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2014圆锥曲线高考压轴题汇编


2014 圆锥曲线高考压轴题汇编
一.填空题(共 3 小题) 1.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为 2 的正方形.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 Q(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点.点 P(4,3) ,记直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2, 当 k1?k2 最大时,

求直线 l 的方程.

2.如图,在△ ABC 中,已知 A(﹣3,0) ,B(3,0) ,CD⊥AB 于 D,△ ABC 的垂心为 H且 .

(Ⅰ)求点 H 的轨迹方程; (Ⅱ)设 P(﹣1,0) ,Q(1,0) ,那么 能否成等差数列?请说明理由;

(Ⅲ)设直线 AH,BH 与直线 l:x=9 分别交于 M,N 点,请问以 MN 为直径的圆是否经过定点?并说明理由.

3.如图,已知直线

与抛物线

和圆

都相切,

F 是 C1 的焦点. (1)求 m 与 a 的值; (2)设 A 是 C1 上的一动点,以 A 为切点作抛物线 C1 的切线,直线交 y 轴于点 B,以 FA,FB 为邻边作平行四边 形 FAMB,证明:点 M 在一条定直线上; (3)在(2)的条件下,记点 M 所在的定直线为 l2,直线 l2 与 y 轴交点为 N,连接 MF 交抛物线 C1 于 P,Q 两点, 求△ NPQ 的面积 S 的取值范围.

二.解答题(共 27 小题) 4.用总长 44.8m 的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架,如果所制做容器的底面的腰长比底边 2 2 长的一半长 1m, 那么底面的底边, 腰及容器的高为多少时容器的容积最大? (参考数据 2.66 =7.0756, 3.34 =11.1556)

5. (2013?四川)已知椭圆 C:

(a>b>0)的两个焦点分别为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,且椭圆 C 经过





(I)求椭圆 C 的离心率: (II)设过点 A(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且 求点 Q 的轨迹方程. ,

6. (2014?深圳一模)如图,直线 l:y=x+b(b>0) ,抛物线 C:y =2px(p>0) ,已知点 P(2,2)在抛物线 C 上, 且抛物线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为 .

2

(1)求直线 l 及抛物线 C 的方程; (2)过点 Q(2,1)的任一直线(不经过点 P)与抛物线 C 交于 A、B 两点,直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记直 线 PA,PB,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3.问:是否存在实数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,试求出 λ 的值;若不 存在,请说明理由.

7. (2014?上饶一模)如图,椭圆 C1:

(a>b>0)和圆 C2:x +y =b ,已知圆 C2 将椭圆 C1 的长轴三等

2

2

2

分,椭圆 C1 右焦点到右准线的距离为

,椭圆 C1 的下顶点为 E,过坐标原点 O 且与坐标轴不重合的任意直线 l

与圆 C2 相交于点 A、B. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)若直线 EA、EB 分别与椭圆 C1 相交于另一个交点为点 P、M. ①求证:直线 MP 经过一定点; ②试问:是否存在以(m,0)为圆心, 求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由. 为半径的圆 G,使得直线 PM 和直线 AB 都与圆 G 相交?若存在,请

8. (2014?德州一模)已知点 A、B 分别是椭圆

=1(a>b>0)长轴的左、右端点,点 C 是椭圆短轴的一个

端点,且离心率 e=

,S△ ABC=

.动直线,l:y=kx+m 与椭圆于 M、N 两点.

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若椭圆上存在点 P,满足 (O 为坐标原点) ,求 λ 的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当 λ 取何值时,△ MNO 的面积最大,并求出这个最大值.

9. (2014?崇明县一模)已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O,且恰好与直线 l1: (1)求圆的标准方程; (2)设点 A 为圆上一动点,AN⊥x 轴于 N,若动点 Q 满足: 求动点 Q 的轨迹方程 C2; (3)在(2)的结论下,当 最大值.

相切. , (其中 m 为非零常数) ,试

时,得到曲线 C,与 l1 垂直的直线 l 与曲线 C 交于 B、D 两点,求△ OBD 面积的

10. (2013?烟台二模)已知椭圆 M: :

+

=1(a>0)的一个焦点为 F(﹣1,0) ,左右顶点分别为 A,B.经过

点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C,D 两点. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)当直线 l 的倾斜角为 45°时,求线段 CD 的长; (Ⅲ)记△ ABD 与△ ABC 的面积分别为 S1 和 S2,求|S1﹣S2|的最大值.

11. (2013?徐州三模)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E:

的离心率



A1,A2 分别是椭圆 E 的左、右两个顶点,圆 A2 的半径为 a,过点 A1 作圆 A2 的切线,切点为 P,在 x 轴的上方交 椭圆 E 于点 Q. (1)求直线 OP 的方程; (2)求 的值;

(3)设 a 为常数,过点 O 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点 B、C,分别交圆 A 点 M、N,记三角形 OBC 和三角形 OMN 的面积分别为 S1,S2.求 S1S2 的最大值.

12. (2013?温州二模)如图.直线 l:y=kx+1 与椭圆 C1:
2 2

交于 A,C 两点,A.C 在 x 轴两侧,B,

D 是圆 C2:x +y =16 上的两点.且 A 与 B.C 与 D 的横坐标相同.纵坐标同号. (I)求证:点 B 纵坐标是点 A 纵坐标的 2 倍,并计算||AB|﹣|CD||的取值范围; (II)试问直线 BD 是否经过一个定点?若是,求出定点的坐标:若不是,说明理由.

13. (2013?松江区一模)对于双曲线 C:

,定义 C1:

,为其伴随曲线,

记双曲线 C 的左、右顶点为 A、B. (1)当 a>b 时,记双曲线 C 的半焦距为 c,其伴随椭圆 C1 的半焦距为 c1,若 c=2c1,求双曲线 C 的渐近线方程; (2)若双曲线 C 的方程为 x ﹣y =1,过点 点,求△ ON1N2 的面积(O 为坐标原点) (3)若双曲线 C 的方程为
2 2

且与 C 的伴随曲线相切的直线 l 交曲线 C 于 N1、N2 两

,弦 PQ⊥x 轴,记直线 PA 与直线 QB 的交点为 M,求动点 M 的轨迹方程.

14. (2012?咸阳三模)已知抛物线 x =4y,过点 A(0,a) (其中 a 为正常数)任意作一条直线 l 交抛物线 C 于 M, N 两点,O 为坐标原点. (1)求 的值;

2

(2)过 M,N 分别作抛物线 C 的切线 l1,l2,试探求 l1 与 l2 的交点是否在定直线上,证明你的结论.

15. (2012?武昌区模拟)已知椭圆

的离心率为 ,点 M(2,3) ,N(2,﹣3)为 C 上

两点,斜率为 的直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B(A,B 在直线 MN 两侧) . (I)求四边形 MANB 面积的最大值; (II)设直线 AM,BM 的斜率为 k1,k2,试判断 k1+k2 是否为定值.若是,求出这个定值;若不是,说明理由.

16. (2012?泰州二模)已知椭圆

(a>b>0)的右焦点为 F1(2,0) ,离心率为 e.

(1)若 e=

,求椭圆的方程;

(2)设 A,B 为椭圆上关于原点对称的两点,AF1 的中点为 M,BF1 的中点为 N,若原点 O 在以线段 MN 为直径 的圆上. ①证明点 A 在定圆上; ②设直线 AB 的斜率为 k,若 k ,求 e 的取值范围.

17. (2012?台州一模)已知抛物线 C1:x =2py(p>0)上纵坐标为 p 的点到其焦点的距离为 3. (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ)过点 P(0,﹣2)的直线交抛物线 C1 于 A,B 两点,设抛物线 C1 在点 A,B 处的切线交于点 M, (ⅰ)求点 M 的轨迹 C2 的方程; (ⅱ) 若点 Q 为 (ⅰ) 中曲线 C2 上的动点, 当直线 AQ, BQ, PQ 的斜率 kAQ, kBQ, kPQ 均存在时, 试判断 是否为常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由.

2

18. (2012?韶关二模)在直角坐标系 xOy 中,动点 P 与定点 F(1,0)的距离和它到定直线 x=2 的距离之比是 设动点 P 的轨迹为 C1,Q 是动圆 (1<r<2)上一点.



(1)求动点 P 的轨迹 C1 的方程,并说明轨迹是什么图形; (2)设曲线 C1 上的三点 与点 F 的距离成等差数列,若线段 AC

的垂直平分线与 x 轴的交点为 T,求直线 BT 的斜率 k; (3)若直线 PQ 与 C1 和动圆 C2 均只有一个公共点,求 P、Q 两点的距离|PQ|的最大值.

19. (2012?泉州模拟)已知椭圆 C 的方程为: (1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点 P(x0,y0)满足
2 2

,其焦点在 x 轴上,离心率 e=



,其中 M,N 是椭圆 C 上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为﹣ ,求

证:x0 +2y0 为定值. (3)在(2)的条件下,问:是否存在两个定点 A,B,使得|PA|+|PB|为定值?若存在,给出证明;若不存在,请 说明理由.

20. (2012?南京二模)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,以原点

为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x﹣y+2=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(0,1) ,Q(0,2) .设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点,直线 PM 与 QN 相交于点 T, 求证:点 T 在椭圆 C 上.

21. (2012?闵行区三模)已知椭圆 T: 一个顶点, =0.

+

=1(a>b>0)的左、右焦点依次为 F1,F2,点 M(0,2)是椭圆的

?

(1)求椭圆 T 的方程; (2)设 G 是点 F1 关于点 F2 的对称点,在椭圆 T 上是否存在两点 P、Q,使 = + ,若存在,求出这两点,

若不存在,请说明理由; (3)设经过点 F2 的直线交椭圆 T 于 R、S 两点,线段 RS 的垂直平分线与 y 轴相交于一点 T(0,y0) ,求 y0 的取 值范围.

