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集合典型题型归类解析


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 集合典型题型归类解析 作者:王庆和 崔小军 来源:《中学课程辅导高考版· 学生版》2014 年第 09 期 集合是高中的基础性、工具性知识,高考中不仅以小题的形式单纯考查集合知识,还会以 集合语言表述数学试题,并使用集合语言表述解题过程,因此在备考时要掌握集合的表示方 法,能够判断元素与集合、集合与集合之间的关系,能判断两个集合之间是否相等;要掌握集 合的“交”“并”“补”的运算和性质,会用图形表示集合与集合之间的关系;会用分类讨论和数形 结合的数学思想研究集合的运算问题.在解题时对于集合问题首先要确定属于哪一类集合(数 集、点集或图形的集合),再确定处理此类问题的方法;对于集合的运算,大多根据集合中元 素的互异性处理,有时需要用到分类讨论和数形结合的数学思想;集合问题多与函数、方程、 不等式有关,要注意各类知识的融会贯通. 一、元素与集合之间的关系问题 例 1 已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是. 分析:因为 x∈A,y∈A,所以可对 x,y 赋值,从而求出集合 B 中的元素的个数. 解析:因为 x,y∈A,所以 x=0 y=0 或 x=0 y=1 或 x=0 y=2 或 x=1 y=0 或 x=1 y=1 或 x=1 y=2 或 x=2 y=0 或 x=2 y=1 或 x=2 y=2,所以 B={0,-1,-2,1,2},所以集合 B 中有 5 个元素. 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 点评:求解集合中的元素个数题目的关键,一是要准确判断元素是否属于该集合,判断的 依据就是能否将该元素化成集合的代表元素的形式;二要准确计算此集合中的元素的总个数. 本题易混淆数集与点集的区别,如数集 B={x-y|x∈A,y∈A}误当成点集. 二、集合间的基本关系 例 2 设集合 A={a,1,b},B={a,a2,ab},且 A=B,求实数 a,b 的值. 分析:两个集合相等时,这两个集合中的元素完全相同,题目中的两个集合含有一个相同 的元素 a,只要另外两个元素相等即可. 解析一:∵A=B,∴{a,1,b}={a,a2,ab},即{1,b}={a2,ab},所以 1=a2 b=ab 或 1=ab b=a2,解得 a=-1 b=0 或 a=1 b∈R 或 a=1 b=1,根据集合元素的互异性知只有 a=-1 b=0 适合,∴a=-1 b=0. 解析二:由于两个数和另外两个数相等的充要条件是这两个数的和与积分别等于另外两个 数的和与积,故{1,b}={a2,ab}的充要条件是 1· b=a2· ab 1+b=a2+ab,由元素的互异性知 a≠1 且 b≠1,∴b=0,a=-1.经检验,符合题意.∴a=-1 b=0. 点评:两个有限集合相等,可以从两个集合中的元素相同求解,如果是两个无限集合相 等,从两个集合中元素相同的角度进行求解就不方便,这时就可以根据两个集合相等的定义求 解,即如果 AB,BA,则 A=B.在解决集合的元素问题时一定要注意集合元素的互异性、无序 性、确定性,这可以通过把求得的结果代入原来的集合来进行检验. 三、集合运算中的技巧与方法 例 3 已知全集 U=R,集合 A={x||x| 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 解析:因为 A={x||x| 点评:破解集合运算需掌握双招:第一招,化简各个集合,即明确集合中元素的性质,化 简集合;第二招,借形解题,即与不等式有关的无限

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