构.] 3.形成假说 师: 根据 的分析, “面面平行”判定的条件是“线面平行”, 那么“线面平行”的含义如何?

:?一平面内一直线与另一平面平行. :一平面内两平行百线与另一平面平行. 师:上述假说是否正确,我们来逐一检验,下面请同学们观察思考下列问题: ①已知 ②已知 ③已知 ,则过 , , 的平面是否一定与 ,且 ,则过 ,则过 平行?(教师演示模型,学生观察口答,以下同) 的平面是否一定与 的平面是否一定与 平行?为什么?

平行?为什么?

④经过怎样的两相交直线的平面才能与 平行呢? 引导学生形成命题:经过与平面都平行的两相交直线的平面与已知平面平行. [点评:为了支持学生主动地形成假说,这里教师站在稍稍超前于学生智力发展的边界上(即思维 的最邻近发展区),通过问题引领,来促成学生形成“面面平行”判定的假说,重视了“自主”在意义 建构中的关键作用.] 4.证明假说 师:上述命题是否正确,请同学们自己画出图形,写出已知,求证.(片刻后,教师板书) 师:欲证 实质是证明什么?

生: 与 没有公共点. 师:能否说得更具体一点呢? 生:即证 上的任意点,都不在 上.

师:对于处理“任意点,都不在 上”的证明问题,以前见过吗? 生:在证明直线与平面平行中见过. 师:用什么方法? 生:用反证明法,假设 . [点评:发展学生的认知结构,更重要的还包括对元认知知识(在什么情境下运用某数学知识、方 法、思想的知识)意义的建构,而元认知知识是对问题解决过程反思体验的认知结果,反过来又引领调 控新问题解决的过程. 这里,教者先引导学生发掘出证明“面面平行”判定定理的思维情境,再引导学生反思体验出证明 “线面平行”判定定理的思维过程, 从而引发出学生认知结构中已有的“反证法”在“面面平行”判定 定理证明中的迁移.] 师:下面请同学们自己用反证法给出上述命题的证明. (学生证后,师生共同讲评,并引出“面面平行的判定定理”,学生口述,教师板书.) 生:(不满足地)本题可用直接法证(其余学生为之诧异). 师:请把你的直接证法说给大家听听看. 生:任取点 则 ,点 对于 的位置关系只有两种, 或 .若 ,

与 相交于过 点的一条直线,设为 ,余同前述证法. 师:说得很好!请同学们仔细想想看,这种证法的实质是什么? 生:以反证法为基础. [点评:帮助学生进行思想方法意义的建构,要尽可能揭示出思想方法的全貌,使学生从整体上把 握问题的解决的方法.]

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5.变式延伸 师:前协曾提到,面面平行判定定理的条件可以是“线线平行”,那么,“线线平行”的含义又是 怎样呢? 生:一平面内一直线平行于另一平面内一直线,? 师:好!下面请同学们自己逐一分析研究这些条件,为此,观察、思考下列问题. (1)已知 回答,以下同) (2)已知 , , 且 , 与 , 是否一定平行(教师演示模型,学生观察 , 与 是否一定平行?

(3) 内的两直线 与 内的两直线 应满足怎样的条件才能使 与 平行 呢? 引导学生概括出命题 1:一平面内的两相交直线分别平行于另一平目内的两相交直线,那么这两个 平面平行.”然后,要求学生自己写出已知、求证,并给出证明. 师: “面面平行”判定的条件一定要从线线或线面平行的位置关系中去寻找吗?还能否从线面的其 它位置关系中探寻出“面面平行”的判定的条件呢? 生:线面其它的位置关系只能是相交. 师:对!要从线面相交的位置关系中,探寻出“面面平行”判定的条件,一般的认知方法是什么? :从特殊情形出发. :线面相交的特殊情形是线面垂直,照此说法,应先考虑直线和两手面都垂直的情形. :(受“线面平行”的判定定理形成的启发)从考察教室的内部结构出发可知:四条墙脚线 垂直上下底面,则上下底面平行. :因为四条墙角线是平行的,,其中一条垂直于上下底面,其余的三条必垂直于上、下底面, 因此,如果 的假说成立,那么,面面平行判定的条件可以是“一直线同垂直于两平面”. 师:根据上面的分析,请同学们概括出这个命题. 生(命题 2):如果两平面同垂直于一直线,那么这两个平面平行. 师:命题是否正确,请同学们自己写出已知、求证,并给出证明. 略. 师:在命题 2 中,将“与两平面垂直的直线”改为“不垂直”命题还成立吗?(教师演示模式,学 生观察) 生:不成立. 师:能否再增加一些条件,使命题 2 成立呢?请同学们自己演示模型,观察分析得出结论. :平面 与平面 间的两平行线段相等,则 内一直线与平面 . 内一直线平行,我觉得条件应该是平面