22. (2012?洛阳一模)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

,且经过点 M(2,1) ,直线

AB 平行于 OM,且交椭圆于 A,B 两点. (1)求椭圆的方程; (2)求直线 AB 在 y 轴上截距的取值范围; (3)记直线 MA,MB 斜率分别为 k1,k2.试问 k1+k2 是否为定值?若是,求出 k1+k2 的值,否则,说明理由.

23. (2012?泸州一模)已知椭圆

的长轴长是焦距的 2 倍,右准线方程为 x=4.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知点 D 坐标为(4,0) ,椭圆 C 上动点 Q 关于 x 轴的对称点为点 P,直线 PD 交椭圆 C 于点 R(异于点 P) , 求证:直线 QR 过定点.

24. (2012?泸州二模)已知双曲线方程

,椭圆方程

,A、D 分别是双曲线和椭

圆的右准线与 x 轴的交点,B、C 分别为双曲线和椭圆的右顶点,O 为坐标原点,且|OA|,|OB|,|OC|,|OD|成等比 数列. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若 E 是椭圆长轴的左端点,动点 M 满足 MC⊥CE,连接 EM,交椭圆于点 P,在 x 轴上有异于点 E 的定点 Q, 使得以 MP 为直径的圆恒过直线 CP、MQ 的交点,求点 Q 的坐标.

25. (2012?黄浦区一模)已知两点 A(﹣1,0) 、B(1,0) ,点 P(x,y)是直角坐标平面上的动点,若将点 P 的 横坐标保持不变、纵坐标扩大到 倍后得到点 Q(x, )满足 .

(1)求动点 P 所在曲线 C 的轨迹方程; (2)过点 B 作斜率为 的直线 l 交曲线 C 于 M、N 两点,且满足 ,又点 H 关于原点 O 的对称

点为点 G,试问四点 M、G、N、H 是否共圆,若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由.

26. (2012?葫芦岛模拟)如图,椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右顶点为 A1,A2,左右焦点为 F1,F2,其中

F1,F2 是 A1A2 的三等分点,A 是椭圆上任意一点,且|AF1|+|AF2|=6. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 AF1 与椭圆交于另一点 B,与 y 轴交于一点 C,记 m= 求 m+n 的取值范围. ,n= ,若点 A 在第一象限,

27. (2012?贵州模拟)椭圆 C:

的左、右焦点分别为 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,O 是坐标 .

原点,C 的右顶点和上顶点分别为 A、B,且△ AOB 的面积为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)过点 P(4,0)作与 x 轴不重合的直线 l 与 C 交于相异两点 M、N,交 y 轴于 Q 点,证明 值,并求这个定值.

为定

28. (2012?崇明县二模)已知曲线 C 上动点 P(x,y)到定点 F1( . (1)求曲线 C 的轨迹方程;

,0)与定直线 l1:x=

的距离之比为常数

(2)若过点 Q(1, )引曲线 C 的弦 AB 恰好被点 Q 平分,求弦 AB 所在的直线方程; (3)以曲线 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T: (x+2) +y =r (r>0) ,设圆 T 与曲线 C 交于点 M 与点 N,求 最小值,并求此时圆 T 的方程.
2 2 2



29. (2012?成都模拟)已知 m>1,直线 l:x﹣my﹣

=0,椭圆 C:

+y =1,F1、F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点.

2

(I)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (II)当直线 l 与椭圆 C 相离、相交时,求 m 的取值范围; (III)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,△ AF1F2,△ BF1F2 的重心分别为 G、H.若原点 O 在以线段 GH 为直径 的圆内,求实数 m 的取值范围.

30. (2012?长宁区二模)设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,过 F 且垂直于 x 轴的直线与抛物线交于 P1,P2 两点,已知|P1P2|=8. (1)求抛物线 C 的方程; (2)设 m>0,过点 M(m,0)作方向向量为 的直线与抛物线 C 相交于 A,B 两点,求使∠AFB

2

为钝角时实数 m 的取值范围; (3)①对给定的定点 M(3,0) ,过 M 作直线与抛物线 C 相交于 A,B 两点,问是否存在一条垂直于 x 轴的直线 与以线段 AB 为直径的圆始终相切?若存在,请求出这条直线;若不存在,请说明理由. ②对 M(m,0) (m>0) ,过 M 作直线与抛物线 C 相交于 A,B 两点,问是否存在一条垂直于 x 轴的直线与以线 段 AB 为直径的圆始终相切?(只要求写出结论,不需用证明)

2014 年 3 月杜老师的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.填空题(共 3 小题) 1.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为 2 的正方形.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 Q(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点.点 P(4,3) ,记直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2, 当 k1?k2 最大时,求直线 l 的方程.

考点: 椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)根据题意,结合正方形的性质可得 b=c 且
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=2,由此算出 a=2,即可得到椭圆 C 的方程;

(II)当直线 l 的斜率等于 0 时,结合椭圆的方程算出 k1?k2= ;直线 l 的斜率不等于 0 时,设 A(x1,y1) , B(x2,y2) ,直线 l 方程为 x=my+1,由直线 l 方程与椭圆方程消去 x 得到关于 y 的一元二次方程,利用根 与系数的关系得到 y1+y2= ,y1y2= .由此利用直线的斜率公式和直线 l 方程化简 k1?k2 的式子, ≤1, 当且仅当 m=1 时, 等号成立. 因此当 m=1 时 k1?k2

再根据基本不等式加以计算, 可得 k1?k2= + 的最大值为 1,可得此时的直线 l 的方程. 解答: 解: (I)∵椭圆 C 方程为: + =1(a>b>0) ,

∴由左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为 2 的正方形, 可得 b=c 且 =2,解得 b=c= ,a= =2.

∴椭圆 C 的方程为



(II)①直线 l 的斜率等于 0 时,A、B 分别为左右顶点, ∴k1?k2= ? = ;

②直线 l 的斜率不等于 0 时,设直线 l 的方程为 x=my+1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) .



消去 x,整理得(m +2)y +2my﹣3=0.

2

2

∴y1+y2=

,y1y2=



∵x1=my1+1,x2=my2+1, ∴k1?k2= ? = =

=

=

= +



令 t=4m+1,则

=

=



= ,

∴k1?k2= +

≤ + =1,当且仅当 t=5 即 m=1 时,等号成立.

综合①②,可得 k1?k2 的最大值为 1,此时的直线 l 方程为 x=y+1,即 x﹣y﹣1=0. 点评: 本题给出椭圆满足的条件,求椭圆的方程并研究直线斜率之积的最大值问题.着重考查了椭圆的标准方程 与简单几何性质、直线的基本量与基本形式、用基本不等式求最值和直线与圆锥曲线的位置关系等知识, 属于中档题. 2.如图,在△ ABC 中,已知 A(﹣3,0) ,B(3,0) ,CD⊥AB 于 D,△ ABC 的垂心为 H且 .

(Ⅰ)求点 H 的轨迹方程; (Ⅱ)设 P(﹣1,0) ,Q(1,0) ,那么 能否成等差数列?请说明理由;

(Ⅲ)设直线 AH,BH 与直线 l:x=9 分别交于 M,N 点,请问以 MN 为直径的圆是否经过定点?并说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)设点 C(x,y) ,由题意得 H(x, y) ,则
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,由于 AC⊥BH, 共线,不合题意.故点 C 的轨迹方程为

于是

,又 y=0 时

(y≠0) .由此能得到得到点 H 的轨迹方程为 (Ⅱ)设

. ,则

, 不能构成等差数列. (Ⅲ)设 M(9,m) ,N(9,n) ,则 A(﹣3,0) ,B(3,0) ,于是

,由此能得到

,由 A,H,M 三点共线得 N 三点共线得 方程为 外定点(17,0) . 解答: 解: (Ⅰ)设点 C(x,y) ,由题意得 H(x, y) , 则 于是 又 y=0 时 , 共线,不合题意.故点 C 的轨迹方程为 (y0≠0) , (y≠0) . ,由于 AC⊥BH, ,又

.由 B,H, ,以 MN 为直径的圆的

, 由此能得以 MN 为直径的圆必过椭圆

设点 H(x,y) ,C(x0,y0) ,则



得到点 H 的轨迹方程为

. (4 分)

(Ⅱ)设 , ,

,则



=



所以

不能构成等差数列. (9 分)

(Ⅲ)设 M(9,m) ,N(9,n) ,则 A(﹣3,0) ,B(3,0) , 于是 由 A,H,M 三点共线得 由 B,H,N 三点共线得 径的圆的方程为 解得 (舍)或 .故以 MN 为直径的圆必过椭圆外定点(17,0) . (15 分) ,又 ,∴ ; ,以 MN 为直

点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件.

3.如图,已知直线

与抛物线

和圆

都相切,

F 是 C1 的焦点. (1)求 m 与 a 的值; (2)设 A 是 C1 上的一动点,以 A 为切点作抛物线 C1 的切线,直线交 y 轴于点 B,以 FA,FB 为邻边作平行四边 形 FAMB,证明:点 M 在一条定直线上; (3)在(2)的条件下,记点 M 所在的定直线为 l2,直线 l2 与 y 轴交点为 N,连接 MF 交抛物线 C1 于 P,Q 两点, 求△ NPQ 的面积 S 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用圆心到直线的距离等于半径求出 m,再利用导函数与切线的关系求出 a 的值即可; (2) 先求出以 A 为切点的切线 l 的方程以及点 A, B 的表达式, 再利用以 FA, FB 为邻边作平行四边形 FAMB, 结合向量运算即可求出点 M 所在的定直线; (3)设直线 MF 的方程代入抛物线方程,结合根与系数的关系及三角形面积公式得出面积的表达式,从而 可求△ NPQ 的面积 S 的取值范围. 2 2 解答: (1)解:由已知,圆 C2:x +(y+1) =5 的圆心为 C2(0,﹣1) ,半径为
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由题设圆心到直线 l1:y=2x+m 的距离 d=

=

,解得 m=﹣6(m=4 舍去) .

