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湖南省浏阳一中2014-2015年高二数学下学期期末考试试卷 文


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

浏阳一中 2015 年上学期高二期末考试数学试卷(文)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) A . ??1 , ? 2, 0,1, 2? B. ?3 , 4? 1.设集合 P ? ?1, 2,3, 4? , Q ? ? x ? ?? ? x ? 2, x

? R? ,则 P ? Q 等于 ( C. ? 1 ? D. ?1 , 2? )

3 4 2.已知 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过点(- , ),则 cos α 的值 5 5 为 ( ) 4 3 4 3 A. B.- C.- D.- 5 4 5 5 3 3.曲线 y=2x -3x+1 在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=4x-5 B.y=-3x+2 C.y=-4x+4 D.y=3x-3 4.已知命题 p: ?x ? R, cos x ? 1, 则 A. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; C. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; 5.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ( )

B. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; D. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; ( )

2 的零点所在的大致区间是 x

A. (3,4) B. (2,e) C. (1,2) D. (0,1) 6.下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( ) A. f(x)= 1

x2

B. f(x)=x +1

2

C. f(x)=x

3

D. f(x)=2

-x

π π 7.函数 f(x)=2sin (ω x+φ ) (ω >0,- <φ < )的部分图像如图所示, 2 2 则 ω ,φ 的值分别是 π A.2,- 3 ( π B.2,- 6 ) π C.4,- 6 ( D.4, π 3

8. “ x ? 1 ? 2 成立”是“ x( x ? 3) ? 0 成立”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9. 当 x∈[-2,1]时, 不等式 ax -x +4x+3≥0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是( A.[-5,-3] 9? ? B.?-6,- ? 8? ? C.[-6,-2] D.[-4,-3]

3

2

)

-1-

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10.已知直线 y=mx 与函数 数 m 的取值范围是 A.( ,4) B.( ,+∞) C.( (

的图象恰好有 3 个不同的公共点,则实 ) ,5) D.( , )

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 50 分)

?2 x ? 1( x ? 1) 则f [ f (? )] ? 11.已知 f ( x) ? ? ?sin x ? 2( x ? 1)
12. 曲线 y=xln x 在点(e,e)处的切线与直线 x+ay=1 垂直,则实数 a 的值为________ 2a-3 13.设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(2)>1,f(2014)= ,则实数 a 的 a+1 取值范围是________. 14.已知扇形的周长为 20,当扇形的圆心角为 15. 对于非空实数集 ,定义 弧度时,它有最大的面积。 .设非空实数集

.现给出以下命题:

(1)对于任意给定符合题设条件的集合 (2)对于任意给定符合题设条件的集合 (3)对于任意给定符合题设条件的集合 (4)对于任意给定符合题设条件的集合 . 以上命题正确的是

必有 必有 必有 必存在常数 ; ; ,使得对任意的 ,恒有

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 2 2 2 16.(12 分)命题 p:关于 x 的不等式 x +(a-1)x+a ≤0 的解集为?,命题 q:函数 y=(2a
x -a) 为增函数.若 p ? q 为真, p ? q 为假,求 a 的取值范围。

-2-

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1 17.(12 分)已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 π 2 (1)若 0<α < ,且 sin α = ,求 f(α )的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间.

18.(12 分)已知函数 y ? f ( x) ?

ln x 。 x
1 处的切线方程; e

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的图像在 x ? (Ⅱ)求 y ? f ( x) 的最大值;

19.(13 分)已知二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f(2)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求 a 的取值范围

20.(13 分)已知数列{an}各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,且满足 4Sn=(an+1) . (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= 1 ,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn an·an+1

2

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21.(13 分)设函数 f ( x) ? a2 ? ln x , g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 .

x

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)如果对于任意的 x1 , x2 ? ? 1 , 2 ? ,都有 x1 ? f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,试求实数 a 的取值范

?3 ?

? ?

围.

浏阳一中 2015 年上学期高二期末考试数学试卷(文) 制卷人:邹辉煌 审卷人:贺注国

(时间 120 分钟,共 150 分) 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) A . ??1 , ? 2, 0,1, 2? B. ?3 , 4? C. ? 1 ?

1.设集合 P ? ?1, 2,3, 4? , Q ? ? x ? ?? ? x ? 2, x ? R? ,则 P ? Q 等于 ( D. ?1 , 2?