:不对!这只能保证平面 内不一直线上的三点到平面

间的平行线段相等. 与 相交,也能在 上找到不共线的三点,它们与平面

:这些条件还不够,因为,若

间的平等线段相等. 师:同学们讨论得很好,谁来概括出这一命题呢? (命题 3):平面 . :若命题 3 成立,那么命题 3 的特殊情形也成立,即有: c 1 4:平面 内不在一直线上三点(在 同侧)到 的距离相等,则 . 上,不共线的三点(在 的同侧)到平面 间的平行线段相等,则

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http://www.maths168.com 不动,让 交于一点 按逆时针方向旋转呢? , 且 ,

师:还能够演变出另外的命题来吗?(延迟)比如,保持 (教师演示图形) 生 (命题 5) : 与 间不共面的三线段

, ,则 . 师:你们探索到的命题 3 至命题 5 都是正确的,有兴趣的同学课后去验证. [点评:建构主义学习理论认为,学习者与周围环境的相互作用,对于学习内容的理解起着关键性 的作用,这是建构主义的核心概念之一. 这里,学生在教师的引导下,在积累了已有探索经验的基础之上,一起讨论交流,相互评价,共同 完成“面面平行”判定定理变式意义的建构.通过这样的协作学习环境,学习者群体的思维与智慧为整 个群体所共享.] 6.总结提高 师(屏幕显示定理及命题 1 至命题 5 的示意图):在“面面平行”判定定理的学习中,我们应掌握 哪些知识与方活呢?请同学们在示意图下方写出相应的定理和命题,标出这些定理或命题间的思维联 系,并提炼出应用这些定理成命题解题的思想观点. 余略. [点评:学生完成定理及命题 1 至命题 5 意义的建构后,对这一知识块意义的建构是否有质有量, 还处决于学生认知结构中的这些定理或命题间的思维联系是否清晰有序.因此,在学生完成对定理及有 关命题意义的建构后,教师仍然继续在知识问的联系上做细致扎实的引导下作,这样既便于学生长时记 忆,又能激活将要学习的相关的新知识.] 最后我们总体予以评说. 点评要围绕数学意义的建构来设计课堂教学 “数学的意义建构”是指对数学知识、方法、思想及其应用情境达到较为纯熟的认识,并将这种认 识思维地贮存在大脑中,随时提取和应用. 建构主义学习理论认为, 学生学习数学的本质是学生在一定的社会环境下通过自己的经验能动地建 构它对客体的认识,基本观点是:(1)学习数学是对数学知识意义主动建构的过程,而不是一个被动 吸收的过程;(2)这个过程依赖于学生已有的认知结构:(3)学生构建活动必然受到外部环境的刺激 影响,从而它是一个社会建构,基于这样的认知,我们可将建构主义理论下的教学过程概括为:“以学 生为中心,在整个教学过程中,教师是建构活动的设计者、组织者,指导者与批判者,利用情境(知识 发生的真实情况)、协作(相互协商)、会话(用语言交流思维成果)等学习环境要素,充分发挥学生 的主动性、积极性和首创精神,最终达到使学生有效地实现对当前所学知识意义建构的目的.”即,数 学课堂教学应围绕学生对数学意义的建构来设计.本课就是在建构主义学习理论指导下展开教学的,下 面我们用建构主义学习理论来分析研究这节课. 1.坚持以学生为中心 课堂教学中,如何做到以学生为中心呢?建构主义认为可从以下三方面去努力:(1)在学习过程 中要充分发挥学生的主动性,要能体现出学生的首创精神;(2)要让学生有多种机会在不同的情境下 去应用他们所学的知识;(3)要让学生能根据自身行动的反馈信息来形成对问题的认识和制定解决问 题的方案. 本课例中,从定理的形成、证明,到定理的变式、引申等,都是学生自己利用已有知识、方法、思 想“同化”和“索引”出来的.教师仅为学生创设了可供知识外化的相应情境,帮助他们完成这些知识 意义的建构.其次,对蕴含于“线面平行”判定定理中思想方治的发掘,对问题解决过程的反思、评价, 对系统知识、方法间的联系及思想观点的提炼等,也是在教师的支持下,学生自己完成的,充分体现了 建构主义学习理论课堂教学的“首创、外化、自我反馈”等基本要素. 2.重视问题情境的创设 建构主义学习理论认为,数学学习总与一定的知识背景,即“情境”相联系,在实际情境下进行学 习,可以使学生能利用自己的原有认知结构中的有关知识、经验“同化”和“索引”出当时要学新知识 意义的建构.如课例在探寻“画面平行”判定定理的条件时,教师先引导学生反思“线面平行”判定定 理形成的思维过程及定理本身所揭示的思想方法,然后,再引导学生将探寻“线面平行”判定条件的情 境与探寻“面面平行”判定条件的情境比较对照,使他们在心理上产生共鸣,从而十分自然地索引出了 探求“面面平行”判定条件方法:可以从实例中去抽象,也可由高维转化为低维的思想方法来获取,有 效地实现了学生对转化(化归)思想意义的建构.

