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函数单调性与导数学案


3.3.1 函数的单调性和导数学案
学习目标 1.理解函数单调性和导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性。 学习重点和难点 1.重点,难点:函数单调性和导数的关系; 一、复习引入: 1. 常见函数的导数公式:

2. 导数运算法则

法则 1 法则 2 法则 3 3.函数单调性的判断: 函数 y = f (x) 在给定区间 G 上,当 时 1)都有 ,则 f ( x ) 在 G 上是增函数; 2)都有 ,则 f ( x ) 在 G 上是减函数; 单调函数的图像特征 y y

若 f(x) 在 G 上是增函数或减函数,则 o G 上具有严格的单调性。 x a b f(x) o x 在 a b 二、 讲授新课 问题 1:图 3.3-1(1) ,它表示跳水运动中高度 h 随 时 间 t 变 化 的 函 数 h( t ) ? ? 4.9 t ? 6.5 t ? 10
2

的图像,图 3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速 度 v 随 时 间 t 变 化 的 函 数

v(t ) ? h' (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像.
运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这 两段时间的运动状态有什么区别? 通过观察图像,我们可以发现:

1

(1) . (2) .

问题 2. 函数的单调性与导数的 关系 观察下面函数的图像,探讨函 数的单调性与其导数正负的关 系.

问题 3:若函数 f(x)在区间(a,b)内单调递增,那么 f′(x)一定大于零 吗? 问题 4: (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个, 那么如何表示这些区间? 试写出问题 2 中(4)的单调区间. (2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系? 结论:函数的单调性与导数的关系

' 说明: (1)特别的,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是

常函数
2

三.典例分析 例 1.已知导函数 f ' ( x) 的下列信息: 当 1 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 致形状. 当x ? 4, 或 x ? 1 时,f ' ( x) ? 0 ; 试画出函数 y ? f ( x) 图像的大

跟踪训练 1 函数 y=f(x)的图象如图所示,试画出导函数 f′(x)图象 的大致形状.

例 2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1) f ( x) ? x ? 3x ;
3

(2) f ( x) ? x ? 2 x ? 3
2

3 2 (3)f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ; (4)f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1

3

跟踪训练 2

求下列函数的单调区间:(1)f(x)=2x(e -1)-x ; 2 (2)f(x)=3x -2ln x.

x

2

利用导数求函数单调区间的基本步骤

探究点二 函数的变化快慢与导数的关系 问题 5 我们知道导数的符号反映函数 y=f(x)的增减情况,怎样反映函

数 y=f(x)增减的快慢呢?能否从导数的角度解释变化的快慢呢?

例 3.如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种 底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的 函数关系图像.
4

小结:

跟踪训练 3

已知 f′(x)是 f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示,则

f(x)的图象只可能是

5

四:课堂练习: 1.函数 f(x)=x+ln x 在(0,6)上是 ( )

A.单调增函数 B.单调减函数 1 1 ? ? ? ? C.在?0, ?上是减函数,在? ,6?上是增函数 ? e? ?e ? ? 1? ?1 ? D.在?0, ?上是增函数,在? ,6?上是减函数 ? e? ?e ? 2.f′(x)是函数 y=f(x)的导函数,若 y=f′(x)的图 象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是( )

3.函数 f(x)=ln x-ax(a>0)的单调增区间为 ? 1? ?1 ? A.?0, ? B.? ,+∞? C.(0,+∞)

(

) D.(0,a)

?

a?

?a

?

4.函数 y=x -4x+a 的增区间为_________,减区间为__________.

2

五、本节课我们的收获 :

崇礼县第一中学 陈树伟

6


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