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高二数学-直线与方程典型习题(教师版)


【知识点一:倾斜角与斜率】 (1)直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点:1、与 x 轴相交;2、x 轴正向;3、直线向上方向。 ②直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0
0 0 ③倾斜角 ? 的范围 0 ? ? ? 180
0

(2)直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为 90 的直线斜率不存在. 记作

k ? tan ? (? ? 900 )
0 ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, ? ? 0 , k ? tan 0 ? 0
0
0

⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, ? ? 90 , k 不存在.
0

②经过两点 P 的直线的斜率公式是 k ) x1 ? x2) 1 ( x1 , y1 ), P( x2 , y2( ③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率. (3)求斜率的一般方法: ①已知直线上两点,根据斜率公式 k ?

?

y2 ? y1 x2 ? x1

y2 ? y1 ( x2 ? x1 ) 求斜率; x2 ? x1

②已知直线的倾斜角 ? 或 ? 的某种三角函数根据 k ? tan ? 来求斜率; (4)利用斜率证明三点共线的方法: 已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) ,若 x1 ? x2 ? x3或k AB ? kBC ,则有 A、B、C 三点共线。 【知识点二:直线平行与垂直】 (1)两条直线平行:对于两条不重合的直线 l1 , l2 ,其斜率分别为 k1 , k2 ,则有 l1 // l 2 ? k1 ? k 2 特别地,当直线 l1 , l2 的斜率都不存在时, l1与l2 的关系为平行 (2)两条直线垂直:如果两条直线 l1 , l2 斜率存在,设为 k1 , k2 ,则有 l1 ? l 2 ? k1 ? k 2 ? -1 注:两条直线 l1 , l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确; 由两直线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直;反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1。如果 l1 , l2 中 有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 0 时, l1与l2 互相垂直. (2)线段的中点坐标公式

若点P 1, P 2的坐标分别是( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),

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x1 ? x2 ? x ? ? ? 2 且线段PP 1 2的中点M ( x, y )的坐标为 ? y ? y ? 1 ? y2 ? ? 2
【知识点四 直线的交点坐标与距离】 (1)两条直线的交点 设两条直线的方程是 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 两条直线的交点坐标就是方程组 ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的解。 A x ? B y ? C ? 0 ? 2 2 2

①若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解就是交点的坐标; ②若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行. (2)几种距离 两点间的距离:平面上的两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 间的距离公式

|P 1P 2 |?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

特别地,原点 O (0, 0) 与任一点 P ( x, y ) 的距离 | OP |?

x2 ? y2

点到直线的距离:点 P 0 ( xo , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离

d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

两条平行线间的距离:两条平行线 Ax ? By ? C1 ? 0与Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离

d?

| C1 ? C2 | A2 ? B 2

注:1 求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式; 2 求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用公式计算。 需要更多的高考数学复习资料

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精讲精练
【例】已知 取值范围是( A 答案:B 分析:由于直线 l 与线段 AB 有公共点,故直线 l 的斜率应介于 OA,OB 斜率之间. 解:由题意, , ,由于直线 l 与线段 AB 有公共点, ) B C D , ,直线 l 过原点 O 且与线段 AB 有公共点,则直线 l 的斜率的

所以直线 l 的斜率的取值范围是 考点:本题主要考查直线的斜率公式,考查直线 l 与线段 AB 有公共点,应注意结合图象理解. 【例】在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有( A1条 答案:B 分析:由题意,A、B 到直线距离是 1 和 2,则以 A、B 为圆心,以 1、2 为半径作圆,两圆的公切线的条 数即可. 解:分别以 A、B 为圆心,以 1、2 为半径作圆,两圆的公切线有两条,即为所求. 考点:本题考查点到直线的距离公式,考查转化思想 【例】方程 x ? y ? 1 所表示的图形的面积为_________。 答案: 2 解:方程 x ? y ? 1 所表示的图形是一个正方形,其边长为 2 【例】设 a ? b ? k (k ? 0, k为常数) ,则直线 ax ? by ? 1 恒过定点 答案: ( , ) 解: ax ? by ? 1 变化为 ax ? (k ? a) y ? 1, a( x ? y) ? ky ? 1 ? 0, 对于任何 a ? R 都成立,则 ? . B2条 C3条 D4条 )

1 1 k k

?x ? y ? 0 ?ky ? 1 ? 0

【例】一直线过点 M (?3, 4) ,并且在两坐标轴上截距之和为 12 ,这条直线方程是__________. 答案: 4 x ? y ? 16 ? 0 ,或 x ? 3 y ? 9 ? 0 解:设 y ? 4 ? k ( x ? 3), y ? 0, x ?

