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【高中数学新人教B版必修5】第三章《不等式》测试


【高中数学新人教 B 版必修 5】第三章《不等式》测试
1.设 b ? a , d ? c ,则下列不等式中一定成立的是 A. a ? c ? b ? d B. ac ? bd C. a ? c ? b ? d ( D. a ? d ? b ? c ( B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( C. ( ,?? ) ) ) )

2. “ a ? b ? 0 ”是“ ab ? A.充分而不必要条件 C.充要条件

a ?b ”的 2
2 2

3.不等式 ax ? b 的解集不可能是 A. ? B. R

b a

D. (?? ,? ) ( )

b a

2 4.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ?

1 1 , ) ,则 a ? b 的值等于 2 3
C.-10 D.10

A.-14

B.14

5.不等式 x | x |? x 的解集是 A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1 或 x ? ?1} 6.若 B. {x | ?1 ? x ? 1} D. {x | ?1 ? x ? 0, x ? 1}





1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是 a b
B. ab ? b
2





2 2 A. a ? b

C.

b a ? ?2 a b

D. | a | ? | b |?| a ? b | ( )

7.若 f ( x) ? 3x 2 ? x ? 1 , g ( x) ? 2 x 2 ? x ? 1 ,则 f ( x) 与 g ( x) 的大小关系为 A. f ( x) ? g ( x) B. f ( x) ? g ( x) C. f ( x) ? g ( x)

D.随 x 值变化而变化 ( )

8.下列各式中最小值是 2 的是 A.

x y + x y

B.

x ?5
2

x ?4
2

C.tanx+cotx

D. 2 ? 2
x

?x

9.下列各组不等式中,同解的一组是 A.

( B.



x2 ? 0 与 x ? 0

C. log1 (3x ? 2) ? 0 与 3x ? 2 ? 1
2

( x ? 1)( x ? 2) ? 0与 x ? 2 ? 0 x ?1 x?2 x?2 ?1与 D. ?1 x ?1 x ?1
( )

10.如果 | x ? 1 | ? | x ? 9 |? a 对任意实数 x 总成立,则 a 的取值范围是 A. {a | a ? 8} 11.若 a, b ? R ,则
?

B. {a | a ? 8}

C. {a | a ? 8} .

D. {a | a ? 8}

1 1 1 ? 与 的大小关系是 a b a?b

12.函数 y ? lg

1 ? 2x 的定义域是 x ?1



13.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储 费用为 4 x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x ? 14. 已知 f ( x) ? ? 吨.

? x,x ? 0 , 则不等式 f ( x ? 2) ? 3 的解集___ ? ?1, x ? 0

_ ____.

15.已知 f ( x ) 是奇函数,且在(- ? ,0)上是增函数, f (2) ? 0 ,则不等式 xf ( x) ? 0 的 解集是___ 16.解不等式:
2

_ ____.

x ?2 x ? 8 x ? 15

ax 17.已知 a ? 1 ,解关于 x 的不等式

x?2

? 1.

18.已知 a ? b ? c ? 0 ,求证: ab ? bc ? ca ? 0 .

19. 对任意 a ?[?1,1] , 函数 f ( x) ? x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值恒大于零, 求 x 的取值范围.
2

20.如图所示,校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器.已知喷水 器的喷水区域是半径为 5m 的圆. 问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置, 才能使 花坛的面积最大且能全部喷到水?

喷水器

喷水器

?

?

21.已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b . (1)若对任意的实数 x ,都有 f ( x) ? 2 x ? a ,求 b 的取值范围; (2)当 x ?[?1,1] 时, f ( x) 的最大值为 M,求证: M ? b ? 1 ; (3) 若 a ? (0, ) ,求证: 对于任意的 x ?[?1,1] ,| f ( x) |? 1 的充要条件是

1 2

a2 ? 1 ? b ? ?a. 4

参考答案
一、选择题 1.C; 2.A; 3.D; 4.C; 5.C; 6.D; 7.A; 8.D; 9.B; 10.A. 二、填空题 11.

1 1 1 1 ? ? ; 12. ( ?1, ) ; 13. 20 ; a b a?b 2

14. (?? ,1 ] ;15. {x | ?2 ? x ? 0, 或0<x<2} 三、解答题 16.解:原不等式等价于:

x ? 2 x 2 ? 17x ? 30 2 x 2 ? 17x ? 30 ? 2 ? 0 ? ? 0 ? ?0 x 2 ? 8 x ? 15 x 2 ? 8 x ? 15 x 2 ? 8 x ? 15 ( x ? 6)(2 x ? 5) 5 ? ? 0 ? ? x ? 3或 5 ? x ? 6 ( x ? 3)(x ? 5) 2 5 ∴原不等式的解集为 [ ,3) ? (5,6] 2 ax (a ? 1) x ? 2 ? 1 可化为 ? 0. 17.解:不等式 x?2 x?2