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3.强调“协作学习”在意义建构中的关键作用 协作学习是指学生在教师组织和引导之下,一起讨论和交流,共同批判地考察各种理论、观点、信 仰和假说,进行协商和辩论,先内部协商(与自身争辩到底哪一种观点正确),然后再相互协商(对当 前问题提出各自看法、论据,并对别人的观点作出分析和辩论).这对学生“同化”、“顺应”后的认 知结构的“稳定性”、“清晰性”和“可利用性”起着关键的作用. 本课例在定理的形成、定理的变式及引申等思维跳跃的关键时刻,教师都创设了可供学生协作学习 的良好的环境,充分暴露了他们的认知、调控、反思、评价等思维过程,突出了“协作学习”在意义建 构中的关键作用. 4.重视培养和发展学生的元认知 元认知就是指主体对自身认识活动的认知, 其中包括正在发生的认知过程和自我认知的能力以及两 者相互作用的认知.元认知有两个基本功能,一是“知道”,知道自己拥有什么知识和经验,二是“监 控”.监控是使用自己知识的某一部分去应付某种特定的心智工作.可以认为元认知能力的发展就是为 学生在心理上寻找一位“老师”,大大地增强了学生对知识意义建构的自信心,随时可以告诉自己,在 什么情境下,使用什么知识与策略就可以解决要学习的问题.因此,建构主义学习理论特别注重培养和 发展学生的元认知. 而元认知是学生对认知过程反思体验的认知结果.因此课例中,在探寻“面面平行”判定定理条件 时,所需要的思想方治,就是学生从“线面平行”判定定理条件的探求过程中反思体验出来的;判定定 理与相关命题所揭示的思想观点,是学生分析这些定理与命题的共同特点提炼出来的.它便于学生超越 问题情境迁移到陌生的问题情境中;? 总之,建构主义学习理论的教学观,最根本的是对认知过程中的“同化”与“顺应”的主体性的确 认,只有“同化”、“顺应”与学习环境的有机匹配,才能有效地实现对所学知识意义的建构. 习题精选 一、选择题 1.设 A. B. C. D. , , 是两个平面, 且 且 且 且 是两个平面, D. 的一个必要但不充分条件是( B. , ). , ,则下列结论中 是两条直线,下列命题中,可以判断 的是( ).

2.已知 是互不垂直的异面直线, 不可能成立的是( ). A. 3.已知直线 A. B. 和平面 ,则 C.