设 l1 与抛物线的相切点为 A0(x0,y0) ,又 y′=2ax,∴2ax0=2 ∴x0= ,y0= ,代入直线方程得: ∴m=﹣6, ; ,焦点 F(0, ) ,∴

(2)证明:由(1)知抛物线 C1 方程为 y= 设 A(x1,

) ,由(1)知以 A 为切点的切线 l 的方程为 ) )

令 x=0,得切线 l 交 y 轴的 B 点坐标为(0,﹣ ∴ =( ) , =(0,﹣

∵以 FA,FB 为邻边作平行四边形 FAMB, ∴ =(x1,﹣3) 上;

∵F 是定点,∴点 M 在定直线

(3)解:直线 MF:y=kx+ ,代入 y= ∴x1+x2=6k,x1x2=﹣9. ∴S△ NPQ= |NF||x1﹣x2|=



=9

∵k≠0,∴S△ NPQ>9, ∴NPQ 的面积 S 的取值范围(9,+∞) . 点评: 本题综合考查圆与椭圆知识,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,考查三角形面积的计算, 属于中档题. 二.解答题(共 27 小题) 4.用总长 44.8m 的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架,如果所制做容器的底面的腰长比底边 长的一半长 1m, 那么底面的底边, 腰及容器的高为多少时容器的容积最大? (参考数据 2.66 =7.0756, 3.34 =11.1556) 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数模型的选择与应用. 专题: 计算题. 分析: 设出底面边长为 2x,用 x 表示出三棱柱的底面的腰长,三棱柱的高,从而得到三棱柱的体积与 x 的函数关 系是解决本题的关键,可以利用导数为工具确定出最大容积时候的 x 的值,实现该问题的解答. 解答: 解:设容器底面等腰三角形的底边长为 2xm,则腰长为(x+1)m,
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2

2

高为
3



设容器的容积为 Vm ,底面等腰三角形底边上的高为

=



, 令 V′=0,得 x ﹣2.66x﹣1.02=0, (x﹣3) (x+0.34)=0,由 x>0,解得 x=3 当 0<x<3 时 V′>0;3<x<5.1 时,V′<0,因此,当 x=3 时,V 有最大值. 答:容器的底面等腰三角形的底边长为 6m,腰长为 4m,容器的高为 5.6m 时容器的体积最大. 点评: 本题考查函数的模型思想和意识,考查设未知数表示函数关系的思想,注意实际问题函数的定义域,依据 给出的函数表达式利用导数为工具确定所给函数的最值,考查学生的导数工具意识.
2

5. (2013?四川)已知椭圆 C:

(a>b>0)的两个焦点分别为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,且椭圆 C 经过





(I)求椭圆 C 的离心率: (II)设过点 A(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且 求点 Q 的轨迹方程. 考点: 曲线与方程;轨迹方程;椭圆的简单性质. 专题: 压轴题;方程思想;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)由题设条件结合椭圆的性质直接求出 a,c 的值,即可得到椭圆的离心率;
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(II)由题设过点 A(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,可设出直线的方程与椭圆的方程联立,由 于两曲线交于两点,故判断式大于 0 且可利用根与系数的关系建立 M,N 两点的坐标与直线的斜率 k 的等 量关系,然后再设出点 Q 的坐标,用两点 M,N 的坐标表示出 求得点 Q 的轨迹方程. 解答: 解: (I)∵椭圆 C: (a>b>0)的两个焦点分别为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,且椭圆 C 经过点 ,再综合计算即可



∴c=1,2a=PF1+PF2= ∴椭圆的离心率 e= = = …4 分

=2

,即 a=

(II)由(I)知,椭圆 C 的方程为

,设点 Q 的坐标为(x,y)

(1)当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 与椭圆 C 交于(0,1) 、 (0,﹣1)两点,此时点 Q 的坐标为(0,2﹣ ) (2)当直线 l 与 x 轴不垂直时,可设其方程为 y=kx+2, 因为 M,N 在直线 l 上,可设点 M,N 的坐标分别为(x1,kx1+2) , (x2,kx2+2) ,则 , ,又|AQ| =(1+k )x ,
2 2 2



,即

=
2

…①
2

将 y=kx+2 代入
2 2

中,得(2k +1)x +8kx+6=0…②
2

由△ =(8k) ﹣24(2k +1)>0,得 k > 由②知 x1+x2=﹣ ,x1x2= ,代入①中化简得 x =
2

…③

因为点 Q 在直线 y=kx+2 上,所以 k= 由③及 k > 可知 0<x < ,即 x∈(﹣
2 2

,代入③中并化简得 10(y﹣2) ﹣3x =18 ,0)∪(0, )

2

2

由题意,Q(x,y)在椭圆 C 内,所以﹣1≤y≤1, 又由 10(y﹣2) ﹣3x =18 得(y﹣2) ∈[ , )且﹣1≤y≤1,则 y∈( ,2﹣ 所以,点 Q 的轨迹方程为 10(y﹣2) ﹣3x =18,其中 x∈(﹣
2 2 2 2 2

) )…13 分



) ,y∈( ,2﹣

点评: 本题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识,考查推理论证能力,运算求解能力,考查数形结合、 转化化归、分类与整合等数学思想,并考查思维的严谨性.本题是圆锥曲线中的常见题型,所考查的解题 方式较为典型,本题运算量较大易因为运算失误造成丢分.

6. (2014?深圳一模)如图,直线 l:y=x+b(b>0) ,抛物线 C:y =2px(p>0) ,已知点 P(2,2)在抛物线 C 上, 且抛物线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为 .

2

(1)求直线 l 及抛物线 C 的方程; (2)过点 Q(2,1)的任一直线(不经过点 P)与抛物线 C 交于 A、B 两点,直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记直 线 PA,PB,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3.问:是否存在实数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,试求出 λ 的值;若不 存在,请说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线的一般式方程;抛物线的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用点 P(2,2)在抛物线 C 上,可求抛物线方程,求出与直线 l 平行且与抛物线 C 相切的直线 l′方 程,利用两直线 l、l′间的距离即为抛物线 C 上的点到直线 l 的最短距离,可得直线 l 的方程; (2)直线 AB 的方程为 y﹣1=k(x﹣2) ,与抛物线联立,消去 x,利用韦达定理、斜率公式,求出 k1+k2,
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再由



,yM=

,求出 k3,即可得出结论.

解答: 解: (1)∵点 P(2,2)在抛物线 C 上,∴p=1, 2 ∴y =2x. …(2 分) 设与直线 l 平行且与抛物线 C 相切的直线 l′方程为 y=x+m, 2 2 代入抛物线方程可得 x +(2m﹣2)x+m =0, ∴△=(2m﹣2) ﹣4m =4﹣8m=0,得 m= ,则直线 l′方程为 y=x+ . ∵两直线 l、l′间的距离即为抛物线 C 上的点到直线 l 的最短距离, ∴有 ,解得 b=2 或 b=﹣1(舍去) .
2 2 2

∴直线 l 的方程为 y=x+2,抛物线 C 的方程为 y =2x. …(6 分) (2)由题意可设 AB 的斜率为 k,则直线 AB 的方程为 y﹣1=k(x﹣2) , 2 与抛物线联立,消去 x 得 ky ﹣2y﹣4k+2=0, 设点 A、B 的坐标分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 y1+y2= ,y1y2= ∵k1= ,k2= , ,…(9 分)



.…(10 分)





,yM=



∴k3=

=

,…(13 分)

∴k1+k2=2k3. 因此,存在实数 λ,使得 k1+k2=λk3 成立,且 λ=2.…(14 分) 点评: 本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系,切线方程,点到直线距离,最 值问题等基础知识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查数形结合、化归 与转化思想.

7. (2014?上饶一模)如图,椭圆 C1:

(a>b>0)和圆 C2:x +y =b ,已知圆 C2 将椭圆 C1 的长轴三等

2

2

2

分,椭圆 C1 右焦点到右准线的距离为

,椭圆 C1 的下顶点为 E,过坐标原点 O 且与坐标轴不重合的任意直线 l

与圆 C2 相交于点 A、B. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)若直线 EA、EB 分别与椭圆 C1 相交于另一个交点为点 P、M. ①求证:直线 MP 经过一定点; ②试问:是否存在以(m,0)为圆心, 求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由. 为半径的圆 G,使得直线 PM 和直线 AB 都与圆 G 相交?若存在,请

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由圆 C2 将椭圆 C1 的长轴三等分,可得 ;又椭圆 C1 右焦点到右准线的距离为
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,可得

,及 a =b +c 即可得出; (2)①由题意知直线 PE,ME 的斜率存在且不为 0,设直线 PE 的斜率为 k,则 PE:y=kx﹣1,与椭圆的 方程联立可得点 P 的坐标,同理可得点 M 的坐标,进而得到直线 PM 的方程,可得直线 PM 过定点. ②由直线 PE 的方程与圆的方程联立可得点 A 的坐标, 进而得到直线 AB 的方程. 假设存在圆心为 (m, 0) , 半径为 的圆 G,使得直线 PM 和直线 AB 都与圆 G 相交,则圆心到二直线的距离都小于半径 .即

2

2

2

(i) 解答:

, (ii)

.得出 m 的取值范围存在即可. ,则 a=3b.

解: (1)由圆 C2 将椭圆 C1 的长轴三等分,∴ ∴ , ,

又椭圆 C1 右焦点到右准线的距离为 ∴ ∴椭圆方程为 ,∴b=1,则 a=3, .

(2)①由题意知直线 PE,ME 的斜率存在且不为 0,设直线 PE 的斜率为 k,则 PE:y=kx﹣1,













去代 k,得





∴PM:

,即



∴直线 PM 经过定点



②由









则直线 AB:





,则 t∈R,直线 PM:

,直线 AB:y=5tx,

假设存在圆心为(m,0) ,半径为

的圆 G,使得直线 PM 和直线 AB 都与圆 G 相交,

则(i) 由(i)得 由(ii)得, 当 即

, (ii)

. 对 t∈R 恒成立,则 对 t∈R 恒成立, 时, ,得 , ,

时,不合题意;当 ,

∴存在圆心为(m,0) ,半径为 为 .