2 1? a ? 0 , ∵ a ? 1 ,∴ a ? 1 ? 0 ,则原不等式可化为 x?2 x?
故当 0 ? a ? 1 时,原不等式的解集为 {x | 2 ? x ? 当 a ? 0 时,原不等式的解集为 ? ; 当 a ? 0 时,原不等式的解集为 {x | 18.证明:法一(综合法)

2 }; 1? a

2 ? x ? 2} . 1? a

?a ? b ? c ? 0,

?(a ? b ? c)2 ? 0
a2 ? b2 ? c2 ?0 2

展开并移项得: ab ? bc ? ca ? ?

? ab ? bc ? ca ? 0
法二(分析法)

2 要证 ab ? bc ? ca ? 0 ,? a ? b ? c ? 0 ,故只要证 ab ? bc ? ca ? (a ? b ? c)
2 2 2 即证 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ? 0 ,
2 2 2 也就是证 [( a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a) ] ? 0 ,

1 2

而此式显然成立,由于以上相应各步均可逆,∴原不等式成立. 法三:? a ? b ? c ? 0 ,? ?c ? a ? b

b 2 3b2 ? ab ? bc ? ca ? ab ? (b ? a)c ? ab ? (a ? b) ? ?a ? b ? ab ? ?[(a ? ) ? ]? 0 2 4 ? ab ? bc ? ca ? 0 2 2 2 2 2 2 法四:? a ? b ? 2ab, b ? c ? 2bc , c ? a ? 2ca 2 2 2 ∴由三式相加得: a ? b ? c ? ab ? bc ? ca
2 2 2

两边同时加上 2(ab ? bc ? ca) 得: (a ? b ? c) 2 ? 3(ab ? bc ? ca)

?a ? b ? c ? 0, ∴ ab ? bc ? ca ? 0 2 19.解:设 g (a) ? x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? ( x ? 2)a ? ( x ? 2)2 , 则 g (a ) 的图象为一直线,在 a ?[?1,1] 上恒大于 0,故有
?x2 ? 5x ? 6 ? 0 ? g (?1) ? 0 ,即 ? 2 ,解得: x ? 1 或 x ? 3 ? ? g (1) ? 0 ? x ? 3x ? 2 ? 0 ∴ x 的取值范围是 (??,1) ? (3,??)
20.解:设花坛的长、宽分别为 xm,ym,根据要求,矩形花坛应在喷水区域内,顶点应恰
2 2 好位于喷水区域的边界.依题意得: ( ) ? ( ) ? 25 , ( x ? 0, y ? 0 )

x 4

y 2

问题转化为在 x ? 0, y ? 0 , 法一:? S ? xy ? 2 ? 由

x2 ? y 2 ? 100的条件下,求 S ? xy 的最大值. 4

x x ? y ? ( ) 2 ? y 2 ? 100 , 2 2

x2 x ? y 和 ? y 2 ? 100及 x ? 0, y ? 0 得: x ? 10 2, y ? 5 2 2 4 ? Smax ? 100 x2 ? y 2 ? 100, 法二:∵ x ? 0, y ? 0 , 4

x2 x2 1 2 2 2 = x ? (100? ) ? ? ( x ? 200) ? 10000 4 4 4 2 ∴当 x ? 200,即 x ? 10 2 , S max ? 100 ? S ? xy ? x 100?


x2 ? y 2 ? 100可解得: y ? 5 2 . 4 答:花坛的长为 10 2m ,宽为 5 2m ,两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心,

则符合要求. 21. 解: (1)对任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? 2 x ? a ? 对任意的 x ? R , x ? (a ? 2) x ? (b ? a) ? 0 ? ? ? (a ? 2) ? 4(b ? a) ? 0
2 2

a2 ? b ? 1(? a ? R) ∴ b ? [1,??) . 4 ( 2 ) 证 明 : ∵ f (1) ? 1 ? a ? b ? M , f (?1) ? 1 ? a ? b ? M , ∴ 2 M ? 2b ? 2 , 即 M ? b ?1 . 1 1 a a a (3)证明:由 0 ? a ? 得,? ? ? ? 0 ∴ f ( x) 在 [ ?1,? ] 上是减函数,在 [ ? ,1] 2 4 2 2 2 ? b ? 1?
上是增函数.

a2 a 时取得最小值 b ? , 在 x ? 1 时取得最大值 1 ? a ? b . 2 4 1? a ? b ? 1 ? a2 ? a2 故对任意的 x ?[?1,1] , | f ( x) |? 1 ? ? ? ? 1 ? b ? ?a. b ? ? ?1 4 ? 4 ?
∴当 | x |? 1 时, f ( x) 在 x ? ?


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