C. , D. 及 与 成等角. 4.给出下列四个命题: ①经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行; ②过平面外一点且平行于这个平面的所有直线,都在过该点且平行于这人平面的一个平面内; ③平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等,则 与 平行或相交; ④夹在两平行平面之间的平行线段的长相等.其中正确命题的个数是( ). A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题 5.夹在两个平面间的三条平行线段相等,则这两个平面间的位置关系是_________. 6. △ 中, , ,点 平面 .若 平面 ,且△

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http://www.maths168.com 与平面 所成的角为

在平面 内的射影是等腰直角三角形,则 ___________. 7.给出下述四个命题: ①若直线 与平面 、平面 成相等的角,则



②若平面 平面 ,直线 与 平面相交,则直线 与 ③两条直线被三个平行平面所截,则所截得的对应线段成比例; ④若直线 直线 , 平面 , 其中正确命题的序号是___________________. 三、解答题 8.如图, 直线.已知 异面直线 9.已知点 , 是△ , 是两个平行平面, , 所成角的大小. 所在平面外一点,点 平面 , . 和 , , 平面 ,则

也相交; .

, ,又直线

,且直线 ,

与 异面成

是异面 的角.求

分别是△

,△

,△

的重心,求证:平面 10.已知 平面 , 是平面

内的两条平行直线, 并与 . 的距离是

的距离是 ,若 与平面

.直线 的距离是



外的一条直线,且 ,求 与 的距离

参考答案: 一、选择题:1.D 2.C 3.D 4.A 6. 7.②、③

二、填空题:5.平行或相交 三、解答题: 8. 9.略证:设 分别是边

的中点,则 ,从而得 ,

, 面

且 ;同理 平面

. 10. 或

9.6 两个平面垂直的判定和性质
教学目标 1.掌握二面角、二面角的平面角的概念;掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。 (1)正确理解二面角的平面角的概念,能够在图形中找出(作出)二面角的平面角,利用定义证 明一个角是二面角的平面角,会求平面角的大小; (2)理解两个平面垂直的判定定理的内容及证明方法,会用此定理证明两个平面的垂直问题;

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(3)理解两个平面垂直性质定理的内容,了解定理的证明方法(同一法),能运用此定理证明某 些直线与平面的垂直问题。 2.通过对二面角的平面角的定义的理解与认识,进一步体会空间图形向平面图形转化的思想和方 法。 3.通过对两个平面垂直的判定定理和性质定理的作用的挖掘, 进一步体会线线垂直与线面垂直的密 切关系,从而从更高的角度把握空间直线与平面的位置关系。 教学建议 1.教材分析 (1) 知识结构

(2)重点、难点分析 教学重点是二面角的平面角的概念以及两个平面垂直的判定定理和性质定理的运用; 教学难点一是 对两个平面垂直的判定定理和性质定理的结构、功能的认识,二是对定理的运用. ①找二面角的平面角是将二面角这个空间图形转化为平面图形的重要手段, 根据空间图形的特点作 二面角的平面角,不仅是教学的重点更是学生学习的难点. ②两个平面垂直的判定定理是证明两个平面垂直的重要依据,其前提条件是线面垂直;而性质定理 则是证明一条直线与一个平面垂直的方法, 其前提条件是两个平面垂直.只有明确了定理的题设与结论, 才有可能灵活运用. 2.教法建议 (1)本节内容分为三课时,一是二面角及其平面角的概念及求法,二是两个平面垂直的判定定理 和性质定理的推导,三是两个平面垂直的判定定理和性质定理的应用. (2)二面角的引入应从两个平面的位置关系复习开始,当两个平面不平行时,它们的位置关系是 相交,相交的度量是研究成角的大小.平面几何中研究两条直线的成角化为研究两条射线所成的角,与 此类比, 空间两个平面的成角就转化为两个半平面所成的角. 在二面角的教学中要注意与平面角的类比、 并且向平面角转化. (3)可让学生研究探讨如何给二面角的平面角的下定义,回忆异面直线所成的角以及斜线与平面 所成的角的定义,提示这两种空间角是如何转化为平面角的,启发学生寻求平面角的顶点以及两条边, 并且这个二面角必须是确定的.另外还可借助实物如打开的课本启发学生观察判断,找到合适的平面角 作为二面角的平面角. (4)选择合适的例题习题,解答后让学生归纳求二面角的平面角的常用方法. (5)应在教师的提示下由学生得出两个平面垂直的判定定理.由低级的位置关系可以得到高级的

