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专题三导数及其应用(共130题)


曲一线科学备考

精品题库试题
用户:苏冠文 生成时间:2013.04.21 09:28:51

1. (2012 河南高三模拟,21,12 分) 已知函数 f(x)=x-(1+a)ln x 在 x=1 时存在极值. (Ⅰ)求实数 a 的值;

(Ⅱ)若 x>1 时,mln x>

成立,求正实数 m 的取值范围.

2. (2012 大纲全国,20,12 分)设函数 f(x)=ax+cos x,x∈[0,π ]. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设 f(x)≤1+sin x,求 a 的取值范围. 3.(2012 江苏,18,16 分)若函数 y=f (x)在 x=x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y=f (x)的极值点. 已知 a,b 是实数,1 和-1 是函数 f (x)=x3+ax2+bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g(x)的导函数 g'(x)=f (x)+2,求 g(x)的极值点; (3)设 h(x)=f (f (x))-c,其中 c∈[-2,2],求函数 y=h(x)的零点个数.

4.(2012 重庆,16,13 分)设 f(x)=aln x+ + x+1,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于 y 轴. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值.

5.(2012 安徽,19,13 分)设函数 f(x)=aex+ (1)求 f(x)在[0,+∞)内的最小值;

+b(a>0).

(2)设曲线 y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为 y= x,求 a,b 的值. 6. (2012 广东,21,14 分)设 a<1,集合 A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x2-3(1+a)x+6a>0},D=A∩B. (1)求集合 D(用区间表示); (2)求函数 f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax 在 D 内的极值点.

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7.(2012 山东,22,13 分)已知函数 f(x)= 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间;

(k 为常数,e=2. 718 28?是自然对数的底数),曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与 x

(3)设 g(x)=(x2+x)f '(x),其中 f '(x)为 f(x)的导函数. 证明:对任意 x>0,g(x)<1+e-2. 8.(2012 北京,18,13 分)已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值. 9.(2012 大纲全国,10,5 分)已知函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=( A. -2 或 2 B. -9 或 3 C. -1 或 1 D. -3 或 1 )

10.(2012 课标全国,12,5 分)设点 P 在曲线 y= ex 上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( A. 1-ln 2 B. (1-ln 2) C. 1+ln 2 D. (1+ln 2)

)

11.(2012 重庆,8,5 分)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f '(x),且函数 y=(1-x)f '(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的 是( )

A. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B. 函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D. 函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 12.(2012 陕西,7,5 分)设函数 f(x)=xex,则( A. x=1 为 f(x)的极大值点 B. x=1 为 f(x)的极小值点 C. x=-1 为 f(x)的极大值点 第 2 页 / 共 75 页 )

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D. x=-1 为 f(x)的极小值点

13.(2012 辽宁,21,12 分)设 f(x)=ln(x+1)+ (1)求 a,b 的值;

+ax+b(a,b∈R,a,b 为常数),曲线 y=f(x)与直线 y= x 在(0,0)点相切.

(2)证明:当 0<x<2 时, f(x)<

.

14.(2012 上海,13,4 分)已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A(0,0)、B 轴围成的图形的面积为 .

、C(1,0). 函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x

15.(2012 江西,11,5 分)计算定积分

(x2+sin x)dx=

. . .

16.(2012 山东,15,4 分)设 a>0. 若曲线 y= 17.(2012 山东,15,4 分)设 a>0. 若曲线 y=

与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a= 与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a=

18. (2012 辽宁,15,5 分)已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交 于点 A,则点 A 的纵坐标为 . 19.(2012 广东,12,5 分)曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为 .

20.(2007 湖南, 19, 13 分) 如图, 某地为了开发旅游资源, 欲修建一条连结风景点 P 和居民区 O 的公路. 点 P 所在的山坡面 与山脚所在水平面 α 所成的二面角为 θ (0°<θ <90°) , 且 sin θ = , 点 P 到平面 α 的距离 PH=0. 4(km) . 沿山脚原有一 段笔直的公路 AB 可供利用. 从点 O 到山脚修路的造价为 a 万元/km, 原有公路改建费用为 万元/km. 当山坡上公路长度为 l km(1≤l≤2) 时, 其造价为(l2+1) a 万元. 已知 OA⊥AB, PB⊥AB, AB=1. 5(km) , OA= (Ⅰ) 在 AB 上求一点 D, 使沿折线 PDAO 修建公路的总造价最小; (Ⅱ) 对于(Ⅰ) 中得到的点 D, 在 DA 上求一点 E, 使沿折线 PDEO 修建公路的总造价最小; (Ⅲ) 在 AB 上是否存在两个不同的点 D'、 使沿折线 PD'E'O 修建公路的总造价小于(Ⅱ) 中得到的最小总造价, 证明你的结 E', 论. (km) .

21.(2007 辽宁, 22, 12 分) 已知函数 f(x) =e2x-2t(ex+x) +x2+2t2+1, g(x) = f '(x) . 第 3 页 / 共 75 页

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(Ⅰ) 证明:当 t<2

时, g(x) 在 R 上是增函数;

(Ⅱ) 对于给定的闭区间[a, b], 试说明存在实数 k, 当 t>k 时, g(x) 在闭区间[a, b]上是减函数;

(Ⅲ) 证明:f(x) ≥ . 22.(2007 山东, 22, 14 分) 设函数 f(x) =x2+bln(x+1) , 其中 b≠0.

(Ⅰ) 当 b> 时, 判断函数 f(x) 在定义域上的单调性; (Ⅱ) 求函数 f(x) 的极值点;

(Ⅲ) 证明对任意的正整数 n, 不等式 ln

> - 都成立.

23.(2007 浙江, 22, 15 分) 设 f(x) = , 对任意实数 t, 记 gt(x) = x- t. (Ⅰ) 求函数 y=f(x) -g8(x) 的单调区间; (Ⅱ) 求证:(i) 当 x>0 时, f(x) ≥gt(x) 对任意正实数 t 成立; (ii) 有且仅有一个正实数 x0, 使得 g8(x0) ≥gt(x0) 对任意正实数 t 成立. 24.(2007 安徽, 18) 设 a≥0, f(x) =x-1-ln2x+2aln x(x>0) . (Ⅰ) 令 F(x) =xf '(x) , 讨论 F(x) 在(0, +∞) 内的单调性并求极值; (Ⅱ) 求证:当 x>1 时, 恒有 x>ln2x-2aln x+1. 25.(2007 宁夏、海南, 21, 12 分) 设函数 f(x) =ln(x+a) +x2. (Ⅰ) 若当 x=-1 时 f(x) 取得极值, 求 a 的值, 并讨论 f(x) 的单调性;

(Ⅱ) 若 f(x) 存在极值, 求 a 的取值范围, 并证明所有极值之和大于 ln . 26.(2007 重庆, 20, 13 分) 已知函数 f(x) =ax4ln x+bx4-c(x>0) 在 x=1 处取得极值-3-c, 其中 a, b, c 为常数. (Ⅰ) 试确定 a, b 的值; (Ⅱ) 讨论函数 f(x) 的单调区间; (Ⅲ) 若对任意 x>0, 不等式 f(x) ≥-2c2 恒成立, 求 c 的取值范围. 27.(2007 福建, 22, 14 分) 已知函数 f(x) =ex-kx, x∈R. (Ⅰ) 若 k=e, 试确定函数 f(x) 的单调区间;

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(Ⅱ) 若 k>0, 且对于任意 x∈R, f(|x|) >0 恒成立, 试确定实数 k 的取值范围;

(Ⅲ) 设函数 F(x) =f(x) +f(-x) , 求证:F(1) F(2) ?F(n) >(en+1+2 28.(2007 全国Ⅰ, 20, 12 分) 设函数 f(x) =ex-e-x. (Ⅰ) 证明: f(x) 的导数 f '(x) ≥2; (Ⅱ) 若对所有 x≥0 都有 f(x) ≥ax, 求 a 的取值范围.

(n∈N*) .

29.(2008 江苏, 23, 10 分) 请先阅读:在等式 cos 2x=2cos2x-1(x∈R) 的两边对 x 求导(cos 2x) '=(2cos2x-1) '. 由求导法则得 (-sin 2x) ?2=4cos x?(-sin x) , 化简后得等式 sin 2x=2sin xcos x.

(Ⅰ) 利用上述想法(或者其他方法) , 试由等式(1+x) n= + x+ x2+?+
n-1

xn-1+ xn(x∈R, 整数 n≥2) . 证明:n[(1+x)

-1]=

(Ⅱ) 对于整数 n≥3, 求证:

(i)

(ii)

(iii)

30.(2008 山东, 21, 12 分) 已知函数 f(x) = (Ⅰ) 当 n=2 时, 求函数 f(x) 的极值;

+aln(x-1) , 其中 n∈N*, a 为常数.

(Ⅱ) 当 a=1 时, 证明:对任意的正整数 n, 当 x≥2 时, 有 f(x) ≤x-1.

31.(2008 福建, 19, 12 分) 已知函数 f(x) = x3+x2-2.

(Ⅰ) 设{an}是正数组成的数列, 前 n 项和为 Sn, 其中 a1=3. 若点(an, Sn) 也在 y=f '(x) 的图象上; (Ⅱ) 求函数 f(x) 在区间(a-1, a) 内的极值.

-2an+1) (n∈N*) 在函数 y=f '(x) 的图象上, 求证:点(n,

32.(2008 湖南, 21, 13 分) 已知函数 f(x) =ln2(1+x) (Ⅰ) 求函数 f(x) 的单调区间;

.

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(Ⅱ) 若不等式

≤e 对任意的 n∈N*都成立(其中 e 是自然对数的底数) , 求 α 的最大值.

33.(2008 北京, 18, 13 分) 已知函数 f(x) =

, 求导函数 f '(x) , 并确定 f(x) 的单调区间.

34.(2008 广东, 19, 14 分) 设 k∈R, 函数 f(x) =

F(x) =f(x) -kx, x∈R. 试讨论函数 F(x) 的单调性.

35.(2008 辽宁, 21, 12 分) 设函数 f(x) = (Ⅰ) 求 f(x) 的单调区间和极值;

-ln x+ln(x+1) .

(Ⅱ) 是否存在实数 a, 使得关于 x 的不等式 f(x) ≥a 的解集为(0, +∞) ?若存在, 求 a 的取值范围;若不存在, 试说明理由. 36.(2008 四川, 22, 14 分) 已知 x=3 是函数 f(x) =aln(1+x) +x2-10x 的一个极值点. (Ⅰ) 求 a; (Ⅱ) 求函数 f(x) 的单调区间; (Ⅲ) 若直线 y=b 与函数 y=f(x) 的图象有 3 个交点, 求 b 的取值范围.

37.(2008 陕西, 21, 12 分) 已知函数 f(x) = (Ⅰ) 求函数 f(x) 的另一个极值点;

(c>0 且 c≠1, k∈R) 恰有一个极大值点和一个极小值点, 其中一个是 x=-c.

(Ⅱ) 求函数 f(x) 的极大值 M 和极小值 m, 并求 M-m≥1 时 k 的取值范围. 38.(2008 全国Ⅰ, 19, 12 分) 已知函数 f(x) =x3+ax2+x+1, a∈R. (Ⅰ) 讨论函数 f(x) 的单调区间;

(Ⅱ) 设函数 f(x) 在区间

内是减函数, 求 a 的取值范围.

39.(2008 安徽, 20, 12 分) 设函数 f(x) = (Ⅰ) 求函数 f(x) 的单调区间;

(x>0 且 x≠1) .

(Ⅱ) 已知 >xa 对任意 x∈(0, 1) 成立, 求实数 a 的取值范围. 40.(2009 浙江, 22, 14 分) 已知函数 f(x) =x3-(k2-k+1) x2+5x-2, g(x) =k2x2+kx+1, 其中 k∈R. (Ⅰ) 设函数 p(x) =f(x) +g(x) . 若 p(x) 在区间(0, 3) 上不单调, 求 k 的取值范围; 第 6 页 / 共 75 页

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(Ⅱ) 设函数 q(x) =

是否存在 k, 对任意给定的非零实数 x1, 存在唯一的非零实数 x2(x2≠x1) , 使得 q'(x2) =q'(x1) 成

立?若存在, 求 k 的值;若不存在, 请说明理由.

41.(2009 辽宁, 21, 12 分) 已知函数 f(x) = x2-ax+(a-1) ln x, a>1. (Ⅰ) 讨论函数 f(x) 的单调性;

(Ⅱ) 证明:若 a<5, 则对任意 x1, x2∈(0, +∞) , x1≠x2, 有

>-1.

42.(2009 全国Ⅱ, 22, 12 分) 设函数 f(x) =x2+aln(1+x) 有两个极值点 x1, x2, 且 x1<x2. (Ⅰ) 求 a 的取值范围, 并讨论 f(x) 的单调性;

(Ⅱ) 证明: f(x2) >

.

43.(2009 安徽, 19, 12 分) 已知函数 f(x) =x- +a(2-ln x) , a>0. 讨论 f(x) 的单调性. 44.(2009 宁夏、海南, 21, 12 分) 已知函数 f(x) =(x3+3x2+ax+b) e-x. (Ⅰ) 若 a=b=-3, 求 f(x) 的单调区间; (Ⅱ) 若 f(x) 在(-∞, α ) , (2, β ) 单调增加, 在(α , 2) , (β , +∞) 上单调减少, 证明 β -α >6.

45.(2009 陕西, 20, 12 分) 已知函数 f(x) =ln(ax+1) + (Ⅰ) 若 f(x) 在 x=1 处取得极值, 求 a 的值; (Ⅱ) 求 f(x) 的单调区间; (Ⅲ) 若 f(x) 的最小值为 1, 求 a 的取值范围.

, x≥0, 其中 a>0.

46.(2009 江西, 17, 12 分) 设函数 f(x) = . (Ⅰ) 求函数 f(x) 的单调区间; (Ⅱ) 若 k>0, 求不等式 f '(x) +k(1-x) f(x) >0 的解集. 47.(2010 江苏, 20, 16 分) 设 f(x) 是定义在区间(1, +∞) 上的函数, 其导函数为 f '(x) . 如果存在实数 a 和函数 h(x) , 其中 h(x) 对任意的 x∈(1, +∞) 都有 h(x) >0, 使得 f '(x) =h(x) (x2-ax+1) , 则称函数 f(x) 具有性质 P(a) .

(Ⅰ) 设函数 f(x) =ln x+

(x>1) , 其中 b 为实数.

(i) 求证:函数 f(x) 具有性质 P(b) ; 第 7 页 / 共 75 页

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(ii) 求函数 f(x) 的单调区间. (Ⅱ) 已知函数 g(x) 具有性质 P(2) . 给定 x1, x2∈(1, +∞) , x1<x2, 设 m 为实数, α =mx1+(1-m) x2, β =(1-m) x1+mx2, 且 α >1, β >1, 若|g(α ) -g(β ) |<|g(x1) -g(x2) |, 求 m 的取值范围. 48.(2010 浙江, 22, 14 分) 已知 a 是给定的实常数. 设函数 f(x) =(x-a) 2(x+b) ex, b∈R, x=a 是 f(x) 的一个极大值点. (Ⅰ) 求 b 的取值范围;

(Ⅱ) 设 x1, x2, x3 是 f(x) 的 3 个极值点, 问是否存在实数 b, 可找到 x4∈R, 使得 x1, x2, x3, x4 的某种排列 i2, i3, i4}={1, 2, 3, 4}) 依次成等差数列?若存在, 求所有的 b 及相应的 x4;若不存在, 说明理由.

(其中{i1,

49.(2010 山东, 22, 14 分) 已知函数 f(x) =ln x-ax+

-1(a∈R) .

(Ⅰ) 当 a≤ 时, 讨论 f(x) 的单调性;

(Ⅱ) 设 g(x) =x2-2bx+4. 当 a= 时, 若对任意 x1∈(0, 2) , 存在 x2∈[1, 2], 使 f(x1) ≥g(x2) . 求实数 b 的取值范围. 50.(2010 全国Ⅱ, 22, 12 分) 设函数 f(x) =1-e-x.

(Ⅰ) 证明:当 x>-1 时, f(x) ≥

;

(Ⅱ) 设当 x≥0 时, f(x) ≤

, 求 a 的取值范围.

51. (2010 全国Ⅰ, 20, 12 分) 已知函数 f(x) =(x+1) ln x-x+1. (Ⅰ) 若 xf '(x) ≤x2+ax+1, 求 a 的取值范围; (Ⅱ) 证明:(x-1) f(x) ≥0. 52.(2010 江西, 19, 12 分) 设函数 f(x) =ln x+ln(2-x) +ax(a>0) . (Ⅰ) 当 a=1 时, 求 f(x) 的单调区间;

(Ⅱ) 若 f(x) 在(0, 1]上的最大值为 , 求 a 的值. 53.(2010 安徽, 17, 12 分) 设 a 为实数, 函数 f(x) =ex-2x+2a, x∈R. (Ⅰ) 求 f(x) 的单调区间与极值; (Ⅱ) 求证:当 a>ln 2-1 且 x>0 时, ex>x2-2ax+1.

54.(2011 四川, 22, 14 分) 已知函数 f(x) = x+ , h(x) =

.

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(Ⅰ) 设函数 F(x) =f(x) -h(x) , 求 F(x) 的单调区间与极值;

(Ⅱ) 设 a∈R, 解关于 x 的方程 log4

=log2h(a-x) -log2h(4-x) ;

(Ⅲ) 试比较 f(100) h(100) -

与 的大小.

55.(2011 湖北, 21, 14 分) (Ⅰ) 已知函数 f(x) =ln x-x+1, x∈(0, +∞) , 求函数 f(x) 的最大值; (Ⅱ) 设 ak, bk(k=1, 2, ?, n) 均为正数, 证明:

(i) 若 a1b1+a2b2+?+anbn≤b1+b2+?+bn, 则

?

≤1;

(ii) 若 b1+b2+?+bn=1, 则 ≤

?

≤ + +?+ .