的圆 G,使得直线 PM 和直线 AB 都与圆 G 相交,所有 m 的取值集合

点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交点的坐标、直线与圆相 交问题转化为圆心到直线距离小于半径、点到直线的距离公式、恒成立问题的等价转化等基础知识与搅拌 机能力、考查了推理能力、计算能力,属于难题.

8. (2014?德州一模)已知点 A、B 分别是椭圆

=1(a>b>0)长轴的左、右端点,点 C 是椭圆短轴的一个

端点,且离心率 e=

,S△ ABC=

.动直线,l:y=kx+m 与椭圆于 M、N 两点.

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若椭圆上存在点 P,满足 (O 为坐标原点) ,求 λ 的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当 λ 取何值时,△ MNO 的面积最大,并求出这个最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 向量与圆锥曲线. 分析: (Ⅰ)由离心率及三角形的面积联立方程组,求出几何量,即可求椭圆的方程; (Ⅱ)直线方程代入椭圆方程,分类讨论,确定 P 的坐标,利用 P 在椭圆上,即可求 λ 的取值范围; (Ⅲ)求出|MN|,点 O 到直线 MN 的距离,利用面积公式,结合基本不等式,即可求△ MNO 面积. 解答:
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解: (Ⅰ)由题意,

,∴

∴椭圆的方程为


2 2 2

(Ⅱ)y=kx+m 代入椭圆方程整理可得(1+2k )x +4kmx+2m ﹣2=0. 设点 M、N 的坐标分别为 M(x1,y1) 、N(x2,y2) 、P(x0,y0) ,则 x1+x2=﹣ ,x1x2=

∴y1+y2=k(x1+x2)+2m= (1)当 m=0 时,点 M、N 关于原点对称,则 λ=0. (2)当 m≠0 时,点 M、N 不关于原点对称,则 λ≠0, ∵ ,∴(x1,y1)+(x2,y2)=λ(x0,y0) ,

∴x1+x2=λx0,y1+y2=λy0, ∴x0=﹣ ∵P 在椭圆上, ∴ 化简,得 4m (1+2k )=λ (1+2k ) . 2 ∵1+2k ≠0, 2 2 2 ∴有 4m =λ (1+2k ) .…① 2 2 2 2 2 2 又∵△=16k m ﹣4(1+2k ) (2m ﹣2)=8(1+2k ﹣m ) , 2 2 ∴由△ >0,得 1+2k >m .…② 2 将①、②两式,∵m≠0,∴λ <4, ∴﹣2<λ<2 且 λ≠0. 综合(1) 、 (2)两种情况,得实数 λ 的取值范围是﹣2<λ<2; (Ⅲ)由题意,|MN|= ,点 O 到直线 MN 的距离 d=
2 2 2 2 2

,y0=

∴S△ MNO=

=

=

由①得

,代入上式并化简可得 S△ MNO=



=2

∴S△ MNO≤ 当且仅当 λ =4﹣λ ,即 ∴当
2 2

时,等号成立 .
2 2 2

时,△ MNO 的面积最大,最大值为

点评: 本题主要考查待定系数法求圆锥曲线的方程,要注意椭圆的三个参数的关系为:a =b +c ;求解直线与椭圆 的位置关系问题,通常是联立方程组,利用韦达定理求解. 9. (2014?崇明县一模)已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O,且恰好与直线 l1: (1)求圆的标准方程; (2)设点 A 为圆上一动点,AN⊥x 轴于 N,若动点 Q 满足: 求动点 Q 的轨迹方程 C2; 相切. , (其中 m 为非零常数) ,试

(3)在(2)的结论下,当 最大值.

时,得到曲线 C,与 l1 垂直的直线 l 与曲线 C 交于 B、D 两点,求△ OBD 面积的

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;向量在几何中的应用;直线与圆的位置关系. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)设圆的半径为 r,圆心到直线 l1 距离为 d,则 .由此能求出圆的方程.
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(2)设动点 Q(x,y) ,A(x0,y0) ,AN⊥x 轴于 N,N(x0,0)由题意, (x,y)=m(x0,y0)+(1﹣m) (x0,0) ,所以 ,由此能求出动点 Q 的轨迹方程.

(3)

时,曲线 C 方程为

,设直线 l 的方程为 y=﹣x+b.设直线 l 与椭圆

交点 B

(x1,y1) ,D(x2,y2) ,联立方程 最大值. 解答:

,得 7x ﹣8bx+4b ﹣12=0.由此能求出△ OBD 面积的

2

2

解: (1)设圆的半径为 r,圆心到直线 l1 距离为 d,则 圆 C1 的方程为 x +y =4,2 分 (2)设动点 Q(x,y) ,A(x0,y0) ,AN⊥x 轴于 N,N(x0,0) 由题意, (x,y)=m(x0,y0)+(1﹣m) (x0,0) ,所以
2 2

,2 分

,2 分

即:

,将

代入 x +y =4,得

2

2

,3 分

(3)

时,曲线 C 方程为

,设直线 l 的方程为 y=﹣x+b

设直线 l 与椭圆

交点 B(x1,y1) ,D(x2,y2)

联立方程

得 7x ﹣8bx+4b ﹣12=0,1 分

2

2

因为△ =48(7﹣b )>0,解得 b <7,且 ∵点 O 到直线 l 的距离 ∴ , = ,2 分

2

2

,2 分 .

(当且仅当 b =7﹣b 即

2

2

时取到最大值) ,1 分

∴△OBD 面积的最大值为 .1 分. 点评: 本题考查圆的方程和椭圆方程的求法,考查三角形面积的最大值的求法,具体涉及到圆的简单性质、椭圆 的性质和应用、直线和圆锥曲线的位置关系的应用.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价 转化.

10. (2013?烟台二模)已知椭圆 M: :

+

=1(a>0)的一个焦点为 F(﹣1,0) ,左右顶点分别为 A,B.经过

点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C,D 两点. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)当直线 l 的倾斜角为 45°时,求线段 CD 的长; (Ⅲ)记△ ABD 与△ ABC 的面积分别为 S1 和 S2,求|S1﹣S2|的最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由焦点 F 坐标可求 c 值,根据 a,b,c 的平方关系可求得 a 值; (Ⅱ)写出直线方程,与椭圆方程联立消掉 y 得关于 x 的一元二次方程,利用韦达定理及弦长公式即可求 得|CD|;
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(Ⅲ)当直线 l 不存在斜率时可得,|S1﹣S2|=0;当直线 l 斜率存在(显然 k≠0)时,设直线方程为 y=k(x+1) (k≠0) ,与椭圆方程联立消 y 可得 x 的方程,根据韦达定理可用 k 表示 x1+x2,x1x2,|S1﹣S2|可转化为关于 x1,x2 的式子,进而变为关于 k 的表达式,再用基本不等式即可求得其最大值; 2 解答: 解: (I)因为 F(﹣1,0)为椭圆的焦点,所以 c=1,又 b =3, 所以 a =4,所以椭圆方程为
2

=1;

(Ⅱ)因为直线的倾斜角为 45°,所以直线的斜率为 1, 所以直线方程为 y=x+1,和椭圆方程联立得到
2

,消掉 y,得到 7x +8x﹣8=0,

所以△ =288,x1+x2= 所以|CD|=

,x1x2=﹣ , × = ;

|x1﹣x2|=

(Ⅲ)当直线 l 无斜率时,直线方程为 x=﹣1, 此时 D(﹣1, ) ,C(﹣1,﹣ ) ,△ ABD,△ ABC 面积相等,|S1﹣S2|=0, 当直线 l 斜率存在(显然 k≠0)时,设直线方程为 y=k(x+1) (k≠0) , 设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) , 和椭圆方程联立得到 ,消掉 y 得(3+4k )x +8k x+4k ﹣12=0,
2 2 2 2

显然△ >0,方程有根,且 x1+x2=﹣

,x1x2=



此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)| =2|k(x2+x1)+2k|= = ≤ = = , (k= 时等号成立)

所以|S1﹣S2|的最大值为 . 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解,考查学生综合运用知识分析问题解决问题 的能力,难度较大.

11. (2013?徐州三模)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E:

的离心率



A1,A2 分别是椭圆 E 的左、右两个顶点,圆 A2 的半径为 a,过点 A1 作圆 A2 的切线,切点为 P,在 x 轴的上方交 椭圆 E 于点 Q. (1)求直线 OP 的方程; (2)求 的值;

(3)设 a 为常数,过点 O 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点 B、C,分别交圆 A 点 M、N,记三角形 OBC 和三角形 OMN 的面积分别为 S1,S2.求 S1S2 的最大值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线的一般式方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)连结 A2P,则 A2P⊥A1P,且 A2P=a,根据已知条件可判断△ OPA2 为正三角形,从而可得 OP 斜率、 直线 OP 方程; (2)由(1)可得直线 A2P 的方程和 A1P 的方程,联立两方程可得 P 点横坐标,由离心率可化简椭圆方程,
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联立 A1P 的方程与椭圆方程可得 Q 点横坐标,而

=

,把各点横坐标代入上式即可求得比值;

(3)设 OM 的方程为 y=kx(k>0) ,代入椭圆方程可得 B 点坐标,由两点间距离公式可得 OB,用



替上面的 k 可得 OC,同理可得 OM,ON,根据三角形面积公式可表示出 S1?S2,变形后用基本不等式可其 最大值; 解答: 解: (1)连结 A2P,则 A2P⊥A1P,且 A2P=a, 又 A1A2=2a,所以∠A1A2P=60°. 又 A2P=A2O,所以△ OPA2 为正三角形, 所以∠POA2=60°, 所以直线 OP 的方程为 . (2)由(1)知,直线 A2P 的方程为 联立①②解得 . ①,A1P 的方程为 ②,

因为

,即

,所以





故椭圆 E 的方程为





解得



所以

=

= .