D )

3 4 2.已知 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过点(- , ),则 cos α 的值 5 5 为 ( D ) 4 3 4 3 A. B.- C.- D.- 5 4 5 5 3 3.曲线 y=2x -3x+1 在点(1,0)处的切线方程为( D ) A.y=4x-5 B.y=-3x+2 C.y=-4x+4 D.y=3x-3 4.已知命题 p: ?x ? R, cos x ? 1, 则 A. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; C. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; ( C )

B. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; D. ?p : ?x ? R, cos x ? 1;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 5.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ?

2 的零点所在的大致区间是 x



C)

A. (3,4) B. (2,e) C. (1,2) D. (0,1) 6.下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( A ) A.

f(x)=

1

x2

B. f(x)=x +1

2

C. f(x)=x

3

D.

f(x)=2-x

π π 7.函数 f(x)=2sin (ω x+φ ) (ω >0,- <φ < )的部分图像如图所示, 2 2 则 ω ,φ 的值分别是 π A.2,- 3 ( A π B.2,- 6 ) π C.4,- 6 ( B D.4, π 3

8. “ x ? 1 ? 2 成立”是“ x( x ? 3) ? 0 成立”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
3 2



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9.当 x∈[-2,1]时,不等式 ax -x +4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( c ) A.[-5,-3] C.[-6,-2] 9? ? B.?-6,- ? 8? ? D.[-4,-3]

10.已知直线 y=mx 与函数 数 m 的取值范围是( B) A.( ,4) B.( ,+∞) C.(

的图象恰好有 3 个不同的公共点,则实

,5)

D.(



)

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 50 分) 11. 已知 f ( x) ? ?

?2 x ? 1( x ? 1) ?sin x ? 2( x ? 1)

则f [ f (? )] ? 错误!未找到引用源。

-3/4



误!未找到引用源。 12. 曲线 y=xln x 在点(e,e)处的切线与直线 x+ay=1 垂直,则实数 a 的值为____2____ 2a-3 13.设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(2)>1,f(2014)= ,则实数 a 的 a+1 取值范围是_____-1<a<2/3___. 14.已知扇形的周长为 20,当扇形的圆心角为 2 弧度时,它有最大的面积。

-5-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

15. 对于非空实数集

,定义

.设非空实数集

.现给出以下命题:

(1)对于任意给定符合题设条件的集合 (2)对于任意给定符合题设条件的集合 (3)对于任意给定符合题设条件的集合 (4)对于任意给定符合题设条件的集合 . 以上命题正确的是 三、解答题 1,4

必有 必有 必有 必存在常数 ; ; ,使得对任意的 ,恒有

1.命题 p:关于 x 的不等式 x +(a-1)x+a ≤0 的解集为?,命题 q:函数 y=(2a -a)x 为增 函数.若 p ? q 为真, p ? q 为假,求 a 的取值范围。 1 2 2 1: p 为真时,Δ =(a-1) -4a <0,即 a> 或 a<-1. 3 1 2 q 为真时,2a -a>1,即 a>1 或 a<- . 2 p、q 中有且只有一个是真命题,有两种情况: 1 1 p 真 q 假时, <a≤1,p 假 q 真时,-1≤a<- , 3 2 1 1 ∴p、q 中有且只有一个真命题时,a 的取值范围为{a| <a≤1 或-1≤a<- }. 3 2 1 2.已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x)- . 2 π 2 (1)若 0<α < ,且 sin α = ,求 f(α )的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. π 2 2 2、(1)因为 0<α < ,sin α = ,所以 cos α = . 2 2 2 所以 f(α )= 2? 2 2? 1 1 ? + ?-2=2. 2 ?2 2 ?

2

2

2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 1 2 (2)因为 f(x)=sin xcos x+cos x- 2 1 1+cos 2x 1 = sin 2x+ - 2 2 2 1 1 = sin 2x+ cos 2x 2 2 = π? 2 ? sin?2x+ ?, 4? 2 ?

2π 所以 T= =π . 2 π π π 3π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 4 2 8 8 3π π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ?

3、已知函数 y ? f ( x) ?

ln x 。 x

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的图像在 x ? 3、解(1)? f ( x) 定义域为 ?0,?? ? (Ⅱ)求 y ? f ( x) 的最大值;

1 处的切线方程; e

? f / (x) ?