56.(2011 陕西, 21, 14 分) 设函数 f(x) 定义在(0, +∞) 上, f(1) =0, 导函数 f '(x) = , g(x) =f(x) +f '(x) . (Ⅰ) 求 g(x) 的单调区间和最小值;

(Ⅱ) 讨论 g(x) 与 g

的大小关系;

(Ⅲ) 是否存在 x0>0, 使得|g(x) -g(x0) |< 对任意 x>0 成立?若存在, 求出 x0 的取值范围;若不存在, 请说明理由. 57.(2011 辽宁, 21, 12 分) 已知函数 f(x) =ln x-ax2+(2-a) x. (Ⅰ) 讨论 f(x) 的单调性;

(Ⅱ) 设 a>0, 证明:当 0<x< 时, f

>f

;

(Ⅲ) 若函数 y=f(x) 的图象与 x 轴交于 A, B 两点, 线段 AB 中点的横坐标为 x0. 证明:f '(x0) <0. 58.(2011 湖南, 22, 13 分) 已知函数 f(x) =x3, g(x) =x+ (Ⅰ) 求函数 h(x) =f(x) -g(x) 的零点个数, 并说明理由; (Ⅱ) 设数列{an}(n∈N*) 满足 a1=a(a>0) , f(an+1) =g(an) , 证明:存在常数 M, 使得对于任意的 n∈N*, 都有 an≤M. 59.(2011 浙江, 22, 14 分) 设函数 f(x) =(x-a) 2ln x, a∈R. (Ⅰ) 若 x=e 为 y=f(x) 的极值点, 求实数 a; (Ⅱ) 求实数 a 的取值范围, 使得对任意的 x∈(0, 3e], 恒有 f(x) ≤4e2 成立. 注:e 为自然对数的底数. 第 9 页 / 共 75 页 .

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60.(2011 江苏, 19, 16 分) 已知 a, b 是实数, 函数 f(x) =x +ax, g(x) =x +bx, f '(x) 和 g'(x) 分别是 f(x) 和 g(x) 的导函数. 若 f '(x) g'(x) ≥0 在区间 I 上恒成立, 则称 f(x) 和 g(x) 在区间 I 上单调性一致. (Ⅰ) 设 a>0. 若 f(x) 和 g(x) 在区间[-1, +∞) 上单调性一致, 求 b 的取值范围; (Ⅱ) 设 a<0 且 a≠b. 若 f(x) 和 g(x) 在以 a, b 为端点的开区间上单调性一致, 求|a-b|的最大值. 61.(2011 天津, 19, 14 分) 已知 a>0, 函数 f(x) =ln x-ax2, x>0. (f(x) 的图象连续不断) (Ⅰ) 求 f(x) 的单调区间;

3

2

(Ⅱ) 当 a= 时, 证明:存在 x0∈(2, +∞) , 使 f(x0) =f

;

(Ⅲ) 若存在均属于区间[1, 3]的 α , β , 且 β -α ≥1, 使 f(α ) =f(β ) , 证明

≤a≤

.

62.(2011 课标, 21, 12 分) 已知函数 f(x) = (Ⅰ) 求 a, b 的值;

+ , 曲线 y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线方程为 x+2y-3=0.

(Ⅱ) 如果当 x>0, 且 x≠1 时, f(x) > 63.(2011 全国, 22, 12 分)

+ , 求 k 的取值范围.

(Ⅰ) 设函数 f(x) =ln(1+x) -

, 证明:当 x>0 时, f(x) >0;

(Ⅱ) 从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张, 然后放回, 用这种方式连续抽取 20 次, 设抽得的 20 个号码互不相 同的概率为 p. 证明:p<
19

< .

64. (2011 重庆, 18, 13 分) 设 f(x) =x3+ax2+bx+1 的导数 f '(x) 满足 f '(1) =2a, f '(2) =-b, 其中常数 a, b∈R. (Ⅰ) 求曲线 y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线方程; (Ⅱ) 设 g(x) =f '(x) e-x, 求函数 g(x) 的极值.

65.(2011 江西, 19, 12 分) 设 f(x) =- x3+ x2+2ax.

(Ⅰ) 若 f(x) 在

, +∞

上存在单调递增区间, 求 a 的取值范围;

(Ⅱ) 当 0<a<2 时, f(x) 在[1, 4]上的最小值为-

, 求 f(x) 在该区间上的最大值.

66. (2011 安徽, 16, 12 分) 设 f(x) =

, 其中 a 为正实数. 第 10 页 / 共 75 页

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(Ⅰ) 当 a= 时, 求 f(x) 的极值点; (Ⅱ) 若 f(x) 为 R 上的单调函数, 求 a 的取值范围.

67.(2011 北京, 18, 13 分) 已知函数 f(x) =(x-k) 2 . (Ⅰ) 求 f(x) 的单调区间;

(Ⅱ) 若对于任意的 x∈(0, +∞) , 都有 f(x) ≤ , 求 k 的取值范围. 68.(2007 江苏, 13, 5 分) 已知函数 f(x) =x3-12x+8 在区间[-3, 3]上的最大值与最小值分别为 M, m, 则 M-m= 69.(2007 湖南, 13, 5 分) 函数 f(x) =12x-x3 在区间[-3, 3]上的最小值是 . . .

70.(2008 江苏, 14, 5 分) 设函数 f(x) =ax3-3x+1(x∈R) , 若对于任意 x∈[-1, 1], 都有 f(x) ≥0 成立, 则实数 a 的值为 71.(2009 江苏, 3, 5 分) 函数 f(x) =x3-15x2-33x+6 的单调减区间为 .

72.(2011 江苏, 12, 5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 P 是函数 f(x) =ex(x>0) 的图象上的动点, 该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M. 过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N. 设线段 MN 的中点的纵坐标为 t, 则 t 的最大值是 . 73.(2011 广东, 12, 5 分) 函数 f(x) =x3-3x2+1 在 x= 处取得极小值.

74.(2007 陕西, 11, 5 分) f(x) 是定义在(0, +∞) 上的非负可导函数, 且满足 xf '(x) +f(x) ≤0. 对任意正数 a、b, 若 a<b, 则必 有( ) A. af(b) ≤bf(a) B. bf(a) ≤af(b) C. af(a) ≤f(b) D. bf(b) ≤f(a)

75.(2007 浙江, 8, 5 分) 设 f '(x) 是函数 f(x) 的导函数, 将 y=f(x) 和 y=f '(x) 的图象画在同一个直角坐标系中, 不可能正 确的是( )

76.(2007 辽宁, 12, 5 分) 已知 f(x) 与 g(x) 是定义在 R 上的连续函数, 如果 f(x) 与 g(x) 仅当 x=0 时的函数值为 0, 且 f(x) ≥g(x) , 那么下列情形不可能出现的是( ) A. 0 是 f(x) 的极大值, 也是 g(x) 的极大值 B. 0 是 f(x) 的极小值, 也是 g(x) 的极小值 C. 0 是 f(x) 的极大值, 但不是 g(x) 的极值 D. 0 是 f(x) 的极小值, 但不是 g(x) 的极值 第 11 页 / 共 75 页

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77.(2008 广东, 7, 5 分) 设 a∈R, 若函数 y=e +3x, x∈R 有大于零的极值点, 则(

ax

)

A. a<-

B. a>-

C. a<-3

D. a>-3

78.(2008 湖北, 7, 5 分) 若 f(x) =- x2+bln(x+2) 在(-1, +∞) 上是减函数, 则 b 的取值范围是( A. [-1, +∞) B. (-1, +∞) C. (-∞, -1] D. (-∞, -1)

)

79.(2008 福建, 12, 5 分) 已知函数 y=f(x) , y=g(x) 的导函数的图象如图, 那么 y=f(x) , y=g(x) 的图象可能是(

)

80.(2011 辽宁, 11, 5 分) 函数 f(x) 的定义域为 R, f(-1) =2, 对任意 x∈R, f '(x) >2, 则 f(x) >2x+4 的解集为( A. (-1, 1) B. (-1, +∞) C. (-∞, -1) D. (-∞, +∞)

)

81.(2011 安徽, 9, 5 分) 已知函数 f(x) =sin(2x+φ ) , 其中 φ 为实数. 若 f(x) ≤ 单调递增区间是( )

对 x∈R 恒成立, 且 f

>f(π ) , 则 f(x) 的

A.

(k∈Z)

B.

(k∈Z)

C.

(k∈Z)

D.

(k∈Z)

82.(2011 山东, 9, 5 分) 函数 y= -2sin x 的图象大致是(

)

第 12 页 / 共 75 页

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83.(2011 全国, 8, 5 分) 曲线 y=e-2x+1 在点(0, 2) 处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为(

)

A.

B.

C.

D. 1 )

84.(2011 湖南, 8, 5 分) 设直线 x=t 与函数 f(x) =x2, g(x) =ln x 的图象分别交于点 M, N, 则当|MN|达到最小时 t 的值为(

A. 1

B.

C.

D.

85.(2007 湖北, 20, 13 分) 已知定义在正实数集上的函数 f(x) = x2+2ax, g(x) =3a2ln x+b, 其中 a>0. 设两曲线 y=f(x) , y=g(x) 有公共点, 且在该点处的切线相同. (Ⅰ) 用 a 表示 b, 并求 b 的最大值; (Ⅱ) 求证:f(x) ≥g(x) (x>0) .

86. (2007 天津, 20, 12 分) 已知函数 f(x) =

(x∈R) , 其中 a∈R.

(Ⅰ) 当 a=1 时, 求曲线 y=f(x) 在点(2, f(2) ) 处的切线方程; (Ⅱ) 当 a≠0 时, 求函数 f(x) 的单调区间与极值. 87. (2007 全国Ⅱ, 22, 12 分) 已知函数 f(x) =x3-x. (Ⅰ) 求曲线 y=f(x) 在点 M(t, f(t) ) 处的切线方程; (Ⅱ) 设 a>0, 如果过点(a, b) 时作曲线 y=f(x) 的三条切线, 证明:-a<b<f(a) .

88. (2008 宁夏、海南, 21, 12 分) 设函数 f(x) =ax+ (Ⅰ) 求 f(x) 的解析式;

(a, b∈Z) , 曲线 y=f(x) 在点(2, f(2) ) 处的切线方程为 y=3.

(Ⅱ) 证明:函数 y=f(x) 的图象是一个中心对称图形, 并求其对称中心; (Ⅲ) 证明:曲线 y=f(x) 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值, 并求出此定值.

89. (2008 天津, 20, 12 分) 已知函数 f(x) =x+ +b(x≠0) , 其中 a, b∈R. (Ⅰ) 若曲线 y=f(x) 在点 P(2, f(2) ) 处的切线方程为 y=3x+1, 求函数 f(x) 的解析式; (Ⅱ) 讨论函数 f(x) 的单调性; 第 13 页 / 共 75 页

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(Ⅲ) 若对于任意的 a∈

, 不等式 f(x) ≤10 在

上恒成立, 求 b 的取值范围.

90. (2009 重庆, 20, 13 分) 设函数 f(x) =ax2+bx+c(a≠0) , 曲线 y=f(x) 通过点(0, 2a+3) , 且在点(-1, f(-1) ) 处的切线垂直于 y 轴. (Ⅰ) 用 a 分别表示 b 和 c; (Ⅱ) 当 bc 取得最小值时, 求函数 g(x) =-f(x) e-x 的单调区间.

91. (2009 湖北, 21, 14 分) 在 R 上定义运算?:p?q=- (p-c) (q-b) +4bc(b、c 为实常数) . 记 f1(x) =x2-2c, f2(x) =x-2b, x∈R. 令 f(x) =f1(x) ? f2(x) .

(Ⅰ) 如果函数 f(x) 在 x=1 处有极值- , 试确定 b、c 的值; (Ⅱ) 求曲线 y=f(x) 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点; (Ⅲ) 记 g(x) =|f '(x) |(-1≤x≤1) 的最大值为 M. 若 M≥k 对任意的 b、c 恒成立, 试求 k 的最大值. 92.(2009 北京, 18, 13 分) 设函数 f(x) =xekx(k≠0) . (Ⅰ) 求曲线 y=f(x) 在点(0, f(0) ) 处的切线方程; (Ⅱ) 求函数 f(x) 的单调区间; (Ⅲ) 若函数 f(x) 在区间(-1, 1) 内单调递增, 求 k 的取值范围. 93.(2009 重庆, 18, 13 分) 设函数 f(x) =ax2+bx+k(k>0) 在 x=0 处取得极值, 且曲线 y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线垂直于直线 x+2y+1=0. (Ⅰ) 求 a, b 的值;

(Ⅱ) 若函数 g(x) =

, 讨论 g(x) 的单调性.

94. (2009 天津, 20, 12 分) 已知函数 f(x) =(x2+ax-2a2+3a) ?ex(x∈R) , 其中 a∈R. (Ⅰ) 当 a=0 时, 求曲线 y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线的斜率;

(Ⅱ) 当 a≠ 时, 求函数 f(x) 的单调区间与极值. 95.(2010 福建, 20, 14 分) (Ⅰ) 已知函数 f(x) =x3-x, 其图象记为曲线 C. (i) 求函数 f(x) 的单调区间; (ii) 证明:若对于任意非零实数 x1, 曲线 C 与其在点 P1(x1, f(x1) ) 处的切线交于另一点 P2(x2, f(x2) ) , 曲线 C 与其在点 P2 处的 第 14 页 / 共 75 页

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切线交于另一点 P3(x3, f(x3) ) , 线段 P1P2, P2P3 与曲线 C 所围成封闭图形的面积分别记为 S1, S2, 则 为定值; (Ⅱ) 对于一般的三次函数 g(x) =ax3+bx2+cx+d(a≠0) , 请给出类似于(Ⅰ) (ii) 的正确命题, 并予以证明. 96.(2010 陕西, 21, 14 分) 已知函数 f(x) = , g(x) =aln x, a∈R.

(Ⅰ) 若曲线 y=f(x) 与曲线 y=g(x) 相交, 且在交点处有共同的切线, 求 a 的值和该切线方程; (Ⅱ) 设函数 h(x) =f(x) -g(x) , 当 h(x) 存在最小值时, 求其最小值 φ (a) 的解析式; (Ⅲ) 对(Ⅱ) 中的 φ (a) 和任意的 a>0, b>0, 证明:

φ'



≤φ '

.

97.(2010 重庆, 18, 13 分) 已知函数 f(x) =

+ln(x+1) , 其中实数 a≠-1.

(Ⅰ) 若 a=2, 求曲线 y=f(x) 在点(0, f(0) ) 处的切线方程; (Ⅱ) 若 f(x) 在 x=1 处取得极值, 试讨论 f(x) 的单调性.

98.(2008 山东, 14, 4 分) 设函数 f(x) =ax2+c(a≠0) , 若

f(x) dx=f(x0) , 0≤x0≤1, 则 x0 的值为

.

99.(2008 江苏, 8, 5 分) 设直线 y= x+b 是曲线 y=ln x(x>0) 的一条切线, 则实数 b 的值为 100.(2008 全国Ⅱ, 14, 5 分) 设曲线 y=eax 在点(0, 1) 处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直, 则 a=

. .

101.(2008 北京, 12, 5 分) 如图, 函数 f(x) 的图象是折线段 ABC, 其中 A, B, C 的坐标分别为(0, 4) , (2, 0) , (6, 4) , 则 f[f(0) ]= ; = (用数字作答) .

102.(2009 陕西, 16, 4 分) 设曲线 y=xn+1(n∈N*) 在点(1, 1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn, 令 an=lg xn, 则 a1+a2+?+a99 的值为 .

103.(2009 湖北, 14, 5 分) 已知函数 f(x) =f '

cos x+sin x, 则 f

=

.

104.(2009 北京, 11, 5 分) 设 f(x) 是偶函数. 若曲线 y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线的斜率为 1, 则该曲线在点(-1, f(-1) ) 处的 切线的斜率为 . 第 15 页 / 共 75 页

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105.(2009 福建, 14, 4 分) 若曲线 f(x) =ax +ln x 存在垂直于 y 轴的切线, 则实数 a 的取值范围是

3

.

106.(2009 江苏, 9, 5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P 在曲线 C:y=x3-10x+3 上, 且在第二象限内, 已知曲线 C 在点 P 处 的切线的斜率为 2, 则点 P 的坐标为 . 107.(2010 课标全国, 13, 5 分) 设 y=f(x) 为区间[0, 1]上的连续函数, 且恒有 0≤f(x) ≤1, 可以用随机模拟方法近似计算积分 f(x) dx. 先产生两组(每组 N 个) 区间[0, 1]上的均匀随机数 x1, x2, ?, xN 和 y1, y2, ?, yN, 由此得到 N 个点(xi, yi) (i=1, 2, ?,

N) . 再数出其中满足 yi≤f(xi) (i=1, 2, ?, N) 的点数 N1, 那么由随机模拟方法可得积分

f(x) dx 的近似值为 .

.

108.(2010 陕西, 13, 5 分) 从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x, y) , 则点 M 取自阴影部分的概率为

109.(2011 陕西, 11, 5 分) 设 f(x) =

若 f(f(1) ) =1, 则 a=

.

110.(2007 宁夏, 10, 5 分) 曲线 y=

在点(4, e2) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

)

A. e2

B. 4e2

C. 2e2

D. e2 )

111.(2007 江西, 11, 5 分) 设函数 f(x) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数, 则曲线 y=f(x) 在 x=5 处的切线的斜率为(

A. -

B. 0

C.

D. 5

112.(2007 全国Ⅱ, 8, 5 分) 已知曲线 y= -3ln x 的一条切线的斜率为 , 则切点的横坐标为(

)

A. 3

B. 2

C. 1

D.

113.(2008 宁夏、海南, 10, 5 分) 由直线 x= , x=2, 曲线 y= 及 x 轴所围图形的面积为(

)

A.

B.

C. ln 2

D. 2ln 2 )

114.(2008 四川, 10, 5 分) 设 f(x) =sin(ω x+φ ) , 其中 ω >0, 则 f(x) 是偶函数的充要条件是( A. f(0) =1 B. f(0) =0 C. f '(0) =1 D. f '(0) =0

第 16 页 / 共 75 页

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115.(2008 全国Ⅰ, 7, 5 分) 设曲线 y=

在点(3, 2) 处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直, 则 a=(

)

A. 2

B.

C. -

D. -2

116.(2008 辽宁, 6, 5 分) 设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点, 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 标的取值范围为( )

, 则点 P 横坐

A.

B. [-1, 0]

C. [0, 1]

D.