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位置关系(如两个平面平行的判定定理,由线面平行推出面面平行),猜想由线面垂直应能推出面面垂 直.由学生探讨两种垂直关系的过渡,从而发现结论.两个平面垂直的性质定理的发现与此类似. (6)证明两个平面垂直的判定定理和性质定理时注意分析综合法的运用.注意分析已知与所证的 差异,这个差异就是最主要的矛盾,消除了差异,已知与所证就建立了联系,实现了沟通,问题也就解 决了.通过证明这两个定理应使学生对分析综合法的认识有进一步的提高. 教学设计示例一 9.6 两个平面垂直的判定和性质 第一课时 教学目标: 1.理解二面角的有关概念,能画出二面角. 2.会求二面角的平面角. 教具准备:投影胶片、三角板. 教学过程: [设置情境] 看看日常生活中常见的例子:公路上的坡面与水平面,打开的门与门框所在的平面等.它们中的两 个面成一定的角度.为了解决实际问题,人们需要研究两个平面所成的角.那么,怎么定义两个平面所 成的角呢? [探索研究] 1.二面角 (1)半平面 平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面. (2)二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面 叫做二面角的面. (3)二面角的画法:分直立式与平卧式两种.图 1,记作二面角 ①直立式 ②平卧式 .

2.二面角的平面角 教师提出问题:平面几何中可以把角理解为一个旋转量,同样,一个二面角也可以看作是一个半平 面以其棱为轴旋转而成的,也是一个旋转量.这说明二面角不仅有大小.而且其大小是惟一确定的. 平面与平面的位置关系,总的说来只有相交或平行两种情况.为了对相交平面的相互位置作进一步 的探讨,我们有必要来研究二面角的度量问题.从而提问:二面角的大小应该怎么度量? 让学生主动动手操作并与同学讨论交流,尝试找到度量二面角大小的方法. 现给出二面角的平面角的定义: 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角.

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http://www.maths168.com 如图 2,二面角 , , , . , , 是

二面角

的平面角.

二面角的平面角的范围是

,当两个半平面重合时,平面角为

;当两个半平面合成一

个平面时,平面角为 .求解二面角问题的关键是确定平面角的位置,需抓住“二面角的平面角” 的三个要素:(1)确定二面角的棱上一点;(2)经过这点分别在两个面内引射线;(3)所引的射线 都垂直于棱. 平面角是直角的二面角叫做直二面角. 3.例题分析 例1 若 如图 3, 平面角为锐角的二面角 与 所成角为 ,求二面角 , 的平面角. , , ,

解:作 角的平面角. 又 设

于 是 ,

,作 与

于 所成的角,

,连结

,则



是二面

则 ∴ 例2 在平面 正三角形

, .





边长为 10,

平面 与平面

, 所成的角

、 .

与平面

的距离为 4 和 2,



的同侧,求:平面 、 是 、 . 、 分别是

解:如图 4.设 则平面 由已知可得 ∴ 由

在平面

上的射影,延长

交平面







的中点.





数学驿站 又 ,故

http://www.maths168.com ,由三垂线逆定理得 .

由于

,则







[演练反馈] 1.课本 P36 练习 1,2,3,4. 2.二面角指的是( ) A.两个平面相交所成的角 B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形 C.从一条直线出发的两个半平面组成的图形 D.两个相交平面所夹的不大于 3. 已知△ 所在平面与面 成 中, 角,则△ , 的角 , 在平面 , 在平面 ) 内, △

内的射影面积可能是(

A. 4.已知二面角 的距离为 4,那么

B.