(3)不妨设 OM 的方程为 y=kx(k>0) ,

联立方程组

解得



所以





代替上面的 k,得



同理可得,





所以



因为



当且仅当 k=1 时等号成立, 所以 S1?S2 的最大值为 .

点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程及圆的方程,考查学生的运算能力,考查学生综合运用知 识分析问题解决问题的能力,能力要求较高.

12. (2013?温州二模)如图.直线 l:y=kx+1 与椭圆 C1:
2 2

交于 A,C 两点,A.C 在 x 轴两侧,B,

D 是圆 C2:x +y =16 上的两点.且 A 与 B.C 与 D 的横坐标相同.纵坐标同号. (I)求证:点 B 纵坐标是点 A 纵坐标的 2 倍,并计算||AB|﹣|CD||的取值范围; (II)试问直线 BD 是否经过一个定点?若是,求出定点的坐标:若不是,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;两点间的距离公式. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)设 A(x1,y1) ,B(x1,y2) ,分别代入椭圆、圆的方程可得
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,消掉 x1 得



由 y1,y2 同号得 y2=2y1,设 C(x3,y3) ,D(x3,y4) ,同理可得 y4=2y3,联立直线与椭圆方程消掉 y 得 x 2 的二次方程,由 A、C 在 x 轴的两侧,得 y1y3<0,代入韦达定理可求得 k 范围,而||AB|﹣|CD||=||y1|﹣ 2 |y3||=|y1+y3|=|k(x1+x3)+2|,再由韦达定理及 k 范围即可求得答案; (II)由斜率公式求出直线 BD 的斜率,由点斜式写出直线 BD 方程,再由点 A 在直线 l 上可得直线 BD 方 程,从而求得其所过定点. 解答: (I)证明:设 A(x1,y1) ,B(x1,y2) , 根据题意得: ? ,

∵y1,y2 同号,∴y2=2y1, 设 C(x3,y3) ,D(x3,y4) ,同理可得 y4=2y3, ∴|AB|=|y1|,|CD|=|y3|, 由 ?(4k +1)x +8kx﹣12=0,△ >0 恒成立,
2 2







∵A、C 在 x 轴的两侧,∴y1y3<0, ∴(kx1+1) (kx3+1)=k x1x3+k(x1+x3)+1= ∴ , ∈(0, ) ;
2

<0,

∴||AB|﹣|CD||=||y1|﹣|y3||=|y1+y3|=|k(x1+x3)+2|=

(II)解:∵直线 BD 的斜率

=2k,

∴直线 BD 的方程为 y=2k(x﹣x1)+2y1=2kx﹣2(kx1﹣y1) , ∵y1=kx1+1,∴直线 BD 的方程为 y=2kx+2, ∴直线 BD 过定点(0,2) . 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、两点间的距离公式,考查学生分析解决问题的能力,本题中多次用 到韦达定理,应熟练掌握.

13. (2013?松江区一模)对于双曲线 C:

,定义 C1:

,为其伴随曲线,

记双曲线 C 的左、右顶点为 A、B. (1)当 a>b 时,记双曲线 C 的半焦距为 c,其伴随椭圆 C1 的半焦距为 c1,若 c=2c1,求双曲线 C 的渐近线方程; (2)若双曲线 C 的方程为 x ﹣y =1,过点 点,求△ ON1N2 的面积(O 为坐标原点) (3)若双曲线 C 的方程为
2 2

且与 C 的伴随曲线相切的直线 l 交曲线 C 于 N1、N2 两

,弦 PQ⊥x 轴,记直线 PA 与直线 QB 的交点为 M,求动点 M 的轨迹方程.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;三角形的面积公式;双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用双曲线的 a、b、c 的关系及椭圆的 a、b、c1 的关系及双曲线的渐近线的方程即可得出; (2)根据直线与圆相切的性质即可求出切线的斜率,利用两点间的距离公式即可求出弦长|N1N2|,进而即 可求出面积; (3)设出点 P、Q 的坐标,利用点斜式得出直线 PA、QB 的方程,联立即可得出交点 M 的坐标,反解出点 P 的坐标,利用代点法即可求出轨迹. 解答: 解: (1)∵ , ,
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由 c=2c1,得

,即 a +b =4(a ﹣b )

2

2

2

2

可得



∴C 的渐近线方程为


2 2

(2)双曲线 C 的伴随曲线的方程为 x +y =1,设直线 l 的方程为 由 l 与圆相切知 即 3k =1+k
2 2



解得 当

, 时,设 N1、N2 的坐标分别为 N1(x1,y1) 、N2(x2,y2)





,即



∵ ∴|x1﹣x2|= =



,x1x2=﹣5. = .









由对称性知,当

时,也有



(3)设 P(x0,y0) ,则 Q(x0,﹣y0) ,又 A(﹣2,0) 、B(2,0) , ∴直线 PA 的方程为 …①

直线 QB 的方程为

…②

由①②得

∵P(x0,y0)在双曲线

上,



,∴



因此动点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆,其方程为



点评: 熟练掌握圆锥曲线的定义与性质及直线与圆锥曲线的相交、相切问题的解题模式及弦长公式、点到直线的 距离公式是解题的关键. 14. (2012?咸阳三模)已知抛物线 x =4y,过点 A(0,a) (其中 a 为正常数)任意作一条直线 l 交抛物线 C 于 M, N 两点,O 为坐标原点. (1)求 的值;
2

(2)过 M,N 分别作抛物线 C 的切线 l1,l2,试探求 l1 与 l2 的交点是否在定直线上,证明你的结论. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 综合题. 分析: (1)设直线 l 方程与抛物线方程联立,利用韦达定理及向量的数量积公式,即可求
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的值;

(2)求导数,可得切线方程,联立方程,即可得到 l1 与 l2 的交点在定直线 y=﹣a 上. 解答: 解: (1)设直线 l 方程为 y=kx+b,M(x1,y1) ,N(x2,y2) 由 消去 y 得 x ﹣4kx﹣4a=0,所以 x1+x2=4k,x1x2=﹣4a =﹣4ak +4ak +a=a .…(6 分)
2 2 2

∴ 故

(2)求导数,可得

,设 l1 方程为

,整理得

同理得 l2 方程为

…(9 分)

联立方程

x2×(1)﹣x1×(2)得

,∴

故 l1 与 l2 的交点在定直线 y=﹣a 上.…(13 分) 点评: 本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理,考查抛物线的切线,解题的关键是联立方程,确定切 线的方程,属于中档题.

15. (2012?武昌区模拟)已知椭圆

的离心率为 ,点 M(2,3) ,N(2,﹣3)为 C 上

两点,斜率为 的直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B(A,B 在直线 MN 两侧) . (I)求四边形 MANB 面积的最大值; (II)设直线 AM,BM 的斜率为 k1,k2,试判断 k1+k2 是否为定值.若是,求出这个定值;若不是,说明理由.

考 直线与圆锥曲线的综合问题. 点: 专 计算题;综合题;压轴题. 题: 分 (1)设根据离心率椭圆的方程,把 M 点代入即可求得 c,则椭圆的方程可得.设直线 l 的方程,A(x1,y1) , 析:B(x2,x2) ,直线与椭圆方程联立消去 y,根据韦达定理表示出 x1+x2 和 x1x2 进而代入四边形形面积表达式中, 根据 m 确定四边形的面积最大值. (2)设直线 MA、MB 的方程,进而与椭圆方程联立分别求出 A,B 的横坐标,进而求得两点的坐标的表达式,
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表示出直线 AB 的斜率,根据斜率为 整理可得 k1+k2=0. 解 (I) 答:解:

,设椭圆

,代入 M(2,3) ,得 c=2,

所以椭圆 C 的方程为 设直线 l 的方程为 (m∈R) ,A(x1,y1) ,B(x2,x2)



,得 x +mx+m ﹣12=0
2

2

2

则 x1+x2=﹣m,x1x2=m ﹣12 又 = 显然当 m=0 时,SMANB= .

(II)设直线 MA、MB 的方程分别为 y=k1(x﹣2)+3(5)y=k2(x﹣2)+3(k1,2∈R) 2 2 2 2 将(5)代入(4)得: (16k1 +12)x +(96k1﹣64k1 )x+64k1 ﹣192k1﹣48=0 则 ∴



,同理:

化简得:k1 =k2 ∵k1≠k2∴k1=﹣k2 即 k1+k2=0 为定值. 点 本题主要考查了直线与椭圆的关系.解题的关键是充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用. 评:

2

2

16. (2012?泰州二模)已知椭圆

(a>b>0)的右焦点为 F1(2,0) ,离心率为 e.

(1)若 e=

,求椭圆的方程;

(2)设 A,B 为椭圆上关于原点对称的两点,AF1 的中点为 M,BF1 的中点为 N,若原点 O 在以线段 MN 为直径 的圆上. ①证明点 A 在定圆上; ②设直线 AB 的斜率为 k,若 k ,求 e 的取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 2 2 2 (1)利用离心率的计算公式 及 b =a ﹣c 即可得出椭圆的标准方程;
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(2)利用①的结论,设出直线 AB 的方程与椭圆的方程联立即可得出关于 a、b 与 k 的关系式,再利用斜 率与 a、b 的关系及其不等式的性质即可得出.

解答:

解: (1)由

= ,c=2,得 a=

,b=

=2.

故所求椭圆方程为



(2)设 A(x1,y1) ,则 B(﹣x1,﹣y1) ,故 ①由题意,得 .化简,得





,∴点 A 在以原点为圆心,2 为半径的圆上.

②设 A(x1,y1) ,则

得到




4 2


2 2

,代入上式整理,得 k (2e ﹣1)=e ﹣2e +1; .