117.(2009 福建, 4, 5 分) A. π B. 2 C. π -2 D. π +2 )

118.(2009 安徽, 9, 5 分) 已知函数 f(x) 在 R 上满足 f(x) =2f(2-x) -x2+8x-8, 则曲线 y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线方程是( A. y=2x-1 B. y=x C. y=3x-2 D. y=-2x+3

119.(2009 江西, 5, 5 分) 设函数 f(x) =g(x) +x2, 曲线 y=g(x) 在点(1, g(1) ) 处的切线方程为 y=2x+1, 则曲线 y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处切线的斜率为( )

A. 4

B. -

C. 2

D. )

120.(2009 全国Ⅰ, 9, 5 分) 已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a) 相切, 则 a 的值为( A. 1 B. 2 C. -1 D. -2

121.(2009 辽宁, 7, 5 分) 曲线 y= A. y=x-2 B. y=-3x+2

在点(1, -1) 处的切线方程为( C. y=2x-3 D. y=-2x+1

)

122.(2009 全国Ⅱ, 4, 5 分) 曲线 y= A. x-y-2=0 B. x+y-2=0

在点(1, 1) 处的切线方程为( C. x+4y-5=0

)

D. x-4y-5=0 )

123.(2010 山东, 7, 5 分) 由曲线 y=x2, y=x3 围成的封闭图形面积为(

A.

B.

C.

D.

第 17 页 / 共 75 页

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124.(2010 湖南, 5, 5 分) A. -2ln 2 B. 2ln 2

dx 等于( C. -ln 2

) D. ln 2

125.(2010 辽宁, 10, 5 分) 已知点 P 在曲线 y=

上, α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, 则 α 的取值范围是(

)

A.

B.

C.

D.

126.(2010 全国Ⅱ, 10, 5 分) 若曲线 y= A. 64 B. 32 C. 16

在点(a, D. 8

) 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18, 则 a=(

)

127.(2010 课标全国, 3, 5 分) 曲线 y= A. y=2x+1 B. y=2x-1

在点(-1, -1) 处的切线方程为( C. y=-2x-3 D. y=-2x-2

)

128.(2011 福建, 5, 5 分) A. 1 B. e-1

(ex+2x) dx 等于( C. e D. e+1

)

129.(2011 湖南, 6, 5 分) 由直线 x=- , x= , y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为(

)

A.

B. 1

C.

D. , 直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为( )

130.(2011 课标, 9, 5 分) 由曲线 y=

A.

B. 4

C.

D. 6

答案
1.(Ⅰ)f '(x)=1,由 f '(1)=0,得 a=0. (2 分)

(Ⅱ)当 x>1 时,mln x> ∴(mx-m+1)ln x-x+1>0.

.

令 φ 1(x)=(mx-m+1)ln x-x+1, 第 18 页 / 共 75 页

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则 φ 1'(x)=mln x+m+

-1.

令 φ 2(x)=φ 1'(x),则 φ 2'(x)= -

.

令 t= ,φ 2'(x)=(m-1)t2+mt,0<T<1. span (5<>分) 令 g(t)=(m-1)t2+mt,则 ①当 m≥1 时,g(t)>0,即 φ 2'(x)>0, 所以 φ 1'(x)>φ 1'(1)=0, 即 φ 1(x)>φ 1(1)=0.

所以 mln x>

成立;(7 分)

②当 ≤m<1 时,

≥1,g(t)>0,

同①知 mln x>

成立;(9 分)

③当 0 时,0<

<1,有 t∈

,使 g(t)<0.

即 x∈

时,φ 2'(x)<0,所以 φ 1'(x)<φ 1'(1)=0,可得 φ 1(x)<φ 1(1)=0,与(mx-m+1)ln x-x+1>0 矛盾.

故当 0 时,不能使 mln x>

成立.

综上所述,实数 m 的取值范围为

. (12 分)

分析:(1)由极值点处的导数为 0,求出 a 的值; (2)用构造函数或分离参变量的方法求 m 的范围. 失分警示:若选取分离参变量,所构造出的函数较复杂,导致不便研究. 若直接选用构造函数,则比较方便,不过 m 分界点的选 取不易. 2.(1)f '(x)=a-sin x. (2 分)

(i)当 a≥1 时,f '(x)≥0,且仅当 a=1,x= 时, f '(x)=0,所以 f(x)在[0,π ]上是增函数; (ii)当 a≤0 时, f '(x)≤0,且仅当 a=0,x=0 或 x=π 时, f '(x)=0,所以 f(x)在[0,π ]上是减函数; (iii)当 0<a<1 时,由 f '(x)=0 解得 x1=arcsin a,x2=π -arcsin a. 第 19 页 / 共 75 页

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当 x∈[0,x1)时,sin x<a, f '(x)>0, f(x)是增函数; 当 x∈(x1,x2)时,sin x>a, f '(x)<0, f(x)是减函数; 当 x∈(x2,π ]时,sin x<a, f '(x)>0, f(x)是增函数. (6 分)

(2)由 f(x)≤1+sin x 得 f(π )≤1,aπ -1≤1,所以 a≤ .

令 g(x)=sin x- x

,则 g'(x)=cos x- .

当 x∈

时,g'(x)>0,

当 x∈

时,g'(x)<0.

又 g(0)=g

=0,所以 g(x)≥0,

即 x≤sin x

. (9 分)

当 a≤ 时,有 f(x)≤ x+cos x.

(i)当 0≤x≤ 时, x≤sin x,cos x≤1, 所以 f(x)≤1+sin x;

(ii)当 ≤x≤π 时, f(x)≤ x+cos x=1+

-sin

≤1+sin x.

综上,a 的取值范围是

. (12 分)

3.(1)由题设知 f '(x)=3x2+2ax+b,且 f '(-1)=3-2a+b=0,

f '(1)=3+2a+b=0,解得 a=0,b=-3. (2)由(1)知 f(x)=x3-3x. 因为 f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以 g'(x)=0 的根为 x1=x2=1,x3=-2, 于是函数 g(x)的极值点只可能是 1 或-2. 当 x<-2 时,g'(x)<0;当-2<x<1 时,g'(x)>0,故-2 是 g(x)的极值点. 当-2<x<1 或 x>1 时,g'(x)>0,故 1 不是 g(x)的极值点. 所以 g(x)的极值点为-2. 第 20 页 / 共 75 页

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(3)令 f(x)=t,则 h(x)=f(t)-c. 先讨论关于 x 的方程 f(x)=d 根的情况,d∈[-2,2]. 当|d|=2 时,由(2)可知,f(x)=-2 的两个不同的根为 1 和-2,注意到 f(x)是奇函数,所以 f(x)=2 的两个不同的根为-1 和 2. 当|d|<2 时,因为 f(-1)-d=f(2)-d=2-d>0,f(1)-d=f(-2)-d=-2-d<0, 所以-2,-1,1,2 都不是 f(x)=d 的根. 由(1)知 f '(x)=3(x+1)(x-1). ①当 x∈(2,+∞)时,f '(x)>0,于是 f(x)是单调增函数,从而 f(x)>f(2)=2, 此时 f(x)=d 无实根. 同理,f(x)=d 在(-∞,-2)上无实根. ②当 x∈(1,2)时,f '(x)>0,于是 f(x)是单调增函数,又 f(1)-d<0,f(2)-d>0,y=f(x)-d 的图象不间断,所以 f(x)=d 在(1,2)内有唯一实根. 同理,f(x)=d 在(-2,-1)内有唯一实根. ③当 x∈(-1,1)时,f '(x)<0,故 f(x)是单调减函数, 又 f(-1)-d>0,f(1)-d<0,y=f(x)-d 的图象不间断,所以 f(x)=d 在(-1,1)内有唯一实根. 由上可知:当|d|=2 时,f(x)=d 有两个不同的根 x1,x2 满足|x1|=1,|x2|=2; 当|d|<2 时,f(x)=d 有三个不同的根 x3,x4,x5 满足|xi|<2,i=3,4,5. 现考虑函数 y=h(x)的零点. (i)当|c|=2 时,f(t)=c 有两个根 t1,t2 满足|t1|=1,|t2|=2,而 f(x)=t1 有三个不同的根,f(x)=t2 有两个不同的根,故 y=h(x)有 5 个零点. (ii)当|c|<2 时,f(t)=c 有三个不同的根 t3,t4,t5 满足|ti|<2,i=3,4,5,而 f(x)=ti(i=3,4,5)有三个不同的根,故 y=h(x)有 9 个零点.

综上可知,当|c|=2 时,函数 y=h(x)有 5 个零点;当|c|<2 时,函数 y=h(x)有 9 个零点. '(x)= + .

4.(1)因 f(x)=aln x+ + x+1,故 f

由于曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于 y 轴,故该切线斜率为 0,即 f '(1)=0,从而 a- + =0,解得 a=-1. (2)由(1)知

f(x)=-ln x+ + x+1(x>0),

f '(x)=- -

+ =

=

.

令 f '(x)=0,解得 x1=1,x2=-

因 x2=- 不在定义域内,舍去 . 第 21 页 / 共 75 页

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当 x∈(0,1)时, f '(x)<0,故 f(x)在(0,1)上为减函数; 当 x∈(1,+∞)时, f '(x)>0,故 f(x)在(1,+∞)上为增函数.

故 f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)=3.

5.(1)f '(x)=aex-

,

当 f '(x)>0,即 x>-ln a 时, f(x)在(-ln a,+∞)上递增; 当 f '(x)<0,即 x<-ln a 时, f(x)在(-∞,-ln a)上递减. (i)当 0<a<1 时,-ln a>0, f(x)在(0,-ln a)上递减,在(-ln a,+∞)上递增,从而 f(x)在[0,+∞)上的最小值为 f(-ln a)=2+b;

(ii)当 a≥1 时,-ln a≤0, f(x)在[0,+∞)上递增,从而 f(x)在[0,+∞)上的最小值为 f(0)=a+ +b.

(2)依题意 f '(2)=ae2-

= ,解得 ae2=2 或 ae2=- (舍去).

所以 a= ,代入原函数可得 2+ +b=3,即 b= .

故 a= ,b= .

6.(1)(i)设 g(x)=2x2-3(1+a)x+6a,当 a≤ 时,g(x)的判别式 Δ =9a2-30a+9≥0.

其对称轴方程为 x= (1+a), 当 a≤0 时,g(0)=6a≤0,

方程 g(x)=2x2-3(1+a)x+6a=0 有解 x1=

<0<x2

= ∴D=(x2,+∞)

,

=

.

当 0<a≤ 时,x= (1+a)>0,g(0)=6a>0,

方程 g(x)=2x2-3(1+a)x+6a=0 有解为 0<x1= ∴D=(0,x1)∪(x2,+∞)

<x2=

,

= 0,



,+∞

.

第 22 页 / 共 75 页

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(ii)当 <a<1 时,方程 g(x)=2x2-3(1+a)x+6a=0 的判别式 Δ =9a2-30a+9<0, ∴D=(0,+∞) 综上所述:当 a≤0 时,

D=

;

当 0<a≤ 时,

D= 0,



,+∞ ;

当 <a<1 时,D=(0,+∞). (2)∵f '(x)=6[x2-(1+a)x+a]=6(x-a)(x-1), 又 a<1,∴f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax 的极值点为 a,1. 当 a≤0 时,只需考虑

<1,

解得 a> 矛盾.

当 0<a≤ 时,



<1 显然成立,

<1 不成立,

若 a<

成立,

则 3-a>

,

解得 a(a-3)<0? a∈

. 第 23 页 / 共 75 页

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∴f(x)=2x -3(1+a)x +6ax 在 D 内有一个极值点 a.

3

2

当 <a<1 时, ∴D=(0,+∞).

∴f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax 在 D 内有两个极值点 a 和 1.

7.(1)由 f(x)=

,

得 f '(x)=

,x∈(0,+∞),

由于曲线 y=f(x)在(1, f(1))处的切线与 x 轴平行, 所以 f '(1)=0,因此 k=1.

(2)由(1)得 f '(x)= x∈(0,+∞),

(1-x-xln x),

令 h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,h(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0. 又 ex>0,所以 x∈(0,1)时, f '(x)>0; x∈(1,+∞)时, f '(x)<0. 因此 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (3)证明:因为 g(x)=(x2+x)f '(x),

所以 g(x)=

(1-x-xln x),x∈(0,+∞).

因此对任意 x>0,

g(x)<1+e-2 等价于 1-x-xln x<

(1+e-2).

由(2)中 h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞), 得 h'(x)=-ln x-2=-(ln x-ln e-2),x∈(0,+∞), 因此当 x∈(0,e-2)时,h'(x)>0,h(x)单调递增; 当 x∈(e-2,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减. 所以 h(x)的最大值为 h(e-2)=1+e-2, 第 24 页 / 共 75 页

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故 1-x-xln x≤1+e . 设 φ (x)=ex-(x+1). 因为 φ '(x)=ex-1=ex-e0, 所以 x∈(0,+∞)时,φ '(x)>0,φ (x)单调递增, φ (x)>φ (0)=0, 故 x∈(0,+∞)时,φ (x)=ex-(x+1)>0,

-2



>1.

所以 1-x-xln x≤1+e-2<

(1+e-2). 8.(1)f '(x)=2ax,g'(x)=3x2+b.

因此,对任意 x>0,g(x)<1+e-2.

因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以 f(1)=g(1),且 f '(1)=g'(1). 即 a+1=1+b,且 2a=3+b. 解得 a=3,b=3.

(2)记 h(x)=f(x)+g(x). 当 b= a2 时,h(x)=x3+ax2+ a2x+1,

h'(x)=3x2+2ax+ a2.

令 h'(x)=0,得 x1=- ,x2=- . a>0 时,h(x)与 h'(x)的情况如下:

-∞, x h'(x) h(x) + ↗ 和 0 ↘

- , -

- ,

+∞ 0 + ↗ .

所以函数 h(x)的单调递增区间为

;单调递减区间为

当- ≥-1,即 0<a≤2 时,

第 25 页 / 共 75 页

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函数 h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h(-1)=a- a2.

当- <-1,且- ≥-1,即 2<a≤6 时,

函数 h(x)在区间

内单调递增,在区间

上单调递减,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h

=1.

当- <-1,即 a>6 时,函数 h(x)在区间

内单调递增,在区间

内单调递减,在区间

上单调递增.

又因 h

-h(-1)=1-a+ a2= (a-2)2>0,

所以 h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h 得 b=-1.

=1.

9.A

10.B

11. D

12.D

13.(1)由 y=f(x)过(0,0)点,

由 y=f(x)在(0,0)点的切线斜率为 ,又 y'

x=0=

x=0=

+a,得 a=0. (3 分)

(2)证明:证法一:由均值不等式,当 x>0 时,2

<x+1+1=x+2,故

< +1.

记 h(x)=f(x)-

,则 h'(x)=

+

-

=

-

<

-

=

.

令 g(x)=(x+6)3-216(x+1),则当 0<x<2 时,g'(x)=3(x+6)2-216<0. 因此 g(x)在(0,2)内是递减函数,又由 g(0)=0,得 g(x)<0,所以 h'(x)<0. (10 分)

因此 h(x)在(0,2)内是递减函数,又 h(0)=0,得 h(x)<0. 于是当 0<x<2 时, f(x)< 证法二:由(1)知 f(x)=ln(x+1)+ -1.

. (12 分)

由均值不等式,当 x>0 时,2

<x+1+1=x+2,故

< +1. ①

令 k(x)=ln(x+1)-x,则 k(0)=0,k'(x)= 即 ln(x+1)<x. ②

-1=

<0,故 k(x)<0,

由①②得,当 x>0 时, f(x)< x.

记 h(x)=(x+6)f(x)-9x,则当 0<x<2 时,h'(x)=f(x)+(x+6)f '(x)-9< x+(x+6) 第 26 页 / 共 75 页

-9

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=

[3x(x+1)+(x+6)(2+

)-18(x+1)]

<

3x(x+1)+(x+6) 3+

-18(x+1)

=

(7x-18)<0. (10 分)

因此 h(x)在(0,2)内单调递减,又 h(0)=0,所以 h(x)<0,即 f(x)< 19.2x-y+1=0

. (12 分)

14.

15.

16.

17.

18.-4

20.(Ⅰ) 如图 PH⊥α , HB? α , PB⊥AB, 由三垂线定理逆定理知, AB⊥HB, 所以∠PBH 是山坡面与 α 所 =1.

成二面角的平面角, 则∠PBH=θ , PB=

设 BD=x(km) , 0≤x≤1. 5, 则 PD= 记总造价为 f1(x) 万元.

=

∈[1, 2) .

据题设有 f1(x) =

a

=

a

=

a+

a.

当 x= , 即 BD= (km) 时总造价 f1(x) 最小.

(Ⅱ) 设 AE=y(km) , 0≤y≤ , 总造价为 f2(y) 万元, 根据题设有 f2(y) =

a=

a+

a.

则 f '2(y) =

a, 由 f '2(y) =0, 得 y=1.

当 y∈(0, 1) 时, f '2(y) <0, f2(y) 在(0, 1) 内是减函数;

当 y∈

时, f '2(y) >0, f2(y) 在

内是增函数.

故当 y=1, 即 AE=1(km) 时总造价 f2(y) 最小, 且最小总造价为 a 万元. 第 27 页 / 共 75 页

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(Ⅲ) 解法一:不存在这样的点 D'、E'. 事实上, 在 AB 上任取不同的两点 D'、E'. 为使总造价最小, E'显然不能位于 D'与 B 之间. 故可设 E'位于 D'与 A 之间,

且 BD'=x1(km) , AE'=y1(km) , 0≤x1+y1≤ , 总造价为 S 万元, 则 S= - ≥-

a. 类似于(Ⅰ) (Ⅱ) 的讨论知,

- ≥ , 当且仅当 x1= , y1=1 同时成立时, 上述两个不等式等号同时成立, 此时 BD'= (km) , AE'=1(km) ,

S 取得最小值

a, 点 D'、E'分别与点 D、E 重合. 所以不存在这样的点 D'、E', 使沿折线 PD'E'O 修建公路的总造价小于(Ⅱ)

中得到的最小总造价.

解法二:同解法一得 S= +( +y1) ]a+ a≥ ?2

a=

a+ [3( ?a+ a=

-y1) a.

当且仅当 x1= 且 3(
2x x

-y1) =

+y1, 即 x1= , y1=1 同时成立时, S 取得最小值
2x x

a, 以下同解法一.