C. 的平面角是锐角 的值等于( ) , 内一点

D. 到 的距离为 3,点 到棱

A. 5.已知二面角 点在 (

B. 的平面角为

C. , ,若

D. 到平面 的距离为 ,则

上的射影 到平面 的距离为________________. 6.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是 ) A.相等 B.互补 C.互余 D.无法确定 7. 如图 5, , 过点 角,求二面角 引 所在平面的斜线 的平面角的余弦值. , 与 、

分别成



数学驿站 8.如图 6,在正方体

http://www.maths168.com 中,求二面角 的平面角的正切值.

9.如图 7,在 点到棱 的距离.

的二面角

内有一点

,它到



面的距离分别为 3 和 5,求

[参考答案]

1.略. 2.C 7.提示:在 点,令 、

3.D

4.C

5. ,作

6.B 交 △ . 于 点,作 及△ 中算出 交 与 、

上任取一点 ,则 、 ,再在

即为所求,先在 △ 中算出

8.提示:连结 平面角.



于点

,连结

,证明

就是二面角



数学驿站 9.提示:分别作 于 △ 于点 、 , 连结 垂直于面 、

http://www.maths168.com 、 于点 、 , 、 、 ,证明 面 , ,令 交

, 证明 .又 、

为所求. 在 .

中用余弦定理算出

共圆,可由正弦定理去算

[总结提炼] 求二面角的平面角,首先要选择一个合适的方案画出二面角(平臣式、直立式),其次要能够根据 定义作出二面角的平面角,用三垂线定理作二面角的平面角是最常用的方法,用三垂线定理必须先找到 一个参考平面,二面角的两个半平面之一往往就是参考平面,而三垂线定理的特点是斜线和射影同时垂 直于面内的直线,这恰好符合二面角的平面角的两边同时垂直于棱的要求,最后要注意作、证、算的步 骤安排,当然有时也直接按定义去作二面角的平面角. 布置作业:课本 P39 习题 9.6 1,2,3,4,5. 板书设计: 1.二面角 2.二角面的平面角 例2 教学设计示例二 9.6 两个平面垂直的判定和性质 第二课时 教学目标: 1.理解两个平面垂直的定义. 2.掌握面面垂直的判定定理与性质定理. 3.能应用面面垂直的判定与性质解决简单问题. 教具准备:三角板、投影胶片. 教学过程: [设置情境] 提问: (1)竖电线杆时,电线杆所在的直线与地面应满足怎样的位置呢? (2)为了让一面墙砌得稳固,不易倒塌,墙面所在的平面与地面又应该满足怎样的位置关系呢? 容易得出结论:电线杆与地面应该垂直,否则容易倾倒;如果墙面发生倾斜,墙就容易倒塌,所以 砌墙时,不能让墙面倾斜. (3)我们怎样用所学知识去描述“墙面不倾斜”这一事实呢? [探索研究] 1.平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直角,就说这两个平面互相垂直. 2.两个平面垂直的判定定理 提出问题:如果你是一个质检员,你怎样去检测、判断建筑中的一面墙和地面是否垂直呢? 例1 练习

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(教师可鼓励学生结合自己的生活 阅历大胆想象、猜测,并可用书作墙面、桌面作为地面进行模 拟.学生不管想出何种方法,也不管其是否可行,教师都应给以 表扬、鼓励并作出相应的分析.) 由上面的讨论分析,教师得出两个平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面 互相垂直. 已知: 求证: 证明:设 ∵ ∴ 在平面 ∴ , ,垂足为点 内过点 . 作直线 , . ,则由 , . ,则 是二面角 是直二面角. 知, 、 共面. (图 1).

3.两个平面垂直的性质 提问:为什么墙面和地面垂直的时候,墙体就不容易倒塌呢?先让学生思考,然后演示实验:将一 本书放置在桌面上, 且使书所在平面与桌面垂直. 当书面沿书面与桌面的交线转动时, 由物理学原理知, 它会倒塌. 由此得到启发,让学生思考:如果两个平面互相垂直,那么在第一个平面内垂直于交线的直线,是 否垂直于第二个平面呢? 先让学生思考一段时间,然后分析: 如图 2, 求证: 分析:在 要证 内作 ,只需证 , . . 垂直于 内的两条相交直线就行,而我们已经有 这个条件没使用, 由 定义, 则 , 为直角, , , ,

只需寻求另一条就够了, 而我们还有 即有

,也就有 ,问题也就得到解决.可由学生写出证明过程. 由上面的讨论,我们就得到了两个平面垂直的性质定理: 如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 下面我们来看一下两个平面垂直的性质的另一个定理,也即课本的例 2(P37). 如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内. 已知: 求证: 证明:设 , . .过点 在平面 内作直线 ,根据上面的定理有 . , , (图 3).