2

2

4

2

∵e ﹣2e +1>0,k >0,∴2e ﹣1>0,∴



≥3.化简,得

.解之,得





故离心率的取值范围是



点评: 熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、参数 a、b、c 的关系、中点坐标公式、直线方程、离心率的计算公式、 不等式的基本性质是解题的关键. 17. (2012?台州一模)已知抛物线 C1:x =2py(p>0)上纵坐标为 p 的点到其焦点的距离为 3. (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ)过点 P(0,﹣2)的直线交抛物线 C1 于 A,B 两点,设抛物线 C1 在点 A,B 处的切线交于点 M, (ⅰ)求点 M 的轨迹 C2 的方程; (ⅱ) 若点 Q 为 (ⅰ) 中曲线 C2 上的动点, 当直线 AQ, BQ, PQ 的斜率 kAQ, kBQ, kPQ 均存在时, 试判断 是否为常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)利用抛物线的定义,可求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ) (ⅰ)直线方程与抛物线方程联立,求得 k 的范围,求出抛物线在 A,B 处的切线方程,联立可求点 M 的轨迹 C2 的方程;
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2

(ⅱ)表示出 解答:

,利用韦达定理,化简可得结论.

解: (Ⅰ)由题意得
2

,则 p=2,…(3 分)

所以抛物线 C1 的方程为 x =4y. …(5 分) (Ⅱ) (ⅰ)设过点 P(0,﹣2)的直线方程为 y=kx﹣2,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

由 由△ >0,得

得 x ﹣4kx+8=0. 或 ,x1+x2=4k,x1x2=8.…(7 分) , ,

2

抛物线 C1 在点 A,B 处的切线方程分别为











所以点 M 的轨迹 C2 的方程为 (ⅱ)设 Q(m,2) ( 则 ,

或 ) , .…(11 分)

) .…(10 分)

所以

=

…(12 分)

=

=

=

=

=

=2,



为常数 2.

…(15 分)

点评: 本题考查抛物线的定义与标准方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查抛物线的切线方程,考查韦达定 理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.

18. (2012?韶关二模)在直角坐标系 xOy 中,动点 P 与定点 F(1,0)的距离和它到定直线 x=2 的距离之比是 设动点 P 的轨迹为 C1,Q 是动圆 (1<r<2)上一点.



(1)求动点 P 的轨迹 C1 的方程,并说明轨迹是什么图形; (2)设曲线 C1 上的三点 与点 F 的距离成等差数列,若线段 AC

的垂直平分线与 x 轴的交点为 T,求直线 BT 的斜率 k; (3)若直线 PQ 与 C1 和动圆 C2 均只有一个公共点,求 P、Q 两点的距离|PQ|的最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;直线的斜率;轨迹方程. 专题: 综合题. 分析: (1)由已知,得

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,由此能求出动点 P 的轨迹 C1 的方程和轨迹是什么图形.

(2)由已知可得





,因为

2|BF|=|AF|+|CF|,所以 x1+x2=2,故线段 AC 的中点为

,其垂直平分线方程为

,由此能求出直线 BT 的斜率. (3)设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2) ,直线 PQ 的方程为 y=kx+m,因为 P 既在椭圆 C1 上又在直线 PQ 上,由 此能求出 P、Q 两点的距离|PQ|的最大值. 解答: 解: (1)由已知,得 将两边平方,并化简得 故轨迹 C1 的方程是 它是长轴、短轴分别为 (2)由已知可得 因为 2|BF|=|AF|+|CF|,所以 即得 x1+x2=2,①…(5 分) . 故线段 AC 的中点为 , , 、2 的椭圆…(4 分) . , = , , , ,…(2 分) . ,…(4 分) .

其垂直平分线方程为

,②…(6 分) .

因为 A,C 在椭圆上,故有





两式相减,得:



将①代入③,化简得

,④…(7 分) .

将④代入②,并令 y=0 得, 即 T 的坐标为



.…(8 分) .

所以

.…(9 分) .

(3)设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2) , 直线 PQ 的方程为 y=kx+m, 因为 P 既在椭圆 C1 上又在直线 PQ 上,

从而有
2 2 2

∴(2k +1)x +4kmx+2(m ﹣1)=0…(10 分) . 2 2 2 由于直线 PQ 与椭圆 C1 相切,故△ =(4km) ﹣4×2(m ﹣1) (2k +1)=0 从而可得 m =1+2k ,
2 2


2 2 2

同理,由 Q 既在圆 C2 上又在直线 PQ 上,可得 m =r (1+k ) ,

…(12 分)





所以

=

=

…(13 分) .



,当且仅当

时取等号,

故 P、Q 两点的距离|PQ|的最大值 .…(14 分) . 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.综合性 强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.

19. (2012?泉州模拟)已知椭圆 C 的方程为: (1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点 P(x0,y0)满足
2 2

,其焦点在 x 轴上,离心率 e=



,其中 M,N 是椭圆 C 上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为﹣ ,求

证:x0 +2y0 为定值. (3)在(2)的条件下,问:是否存在两个定点 A,B,使得|PA|+|PB|为定值?若存在,给出证明;若不存在,请 说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;圆锥曲线的综合. 专题: 综合题. 分析: (1)根据椭圆焦点在 x 轴上,离心率 ,即可求出椭圆的标准方程;
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(2)假设 M,N 的坐标,利用向量条件寻找坐标之间的关系,结合点 M,N 在椭圆 明 为定值;

上,即可证

(3)由(2)知点 P 是椭圆

上的点,根据椭圆的定义可得该椭圆的左右焦点满足|PA|+|PB|为定值.

解答: (1)解:由 ,b =2,解得
2

,故椭圆的标准方程为



(2)证明:设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则由 即 x0=x1+2x2,y0=y1+2y2, ∵点 M,N 在椭圆 ∴ 上,

,得(x0,y0)=(x1,y1)+2(x2,y2) ,

设 kOM,kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题意知, ∴x1x2+2y1y2=0, 故 = 即 (定值) ,



(3)证明:由(2)知点 P 是椭圆 ∵ ,

上的点,

∴该椭圆的左右焦点 满足 为定值, 因此存在两个定点 A,B,使得|PA|+|PB|为定值. 点评: 本题考查椭圆的标准方程与几何性质,考查向量知识的运用,考查存在性问题的探究,解题的关键是利用 向量知识,将向量坐标化.

20. (2012?南京二模)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,以原点

为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x﹣y+2=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(0,1) ,Q(0,2) .设 M,N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点,直线 PM 与 QN 相交于点 T, 求证:点 T 在椭圆 C 上.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x﹣y+2=0 相切,可得 b 的值,利用离心率
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,即可求得椭圆 C 的方程;

(2)设 M,N 的坐标分别为(x0,y0) , (﹣x0,y0) ,求出直线 PM、QN 的方程,求得 x0,y0 的值,代入 椭圆方程,整理可得结论. 解答: (1)解:由题意,以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x﹣y+2=0 相切,∴b= 因为离心率 e= = ,所以 = ,所以 a=2 . = .

所以椭圆 C 的方程为



(2)证明:由题意可设 M,N 的坐标分别为(x0,y0) , (﹣x0,y0) ,则直线 PM 的方程为 y= ① 直线 QN 的方程为 y= x+2. ②…(8 分)

x+1,

设 T(x,y) ,联立①②解得 x0=

,y0=



…(11 分)

因为

,所以 (

)+ (

2

) =1.

2

整理得

=(2y﹣3) ,所以

2

﹣12y+8=4y ﹣12y+9,即

2



所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上.…(14 分) 点评: 本题考查椭圆的标准方程与性质,考查直线方程,考查学生的计算能力,属于中档题.

21. (2012?闵行区三模)已知椭圆 T: 一个顶点, =0.

+

=1(a>b>0)的左、右焦点依次为 F1,F2,点 M(0,2)是椭圆的

?

(1)求椭圆 T 的方程; (2)设 G 是点 F1 关于点 F2 的对称点,在椭圆 T 上是否存在两点 P、Q,使 = + ,若存在,求出这两点,

若不存在,请说明理由; (3)设经过点 F2 的直线交椭圆 T 于 R、S 两点,线段 RS 的垂直平分线与 y 轴相交于一点 T(0,y0) ,求 y0 的取 值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 分析: (1)由已知得 b=2,由 ? =0 可得 c,根据 a =b +c 可求得 a;
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(2)由(1)易求 F1、F2、G 的坐标,假设存在两点 P、Q,使

=

+

,则四边形 PF1QG 是平行四边

形,且点 P、Q 关于点 F2 对称,进而可得 PQ⊥x 轴,联立方程组可解得两点 P、Q 坐标;

(3)当 RS⊥x 轴时,易知 y0=0;当 RS 与 x 轴不垂直时,可设直线 RS 的方程为 y=k(x﹣2) (k≠0) .联立 直线方程与椭圆方程消掉 y 得 x 的二次方程,设 R(x3,y3) ,S(x4,y4) ,线段 RS 的中点为 D(xD,yD) , 由韦达定理及中点坐标公式可求得 D 点坐标,利用点斜式可得线段 RS 的垂直平分线方程,令 x=0 可得 y0, 按 k<0,k>0 两种情况利用基本不等式即可求得 y0 的范围; 解答: 解: (1)由已知可得 b=2, 设半焦距为 c,则 所以 a =b +c =8, 所求椭圆方程为 .
2 2 2

=(﹣c,﹣2)?(c,﹣2)=﹣c +4=0,得 c =4,

2

2

(2)由(1)可求得 F1、F2、G 的坐标分别为(﹣2,0) 、 (2,0) 、 (6,0) , 设在椭圆 T 上存在两点 P、Q,使 称; 由椭圆的对称性可知,PQ⊥x 轴,且 PQ 过点 F2,解 所以在椭圆 T 上存在两点 P(2, ) 、Q(2,﹣ ) ,使 = 得: , = + ,则四边形 PF1QG 是平行四边形,且点 P、Q 关于点 F2 对

+



(3)当 RS⊥x 轴时,显然 y0=0. 当 RS 与 x 轴不垂直时,可设直线 RS 的方程为 y=k(x﹣2) (k≠0) . 由 消去 y 整理得, (1+2k )x ﹣8k x+8(k ﹣1)=0.
2 2 2 2

设 R(x3,y3) ,S(x4,y4) ,线段 RS 的中点为 D(xD,yD) ,则 x3+x4=



所以

=

,yD=k(xD﹣2)=



线段 RS 的垂直平分线方程为 y+

=﹣ (x﹣

) .