21.(Ⅰ) 证明:由

题设得 g(x) =e -t(e +1) +x, g'(x) =2e -te +1. 又由 2ex+e-x≥2 , 且 t<2 得 t<2ex+e-x, 即

g'(x) =2e2x-tex+1>0. 由此可知, g(x) 为 R 上的增函数. (Ⅱ) 解法一:由题设得 g(x) <0 是 g(x) 为减函数的充分条件, 可以只要找到实数 k, 使得 t>k 时, g'(x) =2e2x-tex+1<0, 即 t>2ex+e-x, 在闭区间[a, b]上成立即可. 因为 y=2ex+e-x 在闭区间[a, b]上连续, 故在闭区间[a, b]上有最大值, 设其为 k, 于是在 t>k 时, g'(x) <0 在闭区间[a, b]上恒成立, 即 g(x) 在闭区间[a, b]上为减函数. 解法二:因为 g'(x) <0 是 g(x) 为减函数的充分条件, 所以只要找到实数 k, 使得 t>k 时, g'(x) =2e2x-tex+1<0, 在闭区间[a, b]上成立即可. 令 m=ex, 则 g'(x) <0(a∈[a, b]) 当且仅当 2m2-tm+1<0(m∈[ea, eb]) .

而上式成立只需



成立. 取 2ea+e-a 与 2eb+e-b 中较大者记为 k, 易知当 t>k 时, g'(x) <0 在闭区间[a,

b]上恒成立, 即 g(x) 在闭区间[a, b]上为减函数. (Ⅲ) 证法一:设 F(t) =2t2-2(ex+x) t+e2x+x2+1, 即

第 28 页 / 共 75 页

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F(t) =2

+ (ex-x) 2+1,

易得 F(t) ≥ (ex-x) 2+1. 令 H(x) =ex-x, 则 H'(x) =ex-1, 易知 H'(0) =0. 当 x>0 时, H'(x) >0;当 x<0 时, H'(x) <0. 故当 x=0 时, H(x) 取最小值, H(0) =1. 所 以 (ex-x) 2+1≥ ,

于是对任意 x、t, 有 F(t) ≥ , 即 f(x) ≥ . 证法二:设 F(t) =2t2-2(ex+x) t+e2x+x2+1,

F(t) ≥ 当且仅当 2t2-2(ex+x) t+e2x+x2- ≥0.

只需证明 4(ex+x) 2-2?4 即(ex-x) 2≥1. 以下同证法一.

≤0,

证法三:设 F(t) =2t2-2(ex+x) t+e2x+x2+1, 则 F'(t) =4t-2(ex+x) .

易得 F'

=0. 当 t>

时, F'(t) >0;当 t<

时, F'(t) <0, 故当 t=

时, F(t) 取最小值 (ex-x) 2+1.

即 F(t) ≥ (ex-x) 2+1. 以下同证法一. 证法四:f(x) =(ex-t) 2+(x-t) 2+1. 设点 A、B 的坐标分别为(x, ex) 、(t, t) , 易知点 B 在直线 y=x 上, 令点 A 到直线 y=x 的距离为 d, 则

f(x) =|AB|2+1≥d2+1= (ex-x) 2+1. 以下同证法一. 22.(Ⅰ) 由题意知, f(x) 的定义域为(-1, +∞) ,

f '(x) =2x+

=

, 设 g(x) =2x2+2x+b, 其图象的对称轴为 x=- ∈(-1, +∞) ,

∴ g(x) min=g

=- +b. 第 29 页 / 共 75 页

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当 b> 时, g(x) min=- +b>0. 即 g(x) =2x2+2x+b>0 在(-1, +∞) 上恒成立. ∴ 当 x∈(-1, +∞) 时, f '(x) >0.

∴ 当 b> 时, 函数 f(x) 在定义域(-1, +∞) 上单调递增.

(Ⅱ) ①由(Ⅰ) 得:当 b> 时, 函数 f(x) 无极值点.

②b= 时, f '(x) =

=0 有两个相同的解

x=- ,

∵ x∈

时, f '(x) >0,

x∈

时, f '(x) >0,

∴ b= 时, 函数 f(x) 在(-1, +∞) 上无极值点.

③当 b< 时, f '(x) =0 有两个不同解, x1=

, x2=

.

∵ b<0 时, x1=

<-1, x2=

>-1,

即 x1?(-1, +∞) , x2∈(-1, +∞) , ∴b<0 时, f '(x) 、f(x) 随 x 的变化情况如下表: x f '(x) f(x) 由此表可知 b<0 时, (-1, x2) ↘ x2 0 极小值 (x2, +∞) + ↗

f(x) 有唯一极小值点 x2=

;

当 0<b< 时, x1=

>-1,

第 30 页 / 共 75 页

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∴x1、x2∈(-1, +∞) , 此时, f '(x) 、f(x) 随 x 的变化情况如下表: x f '(x) f(x) (-1, x1) + ↗ x1 0 极大值 (x1, x2) ↘ 和一个极小值点 x2= x2 0 极小值 ; (x2, +∞) + ↗

由此表可知:0<b< 时, f(x) 有一个极大值点 x1=

综上所述, b<0 时, f(x) 有唯一极小值点 x=

;

0<b< 时, f(x) 有一个极大值点 x=

和一个极小值点 x=

;b≥ 时, f(x) 无极值点.

(Ⅲ) 证明:当 b=-1 时, 函数 f(x) =x2-ln(x+1) , 令函数 h(x) =x3-f(x) =x3-x2+ln(x+1) ,

则 h'(x) =3x2-2x+

=

.

∴ 当 x∈[0, +∞) 时, h'(x) >0, 所以函数 h(x) 在[0, +∞) 上单调递增, 又 h(0) =0, ∴ x∈(0, +∞) 时, 恒有 h(x) >h(0) =0, 即 x3>x2-ln(x+1) 恒成立, 故当 x∈(0, +∞) 时, 有 ln(x+1) >x2-x3.

对任意正整数 n, 取 x= ∈(0, +∞) ,

则有 ln

> - , 所以结论成立.

23.(Ⅰ) y= -4x+

.

由 y'=x2-4=0, 得 x=±2. 因为当 x∈(-∞, -2) 时, y'>0, 当 x∈(-2, 2) 时, y'<0, 当 x∈(2, +∞) 时, y'>0, 故所求函数的单调递增区间是(-∞, -2) , (2, +∞) , 单调递减区间是(-2, 2) . 第 31 页 / 共 75 页

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(Ⅱ) (i) 证法一:令 h(x) =f(x) -gt(x) = - x+ t(x>0) , 则 h'(x) =x2- ,

当 t>0 时, 由 h'(x) =0, 得 x= .

当 x∈(0,

) 时, h'(x) <0,

当 x∈( , +∞) 时, h'(x) >0,

所以 h(x) 在(0, +∞) 内的最小值是 h( ) =0, 故当 x>0 时, f(x) ≥gt(x) 对任意正实数 t 成立. 证法二:对任意固定的 x>0,

令 h(t) =gt(x) = x- t(t>0) ,

则 h'(t) =

(x- ) ,

由 h'(t) =0, 得 t=x3, 当 0<t<x3 时, h'(t) >0; 当 t>x3 时, h'(t) <0.

所以当 t=x3 时, h(t) 取到最大值 h(x3) = x3. 因此当 x>0 时, f(x) ≥gt(x) 对任意正实数 t 成立.

(ii) 解法一:f(2) = =g8(2) , 由(i) 得, g8(2) ≥gt(2) 对任意正实数 t 成立, 即存在正实数 x0=2, 使得 g8(2) ≥gt(2) 对任意正实数 t 成立, 下面证明 x0 的唯一性: 当 x0≠2, x0>0, t=8 时,

f(x0) = , g8(x0) =4x0-

.

由(i) 得,

>4x0-

, 第 32 页 / 共 75 页

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再取 t= , 得

(x0) = ,

所以 gx(x0) 4x0-

< =

(x0) .

即 x0≠2 时, 不满足 gx(x0) ≥gt(x0) 对任意 t>0 都成立. 故有且仅有一个正实数 x0=2, 使得 gx(x0) 0≥gt(x0) 对任意正实数 t 成立.

解法二:对任意 x0>0, gx(x0) =4x0-

,

因为 g1(x0) 关于 t 的最大值是

, 所以要使 gx(x0) ≥gt(x0) 对任意正实数成立的充分必要条件是:

4x0-



,

即(x0-2) 2(x0+4) ≤0, ① 又因为 x0>0, 不等式①成立的充分必要条件是 x0=2, 所以有且仅有一个正实数 x0=2,

使得 gx(x0) ≥gt(x0) 对任意正实数 t 成立.

24.(Ⅰ) 根据求导法则得 f '(x) =1-

+ , x>0.

故 F(x) =xf '(x) =x-2ln x+2a, x>0, 于是 F'(x) =1- = x F'(x) F(x) (0, 2) ↘ 2 0

, x>0, 列表如下: (2, +∞) + ↗

极小值 F(2)

故知 F(x) 在(0, 2) 内是减函数, 在(2, +∞) 内是增函数, 所以, 在 x=2 处取得极小值 F(2) =2-2ln 2+2a. (Ⅱ) 证明:由 a≥0 知, F(x) 的极小值为 F(2) =2-2ln 2+2a>0. 于是由上表知, 对一切 x∈(0, +∞) , 恒有 F(x) =xf '(x) >0. 从而当 x>0 时, 恒有 f '(x) >0, 故 f(x) 在(0, +∞) 内单调递增. 所以当 x>1 时, f(x) >f(1) =0, 即 x-1-ln2x+2aln x>0.

第 33 页 / 共 75 页

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故当 x>1 时, 恒有 x>ln2x-2aln x+1.

25.(Ⅰ) f '(x) =

+2x,

依题意有 f '(-1) =0, 故 a= ,

从而 f '(x) =

=

.

f(x) 的定义域为

. 当- <x<-1 时,

f '(x) >0;当-1<x<- 时, f '(x) <0;当 x>- 时,

f '(x) >0. 从而, f(x) 分别在区间

单调增加, 在区间

单调减少.

(Ⅱ) f(x) 的定义域为(-a, +∞) , f '(x) = 方程 2x2+2ax+1=0 的判别式 Δ =4a2-8. (i) 若 Δ <0, 即<a<

.

. 在 f(x) 的定义域内 f '(x) >0, 故 f(x) 无极值. .

(ii) 若 Δ =0, 则 a=

或 a=-

若 a=

, x∈(-

, +∞) , f '(x) =

, 当 x=-

时, f '(x) =0, 当 x∈



时,

f '(x) >0, 所以 f(x) 无极值.

若 a=-

, x∈(

, +∞) , f '(x) = 或 a<-

>0, f(x) 也无极值.

(iii) 若 Δ >0, 即 a>

, 则 2x2+2ax+1=0 有两个不同的实根

x1= 当 a<当 a>

, x2=

.

时, x1<-a, x2<-a. 从而 f '(x) 在 f(x) 的定义域内没有零点, 故 f(x) 无极值. 时, x1>-a, x2>-a, f '(x) 在 f(x) 的定义域内有两个不同的零点, 由极值判别方法知 f(x) 在 x=x1, x=x2 取得极值. , +∞) .

综上, f(x) 存在极值时, a 的取值范围为( f(x) 的极值之和为

f(x1) +f(x2) =ln(x1+a) + +ln(x2+a) + =ln +a2-1>1-ln 2=ln .

26.(Ⅰ) 由题意知 f(1) =-3-c,

第 34 页 / 共 75 页

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因此 b-c=-3-c, 从而 b=-3.

又对 f(x) 求导得 f '(x) =4ax3ln x+ax4? +4bx3= x3(4aln x+a+4b) . 由题意 f '(1) =0, 因此 a+4b=0, 解得 a=12. (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知 f '(x) =48x3ln x(x>0) . 令 f '(x) =0, 解得 x=1. 当 0<x<1 时, f '(x) <0, 此时 f(x) 为减函数;当 x>1 时, f '(x) >0, 此时 f(x) 为增函数. 因此 f(x) 的单调递减区间为(0, 1) , 而 f(x) 的单调递增区间为(1, +∞) . (Ⅲ) 由(Ⅱ) 知, f(x) 在 x=1 处取得极小值 f(1) =-3-c, 此极小值也是最小值, 要使 f(x) ≥-2c2(x>0) 恒成立, 只需-3-c≥-2c2, 即 2c2-c-3≥0, 从而(2c-3) (c+1) ≥0,

解得 c≥ 或 c≤-1. 所以 c 的取值范围为(-∞, -1]∪ 由 f '(x) >0 得 x>1, 故 f(x) 的单调递减区间是(1, +∞) , 由 f '(x) <0 得 x<1, 故 f(x) 的单调递减区间是(-∞, 1) . (Ⅱ) 由 f(|-x|) =f(|x|) 可知 f(|x|) 是偶函数,

.

27.(Ⅰ) 由 k=e 得 f(x) =ex-ex, 所以 f '(x) =ex-e.

于是 f(|x|) >0 对任意 x∈R 成立等价于 f(x) >0 对任意 x≥0 成立. 由 f '(x) =ex-k=0 得 x=ln k. ①当 k∈(0, 1]时, f '(x) =ex-k>1-k≥0(x>0) , 此时 f(x) 在[0, +∞) 上单调递增, 故 f(x) ≥f(0) =1>0, 符合题意. ②当 k∈(1, +∞) 时, ln k>0, 当 x 变化时, f '(x) 、f(x) 的变化情况如下表: x (0, ln k) ln k 第 35 页 / 共 75 页 (ln k, +∞)

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f '(x) f(x)

单调递减

0 极小值

+ 单调递增

由此可得, 在[0, +∞) 上 f(x) ≥f(ln k) =k-kln k. 依题意, k-kln k>0, 又 k>1, ∴1<k<e. 综合①、②得, 实数 k 的取值范围是 0<k<e.

(Ⅲ) 证明:∵F(x) =f(x) +f(-x) =ex+e-x, ∴F(x1) F(x2) = ∴F(1) F(n) >en+1+2, F(2) F(n-1) >en+1+2, ?? F(n) F(1) >en+1+2.

+

)+

+



+

+2>

+2,

由此得, [F(1) F(2) ?F(n) ]2=[F(1) F(n) ][F(2) F(n-1) ]?[F(n) F(1) ]>(en+1+2) n.

故 F(1) F(2) ?F(n) >(en+1+2

, n∈N*.

28.(Ⅰ) 证明:f(x) 的导数 f '(x) =ex+e-x,

由于 ex+e-x≥2

=2,

故 f '(x) ≥2. (当且仅当 x=0 时, 等号成立) (Ⅱ) 令 g(x) =f(x) -ax, 则 g'(x) =f '(x) -a=ex+e-x-a. (i) 若 a≤2, 当 x>0 时, g '(x) =ex+e-x-a>2-a≥0, 故 g(x) 在(0, +∞) 上为增函数. 所以, x≥0 时, g(x) ≥g(0) , 即 f(x) ≥ax.

(ii) 若 a>2, 方程 g'(x) =0 的正根为 x1=ln

, 此时, 若 x∈(0, x1) , 则 g'(x) <0, 故 g(x) 在该区间为减函数.

所以, x∈(0, x1) 时, g(x) <g(0) =0, 即 f(x) <ax, 与题设 f(x) ≥ax 相矛盾.

综上, 满足条件的 a 的取值范围是(-∞, 2].
n-1

29.(Ⅰ) 在等式(1+x) n= + x+ x2+?+

xn-1+ xn 两边对 x 求导得 n(1+x)

= +2 x+?+(n-1)

xn-2+n xn-1.

移项得 n[(1+x) n-1-1]=

k xk-1. (*) 第 36 页 / 共 75 页

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(Ⅱ) (i) 在(*) 式中, 令 x=-1,

整理得

(-1) k-1k =0. 所以

(-1) kk =0.

(ii) 由(Ⅰ) 知

n(1+x) n-1= +2 x+?+(n-1)

xn-2+n xn-1, n≥3.

两边对 x 求导, 得 n(n-1) (1+x) n-2=2 +3?2 x+?+n(n-1) 在上式中令 x=-1, 得

xn-2.

0=2 +3?2 (-1) +?+n(n-1)

(-1) n-2,



k(k-1)

(-1) k-2=0,

亦即

(-1) k(k2-k)

=0. ①

又由(i) 知,

(-1) kk =0. ②

由①+②得

(-1) kk2 =0.

(ⅲ) 将等式(1+x) n= + x+ x2+?+

xn-1+ xn 两边在[0, 1]上对 x 积分,

(1+x) ndx=

( + x+ x2+?+

xn-1+ xn) dx.

由微积分基本定理, 得

=

,

所以

=

.

30.(Ⅰ) 由已知得函数 f(x) 的定义域为{x|x>1},

当 n=2 时, f(x) =

+aln(x-1) ,

所以 f '(x) =

.

(i) 当 a>0 时, 由 f '(x) =0 得 第 37 页 / 共 75 页

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x1=1+

>1, x2=1-

<1,

此时 f '(x) =

.

当 x∈(1, x1) 时, f '(x) <0, f(x) 单调递减; 当 x∈(x1, +∞) 时, f '(x) >0, f(x) 单调递增. (ii) 当 a≤0 时, f '(x) <0 恒成立, 所以 f(x) 无极值. 综上所述, n=2 时,

当 a>0 时, f(x) 在 x=1+

处取得极小值,

极小值为 f

=

.

当 a≤0 时, f(x) 无极值.

(Ⅱ) 证法一:因为 a=1, 所以 f(x) =

+ln(x-1) .

当 n 为偶数时, 令 g(x) =x-1-

-ln(x-1) ,

则 g'(x) =1+

-

=

+

>0(x≥2) .

所以当 x∈[2, +∞) 时, g(x) 单调递增,

又 g(2) =0, 因此 g(x) =x-1-

-ln(x-1)

≥g(2) =0 恒成立, 所以 f(x) ≤x-1 成立.

当 n 为奇数时, 要证 f(x) ≤x-1, 由于 所以只需证 ln(x-1) ≤x-1, 令 h(x) =x-1-ln(x-1) ,

<0,

则 h'(x) =1-

=

≥0(x≥2) , 第 38 页 / 共 75 页

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所以当 x∈[2, +∞) 时, h(x) =x-1-ln(x-1) 单调递增, 又 h(2) =1>0, 所以当 x≥2 时, 恒有 h(x) >0, 即 ln(x-1) <x-1 命题成立. 综上所述, 结论成立.

证法二:当 a=1 时, f(x) =

+ln(x-1) .

当 x≥2 时, 对任意的正整数 n, 恒有 故只需证明 1+ln(x-1) ≤x-1. 令 h(x) =x-1-[1+ln(x-1) ] =x-2-ln(x-1) , x∈[2, +∞) .

≤1,

则 h'(x) =1-

=

,

当 x≥2 时, h'(x) ≥0, 故 h(x) 在[2, +∞) 上单调递增, 因此当 x≥2 时, h(x) ≥h(2) =0, 即 1+ln(x-1) ≤x-1 成立.