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http://www.maths168.com 垂直,所以直线 应与直线 重合.

因为经过一点只能有一条直线与平面 ∴ 4.例题分析 例题 如图 4, 是⊙ 、 的直径, 点 分别是 .

是⊙ 、 ,

上的动点, 过动点 的中点, 直线 ,即

的直线 有

垂直于⊙ 所在平面, 什么关系?试说明理由. 解:由 垂直于⊙ 的平面角.由 面 .由 是△

与平面 是二面角

所在平面,知

是直径上的圆周角,知 两边中点连线,知 与平面 垂直. 垂直于平面 ,再由 ,故

.因此,平面



.由两个平面垂直

的性质定理,知直线

注意:本题也可以先推出 [演练反馈]

,推出上面的结论.

1.如图 5,在空间边形 .求证:(1)

中,

平面 ;(2)平面

, 平面

, .



2.如图 6,

是△

所在平面外一点, .求证:平面 平面 、 . .





3.如图 7, 为

垂直于矩形 .求证:平面

所在平面, 平面

分别是



的中点,二面角

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[参考答案] 1.提示:由 ,所以 , 面 ,得 ,所以 面 ,得 ,从而面 面 面 . ,又

2.提示:取

中点

,连结







,得



3. 提示: 取

中点 ,

, 连结 , .

、 面

, 证明: ,

, ,

, , 面



, [总结提炼]



定义面面垂直是在建立在二面角的平面角的基础上的, 理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂 直的定义.证明面面垂直要从寻找面的垂线入手,课本第 37 页上的例 2 也可以当作面面垂直的一条性 质定理,在解题时注意应用. 布置作业:课本 P39 习题 9.6 6,7,8,9,10. 板书设计: 1.两个平面垂直的判定 2.两个平面垂直的性质之一 3.两个平面垂直性质之二 4.例题 教学设计示例三 9.6 两个平面垂直的判定和性质 第三课时 教学目标: 1.巩固复习二面角的有关概念,进一步培养求二面角的平面角的能力. 2.巩固复习面面垂直的定义,熟练掌握面面垂直的判定与性质定理. 教具准备:三角板.

数学驿站 教学过程: [复习回忆] 1.二面角的有关概念. 2.作二面角的平面角的一般方法. 3.两个平面垂直的判定定理. 4.两个平面垂直的性质定理(两个). [探索研究] 例1 在平面四边形 ,沿 (1)求证:平面 (2)求平面 与平面 中,已知

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, .



将四边形折成直二面角 平面 ; 所成的角.

解:如图 1,其中(1)是平面四边形,(2)是折后的立体图. (1)证明:∵平面 又∵ ∴ , , 平面 , . ,交线为 ,

∴ (2)过点 内作 角 作 ,

平面 , 为垂足,连结

平面 为垂足,则

. 平面 .又过点 .∴ 在平面 是二面

.由三垂线定理可知

的平面角.

∵点



中点,∴











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. ∴ .即平面 与平面 所成的二面角为 . 点评:折叠问题要特别重视线与线的位置关系,有的在折叠前后保持不变,关于 它们的计算,可以在平面图形中求得,如本题中 不变,四边形的四条边的长也不变.所以, 、 ,点 在折叠前后 均可在平面四边形 和点 间的距离

中求得,但有些量折叠前后会发生变化,如 折叠后不再是 折叠后也变短了,已经变化了的量切不可用折叠前的数据进行计算. 例2 且分别交 如图 2, 在立体图 、 于 、 中, ,又 底面 , ,

, ,求以

垂直平分 为棱,以 与

为面的二面角的平面角的度数. 分析:由已给出的线面垂直关系及线线垂直关系,很容易发现 就是所求二面角的平面角. 解:由于 所以 又已知 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ 设 又因为 面 底面 ,而 平面 平面 , . 平面 . , . , ,∴ , , . 底面 . , ,且 是 的中点,因此 是等腰△ 平面 的底边 ,∴ 的中线,

是所求二面角的平面角. 底面 ,则 ,所以 ,∴ , . , . .