在上述方程中令 x=0,得

=



当 k<0 时, +2k≤﹣2

,所以﹣ , ].

≤y0<0;当 k>0 时, +2k≥2

,0<y0



综上,y0 的取值范围是[﹣

点评: 本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系,考查分类讨论思想,考查学生综合运用所学知识分析解决问 题的能力.

22. (2012?洛阳一模)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 AB 平行于 OM,且交椭圆于 A,B 两点. (1)求椭圆的方程; (2)求直线 AB 在 y 轴上截距的取值范围;

,且经过点 M(2,1) ,直线

(3)记直线 MA,MB 斜率分别为 k1,k2.试问 k1+k2 是否为定值?若是,求出 k1+k2 的值,否则,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设出椭圆方程,利用椭圆的离心率为 ,且经过点 M(2,1) ,可得方程组,求出几何量,即可求得
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椭圆的方程; (2)设出直线 AB 的方程,代入椭圆方程,利用判别式,即可求直线 AB 在 y 轴上截距的取值范围; (3)利用韦达定理,结合直线的斜率公式,化简即可得到结论. 解答: 解: (1)设椭圆方程为

∵椭圆的离心率为

,且经过点 M(2,1) ,



∴a =8,b =2 ∴椭圆方程为 ; ,∴可设直线 AB 的方程为
2

2

2

(2)∵直线 AB∥OM,
2

代入椭圆方程,可得 x +2mx+2m ﹣4=0 2 2 ∴△=(2m) ﹣4(2m ﹣4)>0 ∴﹣2<m<2 当 m=0 时,x=±2,这与直线 AB∥OM 相矛盾,∴m≠0 ∴直线 AB 在 y 轴上截距的取值范围是(﹣2,0)∪(0,2) ; (3)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则
2 2


2



由 x +2mx+2m ﹣4=0,可得 x1+x2=﹣2m,x1x2=2m ﹣4, ∴k1+k2= = =0

即 k1+k2 为定值 0. 点评: 本题考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学 生分析解决问题的能力,属于中档题.

23. (2012?泸州一模)已知椭圆

的长轴长是焦距的 2 倍,右准线方程为 x=4.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知点 D 坐标为(4,0) ,椭圆 C 上动点 Q 关于 x 轴的对称点为点 P,直线 PD 交椭圆 C 于点 R(异于点 P) , 求证:直线 QR 过定点. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)根据椭圆 的长轴长是焦距的 2 倍,右准线方程为 x=4,可求几何量,从
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而求出椭圆 C 的方程; (Ⅱ)先猜想定点坐标为 A(1,0) ,再设 Q(m,n) ,则 P(m,﹣n) ,证明直线 PD 与直线 QA 的交点恒 在椭圆上,从而得证. 解答: (Ⅰ)解:∵椭圆 ∴2a=2(2c) ,∴a=2c ∵右准线方程为 x=4,∴
2

的长轴长是焦距的 2 倍

,∴a =4c

2

∴4c =4c,∴c=1,∴a=2,∴b=

所以椭圆 C 的方程为: (Ⅱ)证明:不妨取 Q(0, ∴直线 PD 的方程为 代入椭圆方程可得:5x ﹣8x=0 ∴x=0,或 x= ∴R( ,﹣ )
2

; ) ,则 P(0,﹣ ,即 )

∴直线 QR 的方程为 令 y=0,可得 x=1,故猜想定点坐标为 A(1,0) 设 Q(m,n) ,则 P(m,﹣n) ,∴直线 PD 的方程为: 直线 QA 的方程为 ② ①

联立①②可得

,解得

代入椭圆方程的左边可得

+

∵Q(m,n)在椭圆上,∴

,∴



+

=

+

=

=1

即直线 PD 与直线 QA 的交点恒在椭圆上 故直线 QR 过定点(1,0) . 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线恒过定点,利用先猜后证的方法,解题的关键是确定定点的坐标,属 于中档题.

24. (2012?泸州二模)已知双曲线方程

,椭圆方程

,A、D 分别是双曲线和椭

圆的右准线与 x 轴的交点,B、C 分别为双曲线和椭圆的右顶点,O 为坐标原点,且|OA|,|OB|,|OC|,|OD|成等比 数列. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若 E 是椭圆长轴的左端点,动点 M 满足 MC⊥CE,连接 EM,交椭圆于点 P,在 x 轴上有异于点 E 的定点 Q, 使得以 MP 为直径的圆恒过直线 CP、MQ 的交点,求点 Q 的坐标. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)由双曲线方程 数列,可得 可求得椭圆的方程; ,可求

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,根据|OA|,|OB|,|OC|,|OD|成等比 ,根据 D 是椭圆的右准线与 x 轴的交点,C 为椭圆的右顶点,即

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,C(2,0) ,E(﹣2,0) ,将 y=k(x+2)代入

整理得(1+2k )x +8k x+8k

2

2

2

2

﹣4=0, 可求 P 的坐标; 设Q (x0, 0) , x0≠﹣2, 若以 MP 为直径的圆恒过直线 CP、 MQ 的交点, 则 MQ⊥CP, 从而有 解答: 解: (Ⅰ)由已知 A 是双曲线的右准线与 x 轴的交点,B 为双曲线的右顶点,双曲线方程 ∴ ∵|OA|,|OB|,|OC|,|OD|成等比数列. ∴ ∵D 是椭圆的右准线与 x 轴的交点,C 为椭圆的右顶点, ∴ ∴ ∴所求椭圆的方程为 ; , ,进而可知存在 Q(0,0) ,使得以 MP 为直径的圆恒过直线 CP、MQ 的交点.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,C(2,0) ,E(﹣2,0) ,设直线 EM 的方程为:y=k(x+2) ,P(x1,y1) ∵MC⊥CE,∴M(2,4k) 将 y=k(x+2)代入 整理得(1+2k )x +8k x+8k ﹣4=0
2 2 2 2



∴ ∴

∴P(



设 Q(x0,0) ,x0≠﹣2 若以 MP 为直径的圆恒过直线 CP、MQ 的交点,则 MQ⊥CP ∴







=0

∴ ∴x0=0 ∴存在 Q(0,0) ,使得以 MP 为直径的圆恒过直线 CP、MQ 的交点. 点评: 本题重点考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,解题的关键是将两直 线与椭圆方程联立,将向量关系转化为坐标关系. 25. (2012?黄浦区一模)已知两点 A(﹣1,0) 、B(1,0) ,点 P(x,y)是直角坐标平面上的动点,若将点 P 的 横坐标保持不变、纵坐标扩大到 倍后得到点 Q(x, )满足 .

(1)求动点 P 所在曲线 C 的轨迹方程; (2)过点 B 作斜率为 的直线 l 交曲线 C 于 M、N 两点,且满足 ,又点 H 关于原点 O 的对称

点为点 G,试问四点 M、G、N、H 是否共圆,若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;向量在几何中的应用;圆锥曲线的轨迹问题. 专题: 综合题. 分析: (1)确定向量 AQ,BQ 的坐标,利用 ,即可得到动点 P 所在曲线 C 的轨迹方程;
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(2)假设 l 的方程与椭圆方程联立,利用向量知识,确定 M,N,G,H 的坐标,进而确定点到四点的距离 相等,从而可得结论. 解答: 解: (1)依据题意,有 ∵
2 2





∴x ﹣1+2y =1.

∴动点 P 所在曲线 C 的轨迹方程是 (2)因直线 l 过点 B,且斜率为 k=﹣

. ,故有 l:y=﹣ .

联立方程组

,得 2x ﹣2x﹣1=0.

2

设两曲线的交点为 M(x1,y1) 、N(x2,y2) , ∴x1+x2=1,y1+y2= 又 .

,点 G 与点 H 关于原点对称, ) 、G(1, ) . = (x﹣ ) ,l2: .

于是,可得点 H(﹣1,﹣

若线段 MN、GH 的中垂线分别为 l1 和 l2,则有 l1:y﹣ 联立方程组,解得 l1 和 l2 的交点为 O1( ,﹣ ) .

因此,可算得|O1H|=

=

,|O1M|= ) ,半径为 .

=



所以,四点 M、G、N、H 共圆,圆心坐标为 O1( ,﹣

点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查向量知识的运用,考查四点共圆,正确运用向量知识,确定圆心坐标与半 径是关键.