故当 x≥2 时, 有 所以 f '(x) =x2+2x.

+ln(x-1) ≤x-1, 即 f(x) ≤x-1.

31.(Ⅰ) 证明:因为 f(x) = x3+x2-2,

由点(an,

-2an+1) (n∈N*) 在函数 y=f '(x) 的图象上,



-2an+1= +2an, 即(an+1+an) (an+1-an-2) =0.

又 an>0(n∈N*) , 所以 an+1-an=2.

又因为 a1=3, 所以数列{an}是以 3 为首项, 2 为公差的等差数列, 所以 Sn=3n+ 又因为 f '(n) =n2+2n, 所以 Sn=f '(n) , 故点(n, Sn) 也在函数 y=f '(x) 的图象上. (Ⅱ) f '(x) =x2+2x=x(x+2) , 第 39 页 / 共 75 页

?2=n2+2n.

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由 f '(x) =0, 得 x=0 或 x=-2. 当 x 变化时, f '(x) 、f(x) 的变化情况如下表: x f '(x) f(x) (-∞, -2) + ↗ -2 0 极大值 (-2, 0) ↘ 0 0 极小值 (0, +∞) + ↗

注意到|(a-1) -a|=1<2, 从而

①当 a-1<-2<a, 即-2<a<-1 时, f(x) 的极大值为 f(-2) =- , 此时 f(x) 无极小值; ②当 a-1<0<a, 即 0<a<1 时, f(x) 的极小值为 f(0) =-2, 此时 f(x) 无极大值; ③当 a≤-2 或-1≤a≤0 或 a≥1 时, f(x) 既无极大值又无极小值. = h'(x) = -2= = 32.(Ⅰ) 函数 f(x) 的定义域是(-1, +∞) , f '(x)

. 设 g(x) =2(1+x) ln(1+x) -x2-2x, 则 g'(x) =2ln(1+x) -2x. 令 h(x) =2ln(1+x) -2x, 则

. 当-1<x<0 时, h'(x) >0, h(x) 在(-1, 0) 上为增函数, 当 x>0 时, h'(x) <0, h(x) 在(0, +∞) 上为减函数. 所以

h(x) 在 x=0 处取得极大值, 而 h(0) =0, 所以 g'(x) <0(x≠0) , 函数 g(x) 在(-1, +∞) 上为减函数, 于是当-1<x<0 时, g(x) >g(0) =0, 当 x>0 时, g(x) <g(0) =0. 所以, 当-1<x<0 时, f '(x) >0, f(x) 在(-1, 0) 上为增函数, 当 x>0 时, f '(x) <0, f(x) 在(0, +∞) 上 为减函数. 故函数 f(x) 的单调递增区间为(-1, 0) , 单调递减区间为(0, +∞) .

(Ⅱ) 不等式

≤e 等价于不等式(n+α ) ln

≤1. 由 1+ >1 知, α ≤

-n. 设 G(x) =

- , x∈(0, 1], 则

G'(x) =-

+ =

. 由(1) 知, ln2(1+x) -

≤0, 即(1+x) ln2(1+x) -x2≤0, 所以 G'(x) <0, x∈(0, -1. 所以 α 的最大值为 -1. 33.f '(x)

1], 于是 G(x) 在(0, 1]上为减函数. 故函数 G(x) 在(0, 1]上的最小值为 G(1) = =

=

=-

.

令 f '(x) =0, 得 x=b-1. 当 b-1<1, 即 b<2 时, f '(x) 的变化情况如下表: x f '(x) (-∞, b-1) b-1 0 (b-1, 1) + (1, +∞) -

当 b-1>1, 即 b>2 时, f '(x) 的变化情况如下表: x f '(x) (-∞, 1) (1, b-1) + b-1 0 (b-1, +∞) -

所以, 当 b<2 时, 函数 f(x) 在(-∞, b-1) 上单调递减, 在(b-1, 1) 上单调递增, 在(1, +∞) 上单调递减. 当 b>2 时, 函数 f(x) 在(-∞, 1) 上单调递减, 在(1, b-1) 上单调递增, 在(b-1, +∞) 上单调递减. 第 40 页 / 共 75 页

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当 b-1=1, 即 b=2 时, f(x) =

, 34.(Ⅰ) 当 x<1 时,

所以函数 f(x) 在(-∞, 1) 上单调递减, 在(1, +∞) 上单调递减.

F(x) =

-kx, F'(x) =

-k.

若 k≤0, 则 F'(x) >0, F(x) 是单调递增的. 若 k>0, 令 F'(x) =0,

得 x=1-

或 x=1+

>1(不合题意舍去) .

(i) 当 x<1-

时, F'(x) <0, F(x) 是单调递减的;

(ii) 当 1-

<x<1 时, F'(x) >0, F(x) 是单调递增的. -kx,

(Ⅱ) 当 x>1 时, F(x) =-

F'(x) =-

-k.

若 k≥0, 则 F'(x) <0, F(x) 是单调递减的.

若 k<0, 令 F'(x) =0, 得 x=1+

.

(i) 当 1<x<1+

时, F'(x) <0, F(x) 是单调递减的;

(ii) 当 x>1+

时, F'(x) >0, F(x) 是单调递增的.

注意到, 对任意的 k∈R,

当 x∈

时,

F'(x) =

-k≥(2|k|+1) 2-k>0,

且 F(x) =

-kx≥2|k|+1-|k|>-k=F(1) .

而当 x∈

时, F(x) 是单调递减的, 且 F(1) >F(x) . 第 41 页 / 共 75 页

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故 F(x) 在

上是单调递减的.

综上所述:当 k<0 时, 函数 F(x) 在(-∞, 1) 上是单调递增的, 在 当 k=0 时, 函数 F(x) 在(-∞, 1) 上是单调递增的, 在[1, +∞) 上是单调递减的;

上是单调递减的, 在

上是单调递增的;

当 k>0 时, 函数 F(x) 在 = - + =-

上是单调递减的, 在 .

上是单调递增的, 在[1, +∞) 上是单调递减的.

35.(Ⅰ) f '(x)

故当 x∈(0, 1) 时, f '(x) >0, x∈(1, +∞) 时, f '(x) <0. 所以 f(x) 在(0, 1) 上单调递增, 在(1, +∞) 上单调递减. 由此知 f(x) 在(0, +∞) 的极大值为 f(1) =ln 2, 没有极小值.

(Ⅱ) (i) 当 a≤0 时, 由于 f(x) =

=

>0,

故关于 x 的不等式 f(x) ≥a 的解集为(0, +∞) .

(ii) 当 a>0 时, 由 f(x) =

+ln



f(2n) =

+ln

, 其中 n 为正整数,

且有 ln

< ? < -1?n>-log2( -1) .

又 n≥2 时,

=

<

=

,



< ?n>

+1.

取整数 n0 满足 n0>-log2( -1) , n0>

+1, 且 n0≥2,

则 f(

)=

+ln

< + =a, 第 42 页 / 共 75 页

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即当 a>0 时, 关于 x 的不等式 f(x) ≥a 的解集不是(0, +∞) . 综合(i) (ii) 知, 存在 a, 使得关于 x 的不等式 f(x) ≥a 的解集为(0, +∞) , 且 a 的取值范围为(-∞, 0]. = +2x-10, 36.(Ⅰ) 因为 f '(x)

所以 f '(3) = +6-10=0, 因此 a=16.

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知, f(x) =16ln(1+x) +x2-10x, x∈(-1, +∞) , f '(x) = 当 x∈(-1, 1) ∪(3, +∞) 时, f '(x) >0,

.

当 x∈(1, 3) 时, f '(x) <0. 所以 f(x) 的单调增区间是(-1, 1) , (3, +∞) , f(x) 的单调减区间是(1, 3) . (Ⅲ) 由(Ⅱ) 知, f(x) 在(-1, 1) 内单调增加, 在(1, 3) 内单调减少, 在(3, +∞) 上单调增加, 且当 x=1 或 x=3 时, f '(x) =0. 所以 f(x) 的极大值为 f(1) =16ln 2-9, 极小值为 f(3) =32ln 2-21. 因为 f(16) >162-10?16>16ln 2-9=f(1) . f(e-2-1) <-32+11=-21<f(3) , 所以在 f(x) 的三个单调区间(-1, 1) , (1, 3) , (3, +∞) 直线 y=b 与 y=f(x) 的图象各有一个交点, 当且仅当 f(3) <b<f(1) . 因此, b 的取值范围为(32ln 2-21, 16ln 2-9) . 37.(Ⅰ) f '(x) =

=

, 由题意知 f '(-c) =0,

即得 c2k-2c-ck=0, (*) ∵ c≠0, ∴ k≠0, 由 f '(x) =0 得-kx2-2x+ck=0,

由韦达定理知另一个极值点为 x=1

.

(Ⅱ) 由(*) 式得 k=

, 即 c=1+ .

当 c>1 时, k>0;当 0<c<1 时, k<-2. (i) 当 k>0 时, f(x) 在(-∞, -c) 和(1, +∞) 内是减函数, 在(-c, 1) 内是增函数,

∴ M=f(1) =

= >0,

m=f(-c) =

=

<0,

第 43 页 / 共 75 页

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由 M-m= +

≥1 及 k>0, 解得 k≥

.

(ii) 当 k<-2 时, f(x) 在(-∞, -c) 和(1, +∞) 内是增函数, 在(-c, 1) 内是减函数,

∴ M=f(-c) =

>0, m=f(1) = <0,

M-m=

- =1-

≥1 恒成立. , +∞]. 38.(Ⅰ) f '(x) =3x2+2ax+1, 判别式 Δ =4(a2-3) .

综上可知, 所求 k 的取值范围为(-∞, -2) ∪[

(i) 若 a>

或 a<-

, 则在

上 f '(x) >0, f(x) 是增函数;



内 f '(x) <0, f(x) 是减函数;

在 (ii) 若<a<

上 f '(x) >0, f(x) 是增函数. , 则对所有 x∈R 都有 f '(x) >0,

故此时 f(x) 在 R 上是增函数

(iii) 若 a=±

, 则f'

=0, 且对所有的 x≠- 都有 f '(x) >0, 故当 a=± 或 a<时,

时, f(x) 在 R 上是增函数.

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知, 只有当 a>

f(x) 在

内是减函数.

因此

≤- , ①

且 当|a|>

≥- . ② 时, 由①、②解得 a≥2.

因此 a 的取值范围是[2, +∞) . 列表如下:

39.(Ⅰ) f '(x) =-

. 若 f '(x) =0, 则 x= .

x f '(x) + 0 第 44 页 / 共 75 页 -

(1, +∞) -

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f(x)

单调增

极大值 f , 单调减区间为 和(1, +∞) .

单调减

单调减

所以 f(x) 的单调增区间为

(Ⅱ) 在 >xa 两边取对数, 得 ln 2>aln x. 由于 0<x<1,

所以

>

.①

由(1) 的结果知, 当 x∈(0, 1) 时, f(x) ≤f p(x) =f(x) +g(x) =x +(k-1) x +(k+5) x-1, p'(x) =3x2+2(k-1) x+(k+5) .
3 2

=-e. 为使①式对所有 x∈(0, 1) 成立, 当且仅当

>-e. 即 a>-eln 2.

40.(Ⅰ)

因为 p(x) 在(0, 3) 上不单调, 所以 p'(x) =0 在(0, 3) 上有实数解, 且无重根. 由 p'(x) =0, 得 k(2x+1) =-(3x2-2x+5) ,

即 k=-

=-

.

令 t=2x+1, 有 t∈(1, 7) , 记 h(t) =t+ , 则 h(t) 在(1, 3]上单调递减, 在[3, 7) 上单调递增.

所以, h(t) ∈[6, 10) , 于是(2x+1) +

∈[6, 10) , 得 k∈(-5, -2].

而当 k=-2 时, p'(x) =0 在(0, 3) 上有两个相等的实根 x=1, 故舍去. 所以 k∈(-5, -2) . (Ⅱ) 由题意, 得当 x<0 时, q'(x) =f '(x) =3x2-2(k2-k+1) x+5; 当 x>0 时, q'(x) =g'(x) =2k2x+k. 因为当 k=0 时不合题意, 所以 k≠0. 下面讨论 k≠0 的情形. 记 A={g'(x) |x>0}, B={f '(x) |x<0}, 则 A=(k, +∞) , B=(5, +∞) . (i) 当 x1>0 时, q'(x) 在(0, +∞) 上单调递增, 所以要使 q'(x2) =q'(x1) 成立, 只能 x2<0, 且 A? B, 第 45 页 / 共 75 页

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因此 k≥5; (ii) 当 x1<0 时, q'(x) 在(-∞, 0) 上单调递减, 所以要使 q'(x2) =q'(x1) 成立, 只能 x2>0, 且 B? A, 因此 k≤5, 综合(i) (ii) , 得 k=5. 当 k=5 时, 有 A=B. 则? x1<0, q'(x1) ∈B=A, 即? x2>0, 使得 q'(x2) =q'(x1) 成立. 因为 q'(x) 在(0, +∞) 上单调递增, 所以 x2 是唯一的. 同理, ? x1>0, 存在唯一的非零实数 x2(x2≠x1) , 使得 q'(x2) =q'(x1) 成立. 所以 k=5 满足题意. +∞) . 41.(Ⅰ) f(x) 的定义域为(0,

f '(x) =x-a+

=

=

.

(i) 若 a-1=1, 即 a=2, 则 f '(x) = 故 f(x) 在(0, +∞) 单调增加.

.

(ii) 若 a-1<1, 而 a>1, 故 1<a<2, 则当 x∈(a-1, 1) 时, f '(x) <0; 当 x∈(0, a-1) 及 x∈(1, +∞) 时, f '(x) >0. 故 f(x) 在(a-1, 1) 单调减少, 在(0, a-1) , (1, +∞) 单调增加. (iii) 若 a-1>1, 即 a>2, 同理可得 f(x) 在(1, a-1) 单调减少, 在(0, 1) , (a-1, +∞) 单调增加.

(Ⅱ) 证明:考虑函数 g(x) =f(x) +x= x2-ax+(a-1) ln x+x.

则 g'(x) =x-(a-1) +

≥2

-(a-1) =1-(

-1) 2.

由于 1<a<5, 故 g '(x) >0, 即 g(x) 在(0, +∞) 单调增加, 从而当 x1>x2>0 时有 g(x1) -g(x2) >0, 即 f(x1) -f(x2) +x1-x2>0, 故 >-1. 当 0<x1<x2 时, 有 = >-1. 42.(Ⅰ) 由题设知, 函数 f(x) 的定义域是 x>-1,

f '(x) =

,

且 f '(x) =0 有两个不同的根 x1、x2,

第 46 页 / 共 75 页

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故 2x2+2x+a=0 的判别式 Δ =4-8a>0, 即 a< ,

且 x1=

, x2=

.①

又 x1>-1, 故 a>0. 因此 a 的取值范围是

.

当 x 变化时, f(x) 与 f '(x) 的变化情况如下表: x f '(x) f(x) (-1, x1) + ↗ x1 0 极大值 (x1, x2) ↘ x2 0 极小值 (x2, +∞) + ↗

因此 f(x) 在区间(-1, x1) 和(x2, +∞) 是增函数, 在区间(x1, x2) 是减函数.

(Ⅱ) 证明:由题设和(Ⅰ) 知- <x2<0, a=-2x2(1+x2) ,

于是 f(x2) = -2x2(1+x2) ln(1+x2) . 设函数 g(t) =t2-2t(1+t) ln(1+t) , 则 g'(t) =-2(1+2t) ln(1+t) .

当 t=- 时, g'(t) =0;

当 t∈

时, g'(t) >0, 故 g(t) 在区间

是增函数.

于是, 当 t∈

时, g(t) >g

=

.

因此 f(x2) =g(x2) >

.

43.f(x) 的定义域是(0, +∞) , f '(x) =1+ - =

.

设 g(x) =x2-ax+2, 二次方程 g(x) =0 的判别式 Δ =a2-8. ①当 Δ <0 即 0<a<2 时, 对一切 x>0 都有 f '(x) >0.

此时 f(x) 是(0, +∞) 上的单调递增函数. ②当 Δ =0 即 a=2 时, 仅对 x= 有 f '(x) =0, 对其余的 x>0 都有 f '(x) >0.

此时 f(x) 也是(0, +∞) 上的单调递增函数. ③当 Δ >0 即 a>2 时, 方程 g(x) =0 有两个不同的实根

第 47 页 / 共 75 页

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x1= x f '(x) f(x)

, x2= (0, x1) + 单调递增↗

, 0<x1<x2. x1 0 极大 上单调递增, 在
3 2 -x 3 2

(x1, x2) 单调递减↘ 上单调递减, 在
-x 2 -x -x

x2 0 极小

(x2, +∞) + 单调递增↗ 上单调递增.
3

此时 f(x) 在

44.(Ⅰ) 当

a=b=-3 时, f(x) =(x +3x -3x-3) e , 故 f '(x) =-(x +3x -3x-3) e +(3x +6x-3) e =-e ?(x -9x) =-x?(x-3) (x+3) e-x. 当 x<-3 或 0<x<3 时, f '(x) >0; 当-3<x<0 或 x>3 时, f '(x) <0. 从而 f(x) 在(-∞, -3) , (0, 3) 上单调增加, 在(-3, 0) , (3, +∞) 上单调减少. (Ⅱ) 证明:f '(x) =-(x3+3x2+ax+b) e-x+(3x2+6x+a) e-x=-e-x[x3+(a-6) ?x+b-a]. 由条件得: f '(2) =0, 即 23+2(a-6) +b-a=0, 故 b=4-a. 从而 f '(x) =-e-x[x3+(a-6) x+4-2a]. 因为 f '(α ) =f '(β ) =0, 所以 x3+(a-6) x+4-2a=(x-2) ?(x-α ) (x-β ) =(x-2) [x2-(α +β ) x+α β ]. 将右边展开, 与左边比较系数得, α +β =-2, α β =a-2,

故 β -α =

=

.

又(β -2) (α -2) <0, 即 α β -2(α +β ) +4<0.

由此可得 a<-6. 于是 β -α >6.

45.(Ⅰ) f '(x) =

-

=

,

∵f(x) 在 x=1 处取得极值, ∴ f '(1) =0, 即 a?12+a-2=0, 解得 a=1.

(Ⅱ) f '(x) =

, ∵x≥0, a>0, ∴ax+1>0.

①当 a≥2 时, 在区间(0, +∞) 上, f '(x) >0, ∴f(x) 的单调增区间为(0, +∞) .