在 ∴



中, ,∴

, ,即二面角 的平面角的度数为 .

数学驿站 例3

http://www.maths168.com 如图 3,在底面是直角梯形的立体图 , 面 , 中, ,

,求面

与面

所成的二面角的平面角的正切值.

分析:这是一道求“二面角”的问题,常将两个平面的交线找出,再 设法画出所求二面角的平面角. 解:延长 ∵ ∴ ∵ 又 ∴ ∵ 面 ,∴ 、 , ,∴ ,得面 面 相交于点 , . 面 ,故 , 是 是交线. 在面 上的射影,∴ , ,连结 ,则 是所求二面角的棱

是所求的二面角的平面角. , , ,





即所求二面角的平面角的正切值为 [演练反馈] 1.如图 4,△ 内射影的面积为 ( 的边 ,且平面 在平面 与△



内,顶点

,设△

的面积为

,它在平面

所在平面所成的二面角的平面角为 .

).求证:

2.如图 5,矩形 的射影恰好是

中, 的中点 ,求二面角

,沿

将△ 的大小.

折起后,使点

在平面



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3.已知正方体 中, 成二面角的平面角的正弦值(图 6).



的中点,求平面

与底面



[参考答案]

1.提示:作

于点

,则

就是△

的面积,作

于点

,连结

,证 2.提示:作

, 于点 ,连结

, ,证明

. , 为所

求.





3. 分析: 延长



的延长线于

, 连结

, ∵

, ∴

解法一:∵ 由三垂线定理,得

, .



为二面角的平面角.

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解得 . 另介绍用射影面积公式解. 如果△ ,且△ 所在平面 在平面 与平面 所成的二面角的平面角为 ,则有

内的射影为△



解法二: △

在底面

上的射影是△

, 设正方体的棱长为 2, 则



,设所求的平面角为 [总结提炼]

,则

,∴



处理折叠问题,关键是认清折叠前后的不变量,当一个二面角的棱在图形中未显示时,那么求这个

二面角的首要任务便是找到棱,这往往要用到公理 1 或公理 2,利用 的方法很特殊,对于有些问题相当方便,请大家注意记忆. 布置作业: 1.课本 P39 习题 9.6 11,12,13,14.

来求二面角的平面角

2.一条长为 ,与

的线段 所成角为

夹在互相垂直的两个平面 ,且 , ,



之间, , 、



所成的角为 是垂足.求平面

与平面 [参考答案] 1.略. 2.解:如图 7.

所成的角.

连结 ∴ 在 △



,可证 , 中, .

, .



,在



中,

在 又作



中,可求出 于 ,作

. ,交 于 ,则 就是二面角

数学驿站 的平面角,由 又 ∴ ∴ ,∴ . 即为所求二面角的平面角. 平面 平面

http://www.maths168.com ,得 . .





中,







中,







中,





,即平面

与平面

所成的角为



. 板书设计: 1.例 1 2.例 2 3.例 3 4.练习 典型例题 例 1.根据叙述作图,指出二面角的平面角并证明.

(1)如图 1,已知 .

.在

内作



,在

内作



(2)如图2,已知 ,连结 .

.作



,在

内作



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(3)已知 面 ,连结 、 .

.作











作图与证明在此省略. 说明:本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法,其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用, 还需补充这种方法的其他典型图形.

例 2. 如图 4,在立体图形 列命题中正确的是( ). (A)平面 (B)平面 (C)平面 (D)平面 ⊥平面 ⊥平面 ⊥平面 ⊥平面

中,若



的中点,则下

,且平面 ,且平面

⊥平面 ⊥平面

分析:要判断两个平面的垂直关系,就需固定其中一个平面,找另一个平面内的一条直线与第一个


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