?4 ?4 ? 3; x ? 0, y ? 3k ? 4; ? 3 ? 3k ? 4 ? 12 k k 4 1 3k ? ? 11 ? 0,3k 2 ? 11k ? 4 ? 0, k ? 4, 或k ? ? k 3

【例】已知 A(1,2),B(3,4),直线 l1:x=0,l2:y=0 和 l3:x+3y﹣1=0、设 Pi 是 li(i=1,2,3) 上与 A、B 两点距离平方和最小的点,则△P1P2P3 的面积是________

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答案: 分析:设出 P1,P2,P3,求出 P1 到 A,B 两点的距离和最小时,P1 坐标,求出 P2,P3 的坐标,然后再解 三角形的面积即可. 解:设 P1(0,b),P2(a,0),P3(x0,y0) 由题设点 P1 到 A,B 两点的距离和为

显然当 b=3 即 P1(0,3)时,点 P1 到 A,B 两点的距离和最小,同理 P2(2,0),P3(1,0),所以

考点:本题考查得到直线的距离公式,函数的最值,考查函数与方程的思想,是中档题. 【例】已知直线(a﹣2)y=(3a﹣1)x﹣1,为使这条直线不经过第二象限,则实数 a 的范围是___ 答案:[2,+∞) 分析:由已知中直线(a﹣2)y=(3a﹣1)x﹣1 不经过第二象限,我们分别讨论 a﹣2=0(斜率不存在), a﹣2≠0(斜率存在)两种情况,讨论满足条件的实数 a 的取值,进而综合讨论结果,得到答案. 解:若 a﹣2=0,即 a=2 时,直线方程可化为 x= ,此时直线不经过第二象限,满足条件; 若 a﹣2≠0,直线方程可化为 y= 得 a>0 综上满足条件的实数 a 的范围是[2,+∞) 考点:本题考查的知识点是确定直线位置的几何要素,其中根据直线的斜截式方程中,当 k≥0 且 b≤0 时, 直线不过第二象限得到关于 a 的不等式组,是解答本题的关键,但解答时,易忽略对 a﹣2=0 (斜率不存在) 时的讨论,而错解为(2,+∞)。 【例】过点 A(?5, ?4) 作一直线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5 。 解:设直线为 y ? 4 ? k ( x ? 5), 交 x 轴于点 ( x﹣ ,此时若直线不经过第二象限,则 ≥0, ≥0,解 ___

4 ? 5, 0) ,交 y 轴于点 (0,5k ? 4) , k

1 4 16 S ? ? ? 5 ? 5k ? 4 ? 5, 40 ? ? 25k ? 10 2 k k
2 2 得 25k ? 30k ? 16 ? 0 ,或 25k ? 50k ? 16 ? 0

解得 k ?

2 8 ,或 k ? 5 5

? 2 x ? 5y ? 1 0 ? ,或 0 8 x ? 5 y ? 20 ? 0 为所求。

【例】直线 y ? ?

3 x ? 1 和 x 轴, y 轴分别交于点 A, B ,在线段 AB 为边在第一象限内作等边△ ABC , 3
1 2

如果在第一象限内有一点 P ( m, ) 使得△ ABP 和△ ABC 的面积相等,求 m 的值。 解:由已知可得直线 CP // AB ,设 CP 的方程为 y ? ?

3 x ? c, (c ? 1) 3

-4-



1 3 c ?1 3 x ? 3 过 P (m, ) ? AB ? ? 3, c ? 3 , y ? ? 2 3 2 1 1? 3



1 3 5 3 ?? m ? 3, m ? 2 3 2
1 2 2 x 上,求 PA ? PB 取得最小值时 P 点的坐标。 2

【例】已知点 A(1,1) , B (2, 2) ,点 P 在直线 y ?
2 2

2 2 2 2 2 解:设 P (2t , t ) ,则 PA ? PB ? (2t ? 1) ? (t ? 1) ? (2t ? 2) ? (t ? 2) ? 10t ? 14t ? 10

当t ?