1 - lnx x2

1 ? f ( ) ? ?e e 1 又 ? k ? f / ( ) ? 2e 2 e 1 ? 函数 y ? f ( x) 的在 x ? 处的切线方程为: e 1 y ? e ? 2e 2 ( x ? ) ,即 y ? 2e 2 x ? 3e e
/ (2)令 f ( x) ? 0 得 x ? e

4分

? 当 x ? (0, e) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, e) 上为增函数
当 x ? (e,??) 时, f ( x) ? 0 ,在 (e,??) 上为减函数
/

? f max ( x) ? f (e) ?

1 e

4.(12 分)已知二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f(2)=3. (1)求 f(x)的解析式;
-7-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求 a 的取值范围 4、 (1)由已知∵f(x)是二次函数,且 f(0)=f(2) ∴对称轴为 x=1 又最小值为 1 2 设 f(x)=a(x-1) +1 又 f(0)=3 ∴a=2 2 2 ∴f(x)=2(x-1) +1=2x -4x+3 (2)要使 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,则 2a<1<a+1 ∴0<a<1/2 5.(14 分)已知数列{an}各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,且满足 4Sn=(an+1) . (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= 1
2

an·an+1

,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn
2

解:(1)因为(an+1) =4Sn, ?an+1? ?an+1+1? 所以 Sn= ,Sn+1= . 4 4 ?an+1+1? -?an+1? 所以 Sn+1-Sn=an+1= , 4 即 4an+1=an+1-an+2an+1-2an, ∴2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an).(4 分) 因为 an+1+an≠0, 所以 an+1-an=2, 即{an}为公差等于 2 的等差数列. 由(a1+1) =4a1,解得 a1=1, 所以 an=2n-1.(6 分) (2)由(1)知 bn= 1 ? 1 1? 1 - = ? ?, ?2n-1??2n+1? 2?2n-1 2n+1?
2 2 2 2 2 2 2

∴Tn=b1+b2+?+bn 1 1 ? 1? 1 1 1 - = ?1- + - +?+ ? 3 3 5 2n-1 2n+1? 2? 1 ? 1? = ? 1- 2 n +1? 2? ? 1 1 = - . 2 2?2n+1? 6.设函数 f ( x) ? a2 ? ln x , g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 .

x

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)如果对于任意的 x1 , x2 ? ? 1 , 2 ? ,都有 x1 ? f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,试求实数 a 的取值范

? ?3

? ?

围.
2 解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ? a3 ? 1 ? x ?32a ,

x

x

x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增; 当 a>0 时,若 x ?

2a ,则 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; 2a ,则 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减;

若0 ? x ?

所以, 函数 f ( x) 在区间 (0, 2a ) 上单调递减, 在区间 ( 2a , ??) 上单调递增. ?????????????? 4 分 (Ⅱ) g ?( x) ? 3 x 2 ? 2 x ? 3 x( x ? 2 ) , x ? ? 1 , 2 ? ,

3

?3 ?

? ?

可见,当 x ? ? 2 , 2 ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 ? 2 , 2 ? 单调递增,

?3 ?

? ?

?3 ?

? ?

当 x ? ? 1 , 2 ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 ? 1 , 2 ? 单调递减,

?3 3? ? ?

?3 3? ? ?

而 g ( 1 ) ? ? 83 ? g (2) ? 1 ,所以, g ( x) 在区间 ? 1 , 2 ? 上的最大值是 1,

3

27

? ?3

? ?

依题意,只需当 x ? ? 1 , 2 ? 时, xf ( x) ? 1 恒成立,

? ?3

? ?

即 a ? x ln x ? 1 恒成立,亦即 a ? x ? x 2 ln x ; ???????????? 8 分

x

令 h( x) ? x ? x 2 ln x ( x ? ? 1 , 2 ? ) ,

?3 ?

? ?

则 h?( x) ? 1 ? x ? 2 x ln x ,显然 h?(1) ? 0 , 当 x ? ? 1 ,1 时, 1 ? x ? 0 , x ln x ? 0 , h?( x) ? 0 ,

? ?3

?

即 h( x) 在区间 ? 1 ,1 上单调递增;

? ?3

?

当 x ? ?1, 2? 时, 1 ? x ? 0 , x ln x ? 0 , h?( x) ? 0 ,

?1, 2? 上单调递减;
所以,当 x=1 时,函数 h( x) 取得最大值 h(1) ? 1 , 故 a ? 1 ,即实数 a 的取值范围是 ?1, ?? ?

-9-


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