26. (2012?葫芦岛模拟)如图,椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右顶点为 A1,A2,左右焦点为 F1,F2,其中

F1,F2 是 A1A2 的三等分点,A 是椭圆上任意一点,且|AF1|+|AF2|=6. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 AF1 与椭圆交于另一点 B,与 y 轴交于一点 C,记 m= 求 m+n 的取值范围. ,n= ,若点 A 在第一象限,

考 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 点: 分 (1)根据 F1,F2 是 A1A2 的三等分点,可得 a=3c,利用|AF1|+|AF2|=6,可得 a=3,从而可得椭圆 C 的方程; 析:(2)当直线与 x 轴重合时,显然不合题意;当直线不与 x 轴重合时,设直线 AF1 的方程代入到椭圆方程并消
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元整理利用韦达定理及 C 点坐标,确定 m= 取值范围. 解 解: (1)∵F1,F2 是 A1A2 的三等分点,∴a=3c 答:又∵|AF1|+|AF2|=6,∴a=3 2 ∴c=1,∴b =8 ∴椭圆 C 的方程为: + =1…(4 分)

=

,n=

=

,由此可确定 m+n 的

(2)F1(﹣1,0) ,当直线与 x 轴重合时,显然不合题意, 当直线不与 x 轴重合时,设直线 AF1 的方程为:x=my﹣1 2 2 代入到椭圆方程并消元整理得: (8m +9)y ﹣16my﹣64=0 …① 2 2 △ =16 ×9(m +1)>0 恒成立; 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1,y2 是方程①的两个解,由韦达定理得:y1+y2= 在 x=my﹣1 中,令 x=0 得 C 点坐标为(0, )…(7 分) ,y1y2=﹣

m=

=

=

=

(∵A 在第一象限,∴x1=my1﹣1>0,y1>0)

同理:n=

=

…(9 分)

∴m+n=

+

=

=

=2+

∵A 在第一象限,∴C 点在椭圆内部 ∴0< <2
2

,∴m >

2

∴8m ﹣1>0,∴m+n>2 ∴m+n 的取值范围是(2,+∞)…(12 分) 点 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,确定 m,n 的表示是关键. 评:

27. (2012?贵州模拟)椭圆 C:

的左、右焦点分别为 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,O 是坐标 .

原点,C 的右顶点和上顶点分别为 A、B,且△ AOB 的面积为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)过点 P(4,0)作与 x 轴不重合的直线 l 与 C 交于相异两点 M、N,交 y 轴于 Q 点,证明 值,并求这个定值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.

为定

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专题: 综合题;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)利用椭圆的左、右焦点分别为 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,O 是坐标原点,C 的右顶点和上顶点分别 为 A、B,且△ AOB 的面积为 ,建立方程组,即可求得椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 l 的方程, 代入椭圆方程, 可得一元二次方程, 利用韦达定理, 及三角形的相似比 即可证得结论. 解答: (Ⅰ)解:依题意得 …(3 分) ,

解得

,故椭圆 C 的方程为



…(5 分)

(Ⅱ)证明:依题意可设直线 l 的方程为 x=ky+4…(6 分) 由 ,消去 x 可得(4k +5)y +32ky+44=0
2 2

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,Q(0,y3) ,则

…(8 分)

又由直线 l 的方程 x=ky+4 知

由三角形的相似比得 注意到 y1y2>0, ∴|y1|+|y2|=|y1+y2|





为定值



…(12 分)

点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,联立方程,正确表示比值 是关键.

28. (2012?崇明县二模)已知曲线 C 上动点 P(x,y)到定点 F1( . (1)求曲线 C 的轨迹方程;

,0)与定直线 l1:x=

的距离之比为常数

(2)若过点 Q(1, )引曲线 C 的弦 AB 恰好被点 Q 平分,求弦 AB 所在的直线方程; (3)以曲线 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T: (x+2) +y =r (r>0) ,设圆 T 与曲线 C 交于点 M 与点 N,求 最小值,并求此时圆 T 的方程.
2 2 2



考点: 圆锥曲线的共同特征;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;向量与圆锥曲线. 分析: (1)利用动点 P(x,y)到定点 F1( ,0)与定直线 l1:x=
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的距离之比为常数

,建立方程,化

简,即可得到椭圆的标准方程; (2)由题意,可知斜率 k 存在,设 l:y﹣ =k(x﹣1)代入椭圆方程,消去 y 可得一元二次方程,利用过 点 Q(1, )引曲线 C 的弦 AB 恰好被点 Q 平分,即可求直线的斜率,从而可得直线的方程; (3)点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,不妨设 y1>0,用坐标表示出 用配方法,确定最小值为﹣ ,可得 M 的坐标,从而可求圆 T 的方程. 解答: 解: (1)∵动点 P(x,y)到定点 F1( ,0)与定直线 l1:x= 的距离之比为常数 . ,利





所以椭圆的标准方程为


2 2

(2)由题意,可知斜率 k 存在,设 l:y﹣ =k(x﹣1)代入椭圆方程,消去 y 可得(1+4k )x ﹣4k(2k ﹣1)x+(1﹣2k) ﹣4=0 因为过点 Q(1, )引曲线 C 的弦 AB 恰好被点 Q 平分,所以 ,解得 k=﹣ .
2

此时△ >0,所以直线 l:y﹣ =

(x﹣1) ,即 l:y=



(3)点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,不妨设 y1>0. 由于点 M 在椭圆 C 上,所以 由已知 T(﹣2,0) ,则 ∴ 由于﹣2<x1<2,故当 x1=﹣ 时, 此时 . , = 取得最小值为﹣ . . , .

,故 M(﹣ , ) ,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 .

故圆 T 的方程为:

点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,正确运用韦达定理是关键.

29. (2012?成都模拟)已知 m>1,直线 l:x﹣my﹣

=0,椭圆 C:

+y =1,F1、F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点.

2

(I)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (II)当直线 l 与椭圆 C 相离、相交时,求 m 的取值范围; (III)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,△ AF1F2,△ BF1F2 的重心分别为 G、H.若原点 O 在以线段 GH 为直径 的圆内,求实数 m 的取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线的一般式方程;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)写出右焦点 F2 的坐标,代入直线 l 的方程,即可求得 m 值,从而得到 l 的方程,注意 m 范围; (II)直线与椭圆方程联立消去 x,得 y 的二次方程,由△ <0 得相离时 m 的范围,由△ >0 得相交时 m 的 范围; (III)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .根据(II)由判别式大于 0 求得 m 的范围,且根据韦达定理表示出 y1+y2
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和 y1y2,根据



,可知 G(



) ,H(



) ,表示出|GH| ,设 M 是 GH 的中点,

2

则可表示出 M 的坐标, 进而根据 2|MO|<|GH|整理可得 x1x2+y1y2<0 把 x1x2 和 y1y2 的表达式代入求得 m 的 范围,最后综合可得答案. 解答: 解: (Ⅰ)解:因为直线 l:x﹣my﹣ 所以 ﹣ =0,得 m =2,
2

=0,经过 F2(

,0) ,

又因为 m>1,所以 m= , 故直线 l 的方程为 x﹣ y﹣1=0.

(II)由

消去 x 得 2y +my+

2

﹣1=0,

由△ =m ﹣8(

2

﹣1)=﹣m +8<0,得 m<﹣2

2

,或 m>2 ,或 m>2

,由△ >0 得﹣2

<m<2



所以当直线与椭圆相离时 m 的取值范围是 m<﹣2 ﹣2 <m<2 ; (III)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 由(II)知,△ =m ﹣8(
2 2

;当直线与椭圆相交时 m 的取值范围是

﹣1)=﹣m +8>0,得 m <8,且有 y1+y2=﹣ ,y1y2=

2



由于 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,故 O 为 F1F2 的中点, 由 , ,可知 G( , ) ,H( , )

|GH| =

2

+



设 M 是 GH 的中点,则 M(



) ,

由题意可知 2|MO|<|GH|,即 4[ x1x2+y1y2<0,

]<

+

,即

而 x1x2+y1y2=(my1+ 所以(

) (my2+
2

)+y1y2=(m +1) (

2

﹣ ) ,

﹣ )<0,即 m <4,

又因为 m>1 且△ >0, 所以 1<m<2.

点评: 本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思 想方法和综合解题能力. 30. (2012?长宁区二模)设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,过 F 且垂直于 x 轴的直线与抛物线交于 P1,P2 两点,已知|P1P2|=8. (1)求抛物线 C 的方程; (2)设 m>0,过点 M(m,0)作方向向量为 的直线与抛物线 C 相交于 A,B 两点,求使∠AFB
2

为钝角时实数 m 的取值范围; (3)①对给定的定点 M(3,0) ,过 M 作直线与抛物线 C 相交于 A,B 两点,问是否存在一条垂直于 x 轴的直线 与以线段 AB 为直径的圆始终相切?若存在,请求出这条直线;若不存在,请说明理由. ②对 M(m,0) (m>0) ,过 M 作直线与抛物线 C 相交于 A,B 两点,问是否存在一条垂直于 x 轴的直线与以线 段 AB 为直径的圆始终相切?(只要求写出结论,不需用证明) 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;向量在几何中的应用. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据|P1P2|=8,可得 2p=8,从而可得抛物线 C 的方程;
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(2)直线方程代入 y =8x 得一元二次方程,用坐标表示向量,利用∠AFB 为钝角,可得

2

,从而

可得不等式,由此可求实数 m 的取值范围; 2 (3)①设过 M 所作直线方程为 y=k(x﹣3)代入 y =8x,求出|AB|,设存在直线 x=x0 满足条件,则可得 对任意 k 恒成立, 此时直线不存在; ②对参数 m 讨论,可得结论. 2 解答: 解: (1)由条件得 2p=8,∴抛物线 C 的方程为 y =8x;…. (4 分) (2)直线方程为 代入 y =8x 得 3x ﹣(6m+8)x+3m =0, , ,
2 2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,F(2,0) ,则 ∴ ∵∠AFB 为钝角,∴ 即 ∴ ,…. (8 分) .…. (6 分)

,∴(x1﹣2) (x2﹣2)+y1y2<0, ,

因此 3m ﹣36m﹣4<0,∴ 又由 m>0,则综上可得
2

2

, .…. (10 分)
2

(3)①设过 M 所作直线方程为 y=k(x﹣3)代入 y =8x 得 ky ﹣8y﹣24k=0,…. (11 分) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ,



,∴AB 中点

,…. (12 分)



.…. (13 分)

设存在直线 x=x0 满足条件,则 ∴

,…. (14 分) 对任意 k 恒成立,



无解,∴这样的直线不存在. …. (16 分)

②当 m=2 时,存在直线 x=﹣2 满足条件;…. (17 分) 当 m≠2 且 m>0 时,直线不存在. …. (18 分) 点评: 本题考查抛物线的标准方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查向量知识的运用,正确运用韦达定理是 关键.


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