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高中数学(人教A版)必修2随堂优化训练:2.3.1 直线与平面垂直的判定(含答案)


2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定

1.下面条件中,能判定直线 l⊥平面 α 的一个是( ) A.l 与平面 α 内的任意一条直线垂直 B.l 与平面 α 内的无数条直线垂直 C.l 与平面 α 内的某一条直线垂直 D.l 与平面 α 内的两条直线垂直 2.如果一条直线垂直于一个平面内的下列情况: ①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条弦;④正六边形的两条边. 不能保证该直线与平面垂直的是( ) A.①③ B.①② C.②③④ D.①②④ 3.已知直线 a,b 和平面 α,则下列结论错误的是( ) a⊥α? a∥b? ? ? ??a⊥b ??b⊥α A. B. ? ? b?α? a⊥α?
? ? a⊥b? a∥α? ??a∥α 或 a?α ??a∥b D. b⊥α? b?α? ? ? 4.下列说法中正确的是( ) A.平面外的点和平面内的点之间的线段叫平面的斜线段 B.过平面外一点和平面内一点的直线是平面的斜线 C.过平面外一点的平面的垂线有且只有一条 D.过平面外一点的平面的斜线有且只有一条 5.若斜线段 AB 是它在平面 α 内的射影长的 2 倍,则 AB 与平面 α 所成的角为( A.60° B.45° C.30° D.120° 6.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( ) A.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α C.若 l∥α,m?α,则 l∥m D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m 7.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( ) 2 3 2 6 A. B. C. D. 3 3 3 3

C.

)

8.如图 K231,平行四边形的一个顶点 A 在平面 α 内,其余顶点在 α 的同侧,已知其 中有两个顶点到 α 的距离分别为 1 和 2 , 那么剩下的一个顶点到平面 α 的距离可能是: ①1; ②2;③3;④4.以上结论正确的为__________(写出所有正确结论的序号).

图 K231

9.已知:如图 K232,在空间四边形 ABCD 中,AB=AC,DB=DC,取 BC 中点 E, 连接 AE,DE,求证:BC⊥平面 AED.

图 K232

10.如图 K233,已知点 P 是△ABC 所在平面外一点,PA,PB,PC 两两垂直,点 H 为△ABC 的垂心,求证:PH⊥平面 ABC.

图 K233

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1.A 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.D 解析:取 AC 的中点 O,连接 D1O,过点 D 作 DE⊥D1O.在正方体中,DD1⊥面 ABCD,∴DD1⊥AC,又 AC⊥OD,∴AC⊥面 DD1O.∴AC⊥DE.∴DE⊥面 ACD1,即∠DD1O 是 D1D 与平面 ACD1 所成的角.又 BB1∥DD1,∴BB1 与平面 ACD1 所成角即为 DD1 与平面 2 6 DD1 6 ACD1 所成角.设 DD1=a,则 DO= a,D1O= a,所求角的余弦值为 = . 2 2 D1O 3 8.①③ 解析:若点 B,D 到平面 α 的距离分别为 1,2,则点 D,B 的中点到平面 α 的 3 距离为 ,所以点 C 到平面 α 的距离为 3; 2 若点 B,C 到平面 α 的距离分别为 1,2,设点 D 到平面 α 的距离为 x,则 x+1=2 或 x +2=1,即 x=1.所以点 D 到平面 α 的距离为 1; 若点 C,D 到平面 α 的距离分别为 1,2,同理可得,点 B 到平面 α 的距离为 1.故选①③. 9.证明:∵AB=AC,DB=DC,E 为 BC 中点, ∴AE⊥BC,DE⊥BC. 又∵AE 与 DE 交于点 E,∴BC⊥平面 AED. 10.证明:如图 D56,连接 AH,

图 D56

? ? ? PA⊥面PBC ? ?? PA⊥PC ?? BC?面PBC? ? ? PB∩PC=P?
PA⊥PB

? ? 点H为垂心?AH⊥BC?? ? PA∩AH=A ?
PA⊥BC BC⊥面PAH ? ? ??PH⊥BC. ? PH?面PAH? 同理可证 PH⊥AC,又 AC∩BC=C, 所以 PH⊥平面 ABC.


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