7 7 7 2 2 时, PA ? PB 取得最小值,即 P ( , ) 10 5 10

【例】求函数 f ( x) ? 解: f ( x) ?

x2 ? 2 x ? 2 ? x2 ? 4 x ? 8 的最小值。

( x ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 ? (0 ? 2) 2 可看作点 ( x, 0) 到点 (1,1) 和点 (2, 2) 的距离之和,作

2 2 点 (1,1) 关于 x 轴对称的点 (1, ?1) ? f ( x) min ? 1 ? 3 ? 10

【例】在△ABC 中,已知 BC 边上的高所在直线的方程为 x﹣2y+1=0,∠ A 的平分线所在直线的方程为 y=0.若点 B 的坐标为(1,2),求点 C 的坐标.

分析:根据三角形的性质解 A 点,再解出 AC 的方程,进而求出 BC 方程,解出 C 点坐标.逐步解答. 解:点 A 为 y=0 与 x﹣2y+1=0 两直线的交点,∴ 点 A 的坐标为 (﹣1,0) . ∴ 又∵∠A 的平分线所在直线的方程是 y=0,∴

kAB=

=1.

kAC=﹣1. ∴ 直线 AC 的方程是 y=﹣x﹣1.

而 BC 与 x﹣2y+1=0 垂直,∴ kBC=﹣2. ∴ 直线 BC 的方程是 y﹣2=﹣2(x﹣1). 由 y=﹣x﹣1,y=﹣2x+4, 解得 C(5,﹣6) 考点:直线的点斜式方程。本题可以借助图形帮助理解题意,将条件逐一转化求解 【例】直线 l 过点 P(2,1),且分别与 x ,y 轴的正半轴于 A,B 两点,O 为原点. (1)求△AOB 面积最小值时 l 的方程; (2)|PA|?|PB|取最小值时 l 的方程. 分析:(1)设 AB 方程为 ,点 P(2,1)代入后应用基本不等式求出 ab 的最小值,即得三角形

OAB 面积面积的最小值.(2)设直线 l 的点斜式方程,求出 A,B 两点的坐标,代入|PA|?|PB|的解析式,

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使用基本不等式,求出最小值,注意检验等号成立条件. 解:(1)设 A(a,0)、B(0,b ),a>0,b>0,AB 方程为 ≥2 ,∴ab≥8 (当且仅当 a=4,b=2 时,等号成立), ,即 x+2y﹣4=0. ,点 P(2,1)代入得

故三角形 OAB 面积 S= ab≥4,此时直线方程为:

(2)设直线 l:y﹣1=k(x﹣2),分别令 y=0,x=0,得 A(2﹣ ,0),B(0,1﹣2k). 则|PA|?|PB|=
2

=

≥4,

当且仅当 k =1,即 k=± 1 时,|PA|?|PB|取最小值, 又∵ k<0,∴ k=﹣1,这时 l 的方程为 x+y﹣3=0. 考点:本题考查直线在坐标轴上的截距的定义,直线的截距式方程,以及基本不等式的应用. 1 【例】求倾斜角是直线 y=- 3x+1 的倾斜角的 ,且分别满足下列条件的直线方程: 4 (1)经过点( 3,-1);(2)在 y 轴上的截距是-5. 解:∵直线的方程为 y=- 3x+1,∴k=- 3,倾斜角 α=120° , 由题知所求直线的倾斜角为 30° ,即斜率为 3 . 3 3 (x- 3),即 3x-3y-6=0. 3 3 x-5,即 3x-3y-15=0. 3

(1)∵直线经过点( 3,-1),∴所求直线方程为 y+1=

(2)∵直线在 y 轴上的截距为-5,∴由斜截式知所求直线方程为 y= 【例】已知直线 l:kx-y+1+2k=0 (1)证明:直线 l 过定点;

(2)若直线 l 交 x 负半轴于 A,交 y 正半轴于 B,△AOB 的面积为 S,试求 S 的最小值并求出此时直线 l 的方程。 解:(1) 证明:由已知得 k(x+2)+(1-y)=0, ∴无论 k 取何值,直线过定点(-2,1)。 1 (2) 令 y=0 得 A 点坐标为(-2- ,0), k 令 x=0 得 B 点坐标为(0,2k+1)(k>0), 1 1 1 1 1 1 1 ∴S△AOB= |-2- ||2k+1| = (2+ )(2k+1) = (4k+ +4) ≥ (4+4)=4 2 k 2 k 2 k 2 1 1 当且仅当 4k= ,即 k= 时取等号。 k 2 1 即△AOB 的面积的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x-y+1+1=0 , 即 x-2y+4=0 2

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