②当 0<a<2 时, 由 f '(x) >0 解得 x>

, 由 f '(x) <0 解得 x<

,

∴f(x) 的单调减区间为

,

单调增区间为

.

(Ⅲ) 当 a≥2, 由(Ⅱ) ①知, f(x) 的最小值为 f(0) =1;

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当 0<a<2 时, 由(Ⅱ) ②知, f(x) 在 x= [2, +∞) . 46.(Ⅰ) f '(x) =- ex+ ex=

处取得最小值 f

<f(0) =1, 综上可知, 若 f(x) 的最小值为 1, 则 a 的取值范围是

?ex, 由 f '(x) =0, 得 x=1. 因为当 x<0 时, f '(x) <0;当 0<x<1 时, f '(x) <0;当 x>1 时,

f '(x) >0, 所以 f(x) 的单调增区间是[1, +∞) ;单调减区间是(-∞, 0) , (0, 1].

(Ⅱ) 由 f '(x) +k(1-x) f(x) =

ex=

ex>0, 得(x-1) (kx-1) <0.

故当 0<k<1 时, 解集是 当 k=1 时, 解集是? ;

;

当 k>1 时, 解集是

.

47.(Ⅰ) (i) 由 f(x) =ln x+

, 得 f '(x) =

.

因为 x>1 时, h(x) =

>0,

所以函数 f(x) 具有性质 P(b) . (ii) 当 b≤2 时, 由 x>1 得 x2-bx+1≥x2-2x+1=(x-1) 2>0, 所以 f '(x) >0, 从而函数 f(x) 在区间(1, +∞) 上单调递增. 当 b>2 时, 解方程 x2-bx+1=0 得

x1=

, x2=

.

因为 x1=

=

< <1,

x2=

>1,

所以当 x∈(1, x2) 时, f '(x) <0;当 x∈(x2, +∞) 时, f '(x) >0;当 x=x2 时, f '(x) =0. 从而函数 f(x) 在区间(1, x2) 上单调递减, 在区 间(x2, +∞) 上单调递增. 综上所述, 当 b≤2 时, 函数 f(x) 的单调增区间为(1, +∞) ;

当 b>2 时, 函数 f(x) 的单调减区间为

, 单调增区间为

.

(Ⅱ) 由题设知, g(x) 的导函数 g'(x) =h(x) (x2-2x+1) , 其中函数 h(x) >0 对于任意的 x∈(1, +∞) 都成立, 所以, 当 x>1 时, g'(x) =h(x) (x-1) 2>0, 从而 g(x) 在区间(1, +∞) 上单调递增. ①当 m∈(0, 1) 时, 有 α =mx1+(1-m) x2>mx1+(1-m) x1=x1, α <mx2+(1-m) x2=x2, 得 α ∈(x1, x2) , 同理可得 β ∈(x1, x2) , 所 以由 g(x) 的单调性知 g(α ) , g(β ) ∈(g(x1) , g(x2) ) , 从而有|g(α ) -g(β ) |<|g(x1) -g(x2) |, 符合题设. ②当 m≤0 时, α =mx1+(1-m) x2≥mx2+(1-m) x2=x2, β =(1-m) x1+mx2≤(1-m) x1+mx1=x1, 于是由 α >1, β >1 及 g(x) 的单调 性知 g(β ) ≤g(x1) <g(x2) ≤g(α ) , 所以|g(α ) -g(β ) |≥|g(x1) -g(x2) |, 与题设不符. 第 49 页 / 共 75 页

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③当 m≥1 时, 同理可得 α ≤x1, β ≥x2, 进而得|g(α ) -g(β ) |≥|g(x1) -g(x2) |, 与题设不符. 因此, 综合①②③得所求的 m 的取值范围为(0, 1) . 令 g(x) =x2+(3-a+b) x+2b-ab-a, 则 Δ =(3-a+b) 2-4(2b-ab-a) =(a+b-1) 2+8>0, 于是可设 x1, x2 是 g(x) =0 的两实根, 且 x1<x2. ①当 x1=a 或 x2=a 时, 则 x=a 不是 f(x) 的极值点, 此时不合题意. ②当 x1≠a 且 x2≠a 时, 由于 x=a 是 f(x) 的极大值点, 故 x1<a<x2. 即 g(a) <0, 即 a2+(3-a+b) a+2b-ab-a<0, 所以 b<-a, 所以 b 的取值范围是(-∞, -a) . (Ⅱ) 由(Ⅰ) 可知, 假设存在 b 及 x4 满足题意, 则 ①当 x2-a=a-x1 时, 则 x4=2x2-a 或 x4=2x1-a, 于是 2a=x1+x2=a-b-3, 即 b=-a-3. 48.(Ⅰ) f '(x) =ex(x-a) [x2+(3-a+b) x+2b-ab-a],

此时 x4=2x2-a=a-b-3+

-a=a+2

,

或 x4=2x1-a=a-b-3-

-a=a-2

.

②当 x2-a≠a-x1 时, 则 x2-a=2(a-x1) 或 a-x1=2(x2-a) .

(i) 若 x2-a=2(a-x1) , 则 x4=

, 于是 3a=2x1+x2

=

,



=-3(a+b+3) , 于是 a+b-1=

.

此时 x4=

=

=-b-3=a+

.

(ii) 若 a-x1=2(x2-a) , 则 x4=

, 于是 3a=2x2+x1=

,

第 50 页 / 共 75 页

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=3(a+b+3) ,

于是 a+b-1=

, 此时 x4=

=

=-b-3=a+ 综上所述, 存在 b 满足题意. 当 b=-a-3 时, x4=a±2 ;

.

当 b=-a-

时, x4=a+

;

当 b=-a-

时, x4=a+

.

49.(Ⅰ) 因为 f(x) =ln x-ax+

-1,

所以 f '(x) = -a+

=-

, x∈(0, +∞) .

令 h(x) =ax2-x+1-a, x∈(0, +∞) , ①当 a=0 时, h(x) =-x+1, x∈(0, +∞) , 所以当 x∈(0, 1) 时, h(x) >0, 此时 f '(x) <0, 函数 f(x) 单调递减; 当 x∈(1, +∞) 时, h(x) <0, 此时 f '(x) >0, 函数 f(x) 单调递增.

②当 a≠0 时, 由 f '(x) =0, 即 ax2-x+1-a=0, 解得 x1=1, x2= -1.

(i) 当 a= 时, x1=x2, h(x) ≥0 恒成立, 此时 f '(x) ≤0, 函数 f(x) 在(0, +∞) 上单调递减;

(ii) 当 0<a< 时, -1>1>0, x∈(0, 1) 时, h(x) >0, 此时 f '(x) <0, 函数 f(x) 单调递减;

x∈

时, h(x) <0, 此时 f '(x) >0, 函数 f(x) 单调递增;

x∈

时, h(x) >0, 此时 f '(x) <0, 函数 f(x) 单调递减;

(iii) 当 a<0 时, 由于 -1<0, x∈(0, 1) 时, h(x) >0, 此时 f '(x) <0, 函数 f(x) 单调递减; x∈(1, +∞) 时, h(x) <0, 此时 f '(x) >0, 函数 f(x) 单调递增. 综上所述, 当 a≤0 时, 函数 f(x) 在(0, 1) 上单调递减, 函数 f(x) 在(1, +∞) 上单调递增;

第 51 页 / 共 75 页

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当 a= 时, 函数 f(x) 在(0, +∞) 上单调递减;

当 0<a< 时, 函数 f(x) 在(0, 1) 上单调递减, 函数 f(x) 在

上单调递增, 函数 f(x) 在

上单调递减.

(Ⅱ) 因为 a= ∈

, 由(Ⅰ) 知, x1=1, x2=3?(0, 2) , 当 x∈(0, 1) 时, f '(x) <0, 函数 f(x) 单调递减;当 x∈(1, 2) 时, f '(x) >0,

函数 f(x) 单调递增, 所以 f(x) 在(0, 2) 上的最小值为 f(1) =- . 由于“对任意 x1∈(0, 2) , 存在 x2∈[1, 2], 使 f(x1) ≥g(x2) ”等价于“g(x) 在[1, 2]上的最小值不大于 f(x) 在(0, 2) 上的最小 值- ”. (*) 又 g(x) =(x-b) 2+4-b2, x∈[1, 2], 所以(i) 当 b<1 时, 因为 g(x) min=g(1) =5-2b>0, 此时与(*) 矛盾; (ii) 当 b∈[1, 2]时, 因为[g(x) ]min=4-b2≥0, 同样与(*) 矛盾;

(iii) 当 b∈(2, +∞) 时, 因为 g(x) min=g(2) =8-4b. 解不等式 8-4b≤- , 可得 b≥

.

综上, b 的取值范围是

.

50.(Ⅰ) 证明:当 x>-1 时, f(x) ≥

当且仅当 ex≥1+x.

令 g(x) =ex-x-1, 则 g'(x) =ex-1. 当 x≥0 时 g'(x) ≥0, g(x) 在[0, +∞) 是增函数; 当 x≤0 时 g'(x) ≤0, g(x) 在(-∞, 0]是减函数.

于是 g(x) 在 x=0 处达到最小值, 因而当 x∈R 时, g(x) ≥g(0) , 即 ex≥1+x. 所以当 x>-1 时, f(x) ≥ (Ⅱ) 由题设 x≥0, 此时 f(x) ≥0.

.

当 a<0 时, 若 x>- , 则

<0, f(x) ≤

不成立;

当 a≥0 时, 令 h(x) =axf(x) +f(x) -x, 则 f(x) ≤ =af(x) -axf(x) +ax-f(x) .

当且仅当 h(x) ≤0. h'(x) =af(x) +axf '(x) +f '(x) -1

(i) 当 0≤a≤ 时, 由(1) 知 x≤(x+1) f(x) , h'(x) ≤af(x) -axf(x) +a(x+1) f(x) -f(x) =(2a-1) f(x) ≤0,

h(x) 在[0, +∞) 是减函数, h(x) ≤h(0) =0, 即 f(x) ≤

. 第 52 页 / 共 75 页

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(ii) 当 a> 时, 由(i) 知 x≥f(x) , h'(x) =af(x) -axf(x) +ax-f(x) ≥af(x) -axf(x) +af(x) -f(x) =(2a-1-ax) f(x) ,

当 0<x<

时, h'(x) >0, 所以 h(x) >h(0) =0, 即 f(x) >

. 综上, a 的取值范围是

.

51.(Ⅰ) f '(x) =

+ln x-1=ln x+ ,

xf '(x) =xln x+1, 题设 xf '(x) ≤x2+ax+1 等价于 ln x-x≤a.

令 g(x) =ln x-x, 则 g'(x) = -1. 当 0<x<1 时, g'(x) >0;当 x≥1 时, g'(x) ≤0, x=1 是 g(x) 的最大值点, g(x) ≤g(1) =-1. 综上, a 的取值范围是[-1, +∞) . (Ⅱ) 证明:由(Ⅰ) 知, g(x) ≤g(1) =-1, 即 ln x-x+1≤0. 当 0<x<1 时, f(x) =(x+1) ln x-x+1=xln x+(ln x-x+1) ≤0;当 x≥1 时, f(x) =ln x+(xln x-x+1)

=ln x+x

=ln x-x

≥0.

所以(x-1) f(x) ≥0.

52.函数 f(x) 的定义域为(0, 2) , f '(x) = -

+a.

(Ⅰ) 当 a=1 时, f '(x) =

, 所以 f(x) 的单调递增区间为(0,

) , 单调递减区间为(

, 2) .

(Ⅱ) 当 x∈(0, 1]时, f '(x) =
x

+a>0, 即 f(x) 在(0, 1]上单调递增, 故 f(x) 在(0, 1]上的最大值为 f(1) =a, 因此 a= .

53.(Ⅰ) 由 f(x) =e -2x+2a, x∈R 知 f '(x) =ex-2, x∈R. 令 f '(x) =0, 得 x=ln 2. 于是当 x 变化时, f '(x) , f(x) 的变化情况如下表: x f '(x) f(x) (-∞, ln 2) 单调递减↘ ln 2 0 2(1-ln 2+a) (ln 2, +∞) + 单调递增↗

故 f(x) 的单调递减区间是(-∞, ln 2) , 单调递增区间是(ln 2, +∞) , f(x) 在 x=ln 2 处取得极小值, 极小值为 f(ln 2) =eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a) . (Ⅱ) 证明:设 g(x) =ex-x2+2ax-1, x∈R. 第 53 页 / 共 75 页

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于是 g'(x) =e -2x+2a, x∈R. 由(Ⅰ) 知当 a>ln 2-1 时, g'(x) 最小值为 g'(ln 2) =2(1-ln 2+a) >0. 于是对任意 x∈R, 都有 g'(x) >0, 所以 g(x) 在 R 内单调递增. 于是当 a>ln 2-1 时, 对任意 x∈(0, +∞) , 都有 g(x) >g(0) . 而 g(0) =0, 从而对任意 x∈(0, +∞) , g(x) >0.

x

即 ex-x2+2ax-1>0, 故 ex>x2-2ax+1.

54.(Ⅰ) 由 F(x) =f(x) -h(x) = x+ -

(x≥0) 知,

F'(x) =

, 令 F'(x) =0, 得 x=

.

当 x∈

时, F'(x) <0;

当 x∈

时, F'(x) >0.

故当 x∈

时, F(x) 是减函数;

当 x∈

时, F(x) 是增函数.

F(x) 在 x=

处有极小值且 F

= . (3 分)

(Ⅱ) 原方程可化为 log4(x-1) +log2h(4-x) =log2h(a-x) ,

即 log2(x-1) +log2

=log2

第 54 页 / 共 75 页

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?

? ; ;

(1) 当 1<a≤4 时, 原方程有一解 x=3(2) 当 4<a<5 时, 原方程有二解 x1, 2=3± (3) 当 a=5 时, 原方程有一解 x=3; (4) 当 a≤1 或 a>5 时, 原方程无解. (9 分)

(Ⅲ) 由已知得

.

设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 Sn=f(n) h(n) - (n∈N*) , 从而有 a1=S1=1,

当 2≤k≤100 时, ak=Sk-Sk-1=

-

.

又 ak-

= [(4k-3)

-(4k-1)

]

= ?

= ?

>0. .

即对任意的 2≤k≤100, 有 ak>

又因为 a1=1=

, 所以

故 f(100) h(100) -

. (14 分)

55.(Ⅰ) f(x) 的定义域为(0, +∞) .

令 f '(x) = -1=0, 解得 x=1. 当 0<x<1 时, f '(x) >0, f(x) 在(0, 1) 内是增函数; 当 x>1 时, f '(x) <0, f(x) 在(1, +∞) 内是减函数; 故函数 f(x) 在 x=1 处取得最大值 f(1) =0. (Ⅱ) (1) 由(Ⅰ) 知, 当 x∈(0, +∞) 时, 第 55 页 / 共 75 页

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有 f(x) ≤f(1) =0, 即 ln x≤x-1. ∵ak, bk>0, 从而有 ln ak≤ak-1, 得 bkln ak≤akbk-bk(k=1, 2, ?, n) .

求和得

ln



akbk-

bk .



akbk≤

bk , ∴

ln

≤0,

即 ln(

?

) ≤0, ∴

?

≤1.

(2) ①先证

?

≥ .

令 ak=

(k=1, 2, ?, n) , 则

akbk=

=1=

bk ,

于是由(1) 得

?

≤1, 即



=n, ∴

?

≥ .

②再证

?

≤ + +?+ .

记 S=

, 令 ak= (k=1, 2, ?, n) , 则

akbk=

=1=

bk, 于是由(1) 得

?

≤1,



?



=S, ∴

?

≤ + +?+ .

综合①②, (2) 得证.

56.(Ⅰ) 由题设易知 f(x) =ln x, g(x) =ln x+ ,

∴g'(x) =

, 令 g'(x) =0 得 x=1,

当 x∈(0, 1) 时, g'(x) <0, 故(0, 1) 是 g(x) 的单调减区间, 当 x∈(1, +∞) 时, g'(x) >0, 故(1, +∞) 是 g(x) 的单调增区间, 因此, x=1 是 g(x) 的唯一极值点, 且为极小值点, 从而是最小值点, 所以最小值为 g(1) =1.

(Ⅱ) g

=-ln x+x, 第 56 页 / 共 75 页

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设 h(x) =g(x) -g

=2ln x-x+ , 则 h'(x) =-

,

当 x=1 时, h(1) =0, 即 g(x) =g

,

当 x∈(0, 1) ∪(1, +∞) 时, h'(x) <0, h'(1) =0, 因此, h(x) 在(0, +∞) 内单调递减,

当 0<x<1 时, h(x) >h(1) =0, 即 g(x) >g

;

当 x>1 时, h(x) <h(1) =0, 即 g(x) <g (Ⅲ) 满足条件的 x0 不存在. 证明如下:

.

证法一:假设存在 x0>0, 使|g(x) -g(x0) |< 对任意 x>0 成立, 即对任意 x>0, 有 ln x<g(x0) <ln x+ , (*)

但对上述 x0, 取 x1=

时, 有 ln x1=g(x0) , 这与(*) 左边不等式矛盾,

因此, 不存在 x0>0, 使|g(x) -g(x0) |< 对任意 x>0 成立.

证法二:假设存在 x0>0, 使|g(x) -g(x0) |< 对任意 x>0 成立. 由(1) 知, g(x) 的最小值为 g(1) =1,

又 g(x) =ln x+ >ln x, 而 x>1 时, ln x 的值域为(0, +∞) , ∴x≥1 时, g(x) 的值域为[1, +∞) , 从而可取一个 x1>1, 使 g(x1) ≥g(x0) +1, 即 g(x1) -g(x0) ≥1,

故|g(x1) -g(x0) |≥1> , 与假设矛盾.

∴不存在 x0>0, 使|g(x) -g(x0) |< 对任意 x>0 成立.

57.(Ⅰ) f(x) 的定义域为(0, +∞) , f '(x) = -2ax+(2-a) =-

.

(i) 若 a≤0, 则 f '(x) >0, 所以 f(x) 在(0, +∞) 上单调增加.

(ii) 若 a>0, 则由 f '(x) =0 得 x= , 且当 x∈ 调减少.

时, f '(x) >0, 当 x> 时, f '(x) <0, 所以 f(x) 在

上单调增加, 在

上单

第 57 页 / 共 75 页

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(Ⅱ) 证明:设函数 g(x) =f

+x

-f

-x

,

则 g(x) =ln(1+ax) -ln(1-ax) -2ax,

g'(x) =

+

-2a=

.

当 0<x< 时, g'(x) >0, 而 g(0) =0, 所以 g(x) >0.

故当 0<x< 时, f

+x >f

-x

.

(Ⅲ) 证明:由(Ⅰ) 可得, 当 a≤0 时, 函数 y=f(x) 的图象与 x 轴至多有一个交点, 故 a>0, 从而 f(x) 的最大值为 f

, 且f

>0.

不妨设 A(x1, 0) , B(x2, 0) , 0<x1<x2, 则 0<x1< <x2.

由(Ⅱ) 得 f

=f

>f(x1) =0.

从而 x2> -x1, 于是 x0=

> . >0, 则 x=0 为 h(x) 的

由(Ⅰ) 知, f '(x0) <0. 58.(Ⅰ) 由 h(x) =x3-x- 知, x∈[0, +∞) , 而 h(0) =0, 且 h(1) =-1<0, h(2) =6一个零点, 且 h(x) 在(1, 2) 内有零点. 因此 h(x) 至少有两个零点.

解法一:h'(x) =3x2-1-

, 记 φ (x) =3x2-1-

,

则 φ '(x) =6x+

, 当 x∈(0, +∞) 时, φ '(x) >0, 因此 φ (x) 在(0, +∞) 上单调递增, 则 φ (x) 在(0, +∞) 内至多只有一个零 <0, 则 φ (x) 在 内有零点. 所以 φ (x) 在(0, +∞) 内有且只有一个零点. 记此零点为 x1, 则

点. 又因为 φ (1) >0, φ

当 x∈(0, x1) 时, φ (x) <φ (x1) =0;当 x∈(x1, +∞) 时, φ (x) >φ (x1) =0. 所以, 当 x∈(0, x1) 时, h(x) 单调递减. 而 h(0) =0, 则 h(x) 在(0, x1]内无零点;当 x∈(x1, +∞) 时, h(x) 单调递增, 则 h(x) 在(x1, +∞) 内至多只有一个零点. 从而 h(x) 在(0, +∞) 内至多只有一个零点. 综上所述, h(x) 有且只有两个零点.

解法二:由 h(x) =x(x2-1-

) , 记 φ (x) =x2-1-

,

则 φ '(x) =2x+

. 当 x∈(0, +∞) 时, φ '(x) >0, 从而 φ (x) 在(0, +∞) 上单调递增, 则 φ (x) 在(0, +∞) 内至多只有一个零

点. 因此 h(x) 在(0, +∞) 内也至多只有一个零点. 综上所述, h(x) 有且只有两个零点.

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(Ⅱ) 证明:记 h(x) 的正零点为 x0, 即 =x0+

.

(1) 当 a<x0 时, 由 a1=a, 即 a1<x0, 而 =a1+

<x0+

= .

因此 a2<x0. 由此猜测:an<x0, 下面用数学归纳法证明. ①当 n=1 时, a1<x0 显然成立. ②假设当 n=k(k≥1) 时, ak<x0 成立,

则当 n=k+1 时, 由

=ak+

<x0+

= 知, ak+1<x0.

因此, 当 n=k+1 时, ak+1<x0 成立. 故对任意的 n∈N*, an<x0 成立.

(2) 当 a≥x0 时, 由(1) 知, h(x) 在(x0, +∞) 上单调递增, 则 h(a) ≥h(x0) =0, 即 a3≥a+ a2≤a. 由此猜测:an≤a. 下面用数学归纳法证明. ①当 n=1 时, a1≤a 显然成立.

. 从而 =a1+

=a+

≤a3, 即

②假设当 n=k(k≥1) 时, ak≤a 成立, 则当 n=k+1 时, 由

=ak+

≤a+

≤a3 知, ak+1≤a.

因此, 当 n=k+1 时, ak+1≤a 成立. 故对任意的 n∈N*, an≤a 成立.

综上所述, 存在常数 M=max{x0, a}, 使得对于任意的 n∈N*, 都有 an≤M. .

59.(Ⅰ) 求导得 f '(x) =2(x-a) ln x+

=(x-a)

因为 x=e 是 f(x) 的极值点, 所以 f '(e) =(e-a)

=0, 解得 a=e 或 a=3e. 经检验, 符合题意, 所以 a=e 或 a=3e.

(Ⅱ) ①当 0<x≤1 时, 对于任意的实数 a, 恒有 f(x) ≤0<4e2 成立. ②当 1<x≤3e 时, 由题意, 首先有 f(3e) =(3e-a) 2ln 3e≤4e2,

解得 3e-

≤a≤3e+

.

由(Ⅰ) 知 f '(x) =(x-a)

,

令 h(x) =2ln x+1- , 则 h(1) =1-a<0, h(a) =2ln a>0, 第 59 页 / 共 75 页

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且 h(3e) =2ln 3e+1- ≥2ln 3e+1-

=2

>0.

又 h(x) 在(0, +∞) 内单调递增, 所以函数 h(x) 在(0, +∞) 内有唯一零点, 记此零点为 x0, 则 1<x0<3e, 1<x0<a. 从而, 当 x∈(0, x0) 时, f '(x) >0;当 x∈(x0, a) 时, f '(x) <0;当 x∈(a, +∞) 时, f '(x) >0. 即 f(x) 在(0, x0) 内单调递增, 在(x0, a) 内单调递减, 在(a, +∞) 内单调递增. 所以要使 f(x) ≤4e2 对 x∈(1, 3e]恒成立, 只要

成立.

由 h(x0) =2ln x0+1- =0, 知 a=2x0ln x0+x0. ③

将③代入①得 4 ln3x0≤4e2. 又 x0>1, 注意到函数 x2ln3x 在[1, +∞) 内单调递增, 故 1<x0≤e. 再由③以及函数 2xln x+x 在(1, +∞) 内单调递增, 可得 1<a≤3e.

由②解得, 3e-

≤a≤3e+

.

所以 3e-

≤a≤3e.

综上, a 的取值范围为 3e-

≤a≤3e.

60.f '(x) =3x2+a, g'(x) =2x+b.

(Ⅰ) 由题意知 f '(x) g'(x) ≥0 在[-1, +∞) 上恒成立. 因为 a>0, 故 3x2+a>0, 进而 2x+b≥0, 即 b≥-2x 在区间[-1, +∞) 上恒成 立, 所以 b≥2. 因此 b 的取值范围是[2, +∞) .

(Ⅱ) 令 f '(x) =0, 解得 x=±

.

若 b>0, 由 a<0 得 0∈(a, b) . 又因为 f '(0) g'(0) =ab<0, 所以函数 f(x) 和 g(x) 在(a, b) 上不是单调性一致的. 因此 b≤0. 现设 b≤0. 当 x∈(-∞, 0) 时, g'(x) <0;

当 x∈

时, f '(x) >0. 因此, 当 x∈ -∞, -

时, f '(x) g'(x) <0.

故由题设得 a≥-

且 b≥-

,

从而- ≤a<0, 于是- ≤b≤0. 第 60 页 / 共 75 页

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因此|a-b|≤ , 且当 a=- , b=0 时等号成立.

又当 a=- , b=0 时, f '(x) g'(x) =6x |a-b|的最大值为 .

, 从而当 x∈

时 f '(x) g '(x) >0, 故函数 f(x) 和 g(x) 在 .

上单调性一致. 因此

61.(Ⅰ) f '(x) = -2ax=

, x∈(0, +∞) . 令 f '(x) =0, 解得 x=

当 x 变化时, f '(x) , f(x) 的变化情况如下表:

x f '(x) f(x) + ↗ 0 极大值 , f(x) 的单调递减区间是 . ↘

所以, f(x) 的单调递增区间是

(Ⅰ) 证明:当 a= 时, f(x) =ln x- x2. 由(Ⅰ) 知 f(x) 在(0, 2) 内单调递增, 在(2, +∞) 内单调递减.

令 g(x) =f(x) -f

. 由于 f(x) 在(0, 2) 内单调递增, 故 f(2) >f

, 即 g(2) >0. 取 x'= e>2, 则 g(x') =

<0.

所以存在 x0∈(2, x') , 使 g(x0) =0, 即存在 x0∈(2, +∞) , 使 f(x0) =f (说明:x'的取法不唯一, 只要满足 x'>2, 且 g(x') <0 即可. )

.

(Ⅲ) 证明:由 f(α ) =f(β ) 及(1) 的结论知 α < 知 1≤α ≤2≤β ≤3.

<β , 从而 f(x) 在[α , β ]上的最小值为 f(α ) . 又由 β -α ≥1, α , β ∈[1, 3],





从而

≤a≤

.

62.(Ⅰ) f '(x) =

- .

由于直线 x+2y-3=0 的斜率为- , 且过点(1, 1) ,





解得 a=1, b=1.

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知 f(x) =

+ , 所以

第 61 页 / 共 75 页

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f(x) -

=

.

考虑函数 h(x) =2ln x+

(x>0) , 则 h'(x) =

.

(i) 设 k≤0. 由 h'(x) =

知,

当 x≠1 时, h'(x) <0. 而 h(1) =0, 故当 x∈(0, 1) 时, h(x) >0, 可得

h(x) >0;

当 x∈(1, +∞) 时, h(x) <0, 可得

h(x) >0.

从而当 x>0, 且 x≠1 时, f(x) -

>0, 即 f(x) >

+ .

(ii) 设 0<k<1. 由于当 x∈

时, (k-1) (x2+1) +2x>0, 故 h'(x) >0. 而 h(1) =0, 故当 x∈

时,

h(x) >0, 可得

h(x) <0. 与题设矛盾.

(iii) 设 k≥1. 此时 h'(x) >0, 而 h(1) =0, 故当 x∈(1, +∞) 时, h(x) >0, 可得 (-∞, 0]. 63.(Ⅰ) 证明:f '(x) = . (2 分)

h(x) <0. 与题设矛盾. 综合得, k 的取值范围为

当 x>0 时, f '(x) >0, 所以 f(x) 为增函数, 又 f(0) =0, 因此当 x>0 时, f(x) >0. (5 分)

(Ⅱ) p=

,

又 99?81<902, 98?82<902, ?, 91?89<902, 所以 p<

19

. (9 分)

由(Ⅰ) 知:当 x>0 时, ln(1+x) >

, 因此

1+

ln(1+x) >2,

在上式中, 令 x= , 则 19ln

>2, 即

19

>e2.

所以 p<

19

< . (12 分)

64.(Ⅰ) 因 f(x) =x3+ax2+bx+1, 故 f '(x) =3x2+2ax+b.

令 x=1, 得 f '(1) =3+2a+b, 由已知 f '(1) =2a, 因此 3+2a+b=2a, 解得 b=-3.

又令 x=2, 得 f '(2) =12+4a+b, 由已知 f '(2) =-b, 因此 12+4a+b=-b, 解得 a=- . 因此 f(x) =x3- x2-3x+1, 从而 f(1) =- . 第 62 页 / 共 75 页

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又因为 f '(1) =2?

=-3, 故曲线 y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线方程为 y-

=-3(x-1) , 即 6x+2y-1=0.

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知 g(x) =(3x2-3x-3) e-x, 从而有 g'(x) =(-3x2+9x) e-x. 令 g'(x) =0, 得-3x2+9x=0, 解得 x1=0, x2=3. 当 x∈(-∞, 0) 时, g'(x) <0, 故 g(x) 在(-∞, 0) 上为减函数; 当 x∈(0, 3) 时, g'(x) >0, 故 g(x) 在(0, 3) 上为增函数; 当 x∈(3, +∞) 时, g'(x) <0, 故 g(x) 在(3, +∞) 上为减函数; 从而函数 g(x) 在 x1=0 处取得极小值 g(0) =-3, 在 x2=3 处取得极大值 g(3) =15e-3. =-x2+x+2a=- x2

65.(Ⅰ) 由 f '(x)

+ +2a,

当 x∈

, +∞

时, f '(x) 的最大值为 f '

= +2a;

令 +2a>0, 得 a>- ,

所以, 当 a>- 时, f(x) 在

, +∞

上存在单调递增区间.

(Ⅱ) 令 f '(x) =0, 得两根 x1=

, x2=

.

所以 f(x) 在(-∞, x1) , (x2, +∞) 上单调递减, 在(x1, x2) 上单调递增. 当 0<a<2 时, 有 x1<1<x2<4, 所以 f(x) 在[1, 4]上的最大 值为 f(x2) .

又 f(4) -f(1) =-

+6a<0, 即 f(4) <f(1) ,

所以 f(x) 在[1, 4]上的最小值为 f(4) =8a-

=-

,

得 a=1, x2=2, 从而 f(x) 在[1, 4]上的最大值为 f(2) =

.

66.对 f(x) 求导得 f '(x) =ex?

.①

(Ⅰ) 当 a= 时, 若 f '(x) =0, 则 4x2-8x+3=0, 解得 x1= , x2= . 结合①, 可知

x

第 63 页 / 共 75 页

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f '(x) f(x)

+ ↗

0 极大值



0 极小值

+ ↗

所以, x1= 是极小值点, x2= 是极大值点. (Ⅱ) 若 f(x) 为 R 上的单调函数, 则 f '(x) 在 R 上不变号, 结合①与条件 a>0, 知 ax2-2ax+1≥0 在 R 上恒成立, 因此 Δ =4a2-4a=4a(a-1) ≤0, 由此并结合 a>0, 知 0<a≤1. 当 k>0 时, f(x) 与 f '(x) 的情况如下: x f '(x) f(x) (-∞, -k) + ↗ -k 0 4k e
2 -1

67.(Ⅰ) f '(x) = (x2-k2)

. 令 f '(x) =0, 得 x=±k.

(-k, k) ↘

k 0 0

(k, +∞) + ↗

所以, f(x) 的单调递增区间是(-∞, -k) 和(k, +∞) ;单调递减区间是(-k, k) . 当 k<0 时, f(x) 与 f '(x) 的情况如下: x f '(x) f(x) (-∞, k) ↘ k 0 0 (k, -k) + ↗ -k 0 4k e
2 -1

(-k, +∞) ↘

所以, f(x) 的单调递减区间是(-∞, k) 和(-k, +∞) ;单调递增区间是(k, -k) .

(Ⅱ) 当 k>0 时, 因为 f(k+1) =

> , 所以不会有? x∈(0, +∞) , f(x) ≤ .

当 k<0 时, 由(Ⅰ) 知 f(x) 在(0, +∞) 上的最大值是 f(-k) =

.

所以? x∈(0, +∞) , f(x) ≤ 等价于 f(-k) =

≤ .

解得- ≤k<0.

故当? x∈(0, +∞) , f(x) ≤ 时, k 的取值范围是 74. A 84.1.

.

68.32

69.-16

70.4

71.(-1, 11) 82.C

72. + 83. A

73.2

75. D 76.C 77.C 78. C 79. D 80.B 85.(Ⅰ) 设 y=f(x) 与 y=g(x) (x>0) 在公共点(x0, y0) 处的切线相同.

81.C

∵f '(x) =x+2a, g'(x) =

, 由题意 f(x0) =g(x0) ,

f '(x0) =g'(x0) . 即

由 x0+2a=

得 x0=a 或 x0=-3a(舍去) . 第 64 页 / 共 75 页

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则有 b= a2+2a2-3a2ln a= a2-3a2ln a.

令 h(t) = t2-3t2ln t(t>0) , 则 h'(t) =2t(1-3ln t) . 于是

当 t(1-3ln t) >0, 即 0<t< 时, h'(t) >0;

当 t(1-3ln t) <0, 即 t> 时, h'(t) <0.

故 h(t) 在(0, - ) 为增函数, 在( , +∞) 为减函数.

于是 h(t) 在(0, +∞) 的最大值为 h( ) =

.

(Ⅱ) 证明:设 F(x) =f(x) -g(x) = x2+2ax-3a2ln x-b(x>0) ,

则 F'(x) =x+2a-

=

(x>0) .

故 F(x) 在(0, a) 为减函数, 在(a, +∞) 为增函数, 于是函数 F(x) 在(0, +∞) 上的最小值是 F(a) =F(x0) =f(x0) -g(x0) =0.

故当 x>0 时, 有 f(x) -g(x) ≥0, 即当 x>0 时, f(x) ≥g(x) .

86.(Ⅰ) 当 a=1 时, f(x) =

, f(2) = ,

又 f '(x) =

=

, f '(2) =-

.

所以, 曲线 y=f(x) 在点(2, f(2) ) 处的切线方程为

y- =-

(x-2) , 即 6x+25y-32=0.

(Ⅱ) f '(x) = 由于 a≠0, 以下分两种情况讨论.

.=

.

(1) 当 a>0 时, 令 f '(x) =0, 得到 x1=- , x2=a. 当 x 变化时, f '(x) , f(x) 的变化情况如下表:

x

第 65 页 / 共 75 页

a

(a, +∞)

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f '(x) f(x)



0 极小值 , (a, +∞) 内为减函数, 在区间

+ ↗ 内为增函数.

0 极大值



所以 f(x) 在区间

函数 f(x) 在 x1=- 处取得极小值 f

, 且f

=-a2.

函数 f(x) 在 x2=a 处取得极大值 f(a) , 且 f(a) =1.

(2) 当 a<0 时, 令 f '(x) =0, 得到 x1=a, x2=- . 当 x 变化时, f '(x) , f(x) 的变化情况如下表:

x f '(x) f(x)

(-∞, a) + ↗

a 0 极大值 内为增函数, 在区间 ↘ 内为减函数.

0 极小值 + ↗

所以 f(x) 在区间(-∞, a) ,

函数 f(x) 在 x1=a 处取得极大值 f(a) , 且 f(a) =1.

函数 f(x) 在 x2=- 处取得极小值 f

, 且f

=-a2.

87.(Ⅰ) 求函数 f(x) 的导数: f '(x) =3x2-1.

曲线 y=f(x) , 在点 M(t, f(t) ) 处的切线方程为: y-f(t) =f '(t) (x-t) , 即 y=(3t2-1) x-2t3. (Ⅱ) 证明:如果有一条切线过点(a, b) , 则存在 t, 使 b=(3t2-1) a-2t3. 于是, 若过点(a, b) 可作曲线 y=f(x) 的三条切线, 则方程 2t3-3at2+a+b=0. 有三个相异的实数根. 记 g(t) =2t3-3at2+a+b, 则 g'(t) =6t2-6at=6t(t-a) 当 t 变化时, g(t) , g'(t) 变化情况如下表: t g'(t) g(t) (-∞, 0) + ↗ 0 0 极大值 a+b (0, a) ↘ a 0 极小值 b-f(a) (a, +∞) + ↗

由 g(t) 的单调性, 当极大值 a+b<0 或极小值 b-f(a) >0 时, 方程 g(t) =0 最多有一个实数根;

当 a+b=0 时, 解方程 g(t) =0 得 t=0, t= , 即方程 g(t) =0 只有两个相异的实数根; 第 66 页 / 共 75 页

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当 b-f(a) =0 时, 解方程 g(t) =0, 得 t=- , t=a, 即方程 g(t) =0, 只有两个相异的实数根.

综上, 如果过(a, b) 可作曲线 y=f(x) 三条切线, 即 g(t) =0 有三个相异的实数根, 则 =a,

即-a<b<f(a) .

88.(Ⅰ) f '(x)

于是

解得



因 a, b∈Z, 故 f(x) =x+

.

(Ⅱ) 证明:已知函数 y1=x, y2= 都是奇函数,

所以函数 g(x) =x+ 也是奇函数, 其图象是以原点为中心的中心对称图形. 而 f(x) =x-1+

+1.

可知, 函数 g(x) 的图象按向量 a=(1, 1) 平移, 即得到函数 f(x) 的图象, 故函数 f(x) 的图象是以点(1, 1) 为中心的中心对称图 形.

(Ⅲ) 证明:在曲线上任取一点

.

由 f '(x0) =1-

知, 过此点的切线方程为

y-

=

(x-x0) .

令 x=1 得 y=

, 切线与直线 x=1 交点为

.

令 y=x 得 y=2x0-1, 切线与直线 y=x 交点为(2x0-1, 2x0-1) . 直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1, 1) . 从而所围三角形的面积为

|2x0-1-1|=

|2x0-2|=2.

所以, 所围三角形的面积为定值 2.

89.(Ⅰ) f '(x) =1- , 由导数的几何意义得 f '(2) =3, 于是 a=-8.

由切点 P(2, f(2) ) 在直线 y=3x+1 上可得-2+b=7, 解得 b=9. 所以函数 f(x) 的解析式为 f(x) =x- +9. 第 67 页 / 共 75 页

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(Ⅱ) f '(x) =1- . 当 a≤0 时, 显然 f '(x) >0(x≠0) . 这时 f(x) 在(-∞, 0) 、(0, +∞) 内是增函数;当 a>0 时, 令 f '(x) =0, 解得 x=± 当 x 变化时, f '(x) 、f(x) 的变化情况如下表: x f '(x) f(x) (-∞, + ↗ ) 、( ) 0 极大值 (↘ , 0) 、(0, , 0) (0, ↘ ) 内是减函数. ) 0 极小值 ( + ↗ , +∞) .

所以 f(x) 在(-∞, -

, +∞) 内是增函数, 在(-

(Ⅲ) 由(Ⅱ) 知, f(x) 在

上的最大值为 f

与 f(1) 中的较大者, 对于任意的 a∈

, 不等式 f(x) ≤10 在

上恒成立,

当且仅当



对任意的 a∈

成立. 从而得 b≤ ,

所以满足条件的 b 的取值范围是 又因为曲线 y=f(x) 通过点(0, 2a+3) ,

.

90.(Ⅰ) 因为 f(x) =ax2+bx+c, 所以 f '(x) =2ax+b.

故 f(0) =2a+3, 而 f(0) =c, 从而 c=2a+3. 又曲线 y=f(x) 在(-1, f(-1) ) 处的切线垂直于 y 轴, 故 f '(-1) =0, 即-2a+b=0, 因此 b=2a.

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得 bc=2a(2a+3) =4

- ,

故当 a=- 时, bc 取得最小值- . 此时有 b=- , c= .

从而 f(x) =- x2- x+ , f '(x) =- x- .

g(x) =-f(x) e-x=

e-x,

所以 g'(x) =[f(x) -f '(x) ]e-x=- (x2-4) e-x. 令 g'(x) =0, 解得 x1=-2, x2=2. 当 x∈(-∞, -2) 时, g'(x) <0, 故 g(x) 在 x∈(-∞, -2) 上为减函数; 第 68 页 / 共 75 页

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当 x∈(-2, 2) 时, g'(x) >0, 故 g(x) 在 x∈(-2, 2) 上为增函数; 当 x∈(2, +∞) 时, g'(x) <0, 故 g(x) 在 x∈(2, +∞) 上为减函数.

由此可见, 函数 g(x) 的单调递减区间为(-∞, -2) 和(2, +∞) ;单调递增区间为(-2, 2) . (x-3b) +4bc=- x3+bx2+cx+bc, ∴f '(x) =-x2+2bx+c.

91.∵ f(x) =f1(x) ?f2(x) =- (x2-3c)

(Ⅰ) 由 f(x) 在 x=1 处有极值- , 可得

解得



若 b=1, c=-1, 则 f '(x) =-x2+2x-1=-(x-1) 2≤0, 此时 f(x) 没有极值; 若 b=-1, c=3, 则 f '(x) =-x2-2x+3=-(x+3) (x-1) . 当 x 变化时, f(x) 、f '(x) 的变化情况如下表: x f '(x) f(x) (-∞, -3) ↘ -3 0 极小值-12 (-3, 1) + ↗ 1 0 极大值(1, +∞) ↘

∴当 x=1 时, f(x) 有极大值- , 故 b=-1, c=3 即为所求. (Ⅱ) 设曲线 y=f(x) 在 x=t 处的切线的斜率为 c, ∵f '(x) =-x2+2bx+c, ∴-t2+2bt+c=c, 即 t2-2bt=0, 解得 t=0 或 t=2b. 若 t=0, 则 f(0) =bc, 得切点为(0, bc) , 切线方程为 y=cx+bc;

若 t=2b, 则 f(2b) = b3+3bc, 得切点为

, 切线方程为 y=cx+bc+ b3.

①若- x3+bx2+cx+bc=cx+bc ? x3-3bx2=0, 解得 x1=x2=0, x3=3b, 则此时切线 y=cx+bc 与曲线 y=f(x) 的公共点为(0, bc) , (3b, 4bc) ;

②若- x3+bx2+cx+bc=cx+bc+ b3? x3-3bx2+4b3=0, 解得 x1=x2=2b, x3=-b,

此时切线 y=cx+bc+ b3 与曲线 y=f(x) 的公共点为

. 第 69 页 / 共 75 页

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综合可知, 当 b=0 时, 斜率为 c 的切线与曲线 y=f(x) 有且仅有一个公共点(0, 0) ;

当 b≠0 时, 斜率为 c 的切线与曲线 y=f(x) 有两个不同的公共点, 分别为(0, bc) 和(3b, 4bc) 或 (Ⅲ) g(x) =|f '(x) |=|-(x-b) 2+b2+c|. ①当|b|>1 时, 函数 y=f '(x) 的对称轴 x=b 位于区间[-1, 1]之外, ∴f '(x) 在[-1, 1]上的最值在两端点处取得. 故 M 应是 g(-1) 和 g(1) 中较大的一个. ∴2M≥g(1) +g(-1) =|-1+2b+c|+|-1-2b+c|≥|4b|>4, 即 M>2. ②当|b|≤1 时, 函数 y=f '(x) 的对称轴 x=b 位于区间[-1, 1]内, 此时 M=max{g(-1) , g(1) , g(b) }. 由 f '(1) -f '(-1) =4b, 有 f '(b) -f '(±1) =(b?1) 2≥0. (i) 若-1≤b≤0, f '(1) ≤f '(-1) ≤f '(b) , ∴g(-1) ≤max{g(1) , g(b) },



.

于是 M=max{|f '(1) |, |f '(b) |}≥ (|f '(1) |+|f '(b) |) ≥ |f '(1) -f '(b) |= (b-1) 2≥ . (ii) 若 0<b≤1, 则 f '(-1) ≤f '(1) ≤f '(b) , ∴g(1) ≤max{g(-1) , g(b) },

于是 M=max{|f '(-1) |, |f '(b) |}≥ (|f '(-1) |+|f '(b) |)

≥ |f '(-1) -f '(b) |= (b+1) 2> .

综上, 对任意的 b、c 都有 M≥ .

而当 b=0, c= 时, g(x) =

在区间[-1, 1]上的最大值 M= ,

故 M≥k 对任意的 b、 恒成立的 k 的最大值为 . c 的切线方程为 y=x.

92.(Ⅰ) f '(x) =(1+kx) ekx, f '(0) =1, f(0) =0, 曲线 y=f(x) 在点(0, f(0) ) 处

(Ⅱ) 由 f '(x) =(1+kx) ekx=0 得 x=- (k≠0) .

若 k>0, 则当 x∈

时, f '(x) <0, 函数 f(x) 单调递减; 第 70 页 / 共 75 页

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当 x∈

时, f '(x) >0, 函数 f(x) 单调递增.

若 k<0, 则当 x∈

时, f '(x) >0, 函数 f(x) 单调递增;

当 x∈

时, f '(x) <0, 函数 f(x) 单调递减.

(Ⅲ) 由(Ⅱ) 知, 若 k>0, 则当且仅当- ≤-1, 即 k≤1 时, 函数 f(x) 在(-1, 1) 内单调递增;

若 k<0, 则当且仅当- ≥1, 即 k≥-1 时, 函数 f(x) 在(-1, 1) 内单调递增. 综上可知, 函数 f(x) 在区间(-1, 1) 内单调递增时, k 的取值范围是[-1, 0) ∪(0, 1]. '(x) =2ax+b, 又 f(x) 在 x=0 处取得极值, 故 f '(0) =0, 从而 b=0. 93.(Ⅰ) 因 f(x) =ax2+bx+k(k>0) , 故 f

由曲线 y=f(x) 在(1, f(1) ) 处的切线与直线 x+2y+1=0 相互垂直可知该切线斜率为 2, 即 f '(1) =2, 有 2a=2, 从而 a=1.

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知, g(x) =

(k>0) , g'(x) =

(k>0) ,

令 g'(x) =0, 有 x2-2x+k=0(k>0) . ①当 Δ =4-4k<0, 即当 k>1 时, g'(x) >0 在 R 上恒成立, 故函数 g(x) 在 R 上为增函数.

②当 Δ =4-4k=0, 即当 k=1 时, 有 g'(x) =

>0(x≠1) , 从而当 k=1 时, g(x) 在 R 上为增函数. , x2=1+ .

③当 Δ =4-4k>0, 即当 0<k<1 时, 方程 x2-2x+k=0 有两不相等实根 x1=1当 x∈(-∞, 1当 x∈(1, 1+ ) 时, g'(x) >0, 故 g(x) 在(-∞, 1) 时, g'(x) <0, 故 g(x) 在(1) 上为增函数; , 1+

) 上为减函数; 94.(Ⅰ) 当 a=0 时, f(x) =x2ex, f '(x) =(x2+2x) ex,

当 x∈(1+ , +∞) 时, g'(x) >0, 故 g(x) 在(1+ 故 f '(1) =3e.

, +∞) 上为增函数.

所以曲线 y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线的斜率为 3e. (Ⅱ) f '(x) =[x2+(a+2) x-2a2+4a]ex.

令 f '(x) =0, 解得 x=-2a 或 x=a-2. 由 a≠ 知, -2a≠a-2. 以下分两种情况讨论.

①若 a> , 则-2a<a-2, 当 x 变化时, f '(x) 、f(x) 的变化情况如下表 第 71 页 / 共 75 页

曲一线科学备考

x f '(x) f(x)

(-∞, -2a) + ↗

-2a 0 极大值

(-2a, a-2) ↘

a-2 0 极小值

(a-2, +∞) + ↗

所以 f(x) 在(-∞, -2a) , (a-2, +∞) 内是增函数, 在(-2a, a-2) 内是减函数. 函数 f(x) 在 x=-2a 处取得极大值 f(-2a) , 且 f(-2a) =3ae-2a. 函数 f(x) 在 x=a-2 处取得极小值 f(a-2) , 且 f(a-2) =(4-3a) ea-2.

②若 a< , 则-2a>a-2. 当 x 变化时, f '(x) 、f(x) 的变化情况如下表 x f '(x) f(x) (-∞, a-2) + ↗ a-2 0 极大值 (a-2, -2a) ↘ -2a 0 极小值 (-2a, +∞) + ↗

所以 f(x) 在(-∞, a-2) , (-2a, +∞) 内是增函数, 在(a-2, -2a) 内是减函数. 函数 f(x) 在 x=a-2 处取得极大值 f(a-2) , 且 f(a-2) =(4-3a) ea-2. 函数 f(x) 在 x=-2a 处取得极小值 f(-2a) , 且 f(-2a) =3ae-2a. 95.解法一:(Ⅰ) (i) 由 f(x) =x3-x 得

f '(x) =3x2-1=3

.

当 x∈



时, f '(x) >0;

当 x∈

时, f '(x) <0.

因此, f(x) 的单调递增区间为



, 单调递减区间为

.

(ii) 曲线 C 在点 P1 处的切线方程为 y=(3 -1) (x-x1) + -x1,

即 y=(3 -1) x-2 . 由

第 72 页 / 共 75 页

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得 x3-x=(3 -1) x-2 , 即(x-x1) 2(x+2x1) =0, 解得 x=x1 或 x=-2x1, 故 x2=-2x1.

进而有 S1=

=

=

.

用 x2 代替 x1, 重复上述计算过程, 可得 x3=-2x2 和 S2=

.

又 x2=-2x1≠0, 所以 S2=

≠0, 因此有 =

.

(Ⅱ) 记函数 g(x) =ax3+bx2+cx+d(a≠0) 的图象为曲线 C', 类似于(Ⅰ) (ii) 的正确命题为:若对任意不等于- 的实数 x1, 曲线 C'与其在点 P1(x1, g(x1) ) 处的切线交于另一点 P2(x2, g(x2) ) , 曲线 C'与其在点 P2 处的切线交于另一点 P3(x3, g(x3) ) , 线段 P1P2, P2P3 与曲线 C'所围成封闭图形的面积分别记为 S1, S2, 则 为定值. 证明如下:

因为平移变换不改变面积的大小, 故可将曲线 y=g(x) 的对称中心 x1≠0. 类似(Ⅰ) (ii) 的计算可得 S1= a , S2= a ≠0.

平移至坐标原点, 因而不妨设 g(x) =ax3+hx, 且

故 =

.

解法二:(Ⅰ) 同解法一.

(Ⅱ) 记函数 g(x) =ax3+bx2+cx+d(a≠0) 的图象为曲线 C', 类似于(Ⅰ) (ii) 的正确命题为:若对任意不等于- 的实数 x1, 曲线 C'与其在点 P1(x1, g(x1) ) 处的切线交于另一点 P2(x2, g(x2) ) , 曲线 C'与其在点 P2 处的切线交于另一点 P3(x3, g(x3) ) , 线段 P1P2, P2P3 与曲线 C'所围成封闭图形的面积分别记为 S1, S2, 则 为定值. 证明如下: 由 g(x) =ax3+bx2+cx+d(a≠0) 得 g'(x) =3ax2+2bx+c, 所以曲线 C'在点(x1, g(x1) ) 处的切线方程为

y=(3a +2bx1+c) x-2a -b +d.

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由 (x-x1) 2[a(x+2x1) +b]=0,



所以 x=x1 或 x=- -2x1, 即 x2=- -2x1, 故

S1=

[ax3+bx2-(3a +2bx1) x+2a +b ]dx =

,

用 x2 代替 x1, 重复上述计算过程, 可得

x3=- -2x2 和 S2=

. 又 x2=- -2x1 且 x1≠- ,

所以 S2=

=

=

≠0,

故 =

.

96.(Ⅰ) f '(x) =

, g'(x) = (x>0) ,

由已知得

解得 a= , x=e2,

∴两条曲线交点的坐标为(e2, e) . 切线的斜率为 k=f '(e2) =

,

∴切线的方程为 y-e= (x-e2) .

(Ⅱ) 由条件知 h(x) =

-aln x(x>0) , ∴h'(x) =

- =

,

(i) 当 a>0 时, 令 h'(x) =0, 解得 x=4a2, ∴当 0<x<4a2 时, h'(x) <0, h(x) 在(0, 4a2) 上递减; 当 x>4a2 时, h'(x) >0, h(x) 在(4a2, +∞) 上递增. ∴x=4a2 是 h(x) 在(0, +∞) 上的唯一极值点, 且是极小值点, 从而也是 h(x) 的最小值点. ∴最小值 φ (a) =h(4a2) =2a-aln 4a2=2a(1-ln 2a) .

(ii) 当 a≤0 时, h'(x) = (a>0) .

>0, h(x) 在(0, +∞) 上递增, 无最小值. 故 h(x) 的最小值 φ (a) 的解析式为 φ (a) =2a(1-ln 2a)

(Ⅲ) 证明:由(Ⅱ) 知 φ '(a) =-2ln 2a, 第 74 页 / 共 75 页

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对任意的 a>0, b>0,

=-

=-ln 4ab, ①

φ'

=-2ln

=-ln(a+b) 2≤-ln 4ab, ②

φ'

=-2ln

≥-2ln

=-ln 4ab, ③

故由①②③得 φ '



≤φ '

.

97.(Ⅰ) f '(x) =

+

=

+

.

当 a=2 时, f '(0) =

+

= , 而 f(0) =- , 因此曲线 y=f(x) 在点(0, f(0) ) 处的切线方程为 y-

= (x-0) , 即 7x-4y-2=0.

(Ⅱ) 因 a≠-1, 由(Ⅰ) 知 f '(1) =

+

=

+ , 又因 f(x) 在 x=1 处取得极值, 所以 f '(1) =0,



+ =0, 解得 a=-3.

此时 f(x) =

+ln(x+1) , 其定义域为(-1, 3) ∪(3, +∞) , 且 f '(x) =

+

=

, 由 f '(x) =0 得 x1=1, x2=7. 当

-1<x<1 或 x>7 时, f '(x) >0;当 1<x<7 且 x≠3 时, f '(x) <0.

由以上讨论知, f(x) 在区间(-1, 1], [7, +∞) 上是增函数, 在区间[1, 3) , (3, 7]上是减函数. 101.2;-2 102.-2 103.1 104.-1 105.(-∞, 0) 115. D 125.D 106.(-2, 15) 116.A 126.A 107. 117. D 127.A

98. 108. 118.A 128.C

99.ln 2-1 109.1

100.2 110. D 120.

111. B 112. A 113.D B 121. D 122.B 123.A 130.C

114.D 124.D

119. A 129.D

第 75 页 / 共 75 页


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